第一節(jié)定積分概念與性質(zhì)1

第一節(jié)定積分的概念一、問題的提出二、定積分的定義三、存在定理四、定積分的幾何意義七、小結(jié)思考題六、定積分的性質(zhì)五、定積分的近似計算1abxyo【實例1】（求曲邊梯形的面積）一、問題的提出【問題】如何求由任意封閉曲線所圍成的平面圖形的面積?！痉椒ā哭D(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積xyo2abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）3觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．播放4曲邊梯形如圖所示，分割取近似5曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為求和取極限6【實例2】（求變速直線運動的路程）【思路】把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．7(1)分割部分路程值某時刻的速度(3)求和(4)取極限路程的精確值(2)取近似8二、定積分的定義【定義】9被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和10【注意】（因為定積分是一個數(shù)值）因此若已知極限I存在，則可選取特殊的分法和特殊的取法，仍有相同的結(jié)果。（這為計算帶來方便）(3)定義中，令λ→0，必然導(dǎo)致n→∞。但反之不然：(4)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在時，稱f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.(5)

f(x)在[a,b]上有界是f(x)在[a,b]上可積的必要條件：即若只有n→∞，不能保證每個小區(qū)間的長都趨于0。11當(dāng)f(x)在[a,b]上有有限個第一類間斷點時，則f(x)在[a,b]上可積【定理1】【定理2】三、可積的充分條件（定積分存在定理）可積函數(shù)類【推論】12曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值四、定積分的幾何意義13【幾何意義】14在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且若無特別說明則不考慮積分上下限的大?。畬Χǚe分的【補充規(guī)定】【說明】五、定積分的性質(zhì)【證】【性質(zhì)1】（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）（逐項積分）15【證】【性質(zhì)2】【補充】不論a,b,c的相對位置如何,上式總成立.［例］若【性質(zhì)3】則（積分區(qū)間的可加性）【推廣】［首尾相接］16【證】【性質(zhì)4】【性質(zhì)5】（不等式性質(zhì)）——比較性質(zhì)【幾何意義明顯】—保號性【解】令于是17【性質(zhì)5的推論】【證】［推論1］【證】［推論2］【說明】18【證】（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）【性質(zhì)6】（估值性質(zhì)）【解】［復(fù)習(xí)］閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)求最值的一般方法.19【解】20【證】由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理的推論知：【性質(zhì)7】（定積分中值定理）積分中值公式使即數(shù)值21【積分中值公式的幾何解釋】【注意】1.積分中值定理的微分中值定理的2.顯然，積分中值公式不論a>b還是a<b都是成立的.3.從幾何角度易看出，表示連續(xù)曲線在上的平均高度.為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為f(ξ)的一個矩形的面積。亦即函數(shù)在上的平均值.它是有限個數(shù)的平均值概念的拓廣22【解】由積分中值定理知有使【分析】去掉積分號才容易求極限，則想到用積分中值定理等價無窮小代換最簡單23七、小結(jié)１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似，以直（不變）代曲（變）取極限取近似以直代曲24【思考題】1.將和式極限：表示成定積分.【思考題解答】原式［法Ⅰ］25［法Ⅱ］原式26觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．27觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．28觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．29觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．30觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．31觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．32觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．33觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．34觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．35觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．36觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．37觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．3