高中數(shù)學(xué)解題思維與思想

《高中數(shù)學(xué)解題思維與思想》

導(dǎo)讀

數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的

思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑，是進(jìn)行有效的訓(xùn)練，本策略結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的

實(shí)際情況，從以下四個(gè)方面進(jìn)行講解：

一、數(shù)學(xué)思維的變通性

根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活設(shè)想和解題方案

二、數(shù)學(xué)思維的反思性

提出獨(dú)特見(jiàn)解，檢查思維過(guò)程，不盲從、不輕信。

三、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性

考察問(wèn)題嚴(yán)格、準(zhǔn)確，運(yùn)算和推理精確無(wú)誤。

四、數(shù)學(xué)思維的開(kāi)拓性

對(duì)一個(gè)問(wèn)題從多方面考慮、對(duì)一個(gè)對(duì)象從多種角度觀察、對(duì)一個(gè)題目運(yùn)用多種

不同的解法。

什么”轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)他們的思維能力。

《思維與思想》的即時(shí)性、針對(duì)性、實(shí)用性，已在教學(xué)實(shí)踐中得到了全面驗(yàn)證。

一、高中數(shù)學(xué)解題思維策略

第一講數(shù)學(xué)思維的變通性

一、概念

數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思

維的變通性一一善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性

的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練：

(1)善于觀察

心理學(xué)告訴我們：感覺(jué)和知覺(jué)是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺(jué)的高級(jí)狀態(tài)，是

一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺(jué)。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)

問(wèn)題和解決問(wèn)題的前提。

任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特

征，對(duì)題耳進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過(guò)表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣

才能確定解題思路，找到解題方法。

,,..1111

例x或l口，求不1——+----1----d—+------.

1-22-33-4〃(〃+1)

這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且一--=--——

+1)nn+1

因此，原式等于1一,+工一,+…一一—=1一一匚問(wèn)題很快就解決了。

223nn+1n+1

(2)善于聯(lián)想

聯(lián)想是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)

雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，

做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問(wèn)題打開(kāi)缺口，不斷深入。

例如，解方程組\Y+V=/

xy=-3

這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為2,這兩個(gè)數(shù)的積為-3。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，x、y是一元

二次方程/一2f—3=0的兩個(gè)根，

Y=_1fV-=3

所以■或■.可見(jiàn)，聯(lián)想可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。

y=3[y=-1

(3)善于將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換?？梢?jiàn)，解題過(guò)程

是通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？

概括地講，就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體問(wèn)題，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成

已知問(wèn)題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問(wèn)題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。

例或口，已次口,+4+'=,(abcH0,a+b+cx0),

abca+b+c

求證a、b、c三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。

恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問(wèn)題變得熟悉、簡(jiǎn)單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：(a+b)3+c)(c+a)=0

思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維方

法解決若干問(wèn)題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問(wèn)題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、

套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。

綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要

想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

(1)觀察能力的訓(xùn)練

雖然觀察看起來(lái)是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能

力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題巨的具體特征，采用特殊方法來(lái)解題。

2222

例1已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，求證+從+7c+J>7(a-c)+(Z?-J).

思路分析從題目的外表形式觀察到，要證的

結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而

左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，

可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。

證明不妨設(shè)A(a,b),B(c,d)如圖1-2-1所示，

則|A卻=J(a-c)2+S-d)2.

|<?A|=+62J。用=Jc'2+/,

在AOAB中，由三角形三邊之間的關(guān)系知:

|OA|+|OB|>|AB|當(dāng)且僅當(dāng)。在AB上時(shí),等號(hào)成立。

因“匕，yla2+b2+ylc2+d2>yl(a-c)2+(b-d)2.

思維障礙很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利

用這些方法證明很繁。學(xué)生沒(méi)能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，

是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。因此，平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定

理的運(yùn)用練習(xí)。

例2已知3x?+2)，=6x,試求xi+y2的最大值。

解由3%2+2)J=6%得

y2=——3x2+3Qx.

2

3

y~20,-耳x~+3x20,.t0WxW2.

2

又/+y2=2--x2+3x=-—(x-3)+—,

x222

1Q

.?.當(dāng)x=2時(shí)，x2+V有最大值，最大值為――(2-3)2+-=4.

