考研數(shù)學(xué)一(行列式)模擬試卷4(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（行列式）模擬試卷4(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．行列式D==0，則a，b應(yīng)滿足()A．a(chǎn)=b或a=-b。B．a(chǎn)=2b且b≠0。C．b=2a且a≠0。D．a(chǎn)=1，b=正確答案：A解析：D==a×a×1+b×0×1+0×b×0-0×a×1-b×b×1-a×0×0=a2-b2=0，于是a=b或a=-b，應(yīng)選(A)。知識(shí)模塊：行列式2．設(shè)2n階行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，則D=()A．0。B．a(chǎn)2C．-a2。D．na2。正確答案：A解析：假設(shè)這一列是第j列，按這一列展開，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到這一列元素的代數(shù)余子式中有n個(gè)為a，n個(gè)為-a，從而行列式的值為零，所以應(yīng)選(A)。知識(shí)模塊：行列式3．若=()A．30m。B．-15m。C．6m。D．-6m。正確答案：D解析：知識(shí)模塊：行列式4．設(shè)4階行列式的第2列元素依次為2，m，k，3，第2列元素的余子式依次為1，-1，1，-1，第4列元素的代數(shù)余子式依次為3，1，4，2，且行列式的值為1，則m，k的取值為()A．m=-4，k=-2。B．m=4，k=-2。C．m=，k=D．m=，k=正確答案：A解析：由行列式展開定理及推論，得即解得m=-4，k=-2。知識(shí)模塊：行列式5．設(shè)多項(xiàng)式f(x)=，則x4的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為()A．6，16。B．-6，6。C．6，6。D．-6，-6。正確答案：D解析：由行列式的定義知，主對(duì)角線元素的乘積就是關(guān)于x4的項(xiàng)，x.2x(-x).3x=-6x4，即x4的系數(shù)為-6。當(dāng)x=0時(shí)行列式的值就是常數(shù)項(xiàng)，經(jīng)計(jì)算f(0)=-6，即常數(shù)項(xiàng)為-6，故選(D)。知識(shí)模塊：行列式6．設(shè)D1==m，D2==()A．m。B．-8m。C．2m。D．-2m。正確答案：D解析：D2==-2=-2D1=-2m。或?qū)⑿辛惺紻1的第一列加到第二列上之后再互換二、三列，再將第一列乘以2就可得到行列式D2。根據(jù)行列式的性質(zhì)知D2=-2D1=-2m。知識(shí)模塊：行列式7．下列m階行列式中，其值必為-1的是()A．B．C．D．正確答案：D解析：(A)中行列式的值等于的奇偶性不定，行列式可能為1，也可能為-1。(B)中行列式按第一列展開得1+(-1)m+1，一定不等于-1。(C)中行列式按第一行展開得(-1)m+1，行列式等于1或-1。(D)中的行列式按第一列展開之后，對(duì)n-1階行列式再按第一列展開得1.(-1)mm+1.1.(-1)m-1+1=-1。故(D)為正確答案。知識(shí)模塊：行列式8．的值等于()A．a(chǎn)1a2a3a4-b1b2b3b4。B．a(chǎn)1a2a3a4+b1b2b3b4。C．(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)。D．(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。正確答案：D解析：根據(jù)行列式的拉普拉斯展開法則，將此行列式第2，3行(列)展開，得D=(-1)2+3+2+3=(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。所以應(yīng)選(D)。知識(shí)模塊：行列式填空題9．(Ⅰ)在一個(gè)n階行列式D中等于“0”的元素個(gè)數(shù)大于n2-n，則D=_______。(Ⅱ)D==_______。正確答案：0，-2000!解析：(Ⅰ)n階行列式D共有n2個(gè)元素，由于“0”元素的個(gè)數(shù)大于n2-n，所以非“0”元素的個(gè)數(shù)小于n(因?yàn)閚2-(n2-n)=n)。由n階行列式的概念可知，D的每一項(xiàng)均為0(因?yàn)槊恳豁?xiàng)中至少有一個(gè)“0”元素)，故D=0。(Ⅱ)D=(-1)r(n-1，n-2，…，n)a1，n-1a2，n-2…an-1,1ann=a1，n-1a2，n-2…ann×2×3×…×1999×2000=-2000!。