新高考藝術生40天突破數(shù)學90分講義第24講平行垂直問題(原卷版+解析)

第24講平行垂直問題【知識點總結】1.證明空間中直線、平面的平行關系（1）證明直線與平面平行的常用方法：①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結合反證法證明；②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；③利用面面平行的性質定理，把面面平行轉化成線面平行；（2）證明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；②利用面面平行的判定定理；③利用兩個平面垂直于同一條直線；④證明兩個平面同時平行于第三個平面.（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.證明空間中直線、平面的垂直關系（1）證明線線垂直的方法①等腰三角形底邊上的中線是高；②勾股定理逆定理；③菱形對角線互相垂直；④直徑所對的圓周角是直角；⑤向量的數(shù)量積為零；⑥線面垂直的性質（）；⑦平行線垂直直線的傳遞性（∥）.（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義；②線面垂直的判定（）；③面面垂直的性質（）；平行線垂直平面的傳遞性（∥）；⑤面面垂直的性質（）.（3）證明面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理（）.【典型例題】例1．（2021·四川省廣安代市中學校高二階段練習（文））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.（1）求證：平面PAD；（2）求三棱錐C-PBD的體積.例2．（2021·海南·海港學校高三階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，∥，，，分別是棱的中點．（1）求證：∥平面.（2）求證：平面⊥平面.例3．（2021·廣西河池·高一階段練習）如圖，四邊形ABED為梯形，，，平面ABED，M為AD中點（1）求證：平面⊥平面PBM（2）探究在PD上是否存在點G，使得平面PAB，若存在求出G點，若不存在說明理由．例4．（2021·山東濰坊·高二階段練習）如圖，已知在長方體中，，，分別為，，的中點，為線段上非端點的動點，且，，設而與底面的交線為直線，（1）證明：；（2）當時，證明：為平面的一條垂線.【技能提升訓練】1．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學高一階段練習）如圖，P為平行四邊形所在平面外一點，，分別是，的中點，平面平面于直線.（1）判斷與平面的位置關系，并證明你的結論；（2）判斷與的位置關系，并證明你的結論.2．（2021·江蘇·南京市中華中學高一期中）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，分別為，，的中點.（1）求證：平面；（2）記平面與底面的交線為，試判斷直線與平面的位置關系，并證明.3．（2020·江西·贛州市第一中學高二階段練習（文））如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB，點F是PB的中點，點E在邊BC上運動.（1）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF.4．（2021·貴州·高二學業(yè)考試）如圖，在正方體中，為的中點.（1）求證：平面；（2）判斷與平面的位置關系，并說明理由.5．（2021·四川自貢·三模（文））如圖1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF組成的平面圖形，其中AB＝AE＝DF＝2，將圖形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如圖2．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）判斷圖2中平面PAB和平面PCD的交線l與平面ABCD的位置關系，并說明理由．6．（2021·江蘇·高一專題練習）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，、分別是、的中點．（1）證明：；（2）判斷直線和平面的位置關系，并加以證明．7．（2021·全國·高二專題練習）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是AB，A1D1的中點.判斷直線MN與平面BB1D1D的位置關系，并說明理由.8．（2021·四川·石室中學高三期末（文））如圖（1），在矩形中，，在邊上，.沿，，將和折起，使平面和平面都與平面垂直，如圖（2）.（1）試判斷圖（2）中直線與的位置關系，并說明理由；（2）若平面平面，證明平面.9．（2020·北京·高一期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.（1）求證：直線平面PNC；（2）在AB上是否存在一點E，使平面PDE，若存在，確定E的位置，并證明，若不存在，說明理由；（3）求三棱錐的體積.10．（2020·福建·高二學業(yè)考試）如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，．（1）求四棱錐的體積；（2）若分別是棱的中點，則與平面的位置關系是______，在下面三個選項中選取一個正確的序號填寫在橫線上，并說明理由．①平面；②平面；③與平面相交．11．（2021·廣東·佛山一中高二期中）如圖甲，直角梯形中，，，為中點，在上，且，已知，現(xiàn)沿把四邊形折起（如圖乙），使平面平面.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.12．