高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)集中訓(xùn)練5篇

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)專題訓(xùn)練20題含答案

41.在^ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,C,且sinB=2sinC,a2=c2+be.

(1)求角A的大??；

(2)若a=2,求△ABC的周長1.

【答案】(1)解：因?yàn)閟inB=2sinC,a2=c2+bc,

由正弦定理，得b=2c,a2=c2+be=3c2,

由余弦定理，得F=Z)2+c2—2bccosA^

所以3c2=4c2+c2-4c2-cosA,所以3c2=5c2—4c2?cosA

***cosA=又AE(0/兀)，

：.A=1

(2)解：由(1)可得a=Wc,b=2c,故c=含=當(dāng)三8=1^,

,>,2點(diǎn)］4點(diǎn)OIO/Q

??2=92+—^―+—^―=2+2V3?

42.已知角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,始邊為工軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓相交于點(diǎn)

P(x,y),若點(diǎn)P位于X軸上方且％+y=今

(1)求sin。—cos。的值；

(2)求sinV+cos，。的值.

【答案】(1)解：由三角函數(shù)的定義，cos0+sin0=sin0>0,

1

兩邊平方，得cos?。+sin20+2sin0cos0=7

q

則2sin8cos6=—彳<0，sin。>0,cosO<0,

4

所以sin。-cosO>0,

sin0—cos0=V1-2sin0cos0=冬

(2)解：由(1)知，sin0cos0=—

o

QOQ

sin40+cos40=(sin20+cos20)2—2sin20cos20=1-2x瓦二克.

43.設(shè)函數(shù)/(%)=2cos2%+2百sinxcosx+其中m,xER.

(1)求/(%)的最小正周期；

⑵當(dāng)xe[0,芻時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值，使函數(shù)/(久)的值域恰為g,芻，并求此時(shí)/(%)

在R上的對稱中心.

【答案】⑴解：由題設(shè)/(%)=cos2x+V3sin2x+m+1=2sin(2x+看)+m+1,

所以，最小正周期7=竽=兀.

(2)解:當(dāng)=€[0,3,則2%+羥信，昌,故2sin(2x+$€[―1,2],

所以/(x)C[?n,m+3],故m=々時(shí)滿足/(%)的值域恰為,1]，

此時(shí)/(x)=2sin(2x+看)+1，令2%+看=而，k&Z,則％=竽一各keZ,

所以f(x)在R上的對稱中心為(竽-各|),k&Z.

44.某公園計(jì)劃改造一塊四邊形區(qū)域ABC。鋪設(shè)草坪，其中AB=2百米，BC=1百米,

AD=CD,AD1CD,草坪內(nèi)需要規(guī)劃4條人行道DM,DN,EM,EN以及兩條排水溝

AC,BD,其中M,N,E分別為邊BC,AB,AC的中點(diǎn).

(1)若乙4BC=90。，求排水溝8。的長；

(2)當(dāng)乙4BC變化時(shí)，求4條人行道總長度的最大值.

【答案】(1)解：因?yàn)橐?BC=當(dāng)AB=2,BC=1,

所以AC=有，所以。。=孚，

因?yàn)閆ABC=^ADC=當(dāng)

所以：乙BAD+乙BCD=兀，

可得：cosZ-BAD=-cosZ.BCD,

在^BCD中：BD2=BC2+CD2-2BC-CD?3s乙BCD,

ttABAD中：BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cos48Ao=AB2+AD2+2AB?AD?

cos乙BCD,

解得：BD=蜉,即排水溝8。的長為孥百米；

乙乙

(2)解：設(shè)乙ABC=a,乙BAC=B，z.ACB=y,

由余弦定理得：AC2=5-4cosa.

在△ABC中，由正弦定理：熱=益，得sin0=豢，

TTTT

連接DE,在△MOE中，NMED=6+/,cosNMED=COS(。+舒=—sin/?,

9

由余弦定理：222+與+-

DM=ME+DE-2ME-DE-cos^MED=14C4

sina—cosa,

同理：DN2=>+sina—cosa,

設(shè)力=sina-cosa=V^sin（a—力，ae（0,兀），則tW（1,V2],

所以￡）村+0例+后村+后用=修+t+t+t+t'

\4\22

該函數(shù)單調(diào)遞增，所以t=&時(shí)，DN+OM+EN+EM最大值為楙(2+/),

所以4條走道總長度的最大值為|(2+遮)百米.

