符號(hào)意識(shí)的再培養(yǎng)及促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)再提升的研究

摘

要：符號(hào)意識(shí)是小學(xué)階段十一大核心素養(yǎng)之一，也是核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要表現(xiàn)形式。文章對(duì)六年級(jí)畢業(yè)班學(xué)生符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)情況進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)在復(fù)習(xí)階段，教師可通過數(shù)學(xué)習(xí)題進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。教師可以此為契機(jī)，借助知識(shí)梳理，讓學(xué)生體會(huì)符號(hào)的普遍性和簡(jiǎn)潔性，系統(tǒng)感知符號(hào)意識(shí);借助習(xí)題特征，讓學(xué)生體會(huì)符號(hào)的直觀性和獨(dú)特性，體驗(yàn)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)過程;借助類比變式，讓學(xué)生感悟符號(hào)的構(gòu)建性和拓展性，深化發(fā)展符號(hào)意識(shí)。讓學(xué)生在溫故知新的同時(shí)，形成良好的思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心能力，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展和進(jìn)階。關(guān)鍵詞：符號(hào)意識(shí);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);小學(xué)數(shù)學(xué)英國(guó)著名數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家伯特蘭·羅素曾說：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯?！彼?，符號(hào)作為用于數(shù)學(xué)表達(dá)、理解和運(yùn)用的工具，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中顯得尤為重要。“符號(hào)意識(shí)”一詞的內(nèi)涵在小學(xué)數(shù)學(xué)中一直難以界定，現(xiàn)行《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)2022年版”）指出：“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能。知道符號(hào)表達(dá)的現(xiàn)實(shí)意義;能夠初步運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律;知道用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性;初步體會(huì)符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式。符號(hào)意識(shí)是形成抽象能力和推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)?！睆闹锌梢钥闯觯鞍刖涫菍?duì)符號(hào)意識(shí)的描述性敘述，明確數(shù)學(xué)符號(hào)既具有一般符號(hào)的功能，又具有數(shù)學(xué)的特征，后半句指出隨著符號(hào)意識(shí)發(fā)展，對(duì)學(xué)生產(chǎn)生了的積極影響?！罢n標(biāo)2022年版”在“核心素養(yǎng)構(gòu)成”中也明確指出，數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力（包括數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí)。從中能看出符號(hào)是一種抽象化的語言和能力，學(xué)生的整個(gè)核心素養(yǎng)養(yǎng)成具有整體性、一致性和發(fā)展性。具體來說，在小學(xué)階段滲透發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，能為發(fā)展學(xué)生的抽象能力和邏輯推理能力奠定基礎(chǔ)，并能為初中的抽象能力、推理能力、模型觀念以及高中的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的養(yǎng)成提供助力。