第2章圓錐曲線（單元提升卷）

第2章圓錐曲線（單元提升卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，16題每題4分，712題每題5分，1．拋物線的準線方程為．【分析】直接利用拋物線的標準方程求解準線方程即可．【解答】解：的準線方程為：．故答案為：．【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應用，是基礎題．2．已知點在焦點為、的橢圓上，若，則的值為2．【分析】利用勾股定理構(gòu)造方程，結(jié)合橢圓定義即可求解．【解答】解：由橢圓方程得：，，，，，由橢圓定義知：，，解得：．故答案為：2．【點評】本題考查橢圓的定義及性質(zhì)，屬于基礎題．3．若無論實數(shù)取何值，直線與圓恒有交點，則的取值范圍為，．【分析】恒過點，判斷這個定點與圓的位置關系即可．【解答】解：恒過點，無論實數(shù)取何值，直線與國恒有交點，則在圓內(nèi)或圓上，則．則的取值范圍為，．故答案為：，．【點評】本題考查直線與圓的位置關系，點與圓的位置關系，屬于基礎題．4．已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，，，則點的橫坐標為．【分析】設準線為與軸交點為，則可知，又，從而可求出，從而可得點的縱坐標，再代入拋物線方程，即可求解．【解答】解：如圖，設準線為與軸交點為，根據(jù)題意及拋物線的幾何性質(zhì)可得：，又，，，，．故答案為：．【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎題．5．已知橢圓，，分別是橢圓的上、下頂點，是左頂點，為左焦點，則直線與所成角大小為．【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)及向量法即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可得，，，，，，，，，，，直線與所成角大小為．故答案為：．【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，向量法的應用，屬基礎題．6．已知是拋物線上的一點，為拋物線的焦點，為坐標原點．當時，，則．【分析】由已知結(jié)合拋物線的定義可求得，再根據(jù)余弦定理求解．【解答】解：過作準線的垂線，過作的垂線，垂足分別為，．由題意，點到準線的距離為：，解得，則，．故答案為：．【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．7．已知橢圓的左、右焦點分別為、．若為橢圓上一點，且，則△的面積為7．【分析】根據(jù)橢圓的定義和已知條件求解，進而求解，即可求解結(jié)論．【解答】解：橢圓，，，，，，，可得，．故△的面積為：．故答案為：7．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，涉及橢圓中三角形的面積和余弦定理的應用，屬于中檔題．8．已知點在圓上運動，若對任意點，在直線上均存在兩點，，使得恒成立，則線段長度的最小值是．【分析】由恒成立可知，始終在以為直徑的圓內(nèi)或圓上，求出點到直線的距離即為線段長度的最小值．【解答】解：如圖，由題可知，圓心為點，半徑為，若直線上存在兩點，，使得恒成立，則始終在以為直徑的圓內(nèi)或圓上，點到直線的距離為，所以長度的最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．9．高二年級某同學打籃球時，發(fā)現(xiàn)當籃球放在地面上時，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點像數(shù)學課堂上學過的橢圓．通過自學與老師探討，他還確定地面和籃球的接觸點（切點）就是影子橢圓的焦點，他在家里做了個探究實驗：如圖所示，當籃球放在桌面并被斜上方一個燈泡（當成質(zhì)點）發(fā)出的光線照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與桌面的接觸點是橢圓的右焦點，若籃球的半徑為1個單位長度，燈泡與桌面的距離為4個單位長度，燈泡垂直照射在平面上的點為，橢圓的右頂點到點的距離為3個單位長度，則此時橢圓的離心率．【分析】建立平面直角坐標系，解得圖中、的橫坐標，列方程組即可求得橢圓的、，進而求得橢圓的離心率．【解答】解：以為原點建立平面直角坐標系，則，，直線的方程為，設，，由到直線的距離為1，得，解之得或（舍，則，又設直線的方程為，由到直線的距離為1，得，整理得，則，又，故，則直線的方程為，故，由，解得，故橢圓的離心率．故答案為：．【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．