考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷140(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷140(題后含答案及解析)全部題型3.解答題解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1．求(x＋1)ln2(x＋1)dx．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)2．求定積分：(I)J＝min｛2，x2｝dx；(II)J＝(1一｜t｜)dt，x≥一1．正確答案：(Ⅰ)min｛2，x2｝＝于是涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)3．設(shè)n為正整數(shù)，利用已知公式，其中，求下列積分：(I)Jn＝sinxndx；(II)Jn＝(x2－1)ndx．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)4．設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，＋∞)內(nèi)滿足f(x)＝f(x一π)＋sinx且f(x)＝x，x∈[0，π)，求f(x)dx．正確答案：解析：由于題目只給出了f(x)在區(qū)間[0，π)上的具體表達(dá)式，為計(jì)算在[π，3一π]上的積，就應(yīng)該通過換元法使其積分區(qū)間落到[0，π)上．另外，也可以通過f(x)＝f(x—π)＋sinx及f(x)在[0，π)上的表達(dá)式，求出f(x)在[π，3π)上的表達(dá)式，然后再求積．這里所采用的是第一種方法，讀者可采用第二種方法計(jì)算．知識(shí)模塊：高等數(shù)學(xué)5．求無窮積分．正確答案：J＝[ln(1＋x)—lnx—]dx，而∫[ln(1＋x)—lnx＝]dx＝∫[ln(1＋x)—lnx]dx—＝x[ln(1＋x)—lnx]—dx—＝xln＋C，因此涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)6．設(shè)f(x)＝求f(x)的不定積分．正確答案：當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝∫sin2xdx＝cos2x＋C1當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝∫ln(2x＋1)dx＝xln(2x＋1)—＝xln(2x＋1)—∫dx＋＝xln(2x＋1)—x＋ln(2x＋1)＋C2，為了保證F(x)在x＝0點(diǎn)連續(xù)，必須C2＝＋C1(*)特別，若取C1＝0，C2＝就是f(x)的一個(gè)原函數(shù)．因此∫f(x)dx＝F(x)＋C＝解析：本題的被積函數(shù)是分段定義的連續(xù)函數(shù)，則f(x)存在原函數(shù)，相應(yīng)的原函數(shù)也應(yīng)該分段定義．然而按照原函數(shù)的定義，F(xiàn)’(x)＝f(x)，即F(x)必須是可導(dǎo)的，而且導(dǎo)數(shù)是f(x)．這樣，F(xiàn)(x)首先就應(yīng)該連續(xù)，下面就是按照這一要求，利用連續(xù)拼接法把分段定義的原函數(shù)黏合在一起，構(gòu)成一個(gè)整體的原函數(shù)．知識(shí)模塊：高等數(shù)學(xué)7．設(shè)f’(x)＝arcsin(x一1)2，f(0)＝0，求．正確答案：∫01f(x)dx＝∫01f(x)d(x—1)＝(x—1)f(x)｜01-∫01(x—1)f’(x)dx＝f(0)—∫01(x—1)f’(x)dx＝-∫01(x—1)arcsin(x—1)2dx＝arcsin(x—1)2d(x—12)涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)8．設(shè)a＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求極限[f(t＋a)－f(t－a)]．正確答案：【解法一】記I(a)＝[f(t＋a)—f(t—a)]dt，由積分中值定理可得I(a)＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]·2a＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]，—a＜ξ＜a．因?yàn)閒(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用拉格朗日中值定理可得I(a)＝f’(η)·2a＝f’(η)，ξ—a＜η＜ξ＋a．于是＝f’(0)．【解法二】涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)9．求[φ(x)－1]f(t)dt，其中f(t)為已知的連續(xù)函數(shù)，φ(x)為已知的可微函數(shù)．正確答案：＝φ’(x)f(t)dt＋φ(x)f[φ(x)]φ’(x)—φ(x)f[φ(x)]φ’(x)＝φ’(x)f(t)dt涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)10．設(shè)f(x)在(一∞，＋∞)連續(xù)，在點(diǎn)x＝0處可導(dǎo)，且f(0)＝0，令(I)試求A的值，使F(x)在(一∞，＋∞)上連續(xù)；(II)求F’(x)并討論其連續(xù)性．正確答案：(I)由變上限積分性質(zhì)知F(x)在x≠0時(shí)連續(xù)．為使其在x＝0處連續(xù)，只要F(x)＝A．而故令A(yù)＝0即可．(Ⅱ)當(dāng)x≠0時(shí)F’(x)＝在x＝0處，由導(dǎo)數(shù)定義和洛必達(dá)法則可得故F’(x)在(一∞，＋∞)上連續(xù)．