22

思路分析要求/+y2的最大值，由已知條件很快將/+/2變?yōu)橐辉魏瘮?shù)

1Q

/(%)=-5。-3)2+：,然后求極值點(diǎn)的工值，聯(lián)系到>220,這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。

上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。

思維障礙大部分學(xué)生的作法如下：

由31+2)，2=6%得y2=+3x,

x2+y2=x2-1-x2+3x=--^(x-3)2+^,

/.當(dāng)x=3時(shí)，x2+y2取最大值，最大值為g

這種解法由于忽略了/20這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要注意審題，不僅

能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，

又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。

有些問(wèn)題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。.

例3已知二次函數(shù)/(x)=ax?+/?x+c=0(“>0),滿足關(guān)系：

/(2+x)=/(2—x),試比較/(0.5)與/(萬(wàn))的大小。\/

思路分析由已知條件/(2+x)=/(2-x)可知，在與x=2左右等一d7J---x

距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說(shuō)明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又由：____

已知條件知它的開(kāi)口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖‘-2一

圖像簡(jiǎn)捷地解出此題。

解(如圖1一2-2)由/(2+x)=/(2—x),

知/(x)是以直線x=2為對(duì)稱軸，開(kāi)口向上的拋物線

它與x=2距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。

V|2-0.5|>|2-7Z-|.../(0.5)>/(萬(wàn))

思維障礙有些同學(xué)對(duì)比較/(0.5)與/(乃)的大小，只想到求出它們的值。而此題函數(shù)/(幻

的表達(dá)式不確定無(wú)法代值，所以無(wú)法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒(méi)有充分挖掘已知條件的

含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問(wèn)題，對(duì)每一個(gè)已知條件都要仔細(xì)推敲，找出它的

真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。

(2)聯(lián)想能力的訓(xùn)練

例4在A48c中，若NC為鈍角，則以4?次8的值

(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能確定

思路分析此題是在A48c中確定三角函數(shù)的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩

角和公式tg(A+B)=如+次'可得下面解法。

1-tgAtgB

解為鈍角，.-gC<0.在中A+8+C=);.C=萬(wàn)一(A+8)

且A、8均為銳角，

.■.tgC=織[萬(wàn)一(A+5)]=-tg(A+8)=-產(chǎn)"叫<0.

1-tgA-tgB

,/tgA>0,tgB>0,1-tgAtgB>0.BPtgA-tgB<1.

故應(yīng)選擇(B)

思維障礙有的學(xué)生可能覺(jué)得此題條件太少，難以下手，原因是對(duì)三角函數(shù)的基本公式掌

握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。

例5若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,證明：2y=x+z.

思路分析此題一般是通過(guò)因式分解來(lái)證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)

現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來(lái)證題。

證明當(dāng)時(shí)，等式(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0

可看作是關(guān)于f的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的條件，在進(jìn)一步觀察

這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1,根據(jù)韋達(dá)定理就有：

-——-=1即2y-x+z

x-y

若x-y=O,由已知條件易得z-x=0,即x=y=z,顯然也有2y=x+z.

例6已知a、仄c均為正實(shí)數(shù)，滿足關(guān)系式a?+/=,2,又〃為不小于3的自然數(shù)，求

證"+b"<c".

思路分析由條件/+從=c?聯(lián)想到勾股定理，“、b、c可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步

聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。

證明設(shè)a、b、c所對(duì)的角分別為4、B、。.則C是直角，A為銳角，于是

cib

sinA=—,cosA=—，且0<sin4vl,0<cosA<1,

cc

當(dāng)〃23時(shí)，有sin"A<sin?4,coswA<cos2A

于是有sin"A+coswA<sin2A4-cos2A=1

即(@)"+(2)"<i,

cc

從而就有a"+b"<c".