45.某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75。的方向上，距離為12遍海里，在A處

看燈塔C在貨輪的北偏西30。的方向上，距離為8次海里，貨輪由A處向正北航行到D

處時(shí)，再看燈塔B在南偏東60。方向上，求：

(1)AD的距離;

(2)CD的距離.

【答案】(1)解：在AABD中，由已知得NADB=60。，B=45°

ABSinB12乃x亭

由正弦定理得AD=SinZADE=24

T

(2)解：在小ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD?ACcos30°,解得CD=86.所

以A處與D處之間的距離為24海里，燈塔C與D處之間的距離為86海里.

46.在A71BC中，角4B,C所對的邊分別a,b,c,月.bcosA+acosB=2ccos4

(1)求角A的值;

(2)已知。在邊BC上，且BD=3DC,AD=3.求△ABC的面積的最大值

【答案】(1)解：在△ABC中因?yàn)閎cos力+acosB=2ccosA.

由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA,

所以sin(4+B)=2sinCcosA,

因?yàn)?+B+C=n,所以sin(4+B)=sinC.故sinC=2sinCcosA

又C是△ABC的內(nèi)角，所以sinC^O.從而cosA=：.

而A為A/BC的內(nèi)角，所以A=*

(2)解：因?yàn)榍?3覺所以前一荏=3(前一而》所以而=/荏+*前，

從而9=^AB2+得灰2+.左=9=熹2+第2+得灰，

由基本不等式可得：9>lbc+^bc=^bc,當(dāng)且僅當(dāng)卜=竽，c=475時(shí)等號成立，

故44BC的面積的最大值為*x16x浮=4V3-

47.在a/BC中，角4B,C所對邊分別記為a,b,c.條件①：得各=言明為；條

1—C0Si4l+cos28

件②：sinCsin(8-4)=sinfisin(C-4).從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作

為已知.

(1)證明：B=C；

(2)求~~c-+急的最小值?

?>sinA_sin28

【答案】(1)證明：若選①,

*1-cos/l-l+cos2F,

.sinA_sinBcosB

'1-cosA-COS2F

?sinZ_sinB

?,1—cosA-cosBf

.\sinAcosB=sinB—cosAsinB,

...sin(4+8)=sinB,

AsinC=sinS,

又B、C為△ABC的內(nèi)角，

：.B=C.

若選②，VsinCsin(F—A)=sinFsin(C—4),

/.sinC(sinBcos?l—cosBsinA)=sinB^sinCcosA—cosCsinA),

.\sinCsinBcosA—sinCcosBsinA=sinBsinCcosA—sinBcosCsinA,

/.—sinCcosBsinA=-sinBcosCsinA,

顯然sinA>0,AsinCcosB=sinBcosC,

AsinCcosB—sinBcosC=0,

Asin(C-F)=0,

又8、C為△ABC的內(nèi)角，

：.C-B=0,

：.B=C.

(2)解：由(1)可知B=C,所以Be(o,芻，所以cosBe(0,1),

由正弦定理可得也也+/=2sin”nB1

ccosBsinecosB

_2sin(3+C)+sinB1_2sin(23)+sinB1

sinCcosB-sinBcosB

_4sinFcosB+sinB1

-sinBcosB

=4cosBH——，+1>24cosB——，+1=5，

cosB\coso

當(dāng)且僅當(dāng)4cosB=^^時(shí)，即cosB=*時(shí)，等號成立，

所以與他+急的最小值為工

48.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos24—cos2B=SsinBsinCcosA.

(1)證明：tanA=-3tanB；

2

(2)若△ABC的面積為土,求B.

6

【答案】(1)證明：由COS2A-COS2B=8sinBsinCcosA,△ABC的內(nèi)角A,B,C,

則cos[(A+B)+(4—B)]—cos[(X+8)—(A—B)]=SsinBsinCcosA,

=>—2sin(i4+B)sin(A—B)=SsinBsinCcosA,sin(4+B)=sinC>0,

=—sin(4—B)=4sinBcoSi4,

=-sinAcosB+cos/lsinB=4sinBcos?l,

=>—sinAcosB=3sinBcosA,

=>tanA=-3tanB.

（2）解：由題意SMBC==（，結(jié)合正弦邊角關(guān)系有3sin8sinC=sinA,且

sin(i4+8)=sinC,

=3sinBsirii4cosB+3sinBcos?lsinF=sinA=tanA=

1—3sinBcosB

________3sin2B________

siMB—3sin8cosB+cos28'

=-3tanF=——汽？B_=tan2B—2tanB+1=0=tanB=1，而0°<B<180°,

tan2B-3tanB+l

所以B=45°.

