函數(shù)與圖形類相關問題-2021年中考數(shù)學一輪復習精講+熱考題型（解析版）

專題48函數(shù)與圖形類相關問題

【考查題型】

考查題型一函數(shù)與等腰三角形相關問題

1.(2018?遼寧阜新市?中考真題)如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象交x軸于點A(1,0),B(3,

0),交y軸于點C.

(I)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)點P是直線BC下方拋物線上的一動點，求ABCP面積的最大值；

(3)直線x=m分別交直線BC和拋物線于點M,N,當△BMN是等腰三角形時，直接寫出m的值.

【答案】(1)這個二次函數(shù)的表達式是y=x2-4x+3；(2)SABCP觸大=彳：(3)當△BMN是等腰三角形

O

時，m的值為0,-0,1,2.

【解析】

詳解：(1)將A(1,0),B(3,0)代入函數(shù)解析式，得

。+。+3=0,

9a+3b+3=0解"Q-4'

這個二次函數(shù)的表達式是y=x2-4x+3；

(2)當x=0時,y=3,即點C(0,3),

設BC的表達式為y=kx+b,將點B(3,0)點C(0,3)代入函數(shù)解析式，得

3k+b=0k=—1

解這個方程組，得.

b=0h=3

直線BC的解析是為y=-x+3,

過點P作PE〃y軸

交直線BC于點E(t,-t+3),

PE=-t+3-(t2-4t+3)=-t2+3t,

13327

2

SABCP-SABPE+SCPE——(-t+3t)x3=---(t--)2H--------,

2228

3327

V--<0,當t=一時,SABCP■

22

(3)M(m,-m+3),N(m,m2-4m+3)

MN=m2-3m,BM=y/2|m-3|,

當MN=BM時，①012-3[11=及(m-3),解得m=④，

②m2-3m=-0(m-3),解得m=-&

當BN=MN時，ZNBM=ZBMN=45°,

m2-4m+3=0,解得m=l或m=3(舍)

當BM=BN時.，ZBMN=ZBNM=45°,

-(m2-4m+3)=-m+3,解得m=2或m=3(舍)，

當△BMN是等腰三角形時，m的值為正，-正，1,2.

2.(2020.山東濟南市.中考真題)如圖1,拋物線y=-N+bx+c過點A(-1,0),點8(3,0)與y軸

交于點C.在x軸上有一動點0)(0＜加＜3),過點E作直線Ux軸，交拋物線于點M.

(1)求拋物線的解析式及C點坐標；

(2)當〃?=1時，力是直線/上的點且在第一象限內，若△AC￡＞是以NOC4為底角的等腰三角形，求點

D的坐標；

(3)如圖2,連接并延長交y軸于點M連接AM,OM,設AA￡M的面積為Si,△MON的面積為

【答案】⑴y=-V+2x+3,C(0,3)；(2)(1,1)或(1,指)；⑶77-2

【詳解】

-l-b+c=O

解：(1)將點4、8的坐標代入拋物線表達式得《八＞八，

-9+3b+c=0

b=2

解得《

c=3

故拋物線的表達式為y=-/+21+3,

當x=0時，y=3,故點C(0,3)；

(2)當〃?=1時，點E(l,0),設點。的坐標為(1,a),

由點A、C、。的坐標得，AC=^(0+l)2+(3-0)2=V10.

同理可得：AD=Ja?+4，CD=Jl+(a-3)-，

①當CD=4O時，即Ja?+4=Jl+(a-3)2,解得。=1；

②當AC=AD時，同理可得。=±#(舍去負值);

故點D的坐標為(1,1)或(1,76);

(3)?:E(m,0),則設點-m2+2m+3\

-m2+2m+3=sm+t

設直線BM的表達式為y=sx+r,則〈

0=3s+t

1

s=--------

解得：〈m+1

3

t=------

m+1

13

故直線BM的表達式為y=-----x+—,

m+1m+1

333

當x=0時，y=^—,故點N(0,),則。N=^—；

m+1m+1m+1

2

5i=-xAExyM=-x(m+1)x(-m+2m+3)9

22

31

2s2=ON*XM=---xm=Si=-x(6+1)x(-m2+2m+3),

m+12

解得m=-2±yfj(舍去負值),

經檢驗-2是方程的根,

故m=y/l~2.