（2022·上海長寧·高二期末）在矩形中，是的中點，是上，，且，如圖，將沿折起至：（1）指出二面角的平面角，并說明理由；（2）若，求證：平面平面；（3）若是線段的中點，求證：直線平面；13．（2021·遼寧大連·高三學業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，平面，、分別為、的中點.（1）求三棱錐的體積；（2）證明：平面.14．（2021·四川·樂山市教育科學研究所一模（文））《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”.在如圖所示的“陽馬”中，側棱底面，，點是的中點，作交于點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.15．（2022·全國·高三專題練習（文））如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD，E為線段BC的中點．（1）求證：平面PDE⊥平面PAD；（2）在線段BD上是否存在點F，使得EF//平面PCD？若存在，求出點F的位置；若不存在，請說明理由；（3）若AB=1，DC=，PA=2，求四棱錐P—ABCD的體積．16．（2021·全國·高二單元測試）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點.（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得平面，說明理由.17．（2021·寧夏·銀川唐徠回民中學高二階段練習）如圖，直三棱柱中，，．（1）求證：；（2）在棱上是否存在點K，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．18．（2021·寧夏·銀川市第六中學高二階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，，.（1）求證：平面.（2）求證：平面平面.（3）設點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面？說明理由.19．（2021·陜西·西安中學高一階段練習）如圖所示，已知點P是平行四邊形所在平面外一點，M，N，Q分別，，的中點，平面平面．（1）證明平面平面；（2）求證：．20．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習（理））如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，，，分別為，的中點．（1）求證：平面平面；（2）求證：平面平面．21．（2021·山西呂梁·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，底面直角梯形，，，是等邊三角形，且，.（1）設平面平面，求證：平面；（2）若，求證：平面平面.22．（2021·全國·高一單元測試）如圖所示，已知多面體ABCDFE中，四邊形ABCD為矩形，，，平面平面ABCD，O，M分別為AB，F(xiàn)C的中點．（1）求證：；（2）求證：平面DAF；（3）若過EF的平面交BC于點G，交AD于點H，求證：．23．（2020·廣東揭東·高一期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，，為與的交點，為棱上一點（1）證明：平面；（2）若平面，求三棱錐的體積.24．（2021·全國·高一課時練習）在三棱柱中，（1）若分別是的中點，求證：平面平面.（2）若點分別是上的點，且平面平面，試求的值．25．（2021·上海浦東新·高二期中）已知是矩形所在平面外一點，，分別是，的中點，求證：平面.26．（2021·全國·高一課前預習）如圖，平面平面，四邊形為矩形，和均為等腰直角三角形，且.（1）求證：平面平面；（2）若點為線段上任意一點，求證：平面.27．（2021·全國·高二課時練習）如圖，在直三棱柱中，，，點D，E，F(xiàn)分別為棱，，的中點．求證：(1)平面DEF；(2)平面平面DEF．28．（2022·全國·高三專題練習）如圖，四棱臺中，底面為直角梯形，，，，為棱的中點，證明：平面.29．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在多面體中，是矩形，是正方形，點為的中點，求證：平面.30．（2021·河南·高三階段練習（文））如圖所示，在四棱錐中，，，為等邊三角形，且平面ADE平面BCDE，F(xiàn)為棱AC的中點．（1）求四棱錐的體積；（2）證明：．31．（2021·河南·溫縣第一高級中學高三階段練習（文））如圖，直四棱柱中，上下底面為等腰梯形，．，，為線段的中點．（1）證明：平面平面；（2）設為線段上一點，試確定點的位置，使平面平面．32．（2021·貴州·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，已知，，，，且平面.（1）證明：平面平面.（2）若是上一點，且平面，求三棱錐的體積.33．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預測（文））如圖1，正方形中，，，將四邊形沿折起到四邊形的位置，使得(如圖2)．（1）證明：平面平面；（2）若分別為的中點，求三棱錐的體積．34．（2021·四川·涼山彝族自治州教育科學研究所一模（文））圖1是，，，、分別是邊、上的兩點，且，將沿折起使得，如圖2.（1）證明：圖2中，；（2）圖2中，求三棱錐的體積.35．（2021·廣西玉林·模擬預測（文））如圖所示的四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，分別是，，的中點，，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．36．