第23題解析幾何有“三定”“移植思維”建奇功 2024年高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之一題多解

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第23題解析幾何有“三定”，“移植思維”建奇功（2017年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科第20題）已知橢圓：，、、、這4點中恰有3點在橢圓上．（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于、兩點，若直線與直線的斜率之和為－1，求證：過定點．本例第（1）小題較為傳統(tǒng)，通過構(gòu)建a，b，c的方程組，確定橢圓方程．第（2）小題是解析幾何解答題中的定點問題，定總是與動相伴相生，是動中產(chǎn)生的靜、變中得到的定，其基本思路是通過確定直線l的方程，證明直線過定點，而求直線l方程的方法較為靈活，其中思路一是：設(shè)直線與（1）中所得橢圓：消元后得到根與系數(shù)關(guān)系，運用斜率公式構(gòu)造關(guān)于、的關(guān)系式得出定點坐標(biāo)．在解題中要注意斜率不存在的情況．（1）由于、兩點關(guān)于軸對稱，故由題設(shè)知經(jīng)過、兩點，又由知，不經(jīng)過點，∴點在上．因此解得故的方程為．（2）設(shè)直線與直線的斜率分別為，．如果與軸垂直，設(shè)：，由題設(shè)知，且，可得、的坐標(biāo)分別為、，則，得，不符合題設(shè)．從而可設(shè)：，將代入得，由題設(shè)可知，設(shè)、，則，．而．由題設(shè)，故．即，解得．當(dāng)且又當(dāng)時，，于是：，即．∴過定點．（2024高三·全國·專題練習(xí)）1．已知橢圓的長軸長為4，一個焦點與拋物線的焦點重合．(1)求橢圓的方程；(2)若直線交于兩點，使得，求證：直線恒過一定點．本例第（1）小題較為傳統(tǒng)，通過構(gòu)建a，b，c的方程組，確定橢圓方程．第（2）小題是解析幾何解答題中的定點問題，定總是與動相伴相生，是動中產(chǎn)生的靜、變中得到的定，其基本思路是通過確定直線l的方程，證明直線過定點，而求直線l方程的方法較為靈活，其中思路二是：為了避免分類討論，設(shè)直線方程為，與（1）中所得橢圓：消元后得到根與系數(shù)關(guān)系，運用斜率公式構(gòu)造關(guān)于n、的關(guān)系式得出定點坐標(biāo)，這樣可減少運算．（1）由于、兩點關(guān)于軸對稱，故由題設(shè)知經(jīng)過、兩點，又由知，不經(jīng)過點，∴點在上．因此解得故的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，、．聯(lián)立方程可得．∵直線與橢圓交于，兩點，∴，①由韋達(dá)定理可知，，②∵，③即．④將②式代入④式化簡得，即．即或（舍去，此時直線過點）．⑤將⑤式代入①式可得：，∴直線的方程為，即直線恒過定點．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）2．已知拋物線的焦點F是橢圓的右焦點，拋物線C與橢圓E在第一象限的交點P的橫坐標(biāo)為，．(1)求拋物線C與橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，分別是橢圓E的左、右頂點，M，N是橢圓E上不同于，的兩點，直線的斜率是直線的斜率的3倍，證明：直線MN過定點．本例第（1）小題較為傳統(tǒng)，通過構(gòu)建a，b，c的方程組，確定橢圓方程．第（2）小題是解析幾何解答題中的定點問題，定總是與動相伴相生，是動中產(chǎn)生的靜、變中得到的定，其基本思路是通過確定直線l的方程，證明直線過定點，而求直線l方程的方法較為靈活，其中思路三是：由于坐標(biāo)已知，設(shè)設(shè)直線的方程為，直線的方程為，其中．與橢圓：，求出、坐標(biāo)得到直線方程并寫成點斜式，定點顯露．（1）由于、兩點關(guān)于軸對稱，故由題設(shè)知經(jīng)過、兩點，又由知，不經(jīng)過點，∴點在上．因此解得故的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，其中．由得，解得或．∴，同理得．∵，是不同的兩點，∴，從而．∴．即直線的斜率為．直線的方程為．即，．，又，∴直線表示過點且斜率為負(fù)值的直線，即直線過定點．3．已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：為定值.本例第（1）小題較為傳統(tǒng)，通過構(gòu)建a，b，c的方程組，確定橢圓方程．第（2）小題是解析幾何解答題中的定點問題，定總是與動相伴相生，是動中產(chǎn)生的靜、變中得到的定，其基本思路是通過確定直線l的方程，證明直線過定點，而求直線l方程的方法較為靈活，其中思路四是：利用過四條直線交點的二次曲線系方程求解．