49.在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線Ci向左平移2個(gè)單位，再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)

的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的④得到曲線C2,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，龍軸的正

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.曲線C1的極坐標(biāo)方程為p=4cosa.

（1）求曲線的的參數(shù)方程；

（2）已知點(diǎn)M在第一象限，四邊形MNPQ是曲線C2的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形MNPQ周

長的最大值，并求周長最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】（1）解：由。=4cosa得p2=Apcosa

將《二士y代入,整理得曲線C1的普通方程為(x-2)2+y2=4,

Vpcoscc—X

設(shè)曲線Cl上的點(diǎn)為(￡,V),變換后的點(diǎn)為(％,y)

r

x=x-2[7廣)2代入曲線的的普通方程，整理得

由題可知坐標(biāo)變換為1,,即

.y="

曲線C2的普通方程為等+產(chǎn)=1，

???曲線。2的參數(shù)方程為需(。為參數(shù))?

(2)解：設(shè)四邊形MNPQ的周長為1,設(shè)點(diǎn)M(2cos。，sind)(0<6,

I=8cos3+4sin0=4y/5(^=cos6+-j=sinO')=4V5sin(0+<p).

且COS0=9,sin(p=y=,

0<0<?-<p<0+(p<^+(psin(^+(p)<sin(6+0)W1,

,'1^max—4A/5.

且當(dāng)e+<p=3時(shí)，1取最大值，此時(shí)e，一,

所以，2cos8=2sincp=浜,sin。=coscp=-j=,此時(shí)M(4黃,

50.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知加譏8-csinC=a.

(1)證明：B-C=J

(2)若4=至a=2?求△ABC的面積.

【答案】(1)證明：因?yàn)閎sbiB-csinC=a,所以-si/。=§譏/,

所以siziBsiri(4+C)—sinCsin^A+B)=sinA.

所以siziB(sizMcosC+cos^sinC)—sinC^sinAcosB+cosTlsinF)=sinA,

&jisinBsinAcosC-sinCsinAcosB=sinA.

因?yàn)樵凇鰽BC中4、B、CE(0,TT),所以sizh4H0,BPsinBcosC-sinCcosB=1,

故sin(B—C)=1.即B—C=當(dāng)

(2)解:由(1)可知B—C=當(dāng)

因?yàn)?=全所以B+C=§^.則8=各。=各

由正弦定理可知「」=&=三=4.則b=4sinB.c=4sinC.

sinAsmBsinC

故^ABC的面積S=^bcsinA=4V3sinFsinC=4V3cosCsinC=2V3sin2C=V3.

51.已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.在下列三個(gè)條件①沅=(sin4

-￡),n=(2cos2A,2cos4)，且沅〃元；②asinB=V3bcosA;(3)cos2B+cos2c=

cos2/1+1—sinBsinC中任選一個(gè)，回答下列問題.

(1)求A；

(2)若a=2,求△ABC面積的最大值.

【答案】(1)解：選擇條件①，因?yàn)槎?(sin4-分元=(2cos2428s4),且沅II五，

所以sinA?2cosA+亨x2cos24=0，

即sin2A=-V5cos24,所以tan2A=-V3?

由△ABC為銳角三角形可知0<4(/則0<24<兀，

故24=等4=全

選擇條件②，因?yàn)閍sinB=y/3bcosA>由正弦定理可得sinAsinB=bsinBcosA，

由△ABC為銳角三角形可知0<B<去所以sinBAO,

貝kin力=V3cosyl,即tanA=V3,

由△ABC為銳角三角形可知0V4V*故4=*

選擇條件③,因?yàn)閏os?B+cos2C=cos24+1—sinBsinC,

所以1—sin2B+1-sin2C=1—sin2714-1—sinBsinC,

BPsin2B+sin2c—sin2X=sinBsinC,

由正弦定理可得M+c2—次=2

根據(jù)余弦定理可得cosA=日生三貯=1,

2bc2

由△/BC為銳角三角形可知0<4(號故4=*

(2)解：因?yàn)閍=2,由(1)可得4=等

所以根據(jù)余弦定理可得4=b2+c2—2bccos為=b2+c2—be>2bc—be—be,當(dāng)且僅

當(dāng)b=c=2時(shí)，等號成立，滿足條件.

1旦

<-X4X=

則SAABC=ybcsinA-22

故4/BC面積的最大值為百.

52.已知△ABC中，AB=2,D為AB中點(diǎn)，CD=a?