（2019·廣東·順德一中高二期中）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，，是的中點.求證：（1）底面；（2）平面．37．（2021·黑龍江·大慶中學高三期中（文））如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．38．（2021·四川·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，且，，為的中點．（1）證明：平面．（2）過，，作四棱錐的截面，請寫出作法和理由，并求截面的面積．39．（2021·云南·高三階段練習（文））已知ABCD是邊長為2的正方形，平面平面DEC，直線AE，BE與平面DEC所成的角都為45°.（1）證明：.（2）求四棱錐E-ABCD的體積V.第24講平行垂直問題【知識點總結】1.證明空間中直線、平面的平行關系（1）證明直線與平面平行的常用方法：①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結合反證法證明；②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；③利用面面平行的性質定理，把面面平行轉化成線面平行；（2）證明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；②利用面面平行的判定定理；③利用兩個平面垂直于同一條直線；④證明兩個平面同時平行于第三個平面.（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.證明空間中直線、平面的垂直關系（1）證明線線垂直的方法①等腰三角形底邊上的中線是高；②勾股定理逆定理；③菱形對角線互相垂直；④直徑所對的圓周角是直角；⑤向量的數(shù)量積為零；⑥線面垂直的性質（）；⑦平行線垂直直線的傳遞性（∥）.（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義；②線面垂直的判定（）；③面面垂直的性質（）；平行線垂直平面的傳遞性（∥）；⑤面面垂直的性質（）.（3）證明面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理（）.【典型例題】例1．（2021·四川省廣安代市中學校高二階段練習（文））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.（1）求證：平面PAD；（2）求三棱錐C-PBD的體積.【解析】（1）連接，如下圖所示：因為為中點，且底面ABCD是邊長為2的正方形，所以為中點，又因為為中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）取的中點，連接，如下圖所示：因為PA=PD=AD，所以且，從而，則，因為側面PAD⊥底面ABCD，平面平面，平面，所以平面，因為的面積，所以的體積，故三棱錐C-PBD的體積.例2．（2021·海南·海港學校高三階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，∥，，，分別是棱的中點．（1）求證：∥平面.（2）求證：平面⊥平面.【解析】（1）設,連接,,∥，,是棱的中點,∥，,四邊形為平行四邊形，是棱的中點,∥,又平面,平面,∥平面.（2）(方法一)⊥平面,平面,.∥，,是棱的中點,∥，,四邊形為平行四邊形，∥，.,四邊形為菱形，,平面,平面,平面,又平面，平面⊥平面.（方法二）連接,平面,平面,∥,,平面,平面,,是棱的中點,,由（1）可知，,,又是棱的中點,,平面,平面,平面.又平面,平面⊥平面.例3．（2021·廣西河池·高一階段練習）如圖，四邊形ABED為梯形，，，平面ABED，M為AD中點（1）求證：平面⊥平面PBM（2）探究在PD上是否存在點G，使得平面PAB，若存在求出G點，若不存在說明理由．【解析】（1）證明：連接，因為，，為的中點，所以四邊形為菱形，所以，因為平面ABED，平面ABED，所以，因為，面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：當為的中點時，平面，證明：如圖連接，，因為為的中點，為的中點，所以，平面，平面，所以平面，由（1）可知，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面；例4．（2021·山東濰坊·高二階段練習）如圖，已知在長方體中，，，分別為，，的中點，為線段上非端點的動點，且，，設而與底面的交線為直線，（1）證明：；（2）當時，證明：為平面的一條垂線.【解析】（1）連結，因為，為，的中點，所以.又因為，所以，又因為平面，平面,所以平面，又因為平面，平面平面，所以.（2）連接，，，同理可得，因為，所以，同理，又因為，所以平面，所以為平面的一條垂線.【技能提升訓練】1．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學高一階段練習）如圖，P為平行四邊形所在平面外一點，，分別是，的中點，平面平面于直線.（1）判斷與平面的位置關系，并證明你的結論；（2）判斷與的位置關系，并證明你的結論.【答案】（1）平面，證明見解析；（2），證明見解析.【分析】（1）取PD中點E，連接AE，NE，可得，且，又M為AB中點，可得，且，所以四邊形AMNE為平行四邊形，可得，根據(jù)線面平行的判定定理，可證平面.（2）根據(jù)線面平行的判定定理，可證平面，又平面PBC，結合題意，根據(jù)線面平行的性質定理，可證.【詳解】（1）平面，證明如下：取PD中點E，連接AE，NE，因為N，E分別為PC，PD中點，所以，且，又M為AB中點，，，所以，且，所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2），證明如下：因為，平面，平面，所以平面，又平面PBC，且平面平面，根據(jù)線面平行的性質定理可得.2．