《高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)四十三講》(下)

第三十四講

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

最對本部分內(nèi)容的考查呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：

新1.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列組合問題的基礎(chǔ)和依據(jù)，雖然不是每年都單獨(dú)命題，但是

命其中的思想貫穿于整個(gè)排列組合中.

題2.考查內(nèi)容：兩個(gè)原理.

特3.考查形式：選擇題居多，通常是貫穿于排列組合的其他題目中出現(xiàn).難度一般不大，屬于中低

點(diǎn)檔題型.

預(yù)計(jì)：典型例題仍然要有題目涉及，綜合出現(xiàn)在解答題中的可能性較大.

應(yīng)兩個(gè)原理看起來簡單，但是要真正學(xué)會(huì)并能理解應(yīng)用不是很容易的事，特別是兩個(gè)原理的整合應(yīng)

試用是高考中丟分的關(guān)鍵因素.

高

分

瓶

頸

命題點(diǎn)1分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）

命題點(diǎn)2分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）

本類考題解答錦囊

命題點(diǎn)1分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）

解答“分類計(jì)算原理”一類試題應(yīng)注意：

1.分類計(jì)數(shù)原理是強(qiáng)調(diào)完成件事情的幾類方法互不干擾，彼此之間的交集是空集，并集是全集.不論

哪類方法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事，辦法中的各種方法也是相互獨(dú)立的.

2.正確區(qū)分分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理.

I高考最新熱門題

1（典型例題）從1,3,5,7中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)學(xué)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位

數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有一個(gè).（用數(shù)字作答）命題目的與解題技巧：①本題主要考查分步計(jì)數(shù)

原理與排列的基本知識.②抓住0不能在首位且個(gè)位只能是0或5來討論是正確解題的關(guān)鍵.

［解析］①當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，0_

CCA=4X3X4X3=144.

②當(dāng)個(gè)位不是。且含0,5_

則個(gè)位必為5,先為0選位置.

CCCA=2X3X4X2=48.

③當(dāng)不含。時(shí)，個(gè)位必為5,5

CCA=3X6X3X2=108.

二共有144+48+108=300個(gè).

［答案］300

2（2002?廣東、河南）［文理］從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有

A.8種B.12種C.16種D.20種

答案：C指導(dǎo)：甲一AfB~CfD~甲

由上表知A,D不為甲.

（1）若B為甲，則不同傳法=4種.

（2）若B不為甲，而C為甲，

則不同傳法C；XC；XC；=4種.

(3)若9不為甲，C不為甲，則?=2.

綜上知，共有傳球方法4+4+2=10種.

3(典型例題)從長度分別為1,2,3,4,5的五條線段中，任取三條的不同取法共有n種.在這些取法中,

以取出的三條線段為邊可組成的鈍角三角形的個(gè)數(shù)為m,則m等于

答案：A指導(dǎo)：若選擇三個(gè)不同的數(shù)，(且不含0)共有居+A/+4++A］=168種.

若選擇三個(gè)不同的數(shù)(含0)共有8+7+6+5+…+1=36種若選擇二個(gè)數(shù)，共有8+7+6+…+1=36種..,.共

有168+36+36=240種

4(典型例題)在由數(shù)學(xué)1、2、3、4、5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的

數(shù)共有

A.56個(gè)B.57個(gè)C.58個(gè)D.60個(gè)

答案：D指導(dǎo)：從01至10中連續(xù)選3個(gè)，共有8種選法，

從11至20個(gè)連續(xù)選2個(gè)，共有9種選法，

從21至30個(gè)選1個(gè)，共有10種選法，

從31至36中選1個(gè)，共有6種選法.

二共有8X9X10X6種號碼

，共有8X9X10X6X2=8640元故選D.

5(典型例題)從0,1,2,3,4,5中任取3個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中能被5整除的

三位數(shù)共有個(gè).(用數(shù)字作答)

11題點(diǎn)經(jīng)典類型題

1(典型例題)等腰三角形的三邊均為正數(shù).它們周長不大于10.這樣不同形狀的三角形的種數(shù)為

A.8B.9C.10D.11

命題目的與解題技巧：①考杳分類計(jì)數(shù)原理；②合理分類，注意條件“周長不大于10”

［解析］設(shè)三邊為x,y,z,則x+y+zW10,由三邊關(guān)系共有

(1,1,1),(1,2,2),(1,3,3),(1,4,4),(2,2,2),(2,2,3),

(2,3.3),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4)共10種.

［答案］C

2(典型例題)三人傳球，由甲開始發(fā)球，并作第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳

球方式共有

A.6種B.8種C10種D.16種

3(典型例題)如果三位數(shù)的十位數(shù)字既大于百位數(shù)字也大于個(gè)位數(shù)字，則這樣的三位數(shù)一共有

A.240個(gè)B.285個(gè)C.231個(gè)D.243個(gè)

4(典型例題)某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個(gè)號中抽出7個(gè)號為一注，每注2元。某人想從01至10

中選3個(gè)連續(xù)的號，從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號，從21至扣中選1個(gè)號，從31至36中選1個(gè)號組成?