解題程式化，使難度、運算量明顯降低和減少．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，過點的橢圓的切線為直線．寫出經(jīng)過這4條直線交點的二次曲線系方程，通過確定方程中的參數(shù)確定直線方程，證明其過定點．（1）由于、兩點關(guān)于軸對稱，故由題設(shè)知經(jīng)過、兩點，又由知，不經(jīng)過點，∴點在上．因此解得故的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，過點的橢圓的切線為直線．則經(jīng)過這4條直線交點的二次曲線系方程為，展開可得．∵橢圓過這些交點，比較系數(shù)可得解得∴直線：．即直線恒過定點．本例第（1）小題較為傳統(tǒng)，通過構(gòu)建a，b，c的方程組，確定橢圓方程．第（2）小題是解析幾何解答題中的定點問題，定總是與動相伴相生，是動中產(chǎn)生的靜、變中得到的定，其基本思路是通過確定直線l的方程，證明直線過定點，而求直線l方程的方法較為靈活，其中思路四是：運用特殊與一般的思想方法，即由、兩點重合于時，，直線斜率不存在，方程為；再考慮點與點重合時，，直線方程為，聯(lián)立方程，可得定點，猜想直線恒過定點，再從一般情況加以證明．（1）由于、兩點關(guān)于軸對稱，故由題設(shè)知經(jīng)過、兩點，又由知，不經(jīng)過點，∴點在上．因此解得故的方程為．（2）若直線的斜率不存在，不妨設(shè)直線的方程為．則，．∵，∴，即直線的方程為．此時，兩點重合（即坐標(biāo)為），符合條件．考慮特殊位置，當(dāng)點與點重合時，，直線的方程為．聯(lián)立方程得定點為，猜想動直線恒過定點．下面由一般情況進(jìn)行驗證：設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立方程消去可得．由韋達(dá)定理可得，．①∵直線與橢圓交于、兩點，∴，即．∵．②將①式代入②式可得，∴猜想成立，即直線恒過定點．（23-24高二上·湖南邵陽·期末）4．已知動圓過點并且與圓：相外切，動圓圓心的軌跡為．(1)求曲線的軌跡方程；(2)過點的直線與軌跡交于兩點，設(shè)直線：，設(shè)點,直線交于，求證：直線經(jīng)過定點．【點評】1．在數(shù)學(xué)研究中常常會出現(xiàn)這樣的情況：原來屬于某小分支中的問題要在本小分支中解決它十分困難，偶然有人發(fā)現(xiàn)它與另一數(shù)學(xué)小分支有著相通的信息，結(jié)果在另一小分支中順利地解決了．把這一小分支中的數(shù)學(xué)問題用另一小分支中有關(guān)知識去解決，這種解題方法稱為“移植”．在數(shù)學(xué)上，移植法就是化難變簡，操作性大為增強(qiáng)．2．圓錐曲線中的定值，定點問題是一類極其重要的綜合題，解答此類題一是要吃透圖形中相應(yīng)元素的動態(tài)變化，二要調(diào)動眾多的代數(shù)知識、向量知識、三角知識、平面幾何知識，移植法的運用是免不了的，多個數(shù)學(xué)思想如函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合在這里匯聚．核心題型是幾何中的定值問題；動直線、動曲線過定點的問題；動點在定曲線上的問題；曲線間的某種固定位置關(guān)系問題；等等．3．解題的切入點：（1）用聯(lián)系的觀點來看待問題中的靜與動，可以視動態(tài)為靜態(tài)，局部固定某些變量，以減少變元個數(shù)，從而降低解題難度．也可視靜態(tài)為動態(tài)，用運動的觀點分析解決問題，更重要的是仔細(xì)尋求動中尋定的解題策略．（2）若題目中未指明定值是什么，固定位置在哪里．在解答前，可以先通過考察動態(tài)中的一些極端情形．探明定值的數(shù)量，以明確解題方向，即先用極端原理探求，再從一般情況下進(jìn)行驗證，如何驗證，也許會用到其他數(shù)學(xué)分支中的知識、方法與技巧．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）5．已知橢圓的左、右焦點分別為，D為橢圓C的右頂點，且.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，過點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A點在B點左側(cè)），直線AM與直線交于點N，設(shè)直線NA，NB的斜率分別為，，求證：為定值.（2024·全國·模擬預(yù)測）6．已知橢圓的離心率為，的左焦點與點連線的斜率為．(1)求的方程．(2)已知點，過點的直線與交于兩點，直線分別交于．試問：直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．（23-24高二下·湖北孝感·期中）7．如圖，已知橢圓（）的左，右頂點分別為，，橢圓的長軸長為4，橢圓上的點到焦點的最大距離為，為坐標(biāo)原點.