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)11．設(shè)x∈[0，a]時(shí)f(x)連續(xù)且f(x)＞0(x∈(0，a])，又滿足f(x)＝，求f(x)．正確答案：因f(x)＝f2(x)＝dt，(*)由f(x)連續(xù)及x2可導(dǎo)知f2(x)可導(dǎo)，又f(x)＞0，從而f(x)可導(dǎo)，且[f2(x)]’＝2f(x)f’(x)，故將上式兩邊對x求導(dǎo)，得2f(x)f’(x)＝f(x)·2xf’(x)＝x．在(*)式中令x＝0可得f(0)＝0．于是(*)式兩邊積分得涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)12．求函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[e，e2]上的最大值．正確答案：若f(x)在[a，b]上連續(xù)，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)內(nèi)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值，再求出f(a)與f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)單調(diào)，則最大(小)值必在端點(diǎn)處取得．由可知f(x)在[e，e2]上單調(diào)增加，故涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)13．求星形線(a＞0)所圍區(qū)域的面積A．正確答案：圖形關(guān)于x，y軸均對稱，第一象限部分：0≤x≤x，0≤y≤，涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)14．求下列旋轉(zhuǎn)體的體積V：(I)由曲線y＝x2，x＝y(tǒng)2所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體：(II)由曲線x＝a(t—sint)，y＝a(1一cost)(O≤t≤2π)，y＝0所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體．正確答案：(I)如圖3．2，交點(diǎn)(0，0)，(1，1)，則所求體積為(Ⅱ)如圖3．3，所求體積為V＝2π∫02πayxdx＝2π∫02πaa(1＝cost)a(t—sint)a(1—cost)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2(t—sint)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt—2πa3∫-ππ(1—cost)2sintdt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt[1—cos(u＋π)]2(u＋π)du＝2πa3∫-ππ(1＋cosu)2udu＋2π2a3∫-ππ(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋2cosu＋cos2u)du＝4π2a3(π＋)＝6π3a3．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)15．設(shè)兩點(diǎn)A(1，0，0)與B(0，1，1)的連線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)面為S，求曲面S與z＝0，z＝1圍成的立體的體積．正確答案：直線方程：上任意點(diǎn)(x，y，z)與z軸的距離的平方為：x2＋y2＝(1一t)2＋t2＝z2＋(1一z)2，則S(z)＝π[z2＋(1—z)2]，從而V＝S(z)dz＝π[z2＋(1—z)2]dz＝π．解析：這是截面積已知的立體．與z軸垂直的平面截此旋轉(zhuǎn)體所得截面即此平面與的交點(diǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的圓，其面積記為S(x)，則V＝S(z)dz．關(guān)鍵求方程，再求上點(diǎn)與z軸的距離．知識(shí)模塊：高等數(shù)學(xué)16．求雙紐線，r2＝a2cos2θ(a＞0)繞極軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)面的面積．正確答案：雙紐線如圖3．4所示．由對稱性，只需考察θ∈[0，]．面積由r2＝a2cos2θ涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)17．求功：(I)設(shè)半徑為1的球正好有一半沉入水中，球的比重為1，現(xiàn)將球從水中取出，問要做多少功?(II)半徑為R的半球形水池，其中充滿了水，要把池內(nèi)的水全部取盡需做多少功?正確答案：(I)方法1(微元法)．以球心為原點(diǎn)，x軸垂直向上，建立坐標(biāo)系．取下半球中的微元薄片，即取小區(qū)間[x，x＋dx][一1，0]，相應(yīng)的球體小薄片，其重量(即體積)為π(1一x2)dx，在水中浮力與重力相符，當(dāng)球從水中移出時(shí)，此薄片移動(dòng)距離為(1＋x)，故需做功dw1＝(1＋x)π(1一x2)dx．因此，對下半球做的功w1＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx取上半球中的微元薄片，即取小區(qū)間[x，x＋dx][0，1]，相應(yīng)的小薄片，其重量為π(1一x2)dx，當(dāng)球從水中移出時(shí)，此薄片移動(dòng)距離為1．