第六講貝利相位

2011-4-25

第四講

貝利相位

BerryPhase物理專業(yè)2008級(jí)5/10/20241Dirac說(shuō)：“如果有人問(wèn)，量子力學(xué)的主要特征是什么？現(xiàn)在我傾向于說(shuō)，量子力學(xué)的主要特征并不是不對(duì)易代數(shù)，而是概率幅的存在。后者是全部原子過(guò)程的基礎(chǔ)。概率幅是與實(shí)驗(yàn)相聯(lián)系的，但這只是問(wèn)題的一部分。概率幅的模方是我們能觀測(cè)的某種量，即實(shí)驗(yàn)者所觀測(cè)到的概率。但除此以外，還有相位，它是模為1的數(shù)，它的變化不影響模方。但這個(gè)相位是極其重要的，因?yàn)樗撬懈缮娆F(xiàn)象的根源，其物理意義是極其隱晦難解的。”引言1984年貝利從理論上指出了一種新的相位，即貝利相位，隨后得到了實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。5/10/2024一、貝利相位的引入設(shè)量子體系的哈密頓算符是一組參量的函數(shù)而隨時(shí)間作周期性變化例如周期變化的磁場(chǎng)的矢勢(shì)可作為的周期變化在參量空間定義了一條閉合曲線（1）瞬時(shí)本征函數(shù)滿足的正交歸一化條件若假定周期足夠大，以致哈密頓算符隨時(shí)間的變化很緩慢(此稱為絕熱變化過(guò)程)，致使系統(tǒng)在每一瞬間都是準(zhǔn)靜止的，于是對(duì)于某一瞬時(shí)，瞬時(shí)定態(tài)薛定諤方程成立5/10/2024（2）絕熱條件下，瞬時(shí)本征波函數(shù)的含時(shí)薛定諤方程稱為動(dòng)力學(xué)相位瞬時(shí)本征態(tài)（3）其中（4）（5）用左乘上式，并利用（2）式，則有（6）5/10/2024考慮一般含時(shí)薛定諤方程（7）可用展開，即（8）（8）式代入（7）式得由（4）式（9）5/10/2024左乘上式，可得在絕熱近似條件下，利用（6）式，上式可簡(jiǎn)化為（10）（11）積分得到（12）其中初始條件式（2）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)（13）即（14）5/10/2024可見（12）式指數(shù)中被積函數(shù)為純虛數(shù)，若記（15）則（12）式可寫成（16）于是，絕熱近似下，方程（7）的解（8）可寫為由（15）式所給出的稱為貝利相位，是實(shí)的。二、貝利相位的意義（17）式﹙15）初看之下，是絕對(duì)相因子，不是可觀測(cè)量，可觀測(cè)量中消去了。但是，1984年貝利指出，當(dāng)（15）式積分路徑是參數(shù)空間的閉合回路時(shí)，可觀察到的效果，具有物理意義。5/10/2024（18）當(dāng)（15）式中積分路徑是參數(shù)空間的閉合回路時(shí)，引入空間的“矢勢(shì)”（19）于是，貝利相位可寫成（20）5/10/2024其中（21）稱為參數(shù)空間“磁場(chǎng)強(qiáng)度”式（20）表明，貝利相位是參數(shù)空間“磁場(chǎng)強(qiáng)度”的磁通量的負(fù)值。與演化路徑的幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)因此，貝利相位又稱為幾何相位。三.參數(shù)空間“磁場(chǎng)強(qiáng)度”的計(jì)算為實(shí)數(shù)為純虛數(shù)5/10/2024兩反平行矢量叉積為零（22）由瞬時(shí)定態(tài)薛定諤方程取梯度用左乘上式5/10/2024（23）將（23）和（24）代入（22）得（25）由（2）式取梯度有（24）5/10/2024解：粒子磁矩為能量算符的本征方程哈密頓量（1）即（2）Ex.自旋的粒子在外磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子荷電為，試研究其Berry相位。5/10/2024相應(yīng)的能量久期方程為能量本征值：（3）（4）下面為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)，我們假設(shè)沿軸方向，并設(shè)初態(tài)瞬時(shí)本征態(tài)為，即自旋與方向相反。式中只有一項(xiàng)因而，在5/10/2024其中：（5）5/10/2024（6）將此結(jié)果推廣到一般的，則有（7）同理當(dāng)初態(tài)為時(shí)，有（8）貝利相位將以上各結(jié)果代入（5）式得5/10/2024是閉合曲線對(duì)參數(shù)空間原點(diǎn)所張立體角.貝利指出上式表明在處有