10．已知雙曲線的焦點分別為，，為雙曲線上一點，若，，則雙曲線的離心率為．【分析】由雙曲線的定義和三角形的余弦定理與中線長公式，化簡整理，可得雙曲線的離心率．【解答】解：設，，由雙曲線的定義可得，在△中，由余弦定理可得，即為，即有，由三角形的中線長公式，可得，即，化為，則．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及三角形的余弦定理和中線長公式，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．11．雙曲線的左右焦點分別為、，過坐標原點的直線與相交于、兩點，若，則4．【分析】推得四邊形是平行四邊形，再由雙曲線的定義和平行四邊形的性質(zhì)，推得平行四邊形的鄰邊的長，由余弦定理和向量數(shù)量積的定義，可得所求值．【解答】解：雙曲線的，，，設在第一象限，在第四象限，設，，由題意可得，由，，可得四邊形是平行四邊形，則，由雙曲線的定義，可得，即，即有，，在△中，由余弦定理可得，即有，則．故答案為：4．【點評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)、余弦定理的運用和向量數(shù)量積的定義，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．12．我們把形如和的兩個雙曲線叫做共軛雙曲線．設共軛雙曲線，的離心率分別為，，則的最大值是．【分析】由，設，然后由離心率公式和輔助角公式化簡即可求解．【解答】解：由題知，共軛雙曲線和的半焦距相等，記為，則，所以，又，故設，所以，當時，取得最大值．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。13．拋物線的方程為，，焦點為，點為上一點，且，則的值為A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用拋物線的性質(zhì)，列出方程，求解即可．【解答】解：由題意可得，解得．故選：．【點評】本題考查拋物線的定義的應用，考查運算求解能力．是基礎題．14．已知直線與圓相切于點，圓心在直線上，則圓的方程為A． B． C． D．【分析】由題意設圓心，利用，即可求解．【解答】解：圓心在直線上，設圓心，直線與圓相切于點，，即，解得，圓心，半徑為5，則圓的方程為．故選：．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題．15．已知點是橢圓的左頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于另一點（點在第一象限）．以原點為圓心，為半徑的圓在點處的切線與軸交于點．若，則橢圓離心率的取值范圍是A． B． C． D．【分析】要使，只要，只要，即只要，【解答】解：要使，只要，只要，因為直線的斜率為，即只要，設直線方程為：，聯(lián)立，整理可得：，因為為方程的一個根，故，，所以點，可得，由于，故，令，可得，可得，可得離心率．所以離心率的取值范圍是．故選：．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應用及直線與圓相切的性質(zhì)的應用，屬于中檔題．16．設雙曲線的右焦點為，，若直線與的右支交于，兩點，且為的重心，則直線斜率的取值范圍為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意及三角形重心的性質(zhì)易得，，又直線與的右支交于，兩點，從而可得，從而可得，又易知當離心率時，，，，四點共線，從而可得，再根據(jù)點差法及雙曲線的幾何性質(zhì)可得：直線斜率關于的函數(shù)模型，從而通過函數(shù)思想，即可求解．【解答】解：設為的中點，為的重心，，又，從而可得，，又直線與的右支交于，兩點，，，經(jīng)檢驗知：當離心率時，，，，四點共線，，又根據(jù)點差法易得，又，，又，，，，故選：．【點評】本題考查三角形重心的性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關系，點差法的應用，不等式思想，函數(shù)思想，屬中檔題．三、解答題（本大題共有5題78分，1719題每題14分，20/21每題18分），解答下列各題必須寫出必要的步驟。17．已知直線，圓．（1）求直線與圓相交所得的弦長；（2）求圓關于直線對稱所得的圓的方程．【分析】（1）設直線與圓相交的弦為線段，求得圓心到直線的距離，利用勾股定理即可求解；（2）設圓關于直線對稱所得的圓為圓，由題意可得點和點關于直線對稱，設，由對稱性求出點的坐標，即可得解．