3.(2020.廣西中考真題)如圖，已知拋物線y=a(x+6)(x-2)過點C(0,2),交x軸于點A和點B

(點A在點8的左側)，拋物線的頂點為。，對稱軸DE交x軸于點E,連接EC.

(1)直接寫出。的值，點A的坐標和拋物線對稱軸的表達式；

(2)若點M是拋物線對稱軸OE上的點，當△MCE是等腰三角形時，求點M的坐標；

(3)點P是拋物線上的動點，連接尸C,PE,將APCE沿CE所在的直線對折，點P落在坐標平面內的點

P'處.求當點P'恰好落在直線AC上時點P的橫坐標.

【答案】(1)a=--,A(-6,0),宜線x=-2；(2)(-2,2)或(-2,4)或(-2,272)或(-

6

2,-2&)；⑶T3+師

2

【詳解】(1),??拋物線y=a(x+6)(x-2)過點C(0,2),

：.2=a(0+6)(0-2),

.1

??4=—一,

6

11Q

??拋物線的解析式為y=--(x+6)(x-2)=--(x+2)2+—,

663

???拋物線的對稱軸為直線冗=-2；

(2)如圖1,由(1)知，拋物線的對稱軸為工=-2,

：.E(-2,0),

VC(0,2),

:.OC=OE=2,

：.CE=y/2OC=2y[2ZCED=45°,

是等腰三角形，

???①當ME=MC時，

：.ZECM=ZCED=45°f

：.NCME=90。，

：.M(-2,2),

②當CE=CM時，

.\MM]=CM=2,

：.EMi=4f

/.Mi(-2,4),

③當時，

:,EM?=EM3=2近，

???區(qū)(-2,-272)，%(-2,272)，

即滿足條件的點M的坐標為(-2,-2)或(-2,4)或(-2,272)或(-2,-272)；

(3)如圖如

Q

由(1)知，拋物線的解析式為y=-2(x+6)(x-2)=-

(x+2)—,

663

8

：.D(-2,-),

3

令y=0,貝ij(x+6)(x-2)=0,

Ax=-6或x=2,

???點A(-6,0),

2

?,?直線AD的解析式為y=§工+4,

過點尸作尸Q-Lx軸于。，過點P作于

；?NEQ'P=NEQP=90。,

由(2)知，ZCED=ZCEB=45°,

由折疊知，EP'=EP,/CEP=NCEP,

???△尸QEg△P'Q￡(AAS)f

,PQ=PQ,EQ=EQ;

設點P(加，〃)，

AOQ=m,PQ=n,

：.P'Q=n,EQ=QE=m+29

.??點P(〃-2,2+m),

?.?點P在直線AO上，

2

2+m=—(〃-2)+4①，

3

??,點尸在拋物線上，

?"=-—(加+6)(〃？-2)②,

_i3_y^T（舍）或，-T3+同

聯(lián)立①②解得,

22

即點P的橫坐標為二13拽石

2

264

4.（2020?湖南岳陽市?中考真題）如圖1所示，在平面直角坐標系中，拋物線1：y=a（x-g）2+w與工

軸交于點A（—?!，（））和點3,與y軸交于點c.

（1）求拋物線G的表達式；

（2）如圖2,將拋物線G先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線心，若拋物線片與拋

物線B相交于點。，連接BD，CD,BC.

①求點。的坐標；

②判斷ABCD的形狀，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，拋物線尸2上是否存在點尸，使得△友力為等腰直角三角形，若存在，求出點P

的坐標；若不存在，請說明理由.

54

【答案】(1)y=-x2+-x+4；(2)①點。的坐標。(一1,1)；②ABCD是等腰直角三角形，理由見解

33

析；(3)尸(一2,-2)或P(l,-3).