六年級(jí)是小學(xué)階段的最后一年，也是小中銜接的過渡年，在最后的復(fù)習(xí)階段，教師可借助數(shù)學(xué)書總復(fù)習(xí)中的已有習(xí)題，讓學(xué)生復(fù)習(xí)符號(hào)的產(chǎn)生、運(yùn)用與建模的過程，深入促進(jìn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)發(fā)展，使學(xué)生具備主動(dòng)理解、表達(dá)和運(yùn)用符號(hào)的意識(shí)和能力，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。一、借助知識(shí)梳理，系統(tǒng)感知符號(hào)意識(shí)意識(shí)普遍存在但很難通過直接講授傳達(dá)給學(xué)生，只有學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自己感知、領(lǐng)悟與發(fā)展才能逐步形成。六年級(jí)學(xué)生在現(xiàn)階段有意識(shí)或者無意識(shí)中，已經(jīng)學(xué)會(huì)了應(yīng)用很多不同的符號(hào)，而每一種符號(hào)本身所包含的特定含義和它的產(chǎn)生都有一定的聯(lián)系，提高對(duì)符號(hào)的認(rèn)識(shí)和理解，感受不同符號(hào)的含義和其所表達(dá)的豐富現(xiàn)實(shí)意義，是學(xué)生能正確運(yùn)用符號(hào)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生符號(hào)意識(shí)發(fā)展的基石。（一）豐富符號(hào)語言，增強(qiáng)符號(hào)的感知學(xué)生通過收集、整理和分類不同符號(hào)，增強(qiáng)對(duì)不同符號(hào)的感知，有利于學(xué)生對(duì)符號(hào)的再認(rèn)識(shí)，以及后期運(yùn)用符號(hào)熟練表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律。在六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)開始時(shí)，教師可以借助整冊(cè)書進(jìn)行知識(shí)梳理，讓學(xué)生通過整理表述已經(jīng)了解的各種符號(hào)，正確認(rèn)識(shí)學(xué)過的符號(hào)的含義，并把各種數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行分類與歸納，增強(qiáng)對(duì)各類符號(hào)的感知，豐富符號(hào)語言，建立符號(hào)體系。比如，有運(yùn)算類符號(hào)，如“+-×÷”等;有結(jié)合類符號(hào)，如小括號(hào)“（）”、中括號(hào)“[]”、大括號(hào)“{}”;有關(guān)系類符號(hào)，如“>”“<”“=”、比號(hào)“∶”等;有性質(zhì)類符號(hào)，如百分號(hào)“%”、負(fù)號(hào)“-”、正號(hào)“+”等，教師可以讓學(xué)生通過制作數(shù)學(xué)小報(bào)、思維導(dǎo)圖等形式梳理已掌握的符號(hào)，適當(dāng)查漏補(bǔ)缺。（二）感受符號(hào)內(nèi)涵，建立符號(hào)的表象學(xué)生在感受不同符號(hào)的豐富內(nèi)涵，深入了解符號(hào)所代表的意義和象征的含義后，更容易透過符號(hào)看到更深層次的數(shù)學(xué)意義，并合理應(yīng)用這些數(shù)學(xué)符號(hào)。在學(xué)生整理、歸納的過程中，教師可以有意識(shí)地幫助學(xué)生尋找豐富素材作為載體，讓學(xué)生體會(huì)同一符號(hào)在不同情境下的不同含義，例如：面積和路程符號(hào)“S”、速度和體積符號(hào)“V”等。還可在復(fù)習(xí)例題中，讓學(xué)生感受字母符號(hào)所表示的不同規(guī)律和意義，有意識(shí)地豐富學(xué)生對(duì)各種符號(hào)的理解和認(rèn)識(shí)，感受符號(hào)在數(shù)學(xué)和生活中存在應(yīng)用的概括性和普遍性，使學(xué)生建立符號(hào)的表象。（三）學(xué)會(huì)符號(hào)表達(dá)，增強(qiáng)符號(hào)的運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)思維和表達(dá)的重要工具，數(shù)學(xué)符號(hào)可以幫助學(xué)生更加準(zhǔn)確、清晰、簡(jiǎn)潔地進(jìn)行恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)和無障礙的交流。