概率論與數(shù)理統(tǒng)計+第三章+多維隨機變量及其分布+練習(xí)題答案

PAGE1—3.PAGE1—濱州學(xué)院《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（公共課）練習(xí)題第三章多維隨機變量及其分布一、填空題例3.1(加法公式)設(shè)，則=．分析引進(jìn)事件：，則,；例3.9（邊緣分布函數(shù)）設(shè)隨機變量和的聯(lián)合分布函數(shù)為則隨機變量的分布函數(shù)為．分析是的邊緣分布函數(shù)：．因此例3.10（邊緣密度）隨機向量(,)的概率密度的兩個邊緣密度為．分析由邊緣密度的公式，有即是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度．由對稱性知也是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度．例3.11（聯(lián)合概率分布）設(shè)隨機變量U在區(qū)間[－2,2]上服從均勻分布，而隨機變量則和的聯(lián)合概率分布為．分析(1)隨機向量有四個可能值：．易見例3.15(函數(shù)的分布)設(shè)X1和X2獨立，,,,則的概率分布為．分析顯然有0和1兩個可能值．于是，的概率分布是0-1分布：．例3.15（聯(lián)合分布函數(shù)）設(shè)隨機變量和的聯(lián)合概率分布為，則其聯(lián)合分布函數(shù)．答案和的聯(lián)合分布函數(shù)為3.21（1）；（2）；（3）；（4）；（5）例3.7【0】例3.8設(shè)X,Y相互獨立，下表為（X,Y）的分布律及邊緣分布律的部分?jǐn)?shù)值，又知，試將其余值填入表中：YX012011例3.9【】例3.13設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，其分布函數(shù)分別為，則的分布函數(shù)＝.【】〖選擇題〗3.19設(shè)和獨立，都服從同一0-1分布：，則=(A)0．(B)．(C)．(D)1．[B]分析由全概率公式及和相互獨立，知例3.21設(shè)隨機變量和有相同的概率分布：，并且滿足，則等于(A)0．(B)0.25．(C)0.50．(D)1．[A]分析應(yīng)選(A)．利用列聯(lián)表3.1，首先將的分布和的分布用黑體填入表3.4；由條件，可見．故等于，,,的概率為0，將0用黑體填入表3.4，則容易求出和的聯(lián)合分布．X表3.2例3.14中和的聯(lián)合分布計算表XYYΣ00.2501/401/400.2500.250.500.25Σ0.250.500.251由和的聯(lián)合分布可見．3.22設(shè)獨立和之和+與和服從同名概率分布，如果和都服從(A)均勻分布．(B)二項分布．(C)指數(shù)分布．(D)泊松分布．[D]分析熟知，在所列的4個分布中，只有二獨立泊松分布的變量之和仍然服從泊松分布．例3.28設(shè)隨機變量和都服從正態(tài)分布，則(A)+一定服從正態(tài)分布．(B)和不相關(guān)與獨立等價．(C)(,)一定服從正態(tài)分布．(D)(,)未必服從正態(tài)分布．[D]分析(A)不成立，例如，若，則+≡０不服從正態(tài)分布．(C)不成立，(,)不一定服從正態(tài)分布，因為邊緣分布一般不能決定聯(lián)合分布．(B)也不成立．(D)雖然隨機變量和都服從正態(tài)分布，但是因為邊緣分布一般不能決定聯(lián)合分布，故(,)未必服從正態(tài)分布．3.20（1）D；（2）A；（3）D；（4）B；（5）B〖解答題〗例3.33（條件分布）假設(shè)某地區(qū)一年內(nèi)發(fā)生大暴雨的次數(shù)和一般暴雨的次數(shù)相互獨立，且分別服從參數(shù)為和的泊松分布．在一年共發(fā)生了次暴雨的條件下，試求大暴雨次數(shù)的條件概率分布．解由條件知，一年共發(fā)生暴雨次數(shù)可以是任意自然數(shù)，有對于任意自然數(shù)，有于是，在“一年內(nèi)共發(fā)生了次暴雨”的條件下，大暴雨次數(shù)的條件概率分布是參數(shù)為的二項分布，其中．例3.34（聯(lián)合分布）設(shè)隨機變量相互獨立有相同的概率分布：．求隨機變量U和V的聯(lián)合分布，其中解有4個可能值．記,則例3.37(聯(lián)合分布)假設(shè)隨機變量服從參數(shù)的指數(shù)分布，隨機變量求的概率分布．解隨機變量Y的分布函數(shù)為隨機向量有四個可能值：，，，．易見例3.39(獨立與不相關(guān))假設(shè)是以原點為心半徑為的圓形區(qū)域，而隨機變量和的聯(lián)合分布是在圓上的均勻分布．