（2021·江蘇·南京市中華中學高一期中）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，分別為，，的中點.（1）求證：平面；（2）記平面與底面的交線為，試判斷直線與平面的位置關系，并證明.【答案】（1）證明見解析；（2）直線面，證明見解析.【分析】（1）證明，利用線面平行的判定定理即可求證；（2）由三角形中位線性質可得：，可證明面，由線面平行的性質定理可得，由線面平行的判定定理即可證明直線面.【詳解】（1）因為分別為，的中點，所以，因為底面是菱形，所以，所以，因為平面，平面，所以平面，（2）直線與平面平行，證明如下：因為分別為，的中點，所以，因為面，面，所以面，因為平面與底面的交線為，面，由線面平行的性質定理可得，因為，所以，因為面，面，所以直線面.3．（2020·江西·贛州市第一中學高二階段練習（文））如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB，點F是PB的中點，點E在邊BC上運動.（1）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF.【答案】（1）EF//面PAC，理由見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）當點E為BC的中點時，EF//面PAC，可由線面平行的判定定理給出證明；（2）轉化為證明AF⊥平面PBC即可.【詳解】（1）當點E為BC的中點時，EF//平面PAC.理由如下：∵點E，F(xiàn)分別是BC，PB的中點，∴EF//PC，又平面，平面，∴EF//平面PAC.（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，平面，∴BC⊥PA，又四邊形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，又平面，∴AF⊥BC.又PA=AB，點F是PB的中點，∴AF⊥PB，又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，又平面，∴AF⊥PE.所以，無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF.4．（2021·貴州·高二學業(yè)考試）如圖，在正方體中，為的中點.（1）求證：平面；（2）判斷與平面的位置關系，并說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）平面，理由見解析.【分析】（1）利用正方形的性質可得出，由正方體的幾何性質以及線面垂直的性質可得出，利用線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）設，連接，利用中位線的性質可得出，再利用線面平行的判定定理可得出結論.【詳解】（1）四邊形是正方形，，在正方體中，平面，平面，，，因此，平面；（2）平面，理由如下：證明：設，連接，、分別為、的中點，，平面，平面，因此，平面.5．（2021·四川自貢·三模（文））如圖1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF組成的平面圖形，其中AB＝AE＝DF＝2，將圖形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如圖2．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）判斷圖2中平面PAB和平面PCD的交線l與平面ABCD的位置關系，并說明理由．【答案】（1）；（2）l∥平面ABCD；答案見解析．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證出AB⊥平面PAD，進而可得平面PAD⊥平面ABCD，從而求出P到AD的距離即為四棱錐P﹣ABCD的高，再有錐體的體積公式即可求解.（2）根據(jù)線面平行的判定定理可得AB∥平面PCD，再由線面平行的性質定理可得AB∥l，由線面平行的判定定理即可證明.【詳解】解：（1）由圖1可知，AB⊥AE，CD⊥DF，則圖2中，AB⊥PA，AB⊥PD，∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，而AB?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又是邊長為2的正三角形，則P到AD的距離即為四棱錐P﹣ABCD的高，∴；（2）平面PAB和平面PCD的交線l∥平面ABCD．理由如下：∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，∴AB∥平面PCD，AB?平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，∴AB∥l，而AB?平面ABCD，l?平面ABCD，∴l(xiāng)∥平面ABCD．6．（2021·江蘇·高一專題練習）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，、分別是、的中點．（1）證明：；（2）判斷直線和平面的位置關系，并加以證明．【答案】（1）證明見解析；（2）平面，證明見解析．【分析】（1）由題意及線面垂直的定理和定義先證平面，再證出；（2）判斷出平面，設的中點為，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，利用線面平行的判定定理可證得結論成立.【詳解】（1）由題意知，平面，平面，，，，平面，平面，；（2）平面.證明如下：設的中點為，連接、．、分別是、的中點，且，又且，故四邊形為平行四邊形，所以，且，為的中點，則且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，故平面.【點睛】方法點睛：常見的線面平行的證明方法有：（1）通過面面平行得到線面平行；（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質.7．