【詳解】(D將點A(—*0)代入拋物線月的表達式得：?(-|-|)2+j|=0

解得a=_』

3

5264s4

則拋物線F\的表達式為y=—(%—)~H---——X2H—x+4

351533

54

故拋物線耳的表達式為y=-j必+5x+4：

5?64

(2)①由二次函數(shù)的平移規(guī)律得：拋物線尸2的表達式為丁=一不(X-1+1)2+百一3

:―+12

3515

聯(lián)立《,解得《

52c2

——x~-2x+—

33

則點。的坐標為。(-LD；

「、…5/2、2645,44

②對于y-——(x——)+——-——x+—X+4-

351533

"ly=O時，——(x——)2+=0,解得工=2或兀=-~~

則點B的坐標為8(2,0)

54

當尤=0時，y=—X02+-X0+4=4,則點C的坐標為C(0,4)

33

由兩點之間的距離公式得：BC=，(2-0>+(0-4)2=2逐

BD=7(2+1)2+(0-1)2=而

CD=7(0+1)2+(4-1)2=Vio

則80=CD,BD~+CD2=BC2

故△6QD是等腰直角三角形；

5319s2

(3)拋物線F的表達式為y=--(x+-)2+—=--X2-2%+-

2351533

設點P的坐標為P(m,n)

由題意，分以下三種情況：

①當/尸。5=90。,即=5。時，△即尸為等腰直角三角形

?.?△BCD是等腰直角三角形，Z5DC=90°,BD=CD

PD=CD

???點D是CP的中點

0+m

---2--二-]m=-2c

則，解得《-

4+〃n--2

-------=1i

I2

即點P的坐標為尸(—2,—2)

52

2

對于拋物線F2的表達式y(tǒng)=--X-2X+-

當x=-2時，y=—gx(—2)2—2x(—2)+g=—2

即點P(-2,-2)在拋物線F2上，符合題意

②當NPBD=90°,PB=BD時,4BDP為等腰直角二角形

?.?ZBDC=90。，BD=CD

：.CD//PB,PB=CD

四邊形BCDP是平行四邊形

???點C至點B的平移方式與點D至點P的平移方式相同

?.?C(0,4),B(2,0)

???點C至點B的平移方式為先向下平移4個單位長度，再向右平移2個單位長度

?.?力(-1,1),P(m,n)

fm=-l+2=l

n=1-4=-3

即點P的坐標為P(L—3)

52

對于拋物線B的表達式y(tǒng)=--x2-2x+-

5,2

當x=l時，y=—xl_-2xl+—=-3

33

即點尸（1,一3）在拋物線名上，符合題意

③當NBPD=90。,依=時，ABDP為等腰直角三角形

則點P在線段BD的垂直平分線上

設直線BD的解析式y(tǒng)=^+人

2k+b=Q卜_

將點8（2,0）,。（一1,1）代入得：\,，解得《「

-k+b=\,2

ib--

I3

]2

則直線BD的解析式y(tǒng)=——x+—

設BD的垂線平分線所在直線的解析式為y=3x+c

點B（2,0）,。（—1,1）的中點的坐標為（?,等）,即（；,1）

1131

將點（2，/）代入y=3x+c得：2+C=2'解得c=—1

則BD的垂線平分線所在宜線的解析式為y=3x-1

因此有3加一1=〃，即點P的坐標為—

由兩點之間的距離公式得：PB=7（m-2）2+（3/n-l-0）2=VlO/w2-10m+5

乂YBDUM，為等腰直角三角形

PB=^BD=y[5

2

則Jl()加2—10加+5=石

解得機=0或m=1

當根=0時，3加一1=3x0—1=—1，即點P的坐標為口0,-1)

當帆=1時，3m-l=3xl-l=2,即點P的坐標為P(L2)

52

對于拋物線尸2的表達式y(tǒng)=-^x2-2x+-

522

當X=0時，y=--x02-2x0+-=-

333

即點尸(0,-1)不在拋物線鳥上，不符合題意，舍去

當x=l時，y=--xl2-2xl+—=-3

33

即點P(l,2)不在拋物線F2上，不符合題意，舍去

綜上，符合條件的點P的坐標為尸(-2,-2)或P(l,-3).

考查題型二函數(shù)與平行四邊形相關問題

13

5.(2018?湖南益陽市?中考真題)如圖，已知拋物線?二萬/一1》一〃(〃>o)與X軸交于A,B兩點

(A點在B點的左邊)，與V軸交于點C。

(1)如圖1,若△ABC為直角三角形，求”的值；

(2)如圖1,在(1)的條件下，點P在拋物線上，點Q在拋物線的對稱軸上，若以BC為邊，以點

B,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求P點的坐標；

(3)如圖2,過點A作直線BC的平行線交拋物線于另一點D,交y軸交于點E,若AE:ED=1:4,

求”的值.