思維阻礙由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)”的命題，一些學(xué)生都會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，

難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學(xué)代數(shù)，學(xué)幾何，因

而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來(lái)。

(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練

我們所遇見(jiàn)的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有

關(guān)知識(shí)，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問(wèn)題很快

得到解決，所以，進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。

中轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目

例11已知a+b+c=4+4+工=1,求證a、b、c中至少有一個(gè)等于1。

abc

思路分析結(jié)論沒(méi)有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化

成我們熟悉的形式。a、b、c中至少有一個(gè)為1,也就是說(shuō)a-1、b-1、c-1中至少有一個(gè)為零,

這樣，問(wèn)題就容易解決了。

證明—+—+—=：.be+ac+ab-abc.

abc

于是(a-1)S-l)(c-1)=abc-(ah+ac+he-I)+(a+b+c)-0.

a-L6-1、c-l中至少有一個(gè)為零，即a、b、c中至少有一個(gè)為1。

思維障礙很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有

一個(gè)為1,其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問(wèn)題變?yōu)槭煜?wèn)題。因此，

多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。

例12直線L的方程為x=-",其中p>0;橢圓￡的中心為0'(2+",0),焦點(diǎn)在X軸上,

22

長(zhǎng)半軸為2,短半軸為1,它的一個(gè)頂點(diǎn)為A(],0),問(wèn)〃在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)

不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離。

思路分析從題目的要求及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線

y2-2px(1)

是，又從已知條件可得橢圓E的方程為

次―(2+4)『

-------2+/=](2)

4

因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組(1)、(2)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求p的取值范圍。將(2)

代入(1)得：

2

x2+(7p-4)x+^-+2p=0.(3)

4

確定〃的范圍，實(shí)際上就是求(3)有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組：

(7p—4尸—4(2+2p)〉0

2

<(+2p>0

7P-4<0

在p>0的條件下，得0<p<13.

本題在解題過(guò)程中，不斷地把問(wèn)題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題：解方程組和不等式組的問(wèn)題。

(2)逆向思維的訓(xùn)練

逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問(wèn)

題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問(wèn)題的反面，從反面入手，使問(wèn)題得到解決。

例13已知函數(shù)/。)=2/+蛆+”，求證]⑴卜7⑵卜|/(3)|中至少有一個(gè)不小于L

思路分析反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。

當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。

證明(反證法)假設(shè)原命題不成立，即〃⑴|、|/(2)|、Y⑶|都小于1。

V(D|<11<2+w+n<1-3<m+n<-l①

1<8+2m+/1<1=><一9<2m+n<-7②

"⑶卜11<18+3/n+zj<1-19<3m+n<-17③

①+③得-11<2m+〃<一9,

與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即⑴|、|/(2)|.|7(3)|中至少有一個(gè)不小于L

8一題多解訓(xùn)練

由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因而，同一問(wèn)題可能得到

幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過(guò)一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、

恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。

第二講數(shù)學(xué)思維的反思性

一、概述

數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見(jiàn)解，精細(xì)地檢查思維過(guò)程，不盲從、不輕

信。在解決問(wèn)題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問(wèn)題的方法，它和創(chuàng)造性思維

存在著高度相關(guān)。本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

(1)檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。

例1已知/(x)=ax+',若—3W/⑴WO,3W/(2)46,求”3)的范圍。

b

錯(cuò)誤解法由條件得

'-3<a+b<0①

[3d+卜6②

②X2-①得64a415③

①x2-②得④

333

③+④得—<3a+-<—,即34/(3)W*.

33333

錯(cuò)誤分析采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)/(x)=ax+',其值

b

是同時(shí)受4和b制約的。當(dāng)4取最大(小)值時(shí)，b不一定取最大(小)值，因而整個(gè)解題思路

是錯(cuò)誤的。

正確解法由題意有

f(i)=a+b

‘b

/(2)=2a+-

\2

解得：?=-[2/(2)-/(1)],。=耳[2/⑴一/⑵],

⑶=3。+?=勃2)-"⑴.

3yy

把/⑴和/⑵的范圍代入得y</(3)<y.

在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固

地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，才能反思性地看問(wèn)題。

例2證明勾股定理：已知在A4BC中，ZC=90°,求證，=1+62.