【解答】解：（1）設直線與圓相交的弦為線段，因為圓心，半徑為2，則圓心到直線的距離，由題意知，解得，則直線與圓相交所得的弦長為；（2）設圓關于直線對稱所得的圓為圓，由題意可得圓心和圓心關于直線對稱，且圓和圓的半徑相等，都等于2，設圓心，則，解得，則，，故圓的方程為．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題．18．在平面直角坐標系中，過點且互相垂直的兩條直線分別與圓交于點，，與圓交于點，．（1）若直線的斜率為3，求的面積；（2）若，求的長．【分析】（1）直線的方程為，計算，再計算面積得到答案；（2）設直線，根據(jù)得到，計算得到答案．【解答】解：（1）若直線的斜率為3，則直線的方程為，所以點到直線的距離為點到直線的距離為，所以，所以；（2）由題可知，直線的斜率顯然存在且不為0，設為，則直線，所以點到直線的距離，所以，，所以，解得，因為直線與直線互相垂直，所以直線，所以點到直線的距離，所以．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題．19．已知雙曲線的左、右焦點為、，虛軸長為，離心率為，過的左焦點作直線交的左支于、兩點．（1）求雙曲線的方程；（2）若，求的大??；（3）若，試問：是否存在直線，使得點在以為直徑的圓上？請說明理由．【分析】（1）由短軸長及離心率的值，以及，，之間的關系，可得，，的值，進而求出雙曲線的方程；（2）由雙曲線的定義可得的值，在△中，由余弦定理可得的余弦值，進而可得角的大??；（3）假設存在滿足條件的直線，設直線的方程沒有雙曲線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由題意可得，代入整理可得這樣的參數(shù)不存在．【解答】解：（1）由題意可得，解得，，所以雙曲線的方程為：；（2）由雙曲線的定義可得，，在△中，由余弦定理可得，所以；（3）假設存在直線滿足條件，顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為：，且，設，，，，聯(lián)立，整理可得：，可得△，即，且且，，，因為點在以為直徑的圓上，所以，即，，，可得，即，整理可得：，即，整理可得：，解得（舍，所以假設不成立，即不存在這樣的直線滿足條件．【點評】本題考查雙曲線的方程的求法，直線與雙曲線的綜合應用，屬于中檔題．20．已知橢圓為坐標原點．（1）求的離心率；（2）設點，點在上，求的最大值和最小值；（3）點，點在直線上，過點且與平行的直線與交于，兩點；試探究：是否存在常數(shù)，使得恒成立；若存在，求出該常數(shù)的值；若不存在，說明理由．【分析】（1）利用橢圓方程即可直接求得其離心率；（2）利用參數(shù)方程，結(jié)合兩點距離公式與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（3）分別利用向量的模與線性運算的坐標表示求得，，，再聯(lián)立直線與橢圓方程得到，關于的表達式，進而化簡得到與的關系，由此得解．【解答】解：（1），，，則，所以；（2）設，，，故當時，；當時，．（3）設，，，，，直線，，故，，，聯(lián)立方程，消去整理得，則，，，故．【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題．21．固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù)．當時，就是雙曲余弦函數(shù)，懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關系：；②兩角和公式：，③導數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．（1）直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；（2）當時，雙曲正弦函數(shù)的圖像總在直線的上方，求直線斜率的取值范圍；（3）無窮數(shù)列滿足，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．【分析】（1）根據(jù)類比推理，即可求解；（2）根據(jù)題意可得時，恒成立，再根據(jù)函數(shù)，，分類討論利用導數(shù)，即可求解；（3）歸納猜想，再利用數(shù)學歸納法證明即可．【解答】解：（1）平方關系：；兩角和角公式：；導數(shù)：；（2）因為當時，雙曲正弦函數(shù)的圖像總在直線的上方，所以時，恒成立，設，，則由（1）可知，①當時，由，又，故，等號不成立，所以，又此時，所以，所以為在上單調(diào)遞增，所以，所以對任意，恒成立，滿足題意；②當時，設，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以根據(jù)零點存在性定理可知：存在