（2021·全國·高二專題練習）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是AB，A1D1的中點.判斷直線MN與平面BB1D1D的位置關系，并說明理由.【答案】平行，理由見解析.【分析】根據(jù)題意可取AD中點E，連接ME，NE，根據(jù)題知MEBD，NED1D，可得平面EMN平面BB1D1D，即面面平行，利用面面平行即可證明線面平行.【詳解】如圖，MN平面BB1D1D，取AD中點E，連接ME，NE，根據(jù)題知MEBD，NED1D，因為平面EMN，ME?平面EMN，所以平面EMN，同理平面EMN，又，所以平面EMN平面BB1D1D，因為MN?平面EMN，故MN平面BB1D1D.8．（2021·四川·石室中學高三期末（文））如圖（1），在矩形中，，在邊上，.沿，，將和折起，使平面和平面都與平面垂直，如圖（2）.（1）試判斷圖（2）中直線與的位置關系，并說明理由；（2）若平面平面，證明平面.【答案】（1），理由見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）連結，分別取，的中點，，連結，，，則由題意可得，，，而平面和平面都與平面垂直，所以平面，平面，得，進而得四邊形為平行四邊形，再利用平行公理可證得結論；（2）由線面平行的判定定理可得面，再利用線面平行的性質定理可得，而由（1）可得平面，所以平面【詳解】（1）.理由如下：連結，分別取，的中點，，連結，，，由圖（1）可得，與都是等腰直角三角形且全等，則，，∵平面平面，交線為，平面，∴平面.同理得，平面，∴.又∵∴四邊形為平行四邊形，∴.∵，分別是，的中點，∴∴.（2）∵，平面，平面∴面∵平面，面平面∴由（1）知平面，∴平面.9．（2020·北京·高一期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.（1）求證：直線平面PNC；（2）在AB上是否存在一點E，使平面PDE，若存在，確定E的位置，并證明，若不存在，說明理由；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）E是AB中點，證明見解析；（3）.【分析】（1）在PC上取一點F，使，連接MF，NF，證明，，推出，即可得證；（2）E是AB中點，證明，，利用線面垂直的判定定理即可證明平面PDE；（3）證明為點到平面的距離，求出底面積，利用等體積法即可求解.【詳解】（1）在PC上取一點F，使，連接MF，NF，因為，，所以，，，，可得且.所以MFNA為平行四邊形，即，又平面，所以直線平面.（2）E是AB中點，證明如下：因為E是AB中點，底面ABCD是菱形，，所以，因為，所以，即，又平面ABCD，所以，又，所以直線平面PDE（3）直線，且由（2）可知，DE為點A到平面PDC的距離，，，所以.【點睛】本題主要考查了直線與平面平行以及垂直的判斷，考查了等體積法求三棱錐的體積，屬于中檔題.10．（2020·福建·高二學業(yè)考試）如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，．（1）求四棱錐的體積；（2）若分別是棱的中點，則與平面的位置關系是______，在下面三個選項中選取一個正確的序號填寫在橫線上，并說明理由．①平面；②平面；③與平面相交．【答案】（1）4；（2）②，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)四棱錐體積公式直接計算；（2）首先判斷平面，要證明線面平行，需證明線線平行，取的中點，連接，．根據(jù)條件證明四邊形是平行四邊形.【詳解】（1）因為平面，所以．（2）②，理由如下：取的中點，連接，．因為分別為，的中點，所以，．因為為的中點，所以，又矩形中，，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形．所以．又平面，平面，所以平面．【點睛】本題考查證明線面平行，幾何體的體積，重點考查邏輯推理，空間想象能力，計算能力，屬于基礎題型.11．（2021·廣東·佛山一中高二期中）如圖甲，直角梯形中，，，為中點，在上，且，已知，現(xiàn)沿把四邊形折起（如圖乙），使平面平面.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理得出平面，同理平面，再根據(jù)面面平行的判定定理得出平面平面，最后由面面平行的性質從而可證出平面；（2）根據(jù)題意，由面面垂直的性質得出，結合，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明平面平面.（1）證明：由題意知，平面，平面，所以平面，同理平面，∵，∴平面平面，又平面，∴平面.（2）證明：在圖甲中，，，∴，則在圖乙中，，又∵平面平面，平面平面，∴平面，得，又∵，，∴平面，而平面，∴平面平面.12．（2022·上海長寧·高二期末）在矩形中，是的中點，是上，，且，如圖，將沿折起至：（1）指出二面角的平面角，并說明理由；（2）若，求證：平面平面；（3）若是線段的中點，求證：直線平面；【答案】（1）為二面角的平面角，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)，結合二面角定義得到答案.（2）證明平面得到，得到平面，得到證明.（3）延長，交于點，連接，證明即可.（1）連接，則，，故為二面角的平面角.（2），，，故平面，平面，故，又，，故平面，平面，故平面平面.（3）延長，交于點，連接，易知，故故是的中點，是線段的中點，故，平面，且平面，故直線平面.13．（2021·遼寧大連·高三學業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，平面，、分別為、的中點.（1）求三棱錐的體積；（2）證明：平面.