高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)著作教師版

數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)著作數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史之數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)著作在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，有很多的數(shù)學(xué)著作問世，它們起著數(shù)學(xué)傳播的作用，使得前人的思想和方法得以傳承，如中國古代的《九章算術(shù)》、歐洲的《圓錐曲線論》等，而且這些書籍中的思想和方法在高中數(shù)學(xué)中也有所體現(xiàn)，讓我們一起來瞅瞅吧．一、好題賞析例1．1．1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在其所著《重要的藝術(shù)》一書中提出“將實數(shù)10分成兩部分，使其積為40”的問題，即“求方程的根”，卡爾丹求得該方程的根分別為和，數(shù)系擴充后這兩個根分別記為和．若，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．例2．2．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學(xué)家程大位（1533-1606年）所著．程少年時，讀書極為廣博，對書法和數(shù)學(xué)頗感興趣．20歲起便在長江中下游一帶經(jīng)商，因商業(yè)計算的需要，他隨時留心數(shù)學(xué)，遍訪名師，搜集很多數(shù)學(xué)書籍，刻苦鉆研，時有心得，終于在他60歲時，完成了《算法統(tǒng)宗》這本著作．該書中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？"根據(jù)詩詞的意思，可得塔的最底層共有燈（

）A．192盞 B．128盞 C．3盞 D．1盞二、小試牛刀3．托勒密（C.Ptolemy，約90-168），古希臘人，是天文學(xué)家?地理學(xué)家?地圖學(xué)家?數(shù)學(xué)家，所著《天文集》第一卷中載有弦表.在弦表基礎(chǔ)上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下圖所示），該表便于查出0°~90°間許多角的正弦值和余弦值，避免了冗長的計算.例如，依據(jù)該表，角2°12′的正弦值為0.0384，角30°0′的正弦值為0.5000，則角34°36′的正弦值為（

）A．0.0017 B．0.0454 C．0.5678 D．0.57364．《算術(shù)書》竹簡于上世紀八十年代湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當于給出圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式，，它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取3，那么，近似公式相的中當于將圓錐體積公式中的近似?。?/p>

）A． B． C． D．5．《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即籌算）、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算和計數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙三人，該小組要收集九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算5種算法的相關(guān)資料，要求每人至少收集其中一種，但甲不收集九宮算和了知算的資料，則不同的分配方案種數(shù)有（

）A．38 B．56 C．62 D．806．數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點，若其歐拉線的方程為，則頂點C的坐標是（

）A． B． C． D．或7．朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．88．在華羅庚等著的《數(shù)學(xué)小叢書》中，由一個定理的推導(dǎo)過程，得出個重要的正弦函數(shù)的不等式，若四邊形的四個內(nèi)角為，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．9．克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號，根據(jù)以上材料，完成下題：如圖，半圓的直徑為2，為直徑延長線上的一點，，為半圓上一點，以為一邊作等邊三角形，則當線段的長取最大值時，（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．李冶，真定欒城（今河北省石家莊市欒城區(qū)）人.金元時期的數(shù)學(xué)家.與楊輝、秦九韶、朱世杰并稱為“宋元數(shù)學(xué)四大家”.在數(shù)學(xué)上的主要貢獻是天元術(shù)（設(shè)未知數(shù)并列方程的方法），用以研究直角三角形內(nèi)切圓和旁切圓的性質(zhì).李治所著《測圓海鏡》中有一道題：甲乙同立于乾隅，乙向東行不知步數(shù)而立，甲向南直行，多于乙步，望見乙復(fù)就東北斜行，與乙相會，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，問通弦?guī)缀?翻譯過來是：甲乙兩人同在直角頂點處，乙向東行走到處，甲向南行走到處，甲看到乙，便從走到處，甲乙二人共行走1600步，比長80步，若按如圖所示的程序框圖執(zhí)行求，則判斷框中應(yīng)填入的條件為A． B． C． D．11．2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國89歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動．在1859年，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論．若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計10000以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為(素數(shù)即質(zhì)數(shù)，，計算結(jié)果取整數(shù))A．1089 B．1086 C．434 D．14512．2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主、英國著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)屆的震動．在1859年的時候，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論．若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計1000以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為_________(素數(shù)即質(zhì)數(shù)，，計算結(jié)果取整數(shù))A．768 B．144 C．767 D．14513．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關(guān)于π的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級數(shù)展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是(