知識(shí)模塊：行列式10．D==______。正確答案：-294×105解析：=-600×500×98=-294×105。知識(shí)模塊：行列式11．已知D==0，則λ=______。正確答案：λ1=1-a，λ2=a+4，λ3=a-3解析：將第3行的-1倍加至第1行，有=(λ+a-1)[(λ-a)2-(λ-a)-12]=(λ+a-1)(λ-a-4)(λ-a+3)，所以λ1=1-a，λ2=a+4，λ3=a-3。知識(shí)模塊：行列式12．=_______。正確答案：24解析：根據(jù)行列式的性質(zhì)作恒等變形，可得知識(shí)模塊：行列式13．=________。正確答案：b3(b+ai)解析：每行元素的和均是a1+a2+a3+a4+6，故把每列均加到第一列，并提出公因式，得知識(shí)模塊：行列式14．設(shè)D=，則行列式第1列各元素的代數(shù)余子式之和A11+A21+A31+A41=______。正確答案：0解析：將行列式按第1列展開得A11+A21+A31+A41==0。知識(shí)模塊：行列式15．行列式Dn==_______。正確答案：解析：將第k行的公因子k提到行列式外，其中k=2,3，…，n，再轉(zhuǎn)置，利用范德蒙德行列式的計(jì)算公式得知識(shí)模塊：行列式16．函數(shù)f(x)=中x3的系數(shù)為______，x2的系數(shù)為_________。正確答案：-2，-1解析：將行列式按對(duì)角線法則展開為多項(xiàng)式，得f(x)==-2x3+4x+3-(-2x)-x2-12x=-2x3-x2-6x+3，于是函數(shù)f(x)中x3的系數(shù)為-2，x2的系數(shù)為-1。知識(shí)模塊：行列式17．設(shè)f(x)=，則f(x+1)-f(x)=_________。正確答案：6x2解析：知識(shí)模塊：行列式18．已知=0，則λ=________。正確答案：12，15，18解析：=(λ-12)(λ-15)(λ-18)=0，所以λ的值為12或15或18。知識(shí)模塊：行列式解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。19．計(jì)算下列二階行列式：正確答案：(Ⅰ)=sinθ.(-sinθ)-cosθ.cosθ=-(sin2θ+cos2θ)=-1。(Ⅱ)=ab2-a2b。涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式20．計(jì)算Dn=正確答案：利用行列式的性質(zhì)得=xDn-1+anxn-1=x(xDn-2+an-1xn-2)+anxn-1=x2Dn-2+an-1xn-1+anxn-1=xn-1D1+a2xn-1+…+an-1xn-1+anxn-1=xn+a1xn-1+a2xn-1+…+an-1xn-1+anxn-1=xn+xn-1ai。涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式21．計(jì)算正確答案：將2至n行的所有元素均加至第一行對(duì)應(yīng)元素上，得再將第一行的-i倍加至第i行(i=2，3，…，n)得涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式22．設(shè)n階行列式Dn=，求Dn完全展開后的n!項(xiàng)中正項(xiàng)的總數(shù)。正確答案：=(-1)n+1.2.(-1)1+(n+1).(-2)Dn-2=4Dn-2=22Dn-2=24Dn-4=…=2n-1，又因?yàn)镈n展開后各項(xiàng)的值為1或-1，而n!項(xiàng)的和為2n-1，故正項(xiàng)個(gè)數(shù)比負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)多2n-1個(gè)，于是正項(xiàng)總數(shù)為(n!+2n-1)個(gè)。涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式23．計(jì)算：D2n=，其中未寫出的元素都是0。正確答案：該行列式只有兩條對(duì)角線上有元素，其余均為0，可以按照其中一行展開，找出遞推關(guān)系式。將D2n=按照第一行展開，得將兩個(gè)行列式分別按照最后一行展開，得=andnD(aidi-bici)D2，而D2==a1d1-b1c1。因此原行列式D2n=(aidi-bici)。涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式24．D=，證明行列式D=(n+1)an。