注，則這個(gè)人把這種特殊要求的號買全，至少要

A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元

m新高考命題探究

1如圖34-1-1,花壇內(nèi)有五個(gè)花池，有五種不同顏色的花卉可供栽種，每個(gè)花池內(nèi)只

能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則最多有幾種栽種方案

圖34-1-1

A.180種B.240種C.360種D.420種

D指導(dǎo)：⑴當(dāng)1；2,4；3,5.僅三種花卉時(shí)，有混種.

（2）當(dāng)1；2,4；3,5恰四種時(shí),有娘種.

⑶當(dāng)1；2,4；3,5恰四種時(shí),有川種.

（4）當(dāng)栽種五種時(shí)，有種.

2在編號為1,2,3,4的四塊土地上分別試種編號為1,2,3,4的四個(gè)品種的小麥，但1號地不能種1

號小麥，2號地不能種2號小麥，3號地不能種3號小麥，那么有多少不同的試種方案？

分兩類.04號地種4號小麥，1號地有2種試種方法，2、3號

地只有1種試種方法，共有2種種法.②土地編號與小麥

編號都不相同，第1號土地有3種試種方法，若1號地種的

是第1.號小麥，則第1.號土地有3種種法，余下的兩塊地只有

1種種法，共有3X3=9種試種方法.由分類計(jì)數(shù)原理試種方

案共有2+9=11種.

命題點(diǎn)2分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）

本類考題解答錦囊

解答“分類計(jì)數(shù)原理”一類試題要弄清以下兩問題:

1.分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各個(gè)步驟缺一不可，需要一次完成所有的步驟才能完成事件，步與步之間互不影

響，即前一步使用什么方法不影響后一步采取什么方法，也就是步與步之間相互依存，只有連續(xù)性，但每

步中的不同方法卻相互獨(dú)立，互不干擾.

2.通常把完成題設(shè)事件的所有方法分為若干個(gè)“互斥類”，又在同一類中將完成事件的方法分成若干

個(gè)“獨(dú)立步”，以保證“不重、不漏”.

I高考最新熱門題

1（典型例題）將3種作物種植在如圖34—1—2,5塊試驗(yàn)田里.，每塊一

種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，不同的種植方法|||||

共有一種。（以數(shù)字作答）圖34-1-2

命題目的與解題技巧：①本小題主要考查分類、分步計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識，以及運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問

題的能力.②抓住了3種種子都種在試驗(yàn)田中這一特點(diǎn)，是正確解題的關(guān)鍵.

［解析］分別用a,b,c表示3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)先放入a,再安排第

二塊田有b或c兩種作物，有2種方法，不妨設(shè)放入A,卜.面對第三塊田種?；騝進(jìn)行分類：

（1）若第三塊田種c,則第四、五塊田分別有2種方法，共2X2種方法；

（2）若第三塊田種a,則第四塊田仍有b或c兩種作物可放；

①若第四塊田放c,則第五塊田有2種方法；

②若第四塊田放b,則第五塊田只能放c,有2種方法.綜上，共有3x2x［2x2+（2+l）］=42種方法.

［答案］42

2（典型例題）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)

目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為

A.42B.30C.20D.12

答案：A指導(dǎo)：第一步，先插入第一個(gè)節(jié)目，有6種插入法.

第二步，再插入第二個(gè)節(jié)目，有7種捕人法.

故共有7X6=42種.

3（典型例題、河南）圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)（n〉l）,以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為一

答案：2n(n—1)指導(dǎo)：2n(n—1)圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)，因此，有n條直徑，每條直徑為斜邊，有2n—2

個(gè)直角三角形，故共有n?(2n-2)=2n(n-l)個(gè)直角三角形.

4(典型例題)設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，經(jīng)過

5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)(3,0)(允許重復(fù)過此點(diǎn))處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有種(用數(shù)字作答).

答案：5指導(dǎo)：設(shè)每次跳動(dòng)的值為x(i=l,2,2,3,5),則根據(jù)題意得5=3.必有4個(gè)1和一個(gè)-1,共有

方法

=5(種).

5(典型例題)如圖3所示，?個(gè)地區(qū)分為52個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，

要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共Q

有種.(以數(shù)字作答)

答案：72指導(dǎo)：先排1區(qū)，有4種方法；再排2區(qū)，有3種方法：接著排3區(qū)，

有2種排法.下面對4區(qū)涂色情況進(jìn)行分類；若4區(qū)與2區(qū)同色，有1種方法，此時(shí)5區(qū)有2種方法，若

4區(qū)與2區(qū)不同色，則1、2、3區(qū)不同色，故4區(qū)也只有1種方法，此時(shí)5區(qū)只有1種方法，故共有4X3

X2X(1X2+1X1)=72(種).

H題點(diǎn)經(jīng)典類型題

1(典型例題)甲乙丙三個(gè)單位分別需要招聘工作人員2人、1人、1人，現(xiàn)從10名應(yīng)聘人員中招聘4人到甲

乙丙三個(gè)單位，那么不同的招聘方法共有

A.1260種B.2025種C.2520種D.5040種

命題目的與解題技巧：①考查分步計(jì)數(shù)原理與組合知識；②合理分步是解決此類問題的關(guān)鍵

［解析］第一步先從10人中選2個(gè)有種，再從8人中選1個(gè)人有種，再從7人中選1個(gè)人有種，故

共有=2520種方法.