所受力為重力，故需做功dw2＝π(1一x2)dx．因此，對上半球做的功w2＝∫01π(1—x2)dx．于是，對整個(gè)球做的功為w＝w1＋w2＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx＋∫01π(1—x2)dx＝∫-1-1π(1—x2)dx＋∫-10πx(1—x2)dx方法2把球的質(zhì)量集中于球心．球從水中取出作的功可以看成質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)向上移動(dòng)距離為1時(shí)變力的做功．問題歸結(jié)為求變力F．(重力與浮力的合力)球受的重力＝球的體積，球受的浮力＝沉在水中的球的體積，它們的合力＝球露出水面部分的體積．當(dāng)球心向上移距離h(0≤h≤1)時(shí)，球露出水面部分的體積：因此，取出球時(shí)需做功(Ⅱ)建立坐標(biāo)系如圖3．6．取x為積分變量，x∈[0，R]．[x，x＋dx]相應(yīng)的水薄層，看成圓柱體，其體積為π(R2—x2)dx，又比重ρ＝1，于是把這層水抽出需做功dw＝πx(R2一x2)dx．因此，所求的功涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)18．求引力：(I)在x軸上有一線密度為常數(shù)μ，長度為l的細(xì)桿，在桿的延長線上離桿右端為口處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P，求證：質(zhì)點(diǎn)與桿間的引力為F＝(M為桿的質(zhì)量)．(II)設(shè)有以O(shè)為心，r為半徑，質(zhì)量為M的均勻圓環(huán)，垂直圓面，＝b，質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為m，試導(dǎo)出圓環(huán)對P點(diǎn)的引力公式．正確答案：(I)如圖3．7建立坐標(biāo)系，取桿的右端為原點(diǎn)，x軸正向指向質(zhì)點(diǎn)P．任取桿的一段[x，x＋dx]，它對質(zhì)點(diǎn)P的引力為因此，桿與質(zhì)點(diǎn)P間的引力大小為其中M是桿的質(zhì)量．(Ⅱ)如圖3．8，由對稱性，引力沿方向．取環(huán)上某點(diǎn)為計(jì)算弧長的起點(diǎn)，任取弧長為s到s＋d5的一段微元，它的質(zhì)量為，到P點(diǎn)的距離為與的夾角為θ，cosθ＝，則微元對P點(diǎn)的引力沿方向的分力為dF＝k，于是整個(gè)圓環(huán)對P點(diǎn)的引力為涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)19．過曲線y＝x2(x≥0)上某點(diǎn)A作一切線，使之與曲線及x軸圍成圖形面積為，求：(I)切點(diǎn)A的坐標(biāo)；(II)過切點(diǎn)A的切線方程；(III)由上述圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：如圖3．9．(I)設(shè)點(diǎn)A(x0，x02)，點(diǎn)A處的切線方程y＝x02＋2x0(x—x0)，即y＝2x0x—x02．令y＝0截距x＝．按題意解得x0＝1A(1，1)．(Ⅱ)過A點(diǎn)的切線y＝2x一1．(Ⅲ)旋轉(zhuǎn)體體積涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)20．設(shè)常數(shù)a≤α＜β≤b，曲線P：y＝(x∈[α，β])的弧長為1．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求定積分．正確答案：(Ⅰ)г：y2＝(x—a)(b—x)＝—x2＋(a＋b)x—ab，兩邊對x求導(dǎo)得2yy’＝—2x＋a＋b，y2(1＋y’2)＝＋y2＝x2＋y2—(a＋b)x＋(Ⅱ)曲線г：是以為圓心，半徑為的半圓周．由題(Ⅰ)：α＝a，β＝，則對應(yīng)的г長涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)21．設(shè)f(x)為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)f(x－t)dt＝sin4x，求f(x)在[0，]上的平均值．正確答案：令x—t＝u，則，于是兩邊積分，故f(x)在[0，]上的平均值為．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)22．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)，且在該點(diǎn)與圓相切，有相同的曲率半徑和凹凸性，求常數(shù)a．b．c．正確答案：圓的半徑為，所以在圓上任何一點(diǎn)的曲率為．由于點(diǎn)P(1，2)是下半圓上的一點(diǎn)，可知曲線在點(diǎn)P(1，2)處為凹的，所以由確定的連續(xù)函數(shù)y＝y(tǒng)(x)在P(1，2)處的y’’＞0．又經(jīng)過計(jì)算，可知在點(diǎn)P(1，2)處的y’＝1．由題設(shè)條件知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)，于是有a＋b＋c＝2．拋物線與圓在點(diǎn)P(1，2)相切，所以在點(diǎn)P(1，2)處y’＝1，即有2a＋b＝1．又拋物線與圓在點(diǎn)P(1，2)有相同的曲率半徑及凹凸性，因此有解得a＝2，從而b＝一3，c＝2一a一b＝3．涉及知識(shí)點(diǎn)：高等數(shù)學(xué)23．設(shè)a＞0，f(x)在(0，＋∞)連續(xù)，求證：正確答案：(I)按要證的等式，將等式左端改寫可得(II)按題設(shè)，對左端