錯(cuò)誤證法在HrA48c中，sinA--,cosA=士而sin?A+cos2A=1,

cc

￥)2+(2)2=1,^c2=a2+b2.

cc

錯(cuò)誤分析在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，sir?4+COS2A=1這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來(lái)的。

這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯(cuò)誤是在不知不覺(jué)

中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺(jué)。因此，在學(xué)習(xí)中對(duì)所學(xué)的每個(gè)公式、法則、定理，既要熟悉它們的

內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)本題犯

了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。

(2)驗(yàn)算的訓(xùn)練

驗(yàn)算是解題后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。通過(guò)驗(yàn)算，可以檢查解題過(guò)程的正確性，增強(qiáng)思維

的反思性。

例3已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S0=2"+1,求a,,.

錯(cuò)誤解法a?=Sn-=Q"+1)-(2"-'+1)=2"-2"T=2"工

錯(cuò)誤分析顯然，當(dāng)〃=1時(shí)，/=S]=3K=1,錯(cuò)誤原因，沒(méi)有注意公式an=Sn—成

立的條件是"22(〃eN).因此在運(yùn)用a.=S“-S,i時(shí)，必須檢驗(yàn)〃=1時(shí)的情形。即：

5(〃=1)

"[S"(〃N2,〃eN)

例4實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓/+y2一2℃+。2一]=。與拋物線>2=；x有兩個(gè)公共點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法將圓x?+/一2ax+42-1=0與拋物線聯(lián)立，消去y,

得x2-(2a——)x+tz2-1=0(x>0).①

2

A=0

117

因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得42a-±>0解之，得。=工.

28

a2-l>0.

錯(cuò)誤分析(如圖2-2-1;2-2-2)顯然，當(dāng)a=0時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。

當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得<解之，得-

因此，當(dāng)〃=一17或一時(shí)，圓/+V-2〃x+/一1=0與拋物線>2r=—1x有兩個(gè)公共點(diǎn)。

82

思考題：實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓//一2ax+&2一1=0與拋物線)，2=gx,

(1)有一個(gè)公共點(diǎn)；

(2)有三個(gè)公共點(diǎn)；

(3)有四個(gè)公共點(diǎn)；

(4)沒(méi)有公共點(diǎn)。

養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無(wú)理方程、無(wú)理不等式；對(duì)數(shù)方程、

對(duì)數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會(huì)發(fā)生變化，這樣就有可能

產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回關(guān)根。

(3)獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見(jiàn)解

受思維定勢(shì)或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思

維的反思性。因此，在解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對(duì)題目解法發(fā)表自己的見(jiàn)解，這

樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

例530支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問(wèn)需要安排多少場(chǎng)比賽？

解因?yàn)槊繄?chǎng)要淘汰1個(gè)隊(duì)，30個(gè)隊(duì)要淘汰29個(gè)隊(duì)才能決出一個(gè)冠軍。因此應(yīng)安排29場(chǎng)

比賽。

思路分析傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有15+7+4+2+1=

29場(chǎng)比賽。而上面這個(gè)解法沒(méi)有盲目附和，考慮到每場(chǎng)比賽淘汰1個(gè)隊(duì)，要淘汰29支隊(duì)，那么

必有29場(chǎng)比賽。

例6解方程/-2x+3=cosx.

考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)y=(x-l)2+2,y=cosx,它們的圖象無(wú)交點(diǎn)。

所以此方程無(wú)解。

例7設(shè)0、夕是方程——2丘+攵+6=0的兩個(gè)實(shí)根，則(a—+(/7-的最小值是

()

49

(A)--;(B)8;(C)18;(。)不存在

4

思路分析本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：a+/3=2k,a/3=k+6,

(a—I)-+(￡-1)—-(x~—2a+l+￡-—2+1

=(a+/7)~—2aB—2(a+/?)+2

3、249

=4(k——)----.

44

49

有的學(xué)生一看到-竺，常受選擇答案(A)的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體

4

現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來(lái)源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答

案。

v原方程有兩個(gè)實(shí)根a、B，

A=飲2-4(4+6)20,k<-2或左23.