［答案］C

2(典型例題)某文藝團(tuán)體卜基層進(jìn)行宣傳演出，原準(zhǔn)備的節(jié)目表有6個(gè)節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序

不變，在它們之間再插入2個(gè)小品節(jié)目，并且這2個(gè)小品節(jié)目在節(jié)目表中既不排頭，也不排尾，那么不同

的插入方法有

A.20種B.30種C.42種D.56種

答案：B指導(dǎo)：由題意知，將第一個(gè)小品節(jié)目插人節(jié)目單中，有eg

種插法.

將第二個(gè)小品節(jié)目插入節(jié)目單中，有以種插法.

則共有以煤=30種安排方法.

3(典型例題)由0,1,2,???,9這十個(gè)數(shù)字組成的、無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的

絕對值等于8的個(gè)數(shù)為

A.180B.196C,210D.224

答案：C指導(dǎo)：由題意知可能情況有

(1)_08,(2)____8_0,(3)____1_9,(4)___9_1_

對⑴、(2)都有不同數(shù)字屑=8X7=56種.

對⑶、(4)都有不同數(shù)字=49種.

則共有(56+49)X2=210種不同四位數(shù).

4（典型例題）某電子器件的電路中，在A、B之間有C、D、E、F四個(gè)焊點(diǎn)（如圖34—卜5）.如果焊點(diǎn)脫落,

則有可能導(dǎo)致電路不通，今發(fā)現(xiàn)工A、B間電路不通，則焊點(diǎn)脫落的不同情況有種.

答案：13指導(dǎo)：焊點(diǎn)C是否脫落有12種選法.D、E、F均有2種選法.則有萬=16種方案.

而全不脫落電路暢通，有1種方案，恰D、E中一個(gè)脫落，

圖34-1-5

種方案.故斷路方案有16-1-C\=13種.

m新高考命題探究

1.某銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼是一個(gè)4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位、個(gè)位上的數(shù)字（如

2816）的方法設(shè)計(jì)密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時(shí)，十位上數(shù)字選0.千位、百位上都能取0.這樣設(shè)計(jì)出來的密碼共

有

A.90個(gè)B.99個(gè)C.100個(gè)D.112個(gè)

答案：C指導(dǎo)：千位上數(shù)字的取法引C；（），百位上數(shù)字的取法共設(shè)計(jì)方案=100種，也即有100個(gè)密碼.

2.如圖34-1-6所示，用不同的五種顏色分別為A、B、C、D、E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，

但同一種顏色可以重復(fù)使用，也可不使用，則符合這種要求的不同著色的方法種數(shù)是

A.120B.240C.480D.540

答案：D指導(dǎo)：為A著色有感種，為B著色有種為C著色

種，為E著色有心種.

為D著色有種.故共有=540種

第三十五講排列與組合

最對本部分內(nèi)容的考杳呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：

新1.排列組合不僅是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)問題，同時(shí)在實(shí)際中有很大的用處，因比在高考中經(jīng)常有題目涉

命及.

題2.考查內(nèi)容：排列、組合的概念、排列數(shù)與組合數(shù)、排列組合的應(yīng)用.

特3.考查形式：單獨(dú)命題是通常出現(xiàn)在選擇或填空題中，有時(shí)候和組合及概率相結(jié)合出現(xiàn)在解答題

點(diǎn)中.難度相對較小，屬于高考中的中低檔題目'

預(yù)計(jì)：典型例題仍然要有題目涉及，出現(xiàn)在解答題中的可能性較大.

成1.排列中讀不清題目中的關(guān)鍵字（如“在”與“不在”、“鄰”與“不鄰”等）是導(dǎo)致丟分的因素之

試

高2.組合中讀不清題目中的關(guān)鍵字（如“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”等）是導(dǎo)致丟分

同的因素之一.

分3.針對于不同類型的題目靈活使用不同的方法是本部分的難點(diǎn).

瓶

頸

命題點(diǎn)1排列

命題點(diǎn)2組臺(tái)

命題點(diǎn)1排列

本類考題解答錦囊

解答“排列”一類試題應(yīng)注意以下幾方面:

1.本題考查二次函數(shù)的一般式，函數(shù)性質(zhì)和排列組合的應(yīng)用.

2.關(guān)鍵是對二次函數(shù)、偶函數(shù)弄清楚.

3.“在”與“不在”的問題應(yīng)該使用“優(yōu)先法”.優(yōu)先考慮特殊位置或者特殊元素，對這些特殊位置或

者特殊元素進(jìn)行優(yōu)先排列.