【答案】⑴>=卜2-，-2；(2)點P的坐標為(?,?),(一，,卜),(!■,-?)；(3)鄉(xiāng).

222828288

【詳解】(1)若△ABC為直角三角形

.,.△AOC^ACOB

.,.OC2=AO?OB

,i1,3

當y=0時，0=-x2--x-n

22

由一元二次方程根與系數(shù)關系

-OA?OB=OC2

-n

n2=1=-2n

2

解得n=0(舍去)或n=2

1,3

.?.拋物線解析式為y=y=-x2-1x-2；

13

(2)由(1)當一爐9一一工一2二0時

22

解得X2=4

AOA=1,0B=4

AB(4,0),C(0,-2)

_3

h93

?.?拋物線對稱軸為直線x=--=——?=—

2a2xl2

2

3

，設點Q坐標為(一，b)

2

由平行四邊形性質可知

當BQ、CP為平行四邊形對角線時，點P坐標為(U,b+2)

2

13

代入y=-x2?—x?2

22

231139

解得b=1,則p點坐標為(丁，F(xiàn))

828

當CQ、PB為為平行四邊形對角線時，點P坐標為b-2)

2

13

代入y=-X2--x-2

22

55539

解得b二一，則P坐標為(―,—)

828

1139539

綜上點P坐標為(一，—),(―,—)；

2828

(3)設點D坐標為(a,b)

VAE：ED=1：4

貝|JOE=L,O\=-a

54

?；AD〃AB

AAAEO^ABCO

VOC=n

.OB_OA

'~OC~~OE

5an

OB=-----

4b

_c_-n_1San

由一元二次方程根與系數(shù)關系得，X'X2=^=~=~4a*7b

2

?h5、

?.b=—屋

32

|513

將點A（-—0）,D（a,—“2）代入y=一父■--x-n

432'22

八_1、,1、2301

Q-----—ci）—?—a—n

2424

2」2

——5a=—a—3a—n

【3222

解得a=6或a=0（舍去）

,27

則n=一.

8

【名師點撥】

本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)圖象性質、元二次方程根與系數(shù)關系、三角形相似以及平行四

邊形的性質，解答關鍵是綜合運用數(shù)形結合分類討論思想.

6.（2017?遼寧大連市?中考真題）如圖，在平面直角坐標系鎮(zhèn)瞰中，雙曲線般=:經過口4疑淘的頂點

笳

氨?!.點部的坐標為儂囂，點激在整軸上，且/?濠需軸，健牌-=需.

（1）填空：點熱的坐標為

【解析】

試題解析：(1)由D得坐標以及點A在y軸上，且AD〃x軸即可求得；

(2)由平行四邊形得面積求得AE得長，即可求得0E得長，得到B得縱坐標，代入反比例函數(shù)得解析式

求得B得坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得AB所在直線的解析式.

試題解析：(1)???點D的坐標為(2,I),點A在y軸上，且AD〃x軸，

.?.A(0,1)；故答案為(0,1)；

(2)：雙曲線涉=壁經過點D(2,I),；.k=2x|=2,...雙曲線為?=3，

?標幅

VD(2,1),AD〃x軸，；.AD=2,；S=ABCD=5,.*.AE=^,

.?.OE=1,'B點縱坐標為

把y=T代入源4得，，解得x=g.??B(gT),

遇％國.以ajtis

設直線AB得解析式為y=ax+b,

回他但』，一更：

代入A(0,1),B(-5，弓)得：，題”號；，解得，廚”，

號.M--a?i5=--L..,

L鴦秘g=兀s

AAB所在直線的解析式為解=季；訊

考點：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；

平行四邊形的性質.

7.(2020?柳州市中考真題)如圖①，在平面直角坐標系X。)，中，批物線y=/-4x+a(?<0)與y軸交于

2

點A,與x軸交于E、下兩點(點E在點F的右側)，頂點為M.直線y=與x軸、y軸分別交于

B、C兩點，與直線AM交于點D

(1)求拋物線的對稱軸；

(2)在),軸右側的拋物線上存在點P,使得以P、A、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形，求a的值；

(3)如圖②，過拋物線頂點M作MNLx軸于N,連接ME,點Q為拋物線上任意一點，過點Q作

QGJ_x軸于G,連接QE.當a=-5時，是否存在點。，使得以Q、E、G為頂點的三角形與△MNE相似

(不含全等)？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

圖①圖②

56217

【答案】(1)直線x=2；(2)(3)存在，點。的坐標為(-4,27)或(一§,--)或

419

(-------,—).

