第7.3.1講離散型隨機變量的均值-2023-2024學年新高二數(shù)學寶典（人教A版2019選修第三冊）

第七章隨機變量及其分布第7.3.1講離散型隨機變量的均值班級_______姓名_______組號_______1．通過實例理解離散型隨機變量均值的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值．2．掌握兩點分布的均值．3．會利用離散型隨機變量的均值，解決一些相關的實際問題．1、離散型隨機變量的均值2、離散型隨機變量的均值的性質(zhì)3、綜合應用一、離散型隨機變量的均值1．定義：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，數(shù)學期望簡稱期望．2.意義：均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平．3．兩點分布的均值一般地，如果隨機變量服從兩點分布，那么E(X)＝p．離散型隨機變量均值的性質(zhì)均值的性質(zhì)(1)若X為常數(shù)c，則E(X)＝C．(2)如果X為(離散型)隨機變量，則Y＝aX＋b(其中a，b為常數(shù))也是隨機變量，且P(Y＝aXi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．題型1、離散型隨機變量的均值1．有一枚質(zhì)地均勻點數(shù)為1到4的特制骰子，投擲時得到每種點數(shù)的概率均等，現(xiàn)在進行三次獨立投擲，記X為得到最大點數(shù)與最小點數(shù)之差，則X的數(shù)學期望（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意得的所有可能取值為，用古典概型算出相應的概率，進而即可求解.【詳解】的所有可能取值為，記三次得到的數(shù)組成數(shù)組，滿足的數(shù)組有：，共4個，所以，滿足的數(shù)組有：，，共18個，所以，滿足的數(shù)組有：，，，，共24個，所以，滿足的數(shù)組有：，，，，，，共18個，所以，所以X的數(shù)學期望.故選：D.2．從120中隨機抽取3個數(shù)，記隨機變量為這3個數(shù)中相鄰數(shù)組的個數(shù).如當這三個數(shù)為11，12，14時，；當這三個數(shù)為7，8，9時，.則的值約為（

）A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53【答案】B【分析】確定隨機變量的取值為0，1，2，結(jié)合變量對應的事件寫出概率，即可計算出期望.【詳解】隨機變量的取值為0，1，2，當時，所取的三個數(shù)中僅兩個數(shù)相鄰，兩數(shù)相鄰有19種情況，其中相鄰兩數(shù)取1，2和19，20時，對應取法為17種，其余17種情況取法均有16種，，當時，即所取的三個數(shù)中兩兩相鄰，取法有18種，，所以當時，即所取的三個數(shù)彼此不相鄰，取法有種，，.故選：B.3．從120中隨機抽取3個數(shù)，記隨機變量為這3個數(shù)中相鄰數(shù)組的個數(shù)．如當這三個數(shù)為11，12，14時，；當這三個數(shù)為7，8，9時，．則的值為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】B【分析】隨機變量的取值為0,1,2，結(jié)合變量對應的事件寫出概率，算出期望．【詳解】隨機變量的取值為0,1,2，當時，所取的三個數(shù)中僅兩個數(shù)相鄰，其中取1,2和19,20，對應取法為17種，其余17情況取法為16種，，當時，即所取的三個數(shù)中兩兩相鄰，取法有18種，，所以當時，即所取的三個數(shù)彼此不相鄰，取法有種，，.故選：B.4．暗箱中有編號為1，2的2個球，現(xiàn)從中隨機摸1個球，若摸到2號球，則得2分，并停止摸球；若摸到1號球，則得1分，并將此球放回，重新摸球．記摸球停止時總得分為X，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意可得的可能取值為2,3,4,5…,n，求出對應的概率并運算得.【詳解】由題意可得的可能取值為2,3,4,5…n，，，,…，，，①則，②①②得，，即得.當時，.故選：A.5．一袋中裝有編號分別為1，2，3，4的4個球，現(xiàn)從中隨機取出2個球，用表示取出球的最大編號，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】由題意隨機變量X所有可能取值為2，3，4，然后求出各自對應的概率，即可求出X的分布列，再計算期望即可.【詳解】由題意隨機變量X所有可能取值為2，3，4.且，，.因此X的分布列為：X234P則，故選：C.求離散型隨機變量的均值的步驟(1)確定取值：根據(jù)隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每個值的概率；(3)寫分布列：寫出X的分布列；(4)求均值：由均值的定義求出E(X).其中準確寫出隨機變量的分布列是求解此類問題的關鍵．題型2、離散型隨機變量的均值的性質(zhì)6．已知隨機變量X的分布列如下：X－101P設Y＝2X＋1，則Y的數(shù)學期望E(Y)的值是（