(1)若BC=CD,求AC的長度；

(2)若AC=2BC,求包吆擎的值.

sine

【答案】(1)解：在中，由余弦定理得,

BD2+CD2-BC2

cosZ-BDC=

2BD-CD冬

cosz.ADC=-COSZ.BDC=-號'

在4/DC中，AC2=AD2+CD2-2AD-CDcos^ADC=4,

所以AC的長度為2.

(2)解：設(shè)BC=x,則AC=2x,在AACD和△ACB中分別利用余弦定理得

.4X2+1-24X2+4-X2

8sA=2-2XX1=2-2xx2'

解得％=等(負(fù)根舍).

因?yàn)橐?DC+NBDC=兀，

所以sinZj4DC=sinZ.BDC,

在△BCD中，由正弦定理得包吆攀=強(qiáng)=弊，

smBCD5

即sin乙4DC_71^

sinB-5

53.在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c.點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，已知c=2通,

2asinCcosB=asinA-bsinB+苧bsinGcosZ-CAD=需?

(1)求b；

(2)求△ABC的面積.

【答案】(1)解：因?yàn)?asinCcosB=asinA—bsinB+監(jiān)bsinC，

由正弦定理得2accosB=小—塊+字兒，

由余弦定理得2ac.修出!=一X+寫反，

2ac2

所以°=期，

又因?yàn)閏=2近，所以b=4；

(2)解：因?yàn)檐?照=2萬，

所以荏=2而-左，即說2=4而2_4而?石+前2,

O

因?yàn)閏os乙C/D=Q?

o

所以20=4\AD\2-4\AD\x4x1+16，

化簡得2|而|2-3|砌-2=0，解得：|而|=2或|砌=-；(舍去)，

因?yàn)閟inz_D4C=J1—($2=

所以S“DC=||AD||^C|sinZD/lC=Jx2x4x^p=苧，

所以SUB。=ZS^ADC=2x^p=V55.

54.在銳角△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知gtanAtanC=tanA+

tanC+V3.

(1)求角B的大小:

(2)求cosA+cosC的取值范圍.

tanA+tanC_總tan+tanC一點(diǎn)_一點(diǎn)(1—tan/tanC)

【答案】(1)解：tan(A+C)==-V3j

1—tan?ltanC-1—tan^tanC-1—tanAtanC

又A+C=71—3,所以tan(4+C)=tan(/r—B)=-tanB=-V30tanB=W，

由于B為三角形的內(nèi)角，所以8=多

(2)解：由于B=*所以A=^—C，

]A/31

故cosA+cosC=cos(羊—C)+cosC——cos。+勺sinC+cosC=)cosC+

竽sinC=cos(C—今,

由于△ABC為銳角三角形，所以A=冬—Ce(0,芻且Ce(0,芻，故CC%芻，

則。_界(_S，凱故cos(C冶)C埠，]],

故cosA+cosC的取值范圍為(亨，1]

55.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acosBcosC+bcosAcosC=*

(1)求角C；

(2)若c=6a+b=5,求△ABC的面積.

【答案】(1)解：由已知及正弦定理，

得cosC(sinAcosB+cosAsinB)=sinC,即2coscsin(4+8)=sinC.

故2coscsinC=sinC,可得cosC=,,VCe(0,zr),?"=可；

⑵解：由已知及余弦定理得，小+房一2abeosC=7,又a+b=5,C=

故小+b?—ab—(Q+b)2—3ctb—25—3ab—7,因此,ub—6,

**?△4BC的面積s=^absinC=

56.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且國尻0$4找=csinB.

(1)求C；

(2)若a+b=V5c，求sinA.

【答案】(1)解：由正弦定理=//，得V5sinBcos"g=sinCsinB，

因?yàn)锽E(0,冗)，貝UsinBH0,所以遮cos"^=sinC,

因?yàn)?+B+C=n9所以cos(4當(dāng)=cos(^一苧)=sin|-.

所以A/5sin^=2sin^cos^.

因?yàn)镃6(0,zr)，則異(0,分可得sin亨00,所以3彳=亭

則%?所以c=)

(2)解：方法一：因?yàn)閍+b=b，由正弦定理三=&=當(dāng)，得sin4+sinB=

sin/isin/jsine

V3sinC=2r

因?yàn)?+B=7T—^=咨，

所以sinA+sinB=sinA+sin(冬—A)

.y[3.1..3..\/3./o-rAI3

=sinA+-yC0Si4+ySinA=5sinA+5-cos/=V3sin(4+K)=亍

即sin(4+看)=冬

因?yàn)?6(0,n),則4+看€合普)，所以4+[=]或竽,

所以4=看或與故sinA=寺或1.