通過總復(fù)習(xí)中的習(xí)題，能讓學(xué)生感受到恰當(dāng)?shù)姆?hào)表達(dá)，學(xué)習(xí)讓繁復(fù)的文字和圖像表述更簡(jiǎn)潔;能讓具體數(shù)量和變量之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)更清晰;能讓復(fù)雜、深?yuàn)W的概念、公式等更精確、直觀;能讓學(xué)生體會(huì)到符號(hào)表達(dá)的簡(jiǎn)潔性和科學(xué)性，增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用符號(hào)表述和解決數(shù)學(xué)問題的內(nèi)驅(qū)力。比如在“乘法的分配律”的復(fù)習(xí)中，教師可以讓學(xué)生回憶、整理學(xué)過的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生遵循“具體事物—個(gè)性化的符號(hào)表示—數(shù)學(xué)的表示”的符號(hào)化表述過程，通過“直觀感受—文字描述—圖形描述—字母描述”的對(duì)比，如圖1所示，讓學(xué)生直觀感受符號(hào)的簡(jiǎn)潔性。學(xué)生在知識(shí)梳理、感知符號(hào)的普遍性和簡(jiǎn)潔性的過程中，豐富感知了符號(hào)表象，并在應(yīng)用中培養(yǎng)了自己的符號(hào)意識(shí)。二、借助特征習(xí)題，感悟符號(hào)的直觀表達(dá)和作用數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的語言，其只有在實(shí)際運(yùn)用中才能更直觀地表現(xiàn)出它的數(shù)學(xué)價(jià)值。在總復(fù)習(xí)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算與推理，進(jìn)一步體會(huì)符號(hào)的直觀性和獨(dú)特性。（一）深刻體會(huì)符號(hào)的直觀表達(dá)教師要讓學(xué)生注重理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基本原理，深入理解數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)用和內(nèi)涵，從而培養(yǎng)其對(duì)符號(hào)直觀表達(dá)的深刻認(rèn)知。教師可以在復(fù)習(xí)中注重實(shí)踐和應(yīng)用，通過大量的練習(xí)和實(shí)踐，讓學(xué)生體會(huì)符號(hào)的意義，例如，通過加、減、乘、除、約分、等列式運(yùn)算等數(shù)學(xué)符號(hào)的使用;通過復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)公式，掌握符號(hào)的含義，注重公式的表達(dá)和應(yīng)用;通過恰當(dāng)?shù)姆?hào)進(jìn)行替換數(shù)學(xué)語言描述，讓內(nèi)在邏輯和規(guī)律更加明顯等例子，讓學(xué)生深刻體會(huì)符號(hào)的直觀表達(dá)。比如，在復(fù)習(xí)題中讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)的直觀性可以快速判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的變量間的關(guān)系——正比例、反比例或是不成比例（“課標(biāo)2022年版”中將反比例內(nèi)容調(diào)整至了初中數(shù)學(xué)教學(xué)）。學(xué)生通過“語言描述”和“符號(hào)描述”兩種不同遞進(jìn)的表達(dá)方式，感悟運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)可以直觀、快速判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)變量之間的關(guān)系，且用字母符號(hào)運(yùn)算和推理得到的結(jié)論更具有一般性。通過對(duì)比，教師可以讓學(xué)生整理、歸納出正比例關(guān)系的一般性符號(hào)表達(dá)，如x和y兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的變量，當(dāng)y：x=k（k是常數(shù)，且一定）其中x≠0，則x、y成正比例關(guān)系，清晰表示某兩個(gè)量之間長(zhǎng)期依存和變化的關(guān)系，為初中函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。（二）普遍感受符號(hào)的獨(dú)特作用數(shù)學(xué)符號(hào)的獨(dú)特性表現(xiàn)為其在情境下的特定意義，它的意義一旦被賦予，就會(huì)在特定的意義下被應(yīng)用和演算，不會(huì)產(chǎn)生歧義。數(shù)學(xué)符號(hào)的獨(dú)特作用和不可替代性能進(jìn)行不同意義的表達(dá)以及呈現(xiàn)思考過程。