)A． B．C． D．14．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，后人稱這條直線為歐拉線.已知△的頂點，，其歐拉線方程為，則頂點的坐標可以是（

）A． B． C． D．15．（數(shù)學(xué)文化）楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載．如圖所示的楊輝三角中，第15行第13個數(shù)是______．（用數(shù)字作答）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……16．《張丘建算經(jīng)》是我國北魏時期著名的數(shù)學(xué)家張丘建所著,共三卷，現(xiàn)存?zhèn)€問題，其中有一個問題是“今有人舉取他絹,重作券；要過限一日,息絹一尺；二日息二尺；如是息絹，日多一尺.今過限一百日，問息絹幾何?”題目的意思是：一個債務(wù)人拿絹做抵押品，債務(wù)過期一天債主要收尺絹作為利息，過期第二天利息是尺，這樣，每天利息比前一天增多尺，若過期天，欠債方共納利息為____________尺絹.17．最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》(1247年).該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”?“圓罌測雨”?“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.其中“天池測雨”法是下雨時用一個圓臺形的天池盆收集雨水來測量平地降雨量(水的體積比盆口面積).已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.當盆中積水深九寸(注：1尺=10寸)時，平地降雨量是___________寸.18．我國明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一道數(shù)學(xué)名題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”（“倍加增”是指從塔的頂層到底層）．則寶塔的頂層有______盞燈．19．被人們常常津津樂道的兔子數(shù)列是指這樣的一個事例：一對幼兔正常情況下一年后可長成成兔，再過一年后可正常繁殖出一對新幼兔，新幼兔又如上成長，若不考慮其他意外因素，按此規(guī)律繁殖，則每年的兔子總對數(shù)可構(gòu)成一奇妙的數(shù)列，兔子數(shù)列具有許多有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì)，該數(shù)列在西方又被稱為斐波拉契數(shù)列，它最初記載于意大利數(shù)學(xué)家斐波拉契在1202年所著的《算盤全書》.現(xiàn)有一兔子數(shù)列，，若將數(shù)列的每一項除以2所得的余數(shù)按原來項的順序構(gòu)成新的數(shù)列，則數(shù)列的前2021項和為_________.20．《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著，該書主要記述了積算（即籌算)、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計數(shù)種計算器械的使用方法，某研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁、戊五人.該小組搜集兩儀、三才、五行、八卦、九宮種計算器械的資料.每人搜集一種，每種資料都要有人搜集，其中甲乙不搜集兩儀，丙丁不搜集三才，戊不搜集八卦和九宮，則不同的分配方案的種數(shù)____.(用數(shù)字填寫答案）21．長方、塹堵、陽馬、鱉臑、這些名詞出自中國古代數(shù)學(xué)明著《九章算術(shù)商功》，其中陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱呼.取一長方體，如圖長方體，按平面斜切一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，稱該三棱柱為塹堵，再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個，其中以矩形為底另有一棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體稱為鱉臑，已知長方體中，當陽馬體積最大時，塹堵的體積為___________.22．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”．1852年英國來華傳教偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲．1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中因剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將2至2017這2016個數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項數(shù)為_________．參考答案：1．C【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算求得.【詳解】由，得．故選：C．2．A【分析】設(shè)這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數(shù)列的前7項和為381，再結(jié)合等比數(shù)列前項和公式計算即可.【詳解】設(shè)這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數(shù)列的前7項和為381，所以，解得，所以這個塔的最底層有盞燈．故選：A．3．C【分析】先看左邊列找，再往右找對第一行的即可.【詳解】由題意查表可得的正弦值為0.5678.故選:C.4．C【分析】用表示出圓錐的底面半徑，得出圓錐的體積關(guān)于和的式子，令，能解出的近似值．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，則圓錐的底面周長，∴，∴.令，解得.故選：C5．C【分析】按甲收集資料的種數(shù)分類討論．先確定甲收集資料的種數(shù)剩下的分成兩組安排給乙丙兩人收集．【詳解】由題意甲收集運籌算、成數(shù)算、把頭算中一種、二種或三種，總方法數(shù)是：．故選：C．6．A【分析】設(shè).