方法二：因?yàn)镃=*由余弦定理得c2=。2+屬一/(*)，

將c=學(xué)g+6)代入(*)式得/(a+b)2=a2+b2-ab,整理得2a2-5ab+2b2=0,

因式分解得(2a—h)(a—2b)=0,解得a=2b或b=2a,

①當(dāng)a=2b時(shí)，c=V3b,

所以C=4衛(wèi)P+3叱4b2=o,

2bc2同2

因?yàn)锳e(0,兀)，所以A=F，

②當(dāng)b=2a時(shí)，C=V3a，

所以34=的薩4a2+3a2-a2_73

—473^—=Y

因?yàn)?e(0,兀)，所以4=1,

所以sinA的值為④或1.

57.記△ABC的內(nèi)角4、B、C的對邊分別為a、b、c,已知bcosA—acosB=b—c.

(1)求4

(2)若點(diǎn)。在BC邊上，且CD=2BD,cosB=亭'求tan/BAD.

【答案】(1)解：因?yàn)閎cosA-acosB=b—c,

由余弦定理可得匕./+。2-。2_&內(nèi)產(chǎn)下=b-c'

2bc2ac

22

化簡可得M+c-a=bc，由余弦定理可得cosA=12+c2-a2=1(

2bc2

因?yàn)?cz<7T,所以，71=1.

(2)解：因?yàn)閏osB=辛，貝為銳角，所以，sinB=-cos?'=J1一咯2=絡(luò)

因?yàn)?+B+C=7r,所以，。=竽—B,

所以‘sinC=sin(穹一B)=sin等cosB—cos等sinB=綽又理+Jx號=4+:，

v3733232326

設(shè)=貝丘。4。=冬-。，

B

D

A

在△9和MCD中，由正弦定理得照=磊=嘴，=黑=需，

因?yàn)镃D=2BD,上面兩個(gè)等式相除可得前sing—。)=(3+遍)sin。，

得遍(字cos?！猑sin0)=(3+份)sin。，即&cos。=(24-V6)sin0,

萬

所以，tanz_BAD=tan0=-'廠=V3—V2.

2+J6

58.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且Q<c,sm(1-?4)cos(1+/I)=

(1)求4；

(2)若/?=b，asinA4-csinC=4y/3sinB^求△4BC的面積.

【答案】⑴解：sin^-A)cos(^+A)=cos匿一g—孫血(1+4)=cos2(^+A)=

cosg+2A)+1i

2二4，

(或s譏6-A)cosg+A)=cosA—isinA)(^-cosA-^sinA)

DO乙乙乙乙

ncos(^+24)+11,,7T,_1

=cos2(^+/1)=-----巧-----=T??cos(j+24)=-［，

??CJ4,?兀/兀ICA/7TT?兀ICA2TT"Ue兀?—A47r

?0VA<TT,+2AV""S"，?+24=-3-或W+2A=

解得4=5或A=Va<c,'A<5,.,?/=看.

7T/—

(2)解：由(1)知4=&,asinA+csinC=4y/3sinB，

由正弦定理得a?+c2=4V36=12,

由余弦定理得a?=b2+c2-2bc-cosA<BP12-c2=3+c2-275c.冬

整理得2c2-3c-9=0,

由c>0得c=3,

,■S4ABe=besinA=x>/3x3x；=—^—?

59.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，±+「7=工

tan/1tancsinn

(1)證明：b2=QC；

(2)若b=2,當(dāng)角B取得最大值時(shí)，求△ZBC的面積.

【答案】(1)證明：因?yàn)檎?4=工，所以警+警=」示，

tanAtanCsinns\nAsmcsinn

所CjCOsAsinC+sirh4cosc_1

sinAsinC-sinB'

所以sin4+’=<,所以.sfB3

sin/sinCsinBsmAsmCsmB

所以sin?B=sinAsinC,由正弦定理得必=ac

(2)解：cosB-丑2=a2+c2―ac型*工,(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立),

Lac2acLac2

則當(dāng)a=c時(shí),cosB取得最小值④，

又Be(0,兀)，所以角B最大值為半

此時(shí)△ABC為等邊三角形，所以△4BC的面積為百.

60.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且B=a?—be.

(1)求4；

(2)若bsinA=4sinB,且Igb+Ige>1—2cos(B+C),求4ABC面積的取值范圍.