）A．－ B． C． D．－【答案】C【詳解】隨機變量X的數(shù)學期望為E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－.又Y＝2X＋1，所以隨機變量Y的數(shù)學期望為E(Y)＝2E(X)＋1＝2×(－)＋1＝.7．已知隨機變量X的分布列為X123P且，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合題意，先計算出，再表示，建立等式，解出即可.【詳解】結(jié)合題意：，因為，所以，解得：，故選：A.8．隨機變量的概率分布為1240.40.30.3則等于（

）A．11 B．15 C．35 D．39【答案】B【分析】先根據(jù)分布列求出，再根據(jù)期望的性質(zhì)可求得答案【詳解】由題意得，所以,故選：B9．元宵節(jié)廟會上有一種摸球游戲：布袋中有15個大小和形狀均相同的小球，其中白球10個，紅球5個，每次摸出2個球．若摸出的紅球個數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知的可能取值為0，1，2，然后求出相應的概率，從而可求出，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】的可能取值為0，1，2，則，，，所以，故．故選：A．10．若隨機變量服從兩點分布，其中，則以下正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩點分布的定義，利用期望計算公式和性質(zhì)可判斷.【詳解】因為隨機變量X服從兩點分布，且，則，故，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選：D.與離散型隨機變量性質(zhì)有關問題的解題思路若給出的隨機變量ξ與X的關系為ξ＝aX＋b，a，b為常數(shù)，則一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).題型3、綜合應用11．某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù).若，則隨機變量X的均值（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合獨立事件概率乘法公式可得，分析可知X的可能取值為，進而求分布列和期望.【詳解】因為，且，解得，由題意可知：X的可能取值為，則，，，則X的分布列為：X0123所以.故選：C.12．已知隨機變量服從兩點分布，且，若，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩點分布的期望和方差公式、二次函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】∵，，∴，∵，，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，，且.故選：D13．已知隨機變量滿足，且．令隨機變量，則（

）A． B．C． D．和大小不確定【答案】B【分析】根據(jù)離散型分布列均值的計算公式，可得答案.【詳解】由題意，，由，當時，；當時，.所以，，，，由，則，所以.故選：B.14．在單項選擇題中，每道題有4個選項，其中僅有一個選項是正確的，如果從四個選項中隨機選一個，選對的概率為0.25.為了減少隨機選擇也得分的影響，某次考試單項選擇題采用選錯扣分的規(guī)則，選對得6分，選錯扣分.若隨機選擇時得分的均值為0分，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)隨機變量的均值概念列出方程，然后解方程即可.【詳解】選對得6分，選錯扣分.，則有，則.故選：B.15．設離散型隨機變量可能取的值為1，2，3，4．．又的數(shù)學期望，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由數(shù)學期望計算公式及概率和為，構(gòu)造方程組求得，進而得到結(jié)果.【詳解】，①；又②，由①②可解得：，，.故選：A.一、單選題1．已知隨機變量的分布為，則（

）A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)學期望的公式進行求解即可。【詳解】因為隨機變量的分布為，所以，故選：C2．已知隨機變量的分布列為，、、，則隨機變量的期望為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)隨機變量的期望公式，求出的值即可.【詳解】因為隨機變量的分布列為，、、，所以隨機變量的期望.故選：A.3．下列說法正確的是（

）A．離散型隨機變量的均值是上的一個數(shù)B．離散型隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平C．若離散型隨機變量的均值，則D．離散型隨機變量的均值【答案】B【分析】利用離散型隨機變量的均值的定義即可判斷選項AB；結(jié)合離散型隨機變量的均值線性公式即可判斷選項C；由離散型隨機變量的均值為即可得D選項.【詳解】對于，離散型隨機變量的均值是一個常數(shù)，不一定在上，故錯誤，對于B，散型隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，故B正確，對于C，離散型隨機變量的均值，則，故C錯誤，對于D，離散型隨機變量的均值，故D錯誤．故選：B．4．一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺機器生產(chǎn)出甲等、乙等和次品的概率分別為0.6、0.3和0.1，則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預期可獲利（