(1)由(3.19)知，和的聯(lián)合密度為由(3.10)知，的密度和的密度相應(yīng)為由于，可見隨機變量和不獨立．(2)證明和不相關(guān)，即和的相關(guān)系數(shù)=0．有；同理可得．因此，有于是，和的相關(guān)系數(shù)=0．這樣，和雖然不相關(guān)，但是不獨立．例3.40(獨立與不相關(guān)的等價條件)假設(shè)隨機向量的聯(lián)合密度為,其中和都是二維正態(tài)分布密度：(1)求隨機變量和概率密度和；(2)求隨機變量和的相關(guān)系數(shù)；(3)問隨機變量和是否獨立?為什么?解由和的表達(dá)式，可見其數(shù)學(xué)期望都是0，方差都是1，相關(guān)系數(shù)分別為1/3和－1/3．(1)熟知,二維正態(tài)分布密度的兩個邊緣密度都是正分布態(tài)密度,因此和的邊緣密度都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度．由此可見于是和概率密度和都是正態(tài)密度．(2)顯然，EX=EY=0,DX=DY=1.因此，由相關(guān)系數(shù)的定義，知(3)隨機變量和不獨立，因為顯然．例3.41(密度的乘法公式)設(shè)隨機變量X在區(qū)間(1,3)上服從均勻分布，而在區(qū)間(,2)上服從均勻分布．試求：(1)隨機變量和聯(lián)合密度；(2)隨機變量的概率密度；(3)．解隨機變量的概率密度為；對于1<<2，隨機變量在的條件下的條件概率密度(1)由密度的乘法公式(3.9)，得和聯(lián)合密度：(2)隨機變量的概率密度是聯(lián)合密度的邊緣密度．當(dāng)1和2時，顯然=0；對于，由(3.10)，有．于是，隨機變量的概率密度為x22－2－2Ox22－2－2Oy例3.42插圖上均勻地擲一隨機點，求，和的概率密度和．分析易見，區(qū)域是以(2,0)，(0,2)，(－2,0)，(0,－2)為頂點的正方形，其面積為8由于隨機點．在正方形上分布均勻，可見正方形的4個邊的方程依次為：，；隨機變量和的概率密度是的邊緣密度：隨機變量的概率密度，是利用對稱性直接寫出的．例3.43(函數(shù)的分布)已知隨機變量獨立同分布：，．試求行列式的概率分布．解記，，則．易見，和獨立同分布：隨機變量有－1，0和1等3個可能值；例3.48(和的密度)某商品一周的需求量是隨機變量，已知其概率密度為假設(shè)各周的需求量相互獨立，以表示周的總需求量，試求：(1)和的概率密度；(2)接連三周中的周最大需求量的概率密度．解以表示第周的需求量，則的概率密度均為，而，．三周中周最大需求量為．(1)當(dāng)時顯然；對于由(3.22)式于是，兩周和三周的總需求量和的概率密度(2)設(shè)是隨機變量X的分布函數(shù)．由例3.45可見，連續(xù)三周中的周最大需求量的分布函數(shù)為．于是，有例3.49插圖xy=sxy>sxy<sy1O2x例3.49(積的密度)假設(shè)是一矩形；連續(xù)型隨機向量在矩形上的密度為常數(shù)，而矩形之外為0．求邊長為X和例3.49插圖xy=sxy>sxy<sy1O2x解法1隨機向量的密度概率為設(shè)是面積的分布函數(shù)，則當(dāng)時=0；當(dāng)時=1．對于，曲線將矩形分為兩部分（見插圖）：曲線的上方,曲線的下方；曲線與矩形上邊的交點為．對于，有最后，得的概率密度解法2直接利用二隨機變量之積的密度公式(3.23)．設(shè)是面積的概率密度．顯然，當(dāng)和時=0．對于，由公式(3.24)，有．〖證明題〗例3.51(獨立性與相關(guān)性)設(shè)X和Y相互獨立都服從0-1分布：，試證明不相關(guān)，但是不獨立．證明(1)由協(xié)方差的定義和性質(zhì)，以及X和Y相互獨立，可見于是，不相關(guān)．(2)現(xiàn)在證明不獨立．事實上，由可見和不獨立．例3.54(獨立性)對于任意二事件，考慮二隨機變量試證明隨機變量獨立的充分與必要條件，是事件相互獨立．證法１記，而是的相關(guān)系數(shù)．有由于=０與=0等價，而由，可見，=0的充分與必要條件，是，即事件相互獨立．證法２易見，隨機變量都服從0-1分布并且(1)必要性．設(shè)隨機變量獨立，則從而，事件相互獨立．(2)充分性．設(shè)事件獨立，則也都獨立，因此從而，隨機變量獨立．例3.1設(shè)，試判定能否作為二維隨機變量的分布函數(shù)?！静荒堋坷?.2設(shè)二維隨機變量（X,Y）的分布函數(shù)為試求系數(shù)A、B及C及概率，并問X與Y是否相互獨立，為什么？【；；X與Y相互獨立】例3.3設(shè)的聯(lián)合密度為試求：（1）常數(shù)C;（2）；（3）.