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用條件可得，結合棱錐的體積公式即求；（2）取的中點，可證四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即證.（1）證明：設與的交點為，因為底面是邊長為的菱形，所以，且，因為，所以，在中，，故，所以.因為平面，所以為三棱錐的高，所以三棱錐的體積.（2）取的中點，連接、，因為為的中點，所以且，又因為為的中點，四邊形為菱形，所以且.所以且.故四邊形為平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.14．（2021·四川·樂山市教育科學研究所一模（文））《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”.在如圖所示的“陽馬”中，側棱底面，，點是的中點，作交于點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）作出輔助線，利用中位線證明線線平行，進而證明線面平行；（2）由線面垂直得到線線垂直，進而證明線面垂直.（1）連接交于，連接，因為為矩形，所以為中點，又為中點，所以又平面，平面，所以平面.（2）因為側棱底面，平面，所以，又為矩形，所以，，所以平面，平面，所以，因為為的中點，且，由三線合一得：，因為，所以平面，因為平面，從而，又，，所以平面.15．（2022·全國·高三專題練習（文））如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD，E為線段BC的中點．（1）求證：平面PDE⊥平面PAD；（2）在線段BD上是否存在點F，使得EF//平面PCD？若存在，求出點F的位置；若不存在，請說明理由；（3）若AB=1，DC=，PA=2，求四棱錐P—ABCD的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）存在點F，F(xiàn)為BD的中點，理由見解析；（3）1.【分析】（1）由題意，證明在平面PDE中的直線DE與平面PAD垂直即可；（2）取BD的中點F，證明EF//CD即可；（3）先求出底面直角梯形的面積，再利用錐體的體積公式即可求出四棱錐P—ABCD的體積.（1）證明：E為BC的中點，BC=2AD，AD=BE，而AD//BC四邊形ABED是平行四邊形，又∠BAD=90°，DE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，DE⊥PA，PA∩AD=ADE⊥平面PAD，而DE平面PDE，平面PDE⊥平面PAD（2）解：存在點F，且F為BD的中點，理由如下：取BD的中點F，如上圖所示E，F(xiàn)分別為BC，BD的中點，EF//CD，而CD平面PCD，EF平面PCD，EF//平面PCD（3）解：由條件可知BC=2，所以梯形ABCD的面積為：故四棱錐P-ABCD的體積為V=16．（2021·全國·高二單元測試）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點.（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得平面，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，理由見解析【分析】（1）推導出平面，從而，推導出，從而平面，由此能證明平面平面；（2）當為中點時，連結，，交于點，則是的中點，連結，推導出，從而平面．（1）證明：由題設知，平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，為上異于，的點，且為直徑，，又，平面，平面，平面平面；（2）解：在線段上存在點，當為中點時，使得平面．證明如下：連結，，交于點，是矩形，是的中點，連結，是中點，，平面，平面，平面，所以當為中點時，平面．17．（2021·寧夏·銀川唐徠回民中學高二階段練習）如圖，直三棱柱中，，．（1）求證：；（2）在棱上是否存在點K，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）當為中點時，平面，此時【分析】小問1：根據(jù)直三棱柱，得面面，結合，證明面，從而得到；小問2：分別取，的中點為，，連接，證明，，進而證得面面，從而證得平面，得到的值.（1）因為為直三棱柱，故面面，又面面，且，故面，又面，故（2）分別取，的中點為，，連接，因為，故為的中位線，為的中位線，因此，又面，故面又為直三棱柱，故，即，又面，故面又，故面面又面，故平面，此時18．（2021·寧夏·銀川市第六中學高二階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，，.（1）求證：平面.（2）求證：平面平面.（3）設點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面？說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）為中點.證明見解析【分析】（1）證明，，得到平面.（2）根據(jù)得到平面，得到證明.（3）為中點時，平面，，平面，且平面，得到答案.（1）平面，平面，故，，，故平面.（2），平面，故平面，平面，故平面平面.（3）當為中點時，平面.證明如下：為中點，為的中點，故，平面，且平面，故平面.19．（2021·陜西·西安中學高一階段練習）如圖所示，已知點P是平行四邊形所在平面外一點，M，N，Q分別，，的中點，平面平面．（1）證明平面平面；（2）求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）由線面平行、面面平行的判定即可證明.（2）利用線面平行的性質定理即可證明.（1）證明：因為M，N，Q分別，，的中點，所以，又平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD,平面ABCD,因為，平面MNQ,所以平面平面，（2）證明：因為，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.20．