(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點的直線，與橢圓分別交于點，，其中，①證明：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)；②求面積的最大值.（23-24高二上·湖南衡陽·期末）8．已知曲線上的動點滿足，且.(1)求的方程；(2)已知直線與交于兩點，過分別作的切線，若兩切線交于點，且點在直線上，證明：經(jīng)過定點.（23-24高三上·山東臨沂·期末）9．已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，一動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，動圓的圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程：(2)已知點，直線不過點并與曲線交于兩點，且，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)：若不過定點，請說明理由，（23-24高二上·重慶·期末）10．已知點，動點到直線l：的距離為d，且，記S的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)若，分別為曲線C的左、右頂點，M，N兩點在直線上，且.連接，分別與C交于點P，Q，求證：直線PQ過定點，并求出定點坐標(biāo).答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題可得，又，即得橢圓方程；（2）利用韋達(dá)定理法，利用斜率互為相反數(shù)得與的一次關(guān)系即得.【詳解】（1）由，可得，所以.又，故，所以，所以橢圓的方程為：.（2）設(shè)，由可得，由，可得，則，.因為，所以直線與關(guān)于軸對稱，所以，即，所以，即，所以，可得，所以直線的方程為，恒過定點.2．(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線焦半徑公式求出，得拋物線方程和點點坐標(biāo)，再結(jié)合橢圓的定義求出橢圓方程；（2）直線MN的方程為，代入橢圓方程，由直線的斜率是直線的斜率的3倍，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，得直線MN所過定點．【詳解】（1）由拋物線的定義知，∴，∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴，．設(shè)橢圓E的左焦點為，則，連接，由橢圓的定義知，得，又，則，∴，∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，，若直線MN的斜率為0，由橢圓的對稱性知直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，不滿足題意，故直線MN的斜率不能為0.設(shè)，，直線MN的方程為，代入并整理，得，∴①，，．由題知，，則有，解得．將代入①，得，∴直線MN的方程為，則直線MN過定點．【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．3．（1）；（2）證明見解析.【分析】（Ⅰ）根據(jù)離心率為，即，OAB的面積為1，即，橢圓中列方程組進(jìn)行求解；（Ⅱ）根據(jù)已知條件分別求出的值，求其乘積為定值.【詳解】（Ⅰ）由題意得解得.所以橢圓的方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，設(shè)，則.當(dāng)時，直線的方程為.令，得，從而.直線的方程為.令，得，從而.所以.當(dāng)時，，所以.綜上，為定值.【考點】橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、運算求解能力.【名師點睛】解決定值、定點的方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設(shè)而不求方法、整體思想和消元思想的運用可有效地簡化運算.4．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得點的軌跡為為雙曲線的右支，結(jié)合雙曲線的定義計算即可；（2）證明直線經(jīng)過點，即證,轉(zhuǎn)化成證明，借助韋達(dá)定理代入化簡即可.【詳解】（1）由圓：，可得圓心，半徑為.由已知可得：，即，所以點的軌跡為為雙曲線的右支，結(jié)合雙曲線的定義：解得：，故曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由對稱性可知，直線必過軸的定點，當(dāng)直線的斜率不存在時,,,，所以，所以直線為，即，可知直線經(jīng)過點.當(dāng)直線的斜率存在時，不妨設(shè)直線：，，，聯(lián)立，可得，所以，，所以直線：，當(dāng)時，，，下面證明直線經(jīng)過點，即證，即，即，由，,整理得:，即，即證經(jīng)過點，直線過定點.【點睛】關(guān)鍵點睛：(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．5．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程可得，再由求出b即可得橢圓方程；（2）分斜率不為和不為0兩種情況，當(dāng)?shù)男甭什粸?時，設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立橢圓方程消去x，將坐標(biāo)化，然后利用韋達(dá)定理代入化簡即可得證.【詳解】（1）由題知，，所以，，，，橢圓的方程為：.（2）證明：①當(dāng)斜率為時，分別為橢圓的左、右頂點，則，，，則直線AM：，令，則，點為，；②當(dāng)斜率不為時，設(shè)直線的方程為：，，將直線與橢圓方程聯(lián)立：消去可得，