數(shù)學(xué)符號(hào)的獨(dú)特性在總復(fù)習(xí)的題目里有大量體現(xiàn)，教師可以在練習(xí)中有意識(shí)地引導(dǎo)，如例題：546+785-146=（546-146）+785=400+785=1185，應(yīng)用運(yùn)算律加上括號(hào)，便能實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便計(jì)算。此外，教師還需教會(huì)學(xué)生運(yùn)用字母表示學(xué)過的一些公式和規(guī)律，在看圖列方程，解方程和不等式等習(xí)題中，也需要使用一系列被賦予意義的數(shù)學(xué)符號(hào)。學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中充分認(rèn)識(shí)到符號(hào)應(yīng)用的獨(dú)特、嚴(yán)謹(jǐn)和便利，并能逐漸學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用各種符號(hào)，提高了學(xué)習(xí)和解題的效果。三、借助類比變式，深化發(fā)展符號(hào)意識(shí)布魯納在《教育過程》一書中曾指出，向成長(zhǎng)中的兒童提示難題，激勵(lì)他向下一階段發(fā)展，這樣的努力是值得的。教師根據(jù)學(xué)生已經(jīng)掌握的習(xí)題進(jìn)行類比變式，挖掘知識(shí)之間的符號(hào)勾聯(lián)并進(jìn)行延展，在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，能讓學(xué)生根據(jù)問題解決的需要對(duì)符號(hào)進(jìn)行演算和變換，感悟符號(hào)的構(gòu)建性和拓展性，深化發(fā)展符號(hào)意識(shí)。教師在復(fù)習(xí)課中，要注重以“數(shù)學(xué)符號(hào)”為載體，溝通數(shù)學(xué)條件和數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生把具體數(shù)量符號(hào)化，直觀地表現(xiàn)數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，便于學(xué)生形成一種整體感知和對(duì)應(yīng)分析以及思考問題的方式和方法，并借助類比形成相應(yīng)的思維模式，建構(gòu)對(duì)應(yīng)的解題模型，啟發(fā)學(xué)生展開深度思考，形成解題經(jīng)驗(yàn)。如用小棒擺正方形的題目，需要擺n個(gè)正方形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)擺第1個(gè)正方形用4根小棒，擺兩個(gè)正方形用7根小棒，每增加一個(gè)正方形增加3根小棒，在第一個(gè)正方形的基礎(chǔ)上增加了（n-1）個(gè)正方形，需要小棒（n-1）×3，得出小棒的總根數(shù)“4+（n-1）×3”。學(xué)生經(jīng)歷“形象—表象—符號(hào)”的思維過程后感悟規(guī)律，通過字母參與運(yùn)算，4+（n-1）×3=3n+1，啟發(fā)找到另一種解決問題的方式，即把第一個(gè)正方形最左邊的一根小棒先拿開，第一個(gè)正方形就是“3+1”根小棒，第二個(gè)正方形就是“3×2+1”即每增加一個(gè)正方形對(duì)應(yīng)增加了3根小棒，所以n個(gè)正方形一共是需要3n+1根小棒。隨后學(xué)生可以自編題目，將小棒擺正方形問題遷移到擺正三角形、正五邊形等問題上，學(xué)生在自主創(chuàng)造后同構(gòu)，建立一般化模型，得到此類問題的一般思考和符號(hào)表達(dá)的一般性規(guī)律，深入發(fā)展了符號(hào)意識(shí)。在學(xué)生掌握了基礎(chǔ)的正方形的內(nèi)切圓相關(guān)題目的解題步驟后，教師可以將題目進(jìn)行適當(dāng)拓展，如圖2所示，讓學(xué)生勾聯(lián)圓和外接正方形面積以及內(nèi)接正方形面積之間的關(guān)聯(lián)，并通過推導(dǎo)得出一般結(jié)論S內(nèi)接小正方形=2r2，S圓=3.14r2，S外接小正方形=4r2，通過面積公式符號(hào)的推導(dǎo)求解，讓學(xué)生清晰地發(fā)現(xiàn)三個(gè)相關(guān)圖形的面積關(guān)系，得到符號(hào)的一般性結(jié)論并應(yīng)用，讓符號(hào)意識(shí)得到延展和持續(xù)地發(fā)展。如學(xué)生將已經(jīng)學(xué)過的立體圖形體積公式進(jìn)行對(duì)比，會(huì)發(fā)現(xiàn)“長(zhǎng)方體”“正方體”和“圓柱”的體積公式均是“V=Sh”，S表示底面積，h表示高，結(jié)合“圓柱的體積”一課，學(xué)生可以通過“疊硬幣”的方法推導(dǎo)出圓柱的體積公式，類比遷移，進(jìn)一步得到“長(zhǎng)方體”“圓柱”等這類立體圖形的體積公式V=Sh，即“底面積×高”來表示，遷移類比得到三棱柱、四棱