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習（理））如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，，，分別為，的中點．（1）求證：平面平面；（2）求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）由題意易知，平面，平面，根據(jù)面面平行的判定定理即可證出；（2）根據(jù)平面知識可證，再根據(jù)面面垂直的性質定理可知平面，即可根據(jù)面面垂直的判定定理證出．（1）因為，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面①；因為且，所以四邊形為平行四邊形，即有，又平面，平面，所以平面②，由①②及，平面，所以平面平面．（2）由（1）可知，，所以，即有，而平面平面，平面平面，所以平面，而平面，所以平面平面．21．（2021·山西呂梁·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，底面直角梯形，，，是等邊三角形，且，.（1）設平面平面，求證：平面；（2）若，求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】(1)利用線面平行的判定定理和性質即可證明；(2)證明CD⊥AC，從而得到平面即可.（1）∵，平面，平面，∴∥平面，又平面平面，平面，∴，又平面，平面，∴平面；（2）作，垂足為M，∵，，∴，又，，∴四邊形為正方形，∴，又，∴，∴，又，∴，∴，又，，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.22．（2021·全國·高一單元測試）如圖所示，已知多面體ABCDFE中，四邊形ABCD為矩形，，，平面平面ABCD，O，M分別為AB，F(xiàn)C的中點．（1）求證：；（2）求證：平面DAF；（3）若過EF的平面交BC于點G，交AD于點H，求證：．【答案】（1）證明見詳解（2）證明見詳解（3）證明見詳解.【分析】（1）利用面面垂直的性質定理證出，再由線面垂直的判定定理證明平面，由線面垂直的性質定理即可證明.（2）取的中點，連接，利用線面平行的判定定理即可證明.（3）由面面平行的性質定理即可證明.（1）平面平面ABCD，平面平面ABCD，在矩形ABCD中，，平面ABCD，平面，，又，，平面，平面，平面，（2）取的中點，連接，分別為的中點，，且，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面DAF，平面DAF，平面DAF.（3），過直線存在一個平面，使得平面平面ABCD，又過的平面交于，交于點，平面ABCD，，23．（2020·廣東揭東·高一期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，，為與的交點，為棱上一點（1）證明：平面；（2）若平面，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)菱形性質和線面垂直性質可得，，由線面垂直的判定可得結論；（2）連接，由線面平行性質可得，知為中點，由體積橋可得，根據(jù)長度關系可求得結果.（1）四邊形為菱形，；平面，平面，；平面，，平面；（2）連接，平面，平面，平面平面，，又為中點，為中點，四邊形是菱形，，，，；由（1）知：平面，.24．（2021·全國·高一課時練習）在三棱柱中，（1）若分別是的中點，求證：平面平面.（2）若點分別是上的點，且平面平面，試求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）1.【分析】（1）先證明平面，在證明平面，即可證明平面平面；（2）連接交于O，連接，由題意先面面平行的性質證明，再由平行的性質結合題設即可求解【詳解】（1）∵分別是的中點，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵，平面，∴平面平面；（2）連接交于O，連接，由平面平面，且平面平面，平面平面，∴，則，又由題設，∴，即.25．（2021·上海浦東新·高二期中）已知是矩形所在平面外一點，，分別是，的中點，求證：平面.【答案】證明見解析【分析】解法1：取中點，連接，，由三角形中位線定理結合已知條件可得四邊形是平行四邊形，從而得，再利用線面平行的判定定理可證得結論，解法2：取中點，連接，，則由三角形中位線定理和平行四邊形的性質可得，，再由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性質可得結論【詳解】解法（1）取中點，連接，，是中點，是中點，，，是矩形邊中點，，，，，所以四邊形是平行四邊形，，且是平面外的一條直線，是平面上的一條直線，平面.解法（2）取中點，連接，，是中點，是中點，所以，因為是的中點，是的中點，所以,因為，，所以，,所以四邊形為平行四邊形所以，因為平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，因為所以平面平面，因為平面，所以平面.26．（2021·全國·高一課前預習）如圖，平面平面，四邊形為矩形，和均為等腰直角三角形，且.（1）求證：平面平面；（2）若點為線段上任意一點，求證：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）證明出平面，可得出，由已知條件得出，利用線面垂直、面面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）證明出平面平面，再利用面面平行的性質可證得平面.【詳解】（1）因為為矩形，所以，又因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，即，且、平面，，所以平面.