39

【解析】

(1)y—x1-4x+a=(x-2)2+a-4,即可求解：

31

(2)求出直線AM的解析式為y=-2x+a,聯(lián)立方程組可解得點。的坐標(一〃，--?)：AC是以/＞、

42

31

A、C、。為頂點的平行四邊形的對角線，則點P與點。關于原點對稱，即P(一”，--a),將點P(-

42

31

—a,—a)代入拋物線-4x+a,即可求解；

42

EGEN31

(3)分==—=———=---=-二一兩利」情況，分別求解即可.

QGMN93EGMN93

【詳解】

解：(1)*.'y=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,

???拋物線的對稱軸為直線x=2；

(2)由y=(x-2)2+a-4W：A(0,a),M(2,a-4),

2

由y=-x-4得。(0,-a),

3

設直線AM的解析式為y=kx+a9

將M(2,a-4)代人丫=丘+〃中，得2k+〃=a-4,

解得k=-2,

直線AM的解析式為y=-2x+m

y=-2x+。x=-a

4

聯(lián)立方程組得《2，解得《

y=-x-a一1

'：a<0,

...點O在第二象限，

又點A與點C關于原點對稱，

???AC是以P、A、C、。為頂點的平行四邊形的對角線，則點P與點。關于原點對稱,

31

即「(一一a,-a)t

42

將點P(-a,—a)代入拋物線y=/-4x+a,解得”=一5或〃=0(舍去)，

56

.'.a----；

9

(3)存在,

理由如下：當。=-5時，y=/-4x-5=(x-2)2-9,此時M(2,-9),

令y=0,即(x-2)2-9=0,解得xi=-1,X2=5,

二點尸(-1,0)E(5,0),

:.EN=FN=3MN=9,

設點。(加，m2-4m-5),則G(加，0),

：.EG=\m-5\QG=\m2-4m-5|,

又RQEG與4MNE都是直角三角形，且NMNE=NQGE=90。，

如圖所示，需分兩種情況進行討論：

EGEN31m-51

i）當-二一"二一時，即一;-------=—

QGMN9334m?53

解得m=2或"?=-4或m=5（舍去）；

當加=2時點。與點M重合，不符合題意，舍去,

當m=-4時，此時Q坐標為點0（-4,27）；

.當里二里二」即…一5」

EGMN93m-5

24

解得〃7=—一或〃?=——或"7=5（舍去），

33

2一217

當加=-§時，Q坐標為點。2（-§,）,

4419

當加=一§,。坐標為點Q（一—）,

2

綜上所述，點。的坐標為（-4,27）或（一W

【名師點撥】

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，平行四邊形的性質和判斷，相似三角形的判斷和性質，綜合性強，能力

要求高，注意“分類討論”、"數(shù)形結合''數(shù)學思想的應用.

8.（2015?四川綿陽市?中考真題）已知拋物線y=x2-2x+a（a#0）與y軸交于A,頂點為M,直線

y=—a分別與x軸、y軸交于B、C兩點，并且與直線MA相交于N點.

（1）若直線BC和拋物線有兩個不同交點，求a的取值范圍，并用a表示交點M、A的坐標：

（2）將ANAC沿著y軸翻折，若點N的對稱點P恰好落在拋物線上，AP與拋物線的對稱軸相交于D,

連接CD.求a的值及△PCD的面積；

(3)在拋物線y=-x2-2x+a(a>0)上是否存在點P,使得以P、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？

若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

2599

【答案】(1)ci>-----11.a^O,A(0,a),M(-1,1+a)；(2)a=—,S=—；(3)當點P為

324△2

5517

和(力，一石)時，A、C、P、N能構成平行四邊形?