由重心坐標公式得的重心為，代入歐拉線方程可得，再求出邊的垂直平分線的方程與聯(lián)立可求出的外心坐標，再由點，到外心的距離相等列出關(guān)于的方程，然后解方程組可求得結(jié)果【詳解】設(shè).由重心坐標公式得的重心為，代入歐拉線方程得，整理得①，邊的中點坐標為，，邊的垂直平分線的方程為，即.由，得∴的外心坐標為，則，整理得②，聯(lián)立①②，解得或.當時，點B，C重合，舍去.∴頂點C的坐標是.故選：A.7．D【分析】把各層的鉛筆數(shù)看出等差數(shù)列，利用求和公式得到，由n為264的因數(shù)，且為偶數(shù)，把四個選項一一代入驗證即可.【詳解】設(shè)最上面一層放根，一共放n（n≥2）層，則最下一層放根，由等差數(shù)列前n項和公式得：，∴，∵,∴n為264的因數(shù)，且為偶數(shù)，把各個選項分別代入，驗證，可得：n=8滿足題意.故選：D【點睛】(1)數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：求解應(yīng)用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（2）等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換．8．A【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理以及正弦函數(shù)的不等式可求得結(jié)果.【詳解】四邊形內(nèi)角和為，所以根據(jù)正弦函數(shù)的不等式可得.故選：A.9．C【解析】根據(jù)已知條件先分析出的最大值并得到之間的關(guān)系，由此借助余弦定理求解出的長度，再利用余弦定理即可求解出的大小.【詳解】因為，且為等邊三角形，，所以，所以，所以的最大值為，取等號時，所以，不妨設(shè)，所以，所以解得，所以，所以，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答問題的關(guān)鍵是理解題中所給的定理，由此分析得到角的關(guān)系，并借助余弦定理即可求解出結(jié)果.10．A【解析】根據(jù)題意得，則，所以，再根據(jù)為直角三角形求解.【詳解】由題意得，則，所以，符合程序框圖所示:又為直角三角形，且，所以.故選：A【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．B【分析】由題意可知10000以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為，計算即可得到答案.【詳解】由題可知小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為，則10000以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為===2500，故選B.【點睛】本題考查對數(shù)運算性質(zhì)的簡單應(yīng)用，考查學(xué)生的審題能力.12．D【分析】由題意，根據(jù)，得到估計1000以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為為，根據(jù)對數(shù)的運算，即可求解.【詳解】由題意，小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為，則估計1000以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為為，故選D.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算及其應(yīng)用，同時考查了數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用，其中解答中認真審題，合理利用對數(shù)的換底公式化簡、運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.13．B【解析】執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，逐次循環(huán)，找到計算的規(guī)律，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第10次循環(huán)：，此時滿足判定條件，輸出結(jié)果，故選：B.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，得到程序框圖的計算功能是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.14．AD【分析】設(shè)，根據(jù)已知寫出重心的坐標，由歐拉線的定義及對應(yīng)的方程可得，結(jié)合各選項判斷符合要求的點坐標即可.【詳解】設(shè)，由已知△重心坐標為，又重心在上，則，可得，∴A、D符合要求.故選：AD15．455【分析】對數(shù)據(jù)進行多角度觀察，進而找出每一行的數(shù)與數(shù)之間，行與行之間的規(guī)律，進而求得答案.【詳解】由題圖可知，第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，…，觀察可得第n行第r（）個數(shù)為，所以第15行第13個數(shù)為．故答案為：455.16．【分析】由題意可知，每天要納絹的尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，公差，首項，再由等差數(shù)列的前項和的公式求解即可.【詳解】解：由題意知，每天的利息構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，則首項，公差，，所以過期天，欠債方共納利息為（尺）.故答案為：.17．3【分析】根據(jù)描述先求解圓臺形盆內(nèi)水面的半徑，然后計算水的體積，最后可得降雨量.【詳解】由已知天池盆上底面半徑是14寸，下底面半徑是6寸，高為18寸，由積水深9寸知水面半徑為寸，則盆中水體積為(立方寸)；所以平地降雨量為(寸)，故答案為：3.18．3【分析】用數(shù)列每層塔燈的盞數(shù)，則成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的基本量運算可得．【詳解】用數(shù)列每層塔燈的盞數(shù)，則成等比數(shù)列，，底層燈盞數(shù)為，則，所以，解得．故答案為：3．19．1348【解析】可寫出數(shù)列的前若干項，找出具有周期性的規(guī)律，分組計算即可.【詳解】兔子數(shù)列各項為：可得此數(shù)列被2除后的余數(shù)為：由此可知是以3為周期的周期數(shù)列，可得數(shù)列的前2021項和為：故答案為：【點睛】