4.“鄰”與“不鄰”的問題中：“鄰”的問題應(yīng)使用“捆綁法”；“不鄰”的問題應(yīng)使用“插空法

I高考最新熱門題

1（典型例題）從一1,0,1,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f（x）=ax/6x+c的系數(shù)，可組成不同的二

次函數(shù)共有個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共有個(gè).（用數(shù)字作答）

命題目的與解題技巧：①本題考查二次函數(shù)的一般式，函數(shù)性質(zhì)和排列組合的應(yīng)用②關(guān)鍵是對二次函數(shù)，

偶函數(shù)弄清楚.

［解析］???aHO,；.a應(yīng)從除0外的三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)有個(gè).b、c應(yīng)從剩下的三個(gè)中任取2個(gè)，有

種取法.則組成不同的二次函數(shù)共有=18個(gè)，組成偶數(shù)函數(shù)必滿足aKO,b=O,則有4；=6個(gè).

［答案］6

2（典型例題）某校高二年級共有六個(gè)班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個(gè)班級且每班安排

2名，則不同的安排方案種數(shù)為

A.B.c.D.2A：

答案：B指導(dǎo)：分兩步：①把4名學(xué)生平均分成兩組，有方法：丹?一=!需；②把兩組學(xué)生分到六個(gè)

22

班級的兩個(gè)班中，；居種方法，故共有方案;解C；種，選B

3（典型例題）有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不

能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是

A.234B.346C.350D.363

答案：B指導(dǎo)：前排中間的3個(gè)座位不能坐，有排法A金，其中左；相鄰的分三類，在前排的其中

的4個(gè)座位有3A瓢，則符合條，的排法的種數(shù)中A*-34”3A”11艱=346,故選B另解：分三類：①

兩人坐在前排，按要求有4?6+4?5=44

種坐法.

②兩人坐在后排，按要求有：A|2|=110種坐法.

③兩人分別坐在前后排，有8X12X2=192種

共有346種排法.

4（2002?京皖）從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同工作.若其中甲、乙兩

名志愿者都不能從事翻譯工作，則選派方案共有

A.280種B.240種C.180種D.96種

答案：指導(dǎo)：

翻譯III

因?yàn)榧?、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，因此，翻譯工作從余卜的四名志愿者選一人有種，再從余卜

的5人中選3人從事導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔有4種，因此用A9=240題點(diǎn)經(jīng)典類型題

n題點(diǎn)經(jīng)典類型題

1（典型例題）5人排一個(gè)5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多大或不排，但相鄰兩天不能排同一

人，值日表排法的總數(shù)為

A.120B.324C.720D.1280

命題目的與解題技巧：考查排列知識，用“涂色原理”.

［解析］分五步：5X4X4X4X4=1280,故選D

［答案］D

2（典型例題）用1個(gè)1,2個(gè)2,3個(gè)3這樣6個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)不同的6位數(shù)

A.20B.60C.120D.90

答案：B指導(dǎo)：由題有單_=60故選B.

A粥

3（典型例題）有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不排在乙的左邊，又不與乙相鄰，而不同的站法有

A.24種B.36種C.60種D.66種

答案：B指導(dǎo)：先排甲、乙外的3人，有另種排法，再插入甲、乙兩人，有屑種方法，又甲排乙的左

邊和甲排乙右邊各占;故不同方法數(shù)有:A八曷=36種.

4（典型例題）用0,3,4,5,6排成無重復(fù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位

數(shù)的個(gè)數(shù)是

A.36B.32C.24D.20

答案：D指導(dǎo)：按首位數(shù)字的奇偶分兩類：若首位是奇數(shù)，則共有種方法，若首位是偶數(shù)，則共有

（君-A^）娘種方法.…這樣的五位數(shù)共有照A1+（A1-姆）舄=20種.

m新高考命題探究

1百米決賽有6名運(yùn)動(dòng)員A、B、C、D、E,F參賽，每個(gè)運(yùn)動(dòng)員速度不同，則運(yùn)動(dòng)員A比運(yùn)動(dòng)員9先到終點(diǎn)

的比賽結(jié)果共有

A.360B.240C.120I）.48

答案：A指導(dǎo)：由A比F先到終點(diǎn).又A與F先到終點(diǎn)的機(jī)會(huì)均等，故只需對六人全排后除以2

即就/2=360.選A

26名運(yùn)動(dòng)員站在6條跑道上準(zhǔn)備參加比賽，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必須站在第五

或第六道，則不同排法種數(shù)共有

A.144B.96C.72D.48

答案：A指導(dǎo)：先為乙選一道C；,再為甲選一道或余下4人排法有m，則共有C；8<=144.

3從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4x100米接力賽，如果甲、乙兩人都不跑第一棒，那么不同的參賽方

案有

A.180種B.240種C.300種D.360種

答案：指導(dǎo)：分三種情況：⑴甲、乙都不參加，有*=24種；（2）甲、乙僅有1人參加.有2c=144

種：

（3）甲、乙兩人都參加，有后照72種.由分類計(jì)數(shù)原理.?.共有24+144+72=240種.

命題點(diǎn)2組合

本類考題解答錦囊

解答“組合”一類試題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1.讀清題意，確定是排列還是組合.此時(shí)應(yīng)該注意的地方是：選出的元素是否有各自不同的順序或者

位置.