【答案】(1)解:因?yàn)槊?c2=a2—be,

所以用+c2—a2=—be-

由余弦定理得cos/=與怔=

2bc2

因?yàn)?<4V江，

所以4=咨.

(2)解：由bsinA=4sinB及正弦定理,得ab=4b,

所以a=4,

由余弦定理得，a2=b2+c2—2bccosA>2bc+be,

所以尻w學(xué)

當(dāng)且僅當(dāng)。='=竽時(shí)，等號成立，

因?yàn)镮gb+Ige>1-2cos(B+C),

所以lg(bc)>1+2cosA=0,則be>1,

所以14be工學(xué)，

因?yàn)椤鰽BC的面積為鼻csinZ=申~bc.

L4

所以△力BC面積的取值范圍是停，珀.

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)專題訓(xùn)練20題含答案

1.在△ABC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c，且a=5,b=8,設(shè)獷與詼的夾角

為仇

(1)當(dāng)"鄂寸，求c及△4BC的面積；

(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求函數(shù)/(。)=2cos2。+

0)-75cos2。的最大值與最小值.

條件①：0Wcos。Wsin。；條件②：0<CA-CB<20V2.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)解：由余弦定理得，

c2=a2+62-2abeos。=52+82—2x5x8xcos^=49,

所以c=7,

][IT

△ABC的面積S=7absin。=x5x8xsin^=1073.

(2)解：/(O)=1+cos2(J+0)-V3cos20

71「

=1+cos(2+20)—v3cos20

=1-sin20—V5cos26

1.73

=1-2(-2sin20H—cos26)

=1-2sin(20+.

選擇條件①：

因?yàn)閛wcosewsin。，所以

所以手W20+肄等，一堂wsin(2J+$W

即0<1+V3.

故f(6)max=l+b，/2)min=0-

選擇條件②：

因?yàn)?<CA-CB<20V2>CA-CB=bacosd-4Ocos0,

所以O(shè)WcosJS孝,故

所以考W20+肄箏一9wsin(26+94,

即0</(6)<1+V3.

故f(O)max=1+6，/(0)min=0-

2.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

已知2acosB=2c+b,△ABC的面積為2遍.

(1)求A；

(2)若b—c=2,求△ABC的周長.

【答案】(1)解：由正弦定理得，2sinAcosB=2sinC4-sinF.

/+B+C=7T,

???2sin?lcosB=2sinBcosA+2cosBsin/l+sinB

由sinB>0可得cosA=—

又0VA<TT,/.A=-y.

(2)解：由題意可得^■bcsin/l=2次，Abe=S-

又b-c=2,-，

lc=2

由余弦定理得次=ft2+c2-2bccosA=16+4—2x4x2x(—》=28,

:.a=2V7.

??.△4BC的周長為6+2V7.

3.已知函數(shù)f(%)=2cos2%+V3sin2x+m

(1)求/(%)的最小正周期.

(2)若/(%)在區(qū)間[0,芻上的最小值為2,求/(%)在該區(qū)間上的最大值.

【答案】(1)解：由已知得/(x)=cos2x+1+V5sin2x+m=2sin(2x+看)+m+1,

???/(x)最小正周期為竿=兀

⑵解:當(dāng)xe[0,今時(shí)，2x+5唬，:，

???/（X）的最小值為2sin普+m+1=2

:.m=2,

：.f（x）在該區(qū)間上的最大值為2sin^+2+1=5,

當(dāng)2x+3。即x=如寸可以取到.

OZO

4.在四邊形4BC。中，AB//CD,AD-sin^ADC=2CD-sin^ABC.

(1)求證：BC=2CD.

AB

【答案】（1）解：證明：在△4CD中，由正弦定理得4。?5譏乙4DC=4C-sin乙4CD,

因?yàn)?B//C。，所以=-sin/-ADC=AC-sin^CAB,

在△ABC中，由正弦定理得，EPXC-sinz.CAB=BC-sin^ABC,

所以AZ)-sinz.ADC=BC-sin^ABC.

又4。-sinZ-ADC=2CD-sin乙ABC,

所以BC=2CD.

(2)解：在△48。中，由正弦定理得4。?sin/ADB=AB7譏2■力BD

AB-sin60°,

所以sinZ_4BD=sin60°,

所以448。=60°或120°,

①當(dāng)448。=60°時(shí)，貝IJNBDC=60°,

在△BCD中，由余弦定理得，BD2-BD-3=0,解得BO_1+V13

~~2~,

V39+V3

此時(shí)四邊形ZBCD的面積s=+CD)xBDxsin60。------二，”,

2

②當(dāng)NABD=120°時(shí),則zBCC=120°,

在△BCD中，由余弦定理得，BD2+BD-3=0,解得§0=)同,

此時(shí)四邊形ZBCD的面積s=+CD)xBDxsinl20°=聞會區(qū)

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)0重合，始邊與無軸的非負(fù)半軸重合，

它的終邊過點(diǎn)P(|,-1).