當(dāng)&N3時(shí),(a—1)2+(￡—1尸的最小值是8;當(dāng)女4一2時(shí)，(a—+(夕一』的最小值是18;

這時(shí)就可以作出正確選擇，只有(B)正確。

第三講數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性

二、概述

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過(guò)程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問(wèn)題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，

進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無(wú)誤。數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性

是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一。但是，由于認(rèn)知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過(guò)程常

常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

概念模糊概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必

須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就容易陷入思維混亂,

產(chǎn)生錯(cuò)誤。

判斷錯(cuò)誤判斷是對(duì)思維對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)

學(xué)中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。例如，"函數(shù)y=(g)T

是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷。

推理錯(cuò)誤推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一

個(gè)論證都是由推理來(lái)實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說(shuō)明思維不嚴(yán)密。

例如，解不等式x>L

X

解,/X>—,X2>1,

X

：.X>1,或X<-1.這個(gè)推理是錯(cuò)誤的。在由X推導(dǎo)/>1時(shí)，沒(méi)有討論X的正、負(fù)，

X

理由不充分，所以出錯(cuò)。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)。

(1)有關(guān)概念的訓(xùn)練

概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開(kāi)概念?！罢_理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前

提/《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》(試行草案)

2

例1、不等式log叫2)(31-2x-4)>log(x2+2)(x-3x+2).

錯(cuò)誤解法vx2+2>1,

3x~—2x-4>x2—3x+2,

,3

2x?+x—6>0,x>一<—2.

2

錯(cuò)誤分析當(dāng)x=2時(shí)，真數(shù)，—3x+2=0且x=2在所求的范圍內(nèi)(因2>三)，說(shuō)明解法錯(cuò)誤。

2

原因是沒(méi)有弄清對(duì)數(shù)定義。此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出

思維的不嚴(yán)密性。

正確解法v%2+2>1

x＞比叵或”匕姮

2

3X-2X-4>033

x~—3x+2>0x>2或尤<1

3x~—2x—4>廠一3x+2

x>一<—2

2

x>2或x<-2.

例2、求過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線，使它與拋物線V=2x僅有一個(gè)交點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線為了=乙+1,則它與拋物線的交點(diǎn)為

PAx+1,消去y得：(乙+1)2-2x=0.

b=2x

整理得k2x2+(2k—2)x+l=0.?.?直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，

.?.△=0,解得左=」.所求直線為y=』x+l.

22

錯(cuò)誤分析此處解法共有三處錯(cuò)誤：

第一，設(shè)所求直線為y=H+l時(shí)，沒(méi)有考慮女=0與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直

線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒(méi)有考

慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的

關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二

次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即女工0,而上述解法沒(méi)作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。

正確解法當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直x軸，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(0,1),所以x=0,即)，軸，它

正好與拋物線V=23相切。

當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y=l,平行x軸，它正好與拋物線V=2x只有一個(gè)交點(diǎn)。

設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線為y=依+1伙H0)則

y—kx+1ii

,,.-.1/+(2左_2)》+1=0.令△=(),解得女=」所求直線為y=±x+l.

{y2=2x22

綜上，滿足條件的直線為：

y=1,x=0,y=；x+l.

(2)判斷的訓(xùn)練

造成判斷錯(cuò)誤的原因很多，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。

①注意定理、公式成立的條件

數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)

錯(cuò)誤。

例3、實(shí)數(shù)，使方程/+(〃?+4i)x+1+2加=0至少有一個(gè)實(shí)根。

錯(cuò)誤解法?.?方程至少有一個(gè)實(shí)根，

△=(，〃+4/)2-4(1+2mi)=m2-20>0.

m>2-75,或zn4-2A/5.

錯(cuò)誤分析實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍

內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次

方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯(cuò)誤。

正確解法設(shè)a是方程的實(shí)數(shù)根，則

a2+(m+4i)a+1+2ini=0,

a2+ma+1+(4?+2m)i-0.

由于a、山都是實(shí)數(shù)，

?2

a+ma+1=0

*<

4a+2m=0

解得m=±2.

例4已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x=4,右焦點(diǎn)尸(10,0),離心率e=2,求雙曲線方程。

故所求的雙曲線方程為

二-t=1

4060

錯(cuò)解2由焦點(diǎn)戶(10,0)知c=10,

e——=2,.,.a—5,b~~c2—a2—75.