2.與排列數(shù)不同，組合數(shù)有較多的性質(zhì)（剩余性質(zhì)和連加性質(zhì)），與以前或以后的很多知識點(diǎn)都有密切

的聯(lián)系，就引起特別注意。

3.注意組合中的關(guān)鍵字：“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”.

4.“多面手”問題：分類討論，分類的依據(jù)應(yīng)該是看多面手分到兩邊中其中一邊的人數(shù).

5.幾何問題：考慮（1）所給點(diǎn)的特點(diǎn)；（2）所構(gòu)成圖形的要求.

I高考最新熱門題

1（典型例題）直角坐標(biāo)xOy平面上，平行直線x=n（n=0,1,2,…,5）與平行直線y=n（n=0,1,2,…，5）

組成的圖形中，矩形共有

A.25個(gè)B.36個(gè)C.100個(gè)D.225個(gè)

命題目的與解題技巧：①考杳排列組合的計(jì)算問題，以及分析問題、解決問題的能力.②解決計(jì)數(shù)問題

的關(guān)鍵是選擇計(jì)數(shù)的出發(fā)點(diǎn)，即“完成一個(gè)事件”的策略是什么？本題“完成矩形”的構(gòu)造，考慮的著眼點(diǎn)

是矩形是由四條邊構(gòu)成，這四條邊從何而來.

［解析］矩形是從平行直線x=n（n=0,1,2,5）中選擇兩條，作為一組對邊.再從平行直線y=n（n=l,0,

1,2,…，5）中選擇兩條，作為另一組對邊形成的.每?種選擇方案確定一個(gè)不同的矩形，故矩形共有

Cl-Cl=225個(gè).

［答案］D

2（典型例題）在100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的不同取法的種數(shù)是

A.B.

CGoo-C94D,A10O—Ag4

答案：C指導(dǎo)：任取3件產(chǎn)品有C130G種方法，其中無次品有種方法，故至少有1件次品的方法數(shù)為

C100一圓.

3（典型例題）從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不

同的選法共有

A.140種B.120種C35種D.34利，

答案：D指導(dǎo)：既有女生又有男生，可以分類表示，三男一女有C|?C；種選法，二男二女有C：或種,

一男三女有C1?以種

選法，則總的不同的選法有煜?C；+煽?或+以?Cj=34（種）

4（2002?北京）［理］12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配

方案共有

A.種B.3種C.種D.種

答案：A指導(dǎo)：先分配4個(gè)人到第一個(gè)路口，再分配4個(gè)人到第二個(gè)路口，最后分配4個(gè)人到第三個(gè)路

口.

n題點(diǎn)經(jīng)典類型題

1（典型例題）從4名男生和5名女生中任意選出3人參加一個(gè)會(huì)議，其中至少有1名男生和一名女生，則

不同的選派方案有

A.140種B.84種C.70種D.35種

命題目的與解題技巧：①考查組合問題.②合理使用加法原理.

［解析］若選兩女?男，則有?種方法，若選兩男一女，則有C?種方法，故共有C?+種.

［答案］C

2（典型例題三校）高三年級有文科、理科共9個(gè)備課組，每個(gè)備課組的人數(shù)不少于4個(gè)，現(xiàn)從這9個(gè)備課組

中抽出12人，每個(gè)備課組至少1人，組成“年級核心組”商議年級的有關(guān)事宜，則不同的抽調(diào)方案共有

A.129種B.148種C.165種D.585種

答案：C指導(dǎo)：本小題可看成將12個(gè)人排成一排，插入8塊板，分成9部分.有C；|=C4=165種.

3（典型例題）一次考試中，要求考生從試卷上的9個(gè)題目中選6個(gè)進(jìn)行答題，要求至少包含前5個(gè)題目中的

3個(gè)，則考生答題的不同選法的種數(shù)是

A.40B.74C.84D.200

答案：B指導(dǎo)：若前5題中包含3個(gè)，則共有種，若前5題中包含4個(gè)，則共有種，若前5題中包含5

個(gè)，則共有可C：

種，,不同的選法種數(shù)為C??或+C??或+C汴以=74種.

4（典型例題）將1,2,3,9這9個(gè)數(shù)填在如圖35—2—1中的9個(gè)空格中，要求每一行從左到右，每一

列從上到下依次增大，當(dāng)3、4固定在圖中位置時(shí)，所填寫空格的方法有

A.6B.12C.18D.24

答案：A指導(dǎo)：由題意知數(shù)字1,2,9的位置也是固定的，如圖：5,6,7,8四個(gè)數(shù)字在A、B、C、D

四個(gè)位置上，A、B位置上的填法或，C、D位置上的填法或，共有C：?C>6種，故選A

m新高考命題探究

1將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有

A.252種B.112種C.70種D.56種

答案：B指導(dǎo)：由題知，總分配方法有：C^CI+=112ft.故選B

2圓周上有12個(gè)不同的點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)作弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是

A.1B.短A；c.D.