）A．36元 B．37元 C．38元 D．39元【答案】B【分析】根據(jù)離散型隨機變量的分布列，即可根據(jù)期望的公式進行求解.【詳解】由題意可得：設這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利X，則X可能取的數(shù)值為50，30，，所以X的分布列為：，，，所以這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預期可獲利為：（元）故選：B5．已知離散型隨機變量的期望，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】直接利用期望的性質(zhì)即可得解.【詳解】解：因為，所以.故選：C.6．某實驗測試的規(guī)則如下：每位學生最多可做3次實驗，一旦實驗成功，則停止實驗，否則做完3次為止.設某學生每次實驗成功的概率為，實驗次數(shù)為隨機變量，若的數(shù)學期望，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先得到的所有可能取值為1,2,3，再求出相應概率，計算得到的數(shù)學期望，得到不等式后求解即可.【詳解】由題意得，的所有可能取值為1,2,3，，所以，令，解得或，又因為，所以，即的取值范圍是.故選：B7．已知某生物技術公司研制出一種新藥，并進行了臨床試驗，該臨床試驗的成功概率是失敗概率的2倍.若記一次試驗中成功的次數(shù)為X，則隨機變量X的數(shù)學期望為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出試驗成功的概率，然后一次試驗中成功的次數(shù)為X概率，最后求出隨機變量X的數(shù)學期望即可；【詳解】設試驗成功的概率為，解得：；記一次試驗中成功的次數(shù)為X，則的取值有0,1，,則隨機變量X的數(shù)學期望,故選：A.8．一個盒子中裝有白色乒乓球4個，橘黃色乒乓球2個.現(xiàn)從盒子中任取2個乒乓球，記取出的2個乒乓球的顏色為橘黃色的個數(shù)為X，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知橘黃色球的個數(shù)X的所有可能取值為，分別計算出其概率即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知取出的橘黃色球的個數(shù)X的所有可能取值為，則，,；所以可得.故選：D9．設隨機變量X的分布列為(k＝1，2，3，4)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)學期望的計算公式直接求解即可.【詳解】.故選：A10．2022年7月24日14時22分，搭載我國首個科學實驗艙問天實驗艙的長征五號B遙三運載火箭成功發(fā)射，令世界矚目．為弘揚航天精神，M大學舉辦了“逐夢星辰大海——航天杯”知識競賽，競賽分為初賽和復賽，初賽通過后進入復賽，復賽通過后頒發(fā)相應榮譽證書和獎品．為鼓勵學生積極參加，學校后勤部給予一定的獎勵：只參加了初賽的學生獎勵50元的獎品，參加了復賽的學生再獎勵100元的獎品．現(xiàn)有A，B，C三名學生報名參加了這次競賽，已知A通過初賽、復賽的概率分別為，；B通過初賽、復賽的概率分別為，，C通過初賽和復賽的概率與B完全相同．記這三人獲得后勤部的獎品總額為X元，則X的數(shù)學期望為（

）A．300元 B．元 C．350元 D．元【答案】B【分析】求出X的可能取值及對應的概率，得到數(shù)學期望.【詳解】由題知X的所有可能取值為150，250，350，450，，，，，所以數(shù)學期望（元）．故選：B．二、多選題11．設隨機變量X的可能取值為1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的．若，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合求得，進而逐項分析判斷.【詳解】由題意知，則，解得，可得，，．故選：AC．12．隨機變量和，其中，且，若的分布列如表：X1234Pmn則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先利用均值的性質(zhì)根據(jù)求出，再根據(jù)分布列求出隨機變量的均值和的值，聯(lián)立即可求解.【詳解】根據(jù)分布列可知①，因為，所以，解得，又由分布列可得，整理得②，①②聯(lián)立解得，，故選：BCD三、填空題13．已知離散型隨機變量的概率分布如下表，則其數(shù)學期望；P【答案】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，求得，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以，則.故答案為：.14．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球；否則一直發(fā)到3次為止.設學生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學期望，則的取值范圍是【答案】【分析】分別求得，，，利用期望的公式，求得，結(jié)合題意，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，可得，，所以期望為，令，即，解得或，又由，可得，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題15．袋中有大小相同，質(zhì)地均勻的3個白球，5個黑球，從中任取2個球，設取到白球的個數(shù)為X．(1)求的值；(2)求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，“”指事件“取出的個球中