(1)求sina的值.

(2)若角口滿足sin(a+0)=坐，求cos/?的值.

【答案】⑴解：由角a的終邊過點(diǎn)P(|,一$得sina=-小

(2)解:由角a的終邊過點(diǎn)P(|,得cosa=|，

由sin(a+0)=爭得cos(a+0)=±提

cos0=cos[(a+0)-a]=cos(a+S)cosa+sin(a+P)sina,

當(dāng)cos(a+0)=/時(shí)，cos0=：x|+苧x(-3=3]:八.

當(dāng)cos(a+/?)=-凱寸，cosp=-+孚x(一$=*含

6.某農(nóng)場有一塊等腰直角三角形的空地ABC,其中斜邊BC的長度為400米.為迎接“五一”

觀光游，計(jì)劃在邊界BC上選擇一點(diǎn)P,修建觀賞小徑PM,PN,其中M,N分別在邊界4B,

AC上，小徑PM,PN與邊界BC的夾角都為60°.區(qū)域PMB和區(qū)域PNC內(nèi)種植郁金香，區(qū)

域4MPN內(nèi)種植月季花.

(1)探究：觀賞小徑PM與PN的長度之和是否為定值?請說明理由.

(2)為深度體驗(yàn)觀賞，準(zhǔn)備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑MN,當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，三條小

徑PM,PN,MN的長度之和最?。?/p>

參考數(shù)據(jù)：s譏75。="⑹

4

【答案】(1)解：因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，小徑PM,PN與邊界BC的夾角都為60。,

所以在△BPM中，MMP=180。-45。-60。=75。，由正弦定理可得疆=赤的

即PM=si??y=(遮一I)PB.同理可得PN=(V3-1)PC.

sin75

故PM+PN=(逐-1)(PC+PB)=(V3-1)BC=400(73-1).

所以觀賞小徑PM與PN的長度之和是定值.

(2)解：在中，由余弦定理可得MN2=PM2+PN2-2PM-PNCOS60。，

2

即MN2=(PM+PN)2-3PM-PN>(PM+PN)2-3x,

所以

由(1)知PM+PN=400(73-1).

故MN>200(73-1)，當(dāng)且僅當(dāng)PM=PN=200(遮-1)時(shí)等號成立，

故當(dāng)點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)時(shí)，三條小徑PM,PN,MN的長度之和最小，為600(百一1)米.

7.在①a+acosC=\p3csinA,②(a+b+c)(a+b-c)=3ab,③(a—b)sin(B+

C)4-bsinB=csinC.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

已知在A/IBC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c.

（1）求角C的值;

（2）若角C的平分線交4B于點(diǎn)D,且CD=2b，求2a+b的最小值.

【答案】（1）解：選擇條件①.

va+acosC=V3csinA,

???由正弦定理，得si幾4+sinAcosC=y/3sinCsinA

???sinAW0

:.1+cosC=V3sinC,:.WsinC—cosC=1,

即坐sinC—^cosC=J,s譏(C—看)=；

n

八)6/n,「7TJ5TT.7T_7T.r—

.0<C<7T,一不<C-q<丁??RC-&-召，..C-子

選擇條件②.

由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得(a+b)2-c2=a2+b2+2ab-c2=3ab,

??a2+b2-c2=ab.

則由余弦定理，得cosC=次+"-c2=也=L

C0SL2ab2ab2

選擇條件③.

,**y4+D+L=719:?B+C=71—Af

結(jié)合(a-b)sin(B+C)+bsinB=csinC,得(a-b^sinA+b-sinB=csinC.

由正弦定理，得(a-b)a+b2=。2,即a2+M-c2=ab.

則由余弦定理，得c°sC=^W=^=4

2ab2ab2

71

,'C=3

(2)解：在△ABC中S“BC=?b?sin60°.

在△AC。中，S^cD=；CO-b?s譏30°,

在△BCD中，SABCD=1(?D-a-sin30".

］

所以S—BC=S2ACD+S^BCD=2ab=Q+b

1

=-11

a+=

11b2

+07=a+3-+-b2a「

2a(2ab-2=2(3+-+-j-)>6+4V2

當(dāng)且僅當(dāng)a=2+/，b=2+2奩，時(shí)"=”成立.