答案：D指導(dǎo)：圓周上任意四個(gè)點(diǎn)的交叉連線交點(diǎn)均在圓內(nèi)且惟一，故只需確定這樣四點(diǎn)的種數(shù).由這

四點(diǎn)選法有，故在圓內(nèi)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為C*,所以選n

T

3設(shè)含有10個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)為S,其中由3個(gè)元素組成的子集數(shù)為T,由一的值為?

S

答案：々指導(dǎo)：［=-5—轉(zhuǎn)——io=-^

128S或+或+…+瑞128

考場

熱身探究性命題綜合測試

1一架間諜飛機(jī)侵入我領(lǐng)空，空軍某部奉命派出三架戰(zhàn)機(jī)跟蹤攔截，作戰(zhàn)部要求我戰(zhàn)機(jī)分別位于敵機(jī)的左

右兩翼和后方成三角之勢夾擊敵機(jī)，這樣，我三架戰(zhàn)機(jī)的不同排列方式有（）種

A.3B.6C.9D.12

答案：B指導(dǎo)：即三架飛機(jī)三種不同占位，故A9=6（種）

2要排出一張6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩舞蹈節(jié)目不得相鄰，不同的排法共有（）

種

A.A：；B.C.D.?得

答案：D指導(dǎo)：先排6個(gè)歌唱節(jié)目有種排法，這6個(gè)節(jié)目有7個(gè)空隙（首尾各一個(gè)，中間5個(gè)），在這七

個(gè)空隙中將4個(gè)舞蹈節(jié)目插入有種插法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有就用種方法.

3現(xiàn)從某校5名學(xué)生中選出4人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三個(gè)課外活動(dòng)小組，要求每個(gè)小組至少有?人參加，

且每人只參加一個(gè)活動(dòng)小組，則不同的參加方案種數(shù)是

A.180B.120C.60D.30

答案：A指導(dǎo)乙從5名學(xué)生中選4人有種選法，然后4人分成3組參加數(shù)理化三個(gè)課外活動(dòng)小組，有

?鳥種，則共有堞?或?儲(chǔ)=180（種）選A

4某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2,3張不同花色的A,有5次出牌的機(jī)會(huì)，每次只能出

一種點(diǎn)數(shù)的牌，但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？

答案：另+屑+溜+宿川+A：+C>Ag=860種指導(dǎo)：出牌的方法可分為以下幾類：①5張牌全部分開出，

有另種方法；歐張2—■起出，3張A分開出，有Aj種方法；③2張2--起出，3張A分開出，有川種方

法；④2張2??起出，3張A分兩次出，有C色?另種方法：⑤2張2分開出，3張A一起出，有四種方法;

⑥2張2分開出，3張A分兩次出，有C色另種方法，因此共有不同的出牌方法

5已知y=f（x）是定義域?yàn)锳={xllWxW7,x^N},值域?yàn)锽={0,1}的函數(shù)

（D試問這樣的函數(shù)f（x）共有多少個(gè)？

（2）若對于定義域中的4個(gè)不同元素，對應(yīng)的函數(shù)值都是1,那么這樣的函數(shù)共有多少個(gè)？

答案：（1）函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集上的一個(gè)映射，根據(jù)映射的定義，只要對集合A中的7個(gè)元素在9

中都有唯一的元素與之對應(yīng)即可，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有2X2X2X…X2=27=128個(gè)，又0或1沒有原

象的映射各有一個(gè)，故這樣的函數(shù)f（x）共有1282=126個(gè).

（2）因?yàn)槎x域中的4個(gè)元素對應(yīng)于值域中的1,那么其余3個(gè)元素都對應(yīng)值域中的0,故這樣的函數(shù)f（x）

有援=35（個(gè)）.

第三十六講

二項(xiàng)式定理

最對本部分內(nèi)容的考杳呈現(xiàn)以卜特點(diǎn)：

新1.二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考中每年必考的內(nèi)容.

命2.考杳內(nèi)容：（1）二項(xiàng)展開式；（2）：項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（3）二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)和；（4）

題展開式系數(shù)、系數(shù)和.

特預(yù)計(jì)：20%年高考可能有題目涉及，出現(xiàn)在選擇填空中的可能性較大.

點(diǎn)

應(yīng)1.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式容易出錯(cuò).第r十1項(xiàng)的二次式系數(shù)為.

試2.二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)的區(qū)別與使用是本部分的難點(diǎn)內(nèi)容，也是高考中丟分的關(guān)鍵因素之一.

高

分

瓶

頸

命題點(diǎn)1通項(xiàng)公式

命題點(diǎn)2二項(xiàng)展開式的系數(shù)與系數(shù)和

命題點(diǎn)1通項(xiàng)公式本類考題解答錦囊

解答“通項(xiàng)公式”一類試題要注意以下幾方面：

1.熟悉通項(xiàng)公式

2.在二項(xiàng)式的題目中出現(xiàn)“項(xiàng)”的問題（如常數(shù)項(xiàng)、含x的項(xiàng)、含的項(xiàng)、有理項(xiàng)等），通常都要用通項(xiàng)公

式.

3.用通項(xiàng)公式解題，通常是解方程的問題，要注意方程的選取.

I高考最新熱門題

1（典型例題）工一十展開式中x'的系數(shù)為.