令，解得．由韋達(dá)定理可得，所以，：，令，得，，又，又，，，綜上，為定值.【點睛】思路點睛：直線與圓錐曲線中的定值問題，一般設(shè)而不求，先將所求坐標(biāo)化，然后利用韋達(dá)定理代入化簡即可.6．(1)；(2)是，定值為【分析】（1）根據(jù)已知條件求出、、從而可得橢圓方程；（2）根據(jù)已知條件設(shè)直線方程為，設(shè)，求出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理用，表示，，同理用，表示，，由此可用，，，表示出，最后結(jié)合，在直線上把所有未知量都用，，表示即可化簡求解.【詳解】（1）由題意可設(shè)橢圓的半焦距為，則橢圓的左焦點為．由題意得，則，所以橢圓的方程為．（2）

由已知，得直線的斜率必存在且不為0，故設(shè)直線的方程為．設(shè)，則直線的方程為．由并結(jié)合，得．由是方程的兩根，可知，則．將代入，可得．同理可得．所以．故直線的斜率為定值，且定值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵有三個：（1）設(shè)出恰當(dāng)?shù)闹本€和點，本題中出現(xiàn)的直線有三條，直線，并且有共線，共線，共線，條件中的點比較多，要充分利用已知點求未知點，避免出現(xiàn)過多的未知量；（2）利用類比求出相似點的坐標(biāo)，本題中聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到點與點的關(guān)系，由此直接類比得到點與點的關(guān)系；（3）巧用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求．本題利用根與系數(shù)的關(guān)系建立點坐標(biāo)之間的聯(lián)系，最后在計算時把變量都轉(zhuǎn)化到點的縱坐標(biāo)上，即可求出定值．7．(1)(2)①證明見解析，；②.【分析】（1）由橢圓性質(zhì)求得，得橢圓方程；（2）①寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)，再求得直線方程后，由方程判斷出定點；②設(shè)，，設(shè)的方程為：，代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后利用點坐標(biāo)求得，利用函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】（1）∵長軸長為4，∴，橢圓上的點到點的最大距離為，∴，∴.∴∴橢圓的方程為：.

（2）①證明：由（1）得，，直線，的方程分別為，，由得∴，可得，∴，由得∴，可得，∴，∴，直線的方程為：，即.可得直線過定點.②設(shè)的方程為：，由得，設(shè)，，則，，，令，（），，由，且函數(shù)在遞增，∴時，取得最大值.【點睛】方法點睛：橢圓中最值問題，一般設(shè)交點坐標(biāo)為，設(shè)出直線方程為（或），代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得（或）然后用兩交點坐標(biāo)表示出要求最值的量，如本題中三角形面積，轉(zhuǎn)化為關(guān)于其中某個參數(shù)（兩個參數(shù)時需要由條件尋找參數(shù)間關(guān)系）的函數(shù)，然后由函數(shù)的性質(zhì)或不等式的知識求得最值．8．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)相切得判別式為0，可得，進(jìn)而可得坐標(biāo)，根據(jù)兩點坐標(biāo)可得直線的方程，即可根據(jù)交點在直線化簡求解.【詳解】（1）因為，所以曲線是以為焦點，以2為實軸長的雙曲線，所以實半軸長，半焦距，虛半軸長，所以曲線的方程為.（2）由題知切線斜率均存在，所以設(shè)過點所作的切線分別為，由題意知且，由得，因為與相切，所以，且，整理得.此時可得，即.同理.由得.直線的斜率為，所以的方程為，令，得，即經(jīng)過定點.【點睛】圓錐曲線中定點問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).技巧：若直線方程為,則直線過定點;若直線方程為(為定值),則直線過定點9．(1)，；(2)直線恒過點,，理由見解答．【分析】（1）由題意,，,，，結(jié)合雙曲線的定義求解即可得結(jié)論；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和雙曲線的方程消元后，應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合條件，可得，