2828

【解析】

y=-x—2x+a

(1)把兩個函數(shù)解析式聯(lián)立組成方程組｛1,整理得2/+5元一4.=0，

y=-x-a

12

直線BC和拋物線有兩個不同交點可得4>0,代入即可得a的取值范圍；把x=0代入y=-x2-2x+a求得

y=a,即可得A(0,a)；把y=-x2-2x+a化為頂點式y(tǒng)=—(x+lf+l+a即可得M(-1,1+a)；

(2)設直線乂人為丫=10(+忙代入A(0,a),M(-1,1+a),即可求得直線MA的表達式，把直線MA的

表達式和直線y=。聯(lián)立組成方程組求點N的坐標(用a表示)，點P和點N關于y軸對稱，即可得

點P的坐標，把點P的坐標代入y=-x2-2x+a,通過解方程即可得a的值，由S,PCI)=SAPAC-SA/,4C即可求

得^PCD的面積；

(3)分兩種情況，①當點P在y軸的左側時，由四邊形APCN為平行四邊形，則AC與PN相互平分，點

P與N關于原點中心對稱，根據(jù)點N的坐標求得點P的坐標，代入y=-x2-2x+a求a的值，即可求得P的坐

標；②當點P在y軸的右側時，由四邊形ACPN為平行四邊形，則NP〃AC且NP=AC,根據(jù)點A、N、C

的坐標求點P的坐標，代入y=-xJ2x+a求a的值，即可求得P的坐標.

【詳解】

y=-x2-2x+a

解：(1)由題意聯(lián)立《1,

y=-x-a

12

整理得，2x2+5x-4tz=0

25

由△=25+32a>0,解得a>-----

32

25廣

Va^O,：.a>——且a#)

32

令X=O,得丫=2,A(0,a)

由y———(x+1)-+1+a,

得M(-1,1+a)

1+。=—k+b

設直線MA為y=kx+b,代入A(0,a),M(-IJ+a)得，＜

a=h

k=_1

解得l,故直線MA為y=-x+a

b=a

4。

y=-x+ax=一

3“9/4。a

聯(lián)立《1,解得，,所以N(—,一一)

y=-x-aa33

2y=一一

3

因P點是N點關丁,y軸的對稱點，.二P(———),

a1678

代入y=-x--2x+a,得---=----H—。。，

’393

9

解得a=一或a=0(舍去)

4

99139

A(0,-)、C(0?---)、M(-1,—)、|AC|=一

4442

**,SAPCD=S.BCC-S^DAC=^\AC\\XI\-^\AC\.|XD|

199

=——(3-1)=-

222

①當點P在y軸的左側時，由四邊形APCN為平行四邊形，則AC與PN相互平分，點P與N關于原點

(0,0)中心對稱,

4aa,,4?a

而N(—,——),故P(----,——).

3333

代入y=-x~-2x+a,得———----ci~H—a+a,

393

…15.55

解得a=—，??P(—,一).

828

②當點P在y軸的右側時,由四邊形ACPN為平行四邊形，則NP〃AC且NP=AC,而NA

33

4a7。

(0,a)、C(0,-a),故P,----)

T3

1628

代入y32x+a,得-三CI--Q+Q,

~93

解得a13,5(17)

028

5517

.??當點p為(一二，彳)ai)時，A、C、P、N能構成平行四邊形.

2828

【名師點撥】

本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角形、四邊形的綜合題.

考查題型三函數(shù)與矩形、菱形、正方形相關問題

9.(2020?遼寧阜新市?中考真題)如圖，二次函數(shù)y=d+/zx+c的圖象交x軸于點A(—3,0),5(1,0),

交y軸于點C.點P(，40)是x軸上的一動點，軸，交直線AC于點M,交拋物線于點N.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)①若點P僅在線段AO上運動，如圖1.求線段的最大值；

②若點P在x軸上運動，則在y軸上是否存在點Q,使以M,N,C,Q為頂點的四邊形為菱形.若存

在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(I)y=d+2x-3；(2)①②存在，2,(0,-3^-1),Q2(0,-1),Q3(0,372-1)

【解析】

(1)把4—3,0),8(1,0)代入,=%2+公+€?中求出憶＜:的值即可；

(2)①由點P(m,0)得+從而得MN=(-加一3)-(加？+2加一3),整

理，化為頂點式即可得到結論;

②分MN=MC和MC=近MN兩種情況，根據(jù)菱形的性質得到關于m的方程，求解即可.

【詳解】

解:(1)把4—3,0),5(1,0)代入y=*2+匕X+C中，得

0=9-3b+c,

<

0=1+x+c.