命題目的與解題技巧：①本小題主要考查二項(xiàng)式定理、指定項(xiàng)系數(shù)等基本知識.②利用好二項(xiàng)展開式的

通項(xiàng)公式Tr使問題簡化.

［解析］=C；x8-r（一十）'=3

3

令8-----r=5得r=2.

2

，展開式中X，的系數(shù)為Cl=28.

［答案］28

2（典型例題）若（1-2*）,展開式的第3項(xiàng)為288,則lim（'+—1+???+—L）的值是

“T8Xxxn

12

A.2B.1C.—D.-

25

答案：A指導(dǎo)：（a+b）”展開式中第r+1項(xiàng)為

,+1=C；由此知288=可?（-2*）2解之：x=g則數(shù)列｛4｝是公比為,的等比數(shù)列

33

aQ

3（典型例題）已知（x-一尸展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120,其中實(shí)數(shù)。是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是

X

A.28B.3sC.1或*D.1或2刊

答案C指導(dǎo)設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)則有

,+1=禺?x'-r?（-幺）,=C4.（-a）r.88-2「當(dāng)『=48寸,7；+］為常數(shù)項(xiàng)

X

即：C^（-a）4=1120解:a=±2當(dāng)。=-2時(shí)6+工9展開式中各項(xiàng)系數(shù)和（1+29

X

當(dāng)a=2時(shí)，（x-$8展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為（］-令8=?

3」

4（典型例題）已知（X*+X^）”的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128,則展開式中/的系數(shù)是.（以數(shù)字

作答）

答案：35指導(dǎo)：各項(xiàng)系數(shù)和為

31

2",則2"=128,"=7,7_］=C；?（x5）i?（x野,令生業(yè)=5,r=3.C；=、=35.

6

n題點(diǎn)經(jīng)典類型題

1（典型例題）已知（一!^+56）”的二項(xiàng)展開式的第六項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，那么n的值是

30Vx

A.32B.33C.34D.35

命題目的與解題技巧：①考查二項(xiàng)式定理.②靈活使用通項(xiàng).

5

［解析］T6=C：?（—^）"-?（我）5=C：—T"'

30y1x

:.--------（H—5）+1—0.n—35.

30

二故選D.

［答案］D

2（典型例題）（（+—I）”的展開式中，第6項(xiàng)系數(shù)最大，則不含x的項(xiàng)為

x~

A.210B.10C.462D.252

答案：A指導(dǎo)：第六項(xiàng)系數(shù)即為第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系統(tǒng)。

n=10.0+1=%?（小嚴(yán)-r?（」），=2r令30_3r-2r=0,r=6,;.C；。==210

X2

3（典型例題）設(shè)f（x）=l+x+（l+x）2+…+（l+x）n的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)和為Tn,則

111

A.-B.-C.-D.1

842

答案：c指導(dǎo)：?;,=1+cl+c1+...c\=oo-^―=

22

4（典型例題）已知（xVx--）6的展開式的第五項(xiàng)等于—,則lim（x'+x2+…+x"）等于

x2“T8

A.0B.1C.2D.3

3

464-1-1-1

答案：B指導(dǎo)：T5=C^-x-'）.（x2）-=15A=x=1=2

1

illi2(1-1)[

Jim/-I,-2-3,,-吟_lim/1,1.1,1\_lim2”」im〃1\_i

?+X+%+.…+X)f(萬+齊+了■+…+歹-〃foo-------j-—〃foU一b-1

1----

2

5(典型例題)若(x2+)n的展開式中，只有第四項(xiàng)的系數(shù)最大，那么這個(gè)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是一

答案：20指導(dǎo)：由題知n=6,.?.常數(shù)項(xiàng)為出=20

6（典型例題）若（?--，）”的展開式中的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n=

n-44

8指導(dǎo):4=cM(4)1?(2)4=C：?24?JC~?x~2

.?.第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).,^+(-i)=0,.-.n=8.

m新高考命題探究

1在(l+x)3+(l+x)4+…+(l+x)典型例題式中x3的系數(shù)等于

A?02004B.。2005。2c2004D.2c鼻期

B指導(dǎo)：x的系數(shù)等于C熱++C?+...+C?Q（）4=cj++C?+....+cgo（）4=C,0（）5故選8

2在（x，3x+2廠展開式中x的系數(shù)為

A.160B.240C.360D.800

答案：B零指導(dǎo)：由題知x的系數(shù)為Cg（3x）?（4?24=240?x

命題點(diǎn)2二項(xiàng)展開式的系數(shù)與系數(shù)和

本類考題解答錦囊

解答“：項(xiàng)展開式的系數(shù)與系數(shù)和”一類試題要注意：

1.區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，不要將兩者混為一談.

2.:項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和：：項(xiàng)式系數(shù)和式是結(jié)論性的，記住結(jié)論即可.系數(shù)和的求法是“賦值法”,

針對不同的問題賦不同的值，通常是“1,-1,0”.

3.注意系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和中的“全和”與“半和”.