正確答案：用數(shù)學(xué)歸納法，記n階行列式的值為Dn。當(dāng)n=1時(shí)，D1=2a，命題正確；當(dāng)n=2時(shí)，D2==3a2，命題正確；設(shè)n＜k時(shí)，Dn=(n+1)an，命題正確。當(dāng)n-k時(shí)，按第一列展開，則有Dk==2aDk-1-a2Dk-2=2a(kak-1)-a(k-1)ak-2=(k+1)ak，所以D=(n+1)an。命題得證。涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式25．設(shè)a＞b＞c＞0，證明正確答案：將行列式D的第1列乘a+b+c之后再加到第3列得=(ab+ac+bc)(b-a)(c-a)(c-b)，因?yàn)閍＞b＞c＞0，故D=(ab+ac+bc)(b-a)(c-a)(c-b)＜0。涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式26．計(jì)算n階行列式Dn=正確答案：當(dāng)n＞3時(shí)，第2行減第1行，然后第4行減第2行，變?yōu)榉謮K行列式。即Dn=Dn-3=-Dn-3，且易求出D1=1，D2=0，D3=-1，于是其中k=0，1，2，…。涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式27．計(jì)算n階行列式Dn=正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式28．計(jì)算下列二階行列式(Ⅰ)(Ⅱ)正確答案：(Ⅰ)=(λ-a)(λ-d)-(-b)(-c)=λ2-(a+d)λ+ad-bc。(Ⅱ)=(x-1)(x2+x+1)-(-x).1=x3-1+x。涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式29．計(jì)算行列式Dn=的值。正確答案：將原行列式Dn按第n行展開，有Dn=+an(-1)n+1=xDn-1+an(-1)n+1.(-1)n-1=xDn-1+an，遞推得到Dn-1=xDn-2+an-1(-1)n.(-1)n-2=xDn-2+an-1，Dn-2=xDn-3+an-2，…D2=a1x+a2。對(duì)以上n-1個(gè)等式分別用1，x，x2，…，xn-2相乘，然后相加，得到Dn=a1xn-1+a2xn-2+a3xn-3+…+an-1x+an。涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式30．證明：=(a-b)(b-c)(c-a)。正確答案：按對(duì)角線法則展開行列式，得=ab2+bc2+ca2-b2c-a2b-ac2=(ab2-a2b)+(bc2-ac2)+(ca2-b2c)=ab(b-a)+(b-a)c2+c(a-b)(a+b)=(a-b)(-ab-c2+ac+bc)=(a-b)[(ac-ab)+(bc-c2)]=(a-b)(a-c)(c-b)=(a-b)(b-c)(c-a)。涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式31．計(jì)算Dn=正確答案：由于該行列式每一行及每一列都只有兩個(gè)非零元，根據(jù)展開定理將該行列式按照第一行展開得Dn=a1+bn×(-1)1+n=a1a2…an+(-1)n+1b1b2…bn。涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式32．證明Dn==an+an-1b+…+bn。正確答案：將行列式按照第一行展開得Dn=(a+b)Dn-0-ab再將后一個(gè)行列式按照第一列展開，即得Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2。且易得D1=a+b，D2=a2+b2+b2。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：假設(shè)當(dāng)n=k及n=k-1時(shí)，等式成立，即Dk=ak+ak-1b+…+bk，Dk-1=ak-1+ak-2b+…+bk-1，則Dk+1=(a+b)Dk-abDk-1=(a+b)(ak+ak-1b+…+bk)-ab(ak-1+ak-2b+…+bk-1)=ak+1+akb+…+bk+1。故Dn=an+an-1b+…+bn對(duì)所有的正整數(shù)成立。涉及知識(shí)點(diǎn)：行列式33．設(shè)x＞y＞z＞0，證明：正確答案：將不等式中的行列式第1列乘以(x+y+z)，第2列乘以(-1)，并且均加到第3列，得=(x-y)(y-z)(z-x)。由于x＞y＞z＞0，有x-y＞0，y-z＞0，z-x＜0。故不等式成立。涉及知識(shí)