故所求的雙曲線方程為

2575

錯(cuò)解分析這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒(méi)有告訴中心在原點(diǎn)這

個(gè)條件。由于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。

正解1設(shè)P(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為x=4,右焦點(diǎn)/(10,0),離

心率e=2,由雙曲線的定義知

J(x-]0)-+y-

lx-41

(x-2)2y2

整理得

1648

正解2依題意，設(shè)雙曲線的中心為(加,0)

"2

---Fm=4

a=4

則c+〃2=10解得<c=8

￡=2.m=2.

a

所以b2=c2-a2=64-16=48,

故所求雙曲線方程為4_二=方

1648

②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用

我們知道：

如果A成立，那么8成立，即則稱A是8的充分條件。

如果8成立，那么4成立，即BnA,則稱A是8的必要條件。

如果Ao8,則稱A是8的充分必要條件。

充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點(diǎn)的軌跡等

等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會(huì)出錯(cuò)。

例5解不等式GTNX-3.

錯(cuò)誤解法要使原不等式成立，只需

X-120

<x-3>0,解得3WxW5.

x-l>(x-3)2

A>0f

錯(cuò)誤分析不等式VX26成立的充分必要條件是：5>0或\A~Q

,B<0

x-l>0

而忽視了另一種情況r-1-0,所考慮的

原不等式的解法只考慮了一種情況<x-3>0

x—3<0

x-l>(x-3)2

情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯(cuò)誤解法的實(shí)質(zhì)，是把充分條件

當(dāng)成了充分必要條件。

正確解法要使原不等式成立，則

x-l>0

x-l>0

<x-3>0或V

x-3<0

x—1N(x—3)-

3<x<5,或1<x<3.

原不等式的解集為｛x11<x<5｝

例6（軌跡問(wèn)題）求與），軸相切于右側(cè)，并與

QC:x2+y2-6x^0也相切的圓的圓心

的軌跡方程。

錯(cuò)誤解法如圖3-2-1所示，

已知。C的方程為（x—3>+V=9.

設(shè)點(diǎn)P（x,y）（x>0）為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且。P與y軸相切于M點(diǎn)，

與OC相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得

ICP1=1PM\+3,即J（x—3）2+/=x+3.

化簡(jiǎn)得y2=12x（x>0）.

錯(cuò)誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件），而沒(méi)有考

慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合題目條件的點(diǎn)的坐

標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以x軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)

到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以y=0（%>0且》*3）也是所求的方程。

即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是）/=i2x（x>0）和

y=0（%>0且1：/3）。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問(wèn)題，這樣，

才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。

③防止以偏概全的錯(cuò)誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問(wèn)題的全部答案，

從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

例7設(shè)等比數(shù)列｛4｝的全"項(xiàng)和為S,,.若S3+S6=2Sg,求數(shù)列的公比q.

錯(cuò)誤解法S3+S6=259,

,q（1-/）工/（1—q6）0%（1-/）

\-q1-q1-q

整理得q3（2q6_/_i）=0

由q*0得方程2r—i=o；（2/+1）（/-1）=0,

._V4_

..q=—Jlkiq=T

錯(cuò)誤分析在錯(cuò)解中，由■（>/）+■（1一/‘）=2

i-q1-ql-q

整理得/（2q6_q3_D=0.時(shí)，應(yīng)有為和qwl.在等比數(shù)列中，q*0是顯然的，但公比q

完全可能為1,因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比q=l的情況，再在qwl的情況下，對(duì)式子進(jìn)行整

理變形。

正確解法若q=l,則有S3=3Q”S6=6。］4=9%.

但。產(chǎn)0,即得S3+S6=25”與題設(shè)矛盾，故qxl.

又依題意S3+Sb=2S9,

可得%（1-/）+_2

\—q\-q\-q

整理得八2/—g3—D=0.即（2q3+i）（q3_］）=o,

因?yàn)閝wl,所以/—1/0,所以2/+1=0.

所以q=~—.

2

說(shuō)明此題為1996年全國(guó)高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，

根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。

④避免直觀代替論證

我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來(lái)方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來(lái)

進(jìn)行推理，這就會(huì)使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。

例8（如圖3-2-2）,具有公共y軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面a和2所成的二面角二-y軸一￡

等于60。.已知/?內(nèi)的曲線C'的方程是V=2px'（p>0）,求曲線C'在夕內(nèi)的射影的曲線方程。

錯(cuò)誤解法依題意，可知曲線C'是拋物線，一

在￡內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是尸（5,0）,p>0.