2a+b的最小值為6+4a

8.已知函數(shù)/(%)=1—2cos2(x+勺-y/3cos2x.

(1)求函數(shù)f(x)的增區(qū)間；

(2)方程/(%)=m在［0,芻上有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)解：因?yàn)?(%)=1-2COS2(%+$—V5COS2%,

所以/(%)=-cos(2x+^)—y/3cos2x,

即/(%)=sin2x—V3cos2x=2sin(2x—

令一+2/CTT42x—接《1+2/CTT,(kGZ),

得一-^2+kn<x<+kjtf(k6Z),

所以函數(shù)/(%)的增區(qū)間為［一金+/C7T,修+攵捫，(kGZ)；

⑵解：方程/(%)=血在［0,芻上有且有一個(gè)解，

即函數(shù)y=/（%）與函數(shù)y=m在[0,舒上只有一個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)閤e[0,J],

所以一*2%74等

由（1）,可知函數(shù)y=f（x）=2s譏（2%-今在[0,駕]上單調(diào)遞增，在居，身上單調(diào)遞

減，

且/（0）=2sin（-J）=-V3,懵=2,噴=V3,

所以—遮<m<遮或m=2.

9.在△ABC中，角4、B、C所對的邊分別是a、b、c.且在嗎鑼￡=且也二專.

smCa2+c2-b2

（1）求角B的大??；

（2）求sinZ+sinC的取值范圍；

⑶若C=%,BC=2,。為BC中點(diǎn)，P為線段4。上一點(diǎn)，且滿足麗?前=0.求4P

的值，并求此時(shí)△BPC的面積S.

【答案】（1）解：由正弦定理及弛"/匹=吐也話，得生￡=必找M，

smOa2+c2—hc

即的_]=2a2—a2+j丁2=2a2,化簡得a?+c2-廬=數(shù)，故cosB=

ca2+c2-b2a2+c2-b2

2

a2|c2^i

2ac-2

7T

義BG（0,〃），故8=孑

（2）解：由（1）知，4+。=等，

故sirM+sinC=sinA+sin（等-4）=sinA+苧cosZ+asinA

=怖sin/+-^-cosA=V3sin（i4+、）?

乂0<A<等,則看V4+看V患,V3sin（?l+看）W（苧，8],

故s譏A+sinC6（孚，V3]-

（3）解:如圖,

B

O

C

'-'BPCP=0>：.PB1PC,'：BC=2,。為BC中點(diǎn)，：.P0=1,

a=2,.,.AC=2y/3>AB=4,■'-AO=J(2V3)2+l2=713-AP=V13-1.

設(shè)4。CP=a,貝iJzCOP=兀-2a,

-,-sina=^=^PB，cosa=^=

，S=gpBxPC=2sinacosa=sin2a，

在直角△AC。中，sinZ-COA=sin(n—2a)=sin2a=篇==胃要，

.,.當(dāng)AP=辰-1時(shí)，ABPC的面積S為第I

10.記△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已好請=有瑟鬻.

(1)求C；

(2)若后+?2—＜V5bc，求，的取值范圍.

【答案】(1)解：因?yàn)樗?si啜s嗎,所以由正弦定理可得注￡=空,

bsinA+sinCbQ+C

整理得小+反—=—ab

故由余弦定理得cosC=-‘2=_1,

2ab2

又0＜c＜兀，所以c=稱.

(2)解：因?yàn)閟inB=sin(A+C),

所以2=包電=sinQ4+C)=sirh4cosc+cos/sinCr,sinC

asin4sinAsin/=cosC+^M

由(1)知。=爭

所以°一1

a-2+1■面7

因?yàn)槎?c2—a2＜代be，

所以34="貯＜手

又易知。＜4嗎所以小嗎

所以tanAE（孚，苗），日焉€（坐，

所以T+學(xué).焉C（0,1），

故號的取值范圍是（0,1）.

11.條件①acosC-：c=b；@（b+c）2=a2+be；③sin（Z-看）=-2cosA中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并求解.

問題：AZBC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.

（1）求角A的大??；

（2）若siMB+sin2c=1—求角B的大小.

【答案】若選①，因?yàn)閍cosC-=匕，由正弦定理可得2sinAcosC-sinC=2sinB=

2sin（A+C）,即2sinAcosC—sinC=2sinAcosC+2cosAsinC,所以一sinC=2cosAsinC,

因?yàn)閟inC