【4；0，1/2】例3.4把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)的次數(shù)與反面出現(xiàn)的次數(shù)之差的絕對值。試求X與Y的聯(lián)合分布律以及X與Y的相關(guān)系數(shù)，并問X與Y是否獨立？例3.5某箱裝有100件產(chǎn)品,其中一、二和三等品分別為80、10和10件，現(xiàn)在隨機抽取一件，令=,i=1,2,3.(1)求和的聯(lián)合分布;(2)求和的相關(guān)系數(shù).例3.6一射手對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，每次擊中目標(biāo)的概率為，射擊進(jìn)行到第二次擊中目標(biāo)為止，設(shè)X表示第一次擊中目標(biāo)時所進(jìn)行的射擊次數(shù)，Y表示第二次擊中目標(biāo)時所需要的射擊次數(shù)，試求的聯(lián)合分布律以及兩個條件分布律?！?；；】例3.7設(shè)隨機變量均服從如下分布：且滿足，則=.【0】例3.8設(shè)X,Y相互獨立，下表為（X,Y）的分布律及邊緣分布律的部分?jǐn)?shù)值，又知，試將其余值填入表中：YX012011例3.9設(shè)X和Y均服從正態(tài)分布，且，則.【】例3.10設(shè)事件A,B滿足，令，試求的聯(lián)合分布律，并問X和Y是否獨立？例3.11設(shè)隨機變量U在區(qū)間[-2,2]上服從均勻分布,隨機變量,試求：(1)X和Y的聯(lián)合概率分布;(2)X+Y的概率分布.（1）YX-11-10.25010.50.25（2）X+Y-202P0.250.50.25例3.12設(shè)均為密度函數(shù)為的獨立隨機變量，求（1）；（2）求的數(shù)學(xué)期望與方差。【】例3.13設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，其分布函數(shù)分別為，則的分布函數(shù)＝.【】例3.14隨機變量獨立同分布,且分布密度為,設(shè),求【】例3.15設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，試求【】例3.16設(shè)隨機變量X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為證明：X與Y不獨立，但獨立。例3.17設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X的密度函數(shù)為，Y的分布律為，試求的密度函數(shù).【】例3.18設(shè)X與Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，（）（1）證明隨機變量Y具有如下性質(zhì)：對任意的，有（2）求X的數(shù)學(xué)期望?！尽坷?.19設(shè),證明典型例題與練習(xí)例3.20選擇題：(1)設(shè)是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度函數(shù)分別為，分布函數(shù)分別為，則（A）必為某一隨機變量的概率密度；（B）必為某一隨機變量的概率密度；（C）必為某一隨機變量的概率分布函數(shù)；（D）必為某一隨機變量的概率分布函數(shù).(2)設(shè)隨機變量X與Y相互獨立且同分布：，則下列各式中成立的是（A）（B）（C）（D）(3)設(shè)隨機變量X與Y相互獨立且同分布，記，則隨機變量U與V（A）獨立（B）不獨立（C）相關(guān)系數(shù)不為0（D）相關(guān)系數(shù)為0(4)設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且，，則（A）（B）（C）（D）(5)設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，且X～，Y～，則下列式子中正確的是（A）（B）（C）（D）例3.21填空題：(1)設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，，且，則=.(2)設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線所圍成，二維隨機變量在區(qū)域D上服從均勻分布，則關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為。(3)設(shè)二維隨機變量的概率密度為，則=.(4)設(shè)是i.i.d.的,且,其中0<p<1,0<q<1,r0,p+q+r=1.則試求下列函數(shù)的分布:=