第五節(jié)極限的運(yùn)算法則

微積分講義設(shè)計(jì)制作5/11/2024§2.5極限的運(yùn)算法則變量極限的四則運(yùn)算法則5/11/2024【定理2.8】在某一變化過(guò)程中，則

證總有那么一個(gè)時(shí)刻，刻以后，也總有那么一個(gè)時(shí)刻，第二章極限與連續(xù)在那個(gè)時(shí)恒有在那個(gè)時(shí)刻以后，恒有中較晚的那個(gè)時(shí)刻以后，在兩時(shí)刻兩式同時(shí)成立，即若5/11/2024所以證畢。

推論兩個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍為無(wú)窮第二章極限與連續(xù)小量。到有限個(gè)，說(shuō)明定理和推論中的“兩個(gè)”都可以推廣但不能推廣到無(wú)窮個(gè)。5/11/2024【定理2.9】在某一變化過(guò)程中，則

證利用變量極限與無(wú)窮小量的關(guān)系其中其中均為無(wú)窮小量，第二章極限與連續(xù)若小量（為什么？），則和仍為無(wú)窮證畢。所以5/11/2024

推論1兩個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮

推論2（為常數(shù)）

推論3若是正整數(shù)，則說(shuō)明定理和推論中的“兩個(gè)”都可以推廣第二章極限與連續(xù)小量。到有限個(gè)，但不能推廣到無(wú)窮個(gè)。5/11/2024【定理2.10】在某一變化過(guò)程中，則（證明略）

說(shuō)明在應(yīng)用極限運(yùn)算法則時(shí)，第二章極限與連續(xù)若個(gè)變量的極限必須存在。要求每一5/11/2024設(shè)為多項(xiàng)式，則多項(xiàng)式的極限例1計(jì)算

解第二章極限與連續(xù)5/11/2024例2計(jì)算

解因?yàn)樗?/p>

有理分式的極限設(shè)，且，則第二章極限與連續(xù)5/11/2024例3計(jì)算

解因?yàn)?，利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系先求則設(shè)，且則第二章極限與連續(xù)的運(yùn)算法則。不能直接用極限5/11/2024

解由于分子和分母的極限不存在，將分子和分母同除以未知數(shù)的最高次冪例4計(jì)算第二章極限與連續(xù)直接應(yīng)用極限的運(yùn)算法則。不能5/11/2024例5計(jì)算

解方法同例4。例6計(jì)算

解方法同例4。第二章極限與連續(xù)5/11/2024

當(dāng)時(shí)，有理分式的極限

說(shuō)明以后計(jì)算極限時(shí)可直接應(yīng)用。第二章極限與連續(xù)5/11/2024例7計(jì)算

解因?yàn)榉肿雍头帜傅臉O限都為0，由極限的定義，約去極限為0的公因子第二章極限與連續(xù)直接應(yīng)用極限的運(yùn)算法則。不能消去的因子。時(shí)，，分解因式5/11/2024例8計(jì)算

解因?yàn)榉肿雍头帜傅臉O限都為０，將分子有理化將分子或分母有理化，再約去公因子第二章極限與連續(xù)直接應(yīng)用極限的運(yùn)算法則。不能5/11/2024例9計(jì)算

解因?yàn)閮蓚€(gè)分式的極限都不存在，先通分先通分，再約去公因子第二章極限與連續(xù)不能直接應(yīng)用極限的運(yùn)算法則。5/11/2024例10已知計(jì)算

解即第二章極限與連續(xù)分段函數(shù)分點(diǎn)處的極限利用充要條件計(jì)算5/11/2024內(nèi)容小結(jié)1.極限的運(yùn)算法則2.利用運(yùn)算法則求極限作業(yè)P9111---21------幾種特殊形式函數(shù)的極限第二章極限與連續(xù)5/11/2024備用題

1.若存在，不存在，是否存在，為什么？

解不存在。若存在，由極限的運(yùn)算法則知，

思考本題條件改成和都不存在，第二章極限與連續(xù)問(wèn)存在，矛盾。結(jié)論又如何？5/11/2024

2.計(jì)算

解所以

思考下列做法是否正確，為什么？第二章極限與連續(xù)5/11/2024

3.若求的值。

解由于分式的極限存在，即將其代入已知極限中得第二章極限與連續(xù)為0，而分母的極限則分子的極限必為0。5/11/2024

4.計(jì)算

解這是無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小量的和，第二章極限與連續(xù)運(yùn)算法則。不能用5/11/2024

5.設(shè)，（1979）

解第二章極限與連續(xù)求5/11/2024

6.設(shè)函數(shù)，（1999）

解第