〃=2,

解得

c=-3.

y=x2+2x—3.

(2)設直線AC的表達式為y=把A(—3,()),C((),—3)代入丁=履+"

f0=—3k4-k-—1,

得，《.,解這個方程組，得<0

[-3=h.[h=-3.

y=-x-3.

?.?點P(九0)是x軸上的一動點，且軸.

/.M(m,-m-3),TV(m,m2+2m-3).

...MN=(t%—3)—+2m-3)

=-nr—3m

(3丫9

=-m+—+—.

I2j4

Va=-l<0,

.??此函數(shù)有最大值.

3

又?.?點P在線段OA上運動，且一3<一-<0

2

39

二當機=—時，MN有最大值一.

24

②?.,點P(肛0)是x軸上的一動點，且軸.

+2m-3^.

MN=(-m-3)-(w2+2m-3)=-i?12—3m

(i)當以M,N,C,Q為頂點的四邊形為菱形，則有MN=MC,如圖,

,MC=，(m-0)2+(一以一3+3)2=VW

-nV-3m=42nf

整理得，m4+6m3+7m2=0

H0，

m2+6m+7=0，

解得，叫=—3+V2，mj=—3—y/2

...當m=_3+加時，CQ=MN=3V2-2-

AOQ=-3-(3&-2)=-372-1

.?.Q(0,-372-1)：

當m=-3-0時，CQ=MN=-372-2?

/.OQ=-3-(-3V2-2)=3A/2-1

，Q(0，3V2-1)：

3)若MC=6MN，如圖，

則有t/_3m=\[2x《2府

整理得,m4+6m⑶+5m2=0

■:w0，

?*-m2+66+5=0，

解得，仍二-1,加2=-5

當m=-l時，MN=CQ=2,

???Q（0,-1）,

當m=?5時，MN=-10V0（不符合實際，舍去）

綜上所述，點Q的坐標為2（0,—1反―1）,Q2（°，T），Q3（°，3^—1）

【名師點撥】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關鍵是利用線段的和差得出二次函

數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質，解（3）的關鍵是利用菱形的性質得出關于m的方程，要分類討論，以防

遺漏.

1,3

10.（2020?吉林中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=--V+加;+—與x軸正半軸交于點

22

A,且點A的坐標為（3,0）,過點A作垂直于左軸的直線/.P是該拋物線上的任意一點，其橫坐標為

3

加，過點P作PQ，/于點Q；M是直線/上的一點，其縱坐標為一加+一，以PQ,QM為邊作矩形

2

PQMN.

備用圖

(1)求b的值.

(2)當點。與點M重合時，求加的值.

(3)當矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內部時，求加的值.

(4)當拋物線在矩形尸QMN內的部分所對應的函數(shù)值y隨x的增大而減小時，直接寫出“的取值范圍.

【答案】(1)。=1；(2)g=0,，%=4；(3)”?=_療+1；(4)0＜加＜3或機＞4.

【解析】

(1)將A點坐標代入函數(shù)解析式即可求得b的值；

(2)分別表示出P、Q、M的坐標，根據(jù)Q、M的橫坐標相同，它們重合時縱坐標也相同，列出方程求解

即可；

(3)分別表示出PQ和MQ的長度，根據(jù)矩形PQWN是正方形時PQ=MQ,即可求得m的值，再根據(jù)

頂點在正方形內部，排除不符合條件的m的值；

(4)分〃?￡1,1＜加＜3,m=3,/篦＞3四種情況討論，結合圖形解析即可.

【詳解】

13

解：(1)將點A(3,0)代入丁=一5爐+加+5

13

得0=—x3~+3bH—，

22

解得b=l,；

13

(2)由(1)可得函數(shù)的解析式為y=—QM9+x+j,

I22

VPQLl于點Q,

Q\3,—ITI~—

I22

3

???〃是直線/上的一點，其縱坐標為一m+一,

2

3

M(3,—m+—))

若點Q與點M重合,則

133

——m~2+m+—=-m+—，

222

解得町=0,m2=4；

(3)由(2)可得尸Q=13-m\,MQ=\(--1)-(-+m+|-)|=Im2-2m\,

山?矩形PQMN是正方形時，PQ=MQ

1

即|一〃z7--2zn|=|3-m\,

2

n

3

m-

-2