因?yàn)槎娼莂-y軸一￡等于60。，

且x'軸±y軸，x軸±y軸,所以Z.xox'=60°........\

設(shè)焦點(diǎn)F在a內(nèi)的射影是尸（x,y）,那么，b位于x軸上，-

從而y=0,NF'OE=60。,NF'FO=90°,

所以O(shè)F=。尸.COS60。=K.L=￡.所以點(diǎn)F（￡,0）是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影是一條拋物

2244

線，開(kāi)口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。

所以曲線。'在a內(nèi)的射影的曲線方程是y2=px.

錯(cuò)誤分析上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為凡是射影（曲線）的焦點(diǎn)，

其次，未經(jīng)證明默認(rèn)C'在a內(nèi)的射影（曲線）是一條拋物線。

正確解法在夕內(nèi)，設(shè)點(diǎn)加（，,4）是曲線上任意一點(diǎn)

（如圖3-2-3）過(guò)點(diǎn)M作MN_La,垂足為N,

過(guò)N作軸，垂足為".連接MH,/\

則M”J.y軸。所以NMHN是二面角

a—y軸一￡的平面角，依題意，ZMHN=60°.--------\

在RtAMNH中,HN=HM-cos60°=-x'.…

2

又知“例〃x'軸（或M與0重合），

HN〃x軸（或〃與。重合），設(shè)N（x,y）,

x=—xx-2.x

則<2：.\,

,y=y-

[y=yi

因?yàn)辄c(diǎn)M（x',）/）在曲線y2=2px'（p>0）上，所以y2-2P（2x）.

即所求射影的方程為y2-4px（p>0）.

（3）推理的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知

的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo),

得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、

必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。

例9設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸x在軸上，離心率e=電，已知點(diǎn)尸（0二）到這個(gè)橢圓

22

上的最遠(yuǎn)距離是近，求這個(gè)橢圓的方程。

22

錯(cuò)誤解法依題意可設(shè)橢圓方程為J+4=l（a>b>0）

ab"

h21

所以'=_L,即a=2b.

a24

設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)尸的距離為d,

則d2=x2+(y--|)2

=/(1一與)+/_3y+g

b24

=_3(y+32+4/+3.

所以當(dāng)y=-；時(shí)，42有最大值，從而“也有最大值。

所以4/+3=(V7)2,由此解得：b2=l,a2=4.

2

于是所求橢圓的方程為r二+y2=1.

4

錯(cuò)解分析盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的。結(jié)果正確只是碰

巧而已。由當(dāng)y=-g時(shí)，42有最大值，這步推理是錯(cuò)誤的，沒(méi)有考慮y到的取值范圍。事實(shí)上，

由于點(diǎn)(x,y)在橢圓上，所以有-匕4y4匕，因此在求小的最大值時(shí)，應(yīng)分類討論。即：

若b<g,則當(dāng)y=—6時(shí)，/(從而“)有最大值。

于是(J7)2=3+。)2,從而解得入=6_3>1,與6<工矛盾。

2222

所以必有匕此時(shí)當(dāng)y=-工時(shí)，d2(從而d)有最大值，

2-2

所以所2+3=(0)2,解得所=l,q2=4.

于是所求橢圓的方程為L(zhǎng)+V=1.

4

7Q

例10求的最小值

sin-xcosx

成初12?8、cS-8

錯(cuò)解1y=———+———>2?---------=-------------

sinxcosxVsinxcosxIsin%cosxI

錯(cuò)解2y=(——；—+sin~x)+(----；—+cos**x)-l>272+2a-1=-1+65/2.

sin-xcos*-x

7Q

錯(cuò)誤分析在解法1中，y=16的充要條件是=—V且Isin2xl=l.

sinxcosx

即Ifgxl=g且IsinX1=1.這是自相矛盾的。，VminW16.

在解法2中，y=-1+60的充要條件是

一%—=sin2%且一之一=cos2x,EfJsin2x=V2,cos2x=272,這是不可能的。

sinxcosx

正確解法1y=2esc2x+8sec2x