2022屆高中數(shù)學(xué)新人教A版必修第一冊2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)

1.通過具體情境，感受日常生活中的不等關(guān)系.

_________________________________________________________數(shù)學(xué)抽象

2.初步學(xué)會(huì)作差法比較兩實(shí)數(shù)的大小.

邏輯推理

3.掌握不等式的基本性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題.““'

課前?自主探究自主預(yù)習(xí)基礎(chǔ)認(rèn)知

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第18頁

［教材提煉］

知識點(diǎn)一實(shí)數(shù)。、。大小

預(yù)習(xí)教材，思考問題

設(shè)“b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B,那么A、B的位置與a、b

的大小有什么關(guān)系？

知識梳理關(guān)于實(shí)數(shù)a,b大小的比較，有以下基本事實(shí)：

如果°一6是正數(shù)，那么a>b；如果°一6等于0,那么a=b；如果°一6是負(fù)數(shù)，那么g

<6.反過來也對,這個(gè)基本事實(shí)可以表示為a>b^a—b>0；a=b^q—b=0；a<b^>a—b<

0.

從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小.

知識點(diǎn)二等式的基本性質(zhì)

預(yù)習(xí)教材，思考問題

?7h

如果〃=。，那么〃土c與匕土c、ac與be、］與工相等嗎?

知識梳理等式有下面的基本性質(zhì)：

性質(zhì)1如果4=。，那么/?=〃；

性質(zhì)2如果〃=。，b=c,那么a=c；

性質(zhì)3如果a=b,那么〃土c三/?土c；

性質(zhì)4如果a=b,那么ac^bc；

性質(zhì)5如果a=4cWO,那么9=2

C--C

知識點(diǎn)三不等式的性質(zhì)

預(yù)習(xí)教材，思考問題

如果a>b,那么。土c與b土c,ac與be有什么關(guān)系？

知識梳理

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

1對稱性a>b^b<ao

2傳遞性a>b,b>c$a>c今

3可加性a>b^a-\-c>b-\-c可逆

a>b]

\^ac>bc

c>0\—

4可乘性c的符號

a>b]

ac<bc

c<Oj—

a>b]

5同向可加性\^a+c>b+d同向

c>d]—

同向同正可a>b>0]

6\^ac>bd同向

乘性c>d>0\—

a>b>O^an>bn

7可乘方性同正

(〃￡N*,〃22)

[自主檢測]

1.實(shí)數(shù)加不超過也，是指（）

A.m>y[2B.

C.m<y[2D.

答案：D

2.已知a<6<0,c<d<0,那么下列判斷中正確的是（）

A.a—c〈b—dB.ac>bd

c弁D.ad>bc

答案：B

3.設(shè)〃>Z?,c>d,則下列不等式成立的是（）

A.a—c>b—dB.ac>bd

「a、d

C.->TD.Z?+dV〃+c

cb

答案：D

4.若/cons%2—x+i,g（x）=2f+無一i,則與g（無）的大小關(guān)系是.

答案：j[x）>g（x）

課堂?互動(dòng)探究以例示法核心突破

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第19頁

探究一作差法比較大小

［例1］設(shè)》<了<0,試比較(/+;/)在一y)與(r—y2)(尤+y)的大小.

［解析］(jr+/)(x—j)—(^2—/)(x+j)

=(苫―》)(爐+j2)—(x-y)(x+y)2

=(x-y)［(x2+y2)-(x+y)2］

=(龍一〉)(一2斗).

由于x<y<0,所以無一yVO,—2ry<0,

所以(尤一y)(_2xy)>0,

即(f+y2)(x—y)>(%2—；/)(x+y).

—方法提升,,

作差法比較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法

(1)作差法比較的步驟：作差一變形一定號一結(jié)論.

(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④對數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；⑤分母或分

子有理化；⑥分類討論.

一變式訓(xùn)練培養(yǎng)應(yīng)變能力

將本例中"x<y<0"變?yōu)椤皒>y>0"，這兩個(gè)代數(shù)式的大小如何?

解析：(x^+y^x—y)—(%2—

=—2xy(x-y)

由x>y>0得一2孫<0,x—y>0

—2xy(x—y)<0

(x2+v2)(x—y)<(x2—j2)^+j)

探究二用不等式的性質(zhì)證明不等式，教材探突

［例2］［教材P42例2拓展探究］

(1)已知a>6>0,c<d<0,e<0,求證：一■—>~C

a-cb-d

［證明］'：c<d<0,：.-c>-d>0,

又：a>b>0,：.a+(-c)>b+(-d)>0,

即2i°，為〈士〈占

(2)已知匕克糖水中含有?？颂窃偬砑痈颂?徵>0)(假設(shè)全部溶解)，糖水變

甜了.請將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立.

a?+—+、)一/7(“+加)m(g—b)

"]bb+mb(b+m)b(b+m)'

V/?>?>0,m>0,.\a-b<Of

m(a—b)

Z?(Z?+/n)V°'

.a—

，，b<b+rrf

「■■方法提升■■

利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)

(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)

上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.

(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條

件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.

探究三求表達(dá)式的范圍

Y

［例3］已知30<xV42,16VyV24,分別求x+y,l3y及的范圍.

［解析］因?yàn)?0<x<42,16<y<24,

所以30+16<x+y<42+24,

故46Vx+yV66.

又30VxV42,-72<-3y<-48,

所以30-72<x-3y<42-48,

故一42Vx—3yV—6.

又30<xV42,—42Vx—3yV—6,

所以1〈士〈一表

所以。〈忍〈一士4

.30,x’42

所以石v——丁〈，

42x~3y7o"

u42>%>30

故―丁V一石，

TOV—x~3y42

x5

得一7『<方

「方法提升

根據(jù)某些代數(shù)式的范圍求其它代數(shù)式的范圍，要整體應(yīng)用已知的代數(shù)式，結(jié)合不等式的

性質(zhì)進(jìn)行推理.

一同源異考重在觸類旁通

已知1<〃<2,3<人<4,求下列各式的取值范圍.

(1)2〃+力；(2)a—b；(3)*

解析：(l)Vl<tz<2,???2V24V4.又3V8V4,：.5<2a+b<S;

(2)V3</?<4,???一4〈一/7〈一3.又???1<〃<2,：.-3<a-b<-l;

1111a2

(3)3</?<4;.?.aVgV1.又「1V〃V2,??,[VgV?

課后?素養(yǎng)培優(yōu)素養(yǎng)拓展能力提升

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第20頁

一、借不等式性質(zhì)之根“移花接木”——不等式性質(zhì)的拓展》邏輯推理

\a>b11

1.由不等式性質(zhì)4：a>b,c>0,那么拓展為倒數(shù)性質(zhì)：若｛,，則三<%?

[ab>0a0

證明：；,2〉0

由a>b得aX*>bX9.

即耳

2.由性質(zhì)7：如果。>6>0,那么〃>b".（aeN且”21）.

拓展為開方性質(zhì)：如果