I高考最新熱門題

!，w2,

1（典型例題）若（1—2x）"'*+aix+a2x+"+a（VMH"（XGR）,則（a,十a(chǎn)）+（a,+a2）+（ju+a：,）+…+（a,十a(chǎn)則皿

_.（用數(shù)字作答）

命題目的與解題技巧：①本小題主要考杳二項(xiàng)式定理的基本知識，以及賦值法等基本方法.②觀察式子

特點(diǎn)，尋找x賦值為多少時(shí)使已知所得等式更接近所求，從而使問題迎刃而解.

［解析］令x=0,得ao=l；

令x=l,得l=a?+ai+a2+…+a極.故（ao+a）+（ao+aj+（ao+as）+…+（ao+a眄蛹域OO3+ao+ai+a2+…+a"

里的a04.

c2+c2+C2+---+C2

［答案］典型例題（典型例題）limT————7---------------卜=

11

A.3B.-C.—D.6

36

答案：B指導(dǎo)：原式=|：二8C〃+l_lim3x2

〃(2+3+...+〃)+3

?2

3（2002?上海）在二項(xiàng)式（1+3*）和（2*+5）的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和分別記為an、bn,n是正整數(shù),則

..an-2b

lim-------乙n

〃T83〃“-4b”

答案：g指導(dǎo)：由二項(xiàng)式定理得：%=4"乃=7":.lim%-2瓦_(dá)l..im4，〃一42,?/7〃_lrim7__________]1

?"T8=〃T8-7Til4~A=彳

3a“-4%3?4"-4?7”3.(-)"-42

4(典型例題)若(x+2)"=x"+…+ax'++bx2+cx+2"(neN,且n>3),且a:b=3:2,貝"n=.

答案：指導(dǎo)：(x+2)"=C^xn+C\xn+C>n_1x21+...+C^-3x3x2n-3+C^-2x2+C；-1?x2"-1+C；x2n,

故a—a*瑞%o嗤7+―/…u

n題點(diǎn)經(jīng)典類型題

1（典型例題）若（nWN+）,且（2—x）n=aO+alx+a2x2+***+anXn,則a0-al+a2-…+（T）nan等于

A.81B.27

C.243D.729

命題目的與解題技巧：①考查二次式定理②靈活運(yùn)用“半和”公式③合理使用“賦值法”

［解析］由題知2n+6=n+2,/.n=-4（舍）或2n十6n+2=20An=4.

此時(shí)令x=-1,@廠為+&-&3+???（T）"a=3'=81.

［答案］A

2(典型例題)已知=an+axi+…+an(其中m、n￡Z,且0Wm<n).若f(x)=

i=m

f(-l)'C；(3-x)i=//則;fai=

1=0?=0/=1

A.0

B.-2

C.(-l)n

D.n為偶數(shù)時(shí)為0,n為奇數(shù)時(shí)為-2

答案：D指導(dǎo)：由題知，只需令x=I則

n?ft

Z?,=S(-1),C；,(3-D，=￡C；(-2)i=C^(-2)°=C：(-W+.￡(-2)”=(1-2)”=(~l)n

i=0，=i=0

=（-l）n-?o=（T）"T二當(dāng)"為奇數(shù)時(shí),Z。,-=當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),=°，

1=0i=li=l

3（典型例題）若n是奇數(shù)，則7"++C：7"T+G；7"-2+...+。：［7被9除的余數(shù)是

A.0B.2C.7D.8

答案：C指導(dǎo)：原式

=C懺+c[?7〃T+?7+Cj-1.=(7+1)W-1=8M-1=(9-1)M-1=C之一1)°9〃+(-1)1+1....+C；；(-l)w-1.

???n為奇數(shù)，故僑余數(shù)為7。

4(典型例題)若(2—x)lo=ao+aix+a2x2+,,,aiox10,

PHI1ogzao+1og2ai+1og45=______.

答案：12指導(dǎo)，；log2?o+log2a8-log245=log22i°+log2GQ22-log245=10+2+log245-log245=12

m新高考命題探究

1在(l+x)”(n為正整數(shù))的二項(xiàng)展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的和為A,偶數(shù)項(xiàng)的和為B,則(1-xT的值為

A.0B.AB

C.A2-B2D.A'+B"

答案：C指導(dǎo)：由題知(l-x)n=A-B(l-x)n=A+B:.(l-x2)n=(l-x)"(l+x)"-(A-B)(A+B)=A2-B2

2多項(xiàng)式(1—2x)12+x)中含x，的系數(shù)是

A.120B.—100

C.100D.—120

答案：D指導(dǎo)：因?yàn)?l-2x)5(2+x)的展開式4的系數(shù)或(-2戶2+或(-2)2=-120.

考場

熱身探究性命題綜合測試

1當(dāng)ndN“且n22時(shí)，1+2+2。+…+2"'=5p+q(其中p、q為非負(fù)整數(shù)，且0Wq<5),則q的值為

A.0B.1

C.3D.與n有關(guān)

答案：A指導(dǎo)：由于1+2+22+...+24"=2而7=24"-1.?.問題轉(zhuǎn)化為求*7被5除的余數(shù)。

,/24"-1=16"-1=(1+15)"-1=C,1,*15+C,2?152