又因為平面，所以平面平面；（2）因為，平面，平面，所以平面.因為和均為等腰直角三角形，且，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因為，所以平面平面.又因為平面，所以平面.27．（2021·全國·高二課時練習）如圖，在直三棱柱中，，，點D，E，F(xiàn)分別為棱，，的中點．求證：(1)平面DEF；(2)平面平面DEF．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先證明平面平面，然后利用面面平行的性質即可證明線面平行；(2)首先利用正方形性質證明，然后利用線面垂直判定定理和性質證明，進而證明平面，最后利用面面垂直的判定定理即可求解.【詳解】(1)連接，如下圖：因為點D，E，F(xiàn)分別為棱，，的中點，幾何體為直三棱柱，所以，，又因為，，，平面；，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面.(2)因為，幾何體為直三棱柱，所以四邊形為正方形，故，因為，所以，又因為，，，所以平面，又因為平面，所以，又因為，所以平面，又因為平面，所以平面平面.28．（2022·全國·高三專題練習）如圖，四棱臺中，底面為直角梯形，，，，為棱的中點，證明：平面.【答案】證明見解析【分析】延長CC1，BB1交于點V，在BB1上取點Q，使，再連BD交AC于點O，連接OQ，證明，即可推理作答.【詳解】在四棱臺中，在BB1上取點Q，使，連BD交AC于點O，連接OQ，如圖，延長CC1，BB1交于點V，由，則，，則，即，又平面，平面，于是得平面，在直角梯形中，，則，于是得，又平面，平面，則平面，又，平面OQC，因此得平面平面OQC，又平面OQC，所以平面.29．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在多面體中，是矩形，是正方形，點為的中點，求證：平面.【答案】證明見解析【分析】連AC交BD于點N，連MN，證明MN，BN都平行于平面EFC，再經(jīng)推理論證即可作答.【詳解】連接AC交BD于點N，連接MN，如圖，因四邊形ABCD是正方形，則N為AC的中點，而M為AE的中點，于是得MN//CE，又平面EFC，平面EFC，因此，MN//平面EFC，在矩形中，，平面EFC，平面EFC，則BN//平面EFC，而，平面BMN，從而得平面BMN//平面EFC，又平面BMN，所以BM//平面EFC.30．（2021·河南·高三階段練習（文））如圖所示，在四棱錐中，，，為等邊三角形，且平面ADE平面BCDE，F(xiàn)為棱AC的中點．（1）求四棱錐的體積；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】(1)根據(jù)給定條件求出等腰梯形的面積，取DE中點O，連AO，證得平面即可計算作答.(2)利用(1)中信息，證得平面，連FG，再證平面即可推理作答.（1）因，，則四邊形是等腰梯形，取CD中點G，連BG，如圖，顯然有，，則四邊形是平行四邊形，，于是得是正三角形，等腰梯形的高等于正的高，等腰梯形的面積，取DE中點O，連AO，為等邊三角形，則，而平面ADE平面BCDE，平面ADE，平面ADE平面，因此，平面，又，從而有，所以四棱錐的體積是.（2）由(1)知，，，在中，，于是得，即，即有，又平面，平面，則，而，平面，因此有平面，而平面，則，連FG，因F為棱AC的中點，G為CD的中點，則，于是得，又，平面，從而得平面，因平面，所以.31．（2021·河南·溫縣第一高級中學高三階段練習（文））如圖，直四棱柱中，上下底面為等腰梯形，．，，為線段的中點．（1）證明：平面平面；（2）設為線段上一點，試確定點的位置，使平面平面．【答案】（1）證明見解析；（2）點為中點.【分析】(1)根據(jù)給定條件可得，利用勾股定理證明即可證得平面平面.(2)取的中點，證明和，利用面面平行的判定定理即可推理作答.（1）因為為直四棱柱，則平面，而平面，于是得，在中，，，由余弦定理得，，因此，，即，又，平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）當點為中點時，平面平面，連接，如圖，在等腰梯形中，，即，而，則四邊形為平行四邊形，即有，因平面，平面，則有平面，因為，，則四邊形為平行四邊形，有，而平面，平面，因此，平面，又，所以平面平面.32．（2021·貴州·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，已知，，，，且平面.（1）證明：平面平面.（2）若是上一點，且平面，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用線面垂直證明面面垂直；（2）設過點和的平面交平面于，根據(jù)線面平行的性質定理可證為平行四邊形，進而可得及三棱錐體積.（1）證明：因為，，所以，因為平面，所以，又，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）解：如圖，設過點和的平面交平面于，點在上，連接因為平面，則，因為，且平面，所以平面，又平面平面，所以.所以四邊形為平行四邊形，則.過點作，垂足為，則平面.又，，可得，所以.33．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預測（文））如圖1，正方形中，，，將四邊形沿折起到四邊形的位置，使得(如圖2)．（1）證明：平面平面；（2）若分別為的中點，求三棱錐的體積．【答案】（1）見解析；（2）﹒【分析】（1）證明QM⊥AQ和QM⊥QP結合線面垂直、面面垂直的判定即可得證；（2）根據(jù)幾何關系，利用，由錐體體積公式即可得解.（1）∵在正方形中，，，∴QM⊥QP，，又∵∠AMQ＝60°，∴在△AMQ中，由余弦定理得，，，，又∵平面ABPQ，∴平面ABPQ，又∵QM平面MNPQ，∴平面平面；（2）由（1）知AQ⊥QM，QM⊥QP，∵在正方形中，，，∴四邊形CDMN