第七講：定積分應(yīng)用及廣義積分4019題

第七講定積分應(yīng)用及廣義積分1°微元法§1幾何應(yīng)用(1)適當(dāng)選取一個(gè)自變量x及x的變化區(qū)間

a,b,使得所求量A關(guān)于x在區(qū)間上具有可加性.(2)在a,b中的任意一個(gè)子區(qū)間x,x+dx上,求出所求量在

x,x+dxA的線性主部,即求出A關(guān)于x的微分(3)對(duì)微分式dA=f(x)dx兩邊從a到b進(jìn)行定積分,求得所求量12°平面圖形的面積計(jì)算(1)A2(2)A(3)A3(4)若上頂曲線由參數(shù)方程給出,

x=a,x=b所界圖形的面積:則由該曲線，x軸,4例1計(jì)算由拋物線與直線所圍成圖形的面積解選x為積分變量圖形D在x軸上的投影區(qū)間為[2,4],所以面積解得交點(diǎn):5例2計(jì)算由曲線與直線所圍成圖形的面積解選y為積分變量解得交點(diǎn):圖形D在y軸上的投影區(qū)間為[1,1],所以面積6例3計(jì)算圓與心形線所圍成的圖形的面積解由對(duì)稱(chēng)性知解得交點(diǎn)的極角:7例4求星形線(a>0)所圍圖形的面積解由對(duì)稱(chēng)性知：，將曲線化為參數(shù)方程83°平面曲線的弧長(zhǎng)(1)弧微分1)2)3)9(2)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式1)若L:,則有2)若L:,則有103)若L:,則有例5求心形線(a>0)的全長(zhǎng)解114°立體體積xxabA(x)(1)平行截面面積為已知的立體體積(2)旋轉(zhuǎn)體的體積1)y=f(x),y=0,x=a,x=b所界圖形A(a)繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積12(b)繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積2)x=

(y),x=0,y=c,y=d(c<d)所界圖形A繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積:13例6求由拋物線和所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成立體體積解解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo):所以所求體積14例7求擺線與x軸所界圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積解1516例8求星形線所圍的圖形繞y=a

旋轉(zhuǎn)所成立體的體積解由對(duì)稱(chēng)性得，在[x,x+dx]上的體積微元175°旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在

x,x+dx上的面積為微元旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積:18例9求擺線與x軸所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成立體的側(cè)面積(a>0)解19例10求星形線在第一象限中與直線x+y=1所圍圖形繞x+y=1旋轉(zhuǎn)成立體的側(cè)面積解在曲線上點(diǎn)P(x,y)處任取一弧長(zhǎng)微元ds

則P點(diǎn)到直線x+y=1的距離：ds所對(duì)應(yīng)的面積微元2021§2物理應(yīng)用1°變力作功問(wèn)題例11一長(zhǎng)為28m,質(zhì)量為20kg的均勻鏈條被懸掛于一建筑物的頂部,問(wèn)需要作多大的功才能把這一鏈條全部拉上建筑物的頂部?解由于鏈條的質(zhì)量均勻，其密度在[0,28]上任取一區(qū)間[x,x+dx],鏈條質(zhì)量為dx,將其拉至頂部所作的功為此區(qū)間對(duì)應(yīng)的拉到頂部所作的功22例12一密度為2.5,半徑為R,高為H的金屬正圓柱體沉在水中,上底與水面相齊,現(xiàn)將圓柱體鉛直打撈出水面,試求所作的功(為水的密度)解在[0,H]上任取一小區(qū)間[x,x+dx],則打撈該扁柱體所作的功：(薄片水下移動(dòng)x距離)(薄片水上移動(dòng)H

x距離)23所以有242°液體對(duì)側(cè)面的壓力例13一底為

8m,高為6m的等腰三角形平板垂直沉沒(méi)在水中,頂在上,底在下,而頂離水面3m,試求其一側(cè)所受的水的壓力解建立坐標(biāo)系，AB直線的方程：在[3,9]上任取一小區(qū)間[x,x+dx],其所對(duì)應(yīng)的小條所受的水壓力為平板所受的水壓力25§3廣義積分1°無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分(1)廣義積分的定義1)存在,稱(chēng)此廣義積分收斂不存在,稱(chēng)此廣義積分發(fā)散2)存在,稱(chēng)此廣義積分收斂不存在,稱(chēng)此廣義積分發(fā)散3)當(dāng)兩廣義積分都收斂時(shí),稱(chēng)此廣義積分收斂當(dāng)兩廣義積分中有一不收斂時(shí),稱(chēng)此廣義積分發(fā)散26(2)廣義積分的計(jì)算方法1)廣義積分的牛頓—萊布尼茲公式其中272)分部積分公式這里式右邊的極限存在,且廣義積分收斂283)換元法設(shè)f(x)在

a,)上連續(xù),若x=(t)滿(mǎn)足(a)x=(t)在,

)上嚴(yán)格單調(diào)(b)(t)在,

)上連續(xù)(c)()=a,則有29例14計(jì)算解原式30例15計(jì)算解原式31例16計(jì)算解原式32例17計(jì)算解原式令，則332°無(wú)界函數(shù)的廣義積分(1)奇點(diǎn):(2)無(wú)界函數(shù)廣義積分的定義若f(x)在x=b的鄰近無(wú)界,則稱(chēng)x=b為函數(shù)f(x)的奇點(diǎn).1)設(shè)x=a為奇點(diǎn),f(x)在(a,b上的廣義積分定義為當(dāng)極限存在時(shí),稱(chēng)此廣義積分收斂,否則稱(chēng)此廣義積分發(fā)散342)設(shè)x=b為奇點(diǎn),f(x)在

a,b)上的廣義積分定義為當(dāng)廣義積分都收斂時(shí),稱(chēng)收斂,否則稱(chēng)發(fā)散.當(dāng)極限存在時(shí),稱(chēng)此廣義積分收斂,否則稱(chēng)此廣義積分發(fā)散.3)設(shè)x=c(a<c<b)為奇點(diǎn),f(x)在

a,b

上的廣義積分定義為35(3)計(jì)算方法1)廣義積分的牛頓—萊布尼茲公式(a)x=a為奇點(diǎn):(b)x=b為奇點(diǎn):其中其中362)分部積分公式(a)若x=a為奇點(diǎn):(b)若x=a為奇點(diǎn):這里等式右邊的極限存在,且廣義積分收斂.373)換元法設(shè)x=b是f(x)在a,b上唯一奇點(diǎn),f(x)在(a)x=(t)在,

)上嚴(yán)格單調(diào)(b)(t)在,

)上連續(xù)(c)()