江西省上饒市石鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

江西省上饒市石鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)角屬于第二象限，且，則角屬于（

）A.第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限參考答案：C略2.對于函數(shù)f(x)和g(x)，其定義域?yàn)閇a,b]，若對任意的x∈[a,b]總有

|1－|≤，

則稱f(x)可被g(x)置換，那么下列給出的函數(shù)中能置換f(x)=

x∈[4，16]的是(

)

A.g(x)=2x+6

x∈[4，16]

B.g(x)=x2+9

x∈[4，16]C.g(x)=(x+8)

x∈[4，16]

D.g(x)=(x+6)

x∈[4，16]參考答案：D3.已知向量

，其中的夾角是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A4.（5分）（2014秋?廬江縣月考）數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，an=an﹣1+n，（n≥2），則Sn等于（）A．B．C．D．參考答案：B考點(diǎn)：數(shù)列的求和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由an=an﹣1+n（n≥2）得an﹣an﹣1=n，利用累加法求出an，代入化簡后，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出則數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn．解答：解：由題意得，an=an﹣1+n（n≥2），則an﹣an﹣1=n，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，an﹣an﹣1=n，以上（n﹣1）個(gè)式子相加得，an﹣a1=2+3+…+n，又a1=1，則an=1+2+3+…+n=，所以=，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=[2+3+…+（n+1）]==，故選：B．點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．5.已知單位向量滿足，向量，（t為正實(shí)數(shù)），則的最小值為（

）A． B． C． D．參考答案：A由題意可得，，而，所以，，所以，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以．故選A．6.如圖，點(diǎn)在以為直徑的圓上，其中，過向點(diǎn)處的切線作垂線，垂足為，則的最大值是（

）A．2 B．1 C．0 D．－1參考答案：B7.已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.已知向量，，則向量的夾角的余弦值為(

) 參考答案：C9.已知拋物線的焦點(diǎn)F，過點(diǎn)F作斜率為1的直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，若，則|MN|=（

）A.10 B.12 C.14 D.16參考答案：B【分析】利用拋物線的弦長公式得，再利用，求出點(diǎn)，進(jìn)而利用點(diǎn)差法可得關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.【詳解】由題意得直線的傾斜角為45°，∴，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則為等腰直角三角形，∵，∴，設(shè)，∴∴，∴，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、點(diǎn)差法的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.10.使為偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)的的一個(gè)值是（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模是

．參考答案：212.已知等比數(shù)列滿足，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

．參考答案：（-∞，2]13.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.參考答案：14.若,則展開式中的系數(shù)為

(用數(shù)字作答).參考答案：10略15.已知函數(shù),若,則.參考答案：或16.圓的圓心坐標(biāo)為

；直線：與圓位置關(guān)系是

.參考答案：，相離略17.設(shè)a，b∈R，c∈[0，2π），若對任意實(shí)數(shù)x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），定義在區(qū)間[0，3π]上的函數(shù)y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為d，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組（a，b，c，d）的組數(shù)為．參考答案：28【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等變換sin2x=cosx求出所有根的個(gè)數(shù)，最后利用排列組合的思想求得滿足條件的有序?qū)崝?shù)組．【解答】解：∵對任意實(shí)數(shù)x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴|a|=2，若a=2，則方程等價(jià)于sin（3x﹣）=sin（bx+c），則函數(shù)的周期相同，若b=3，此時(shí)c=；若b=﹣3，此時(shí)c=；若a=﹣2，則方程等價(jià)于sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，此時(shí)c=；若b=3，此時(shí)c=．綜上，滿足條件的數(shù)組（a，b，c，）為（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，）共4組．而當(dāng)sin2x=cosx時(shí)，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx=，∴x=+kπ或x=+2kπ，k∈Z又∵x∈[0，3π]，∴x=．∴滿足條件的有序數(shù)組（a，b，c，d）共有4×7=28．故答案為28．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，（Ⅰ）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求在的最小值；（Ⅱ)若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）證明：參考答案：解：（Ⅰ）……2分 ∴在區(qū)間上遞增，∴……4分 （Ⅱ）在定義域內(nèi)不單調(diào)，則在有根，即在有根……6分令則∴，在遞減，在遞增，∴，當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知在遞增，…8分∴的取值范圍為……10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)在區(qū)間上遞增且∴，∴…12分∴……14分略19.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=2．（1）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）運(yùn)用兩邊平方和同角的平方關(guān)系，即可得到C1的普通方程，運(yùn)用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及兩角和的正弦公式，化簡可得C2的直角坐標(biāo)方程；（2）由題意可得當(dāng)直線x+y﹣4=0的平行線與橢圓相切時(shí)，|PQ|取得最值．設(shè)與直線x+y﹣4=0平行的直線方程為x+y+t=0，代入橢圓方程，運(yùn)用判別式為0，求得t，再由平行線的距離公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐標(biāo)．另外：設(shè)P（cosα，sinα），由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最小值和P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），移項(xiàng)后兩邊平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有橢圓C1：+y2=1；曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐標(biāo)方程為直線x+y﹣4=0；（2）由題意可得當(dāng)直線x+y﹣4=0的平行線與橢圓相切時(shí)，|PQ|取得最值．設(shè)與直線x+y﹣4=0平行的直線方程為x+y+t=0，聯(lián)立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直線與橢圓相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，顯然t=﹣2時(shí)，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此時(shí)4x2﹣12x+9=0，解得x=，即為P（，）．另解：設(shè)P（cosα，sinα），由P到直線的距離為d==，當(dāng)sin（α+）=1時(shí)，|PQ|的最小值為，此時(shí)可取α=，即有P（，）．20.（12分）已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1(a∈R)．(1)討論f(x)＝ex－ax－1(a∈R)的單調(diào)性；(2)若a＝1，求證：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥f(－x)．參考答案：(1)解：f′(x)＝ex－a.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＞0，得x＞lna；令f′(x)＜0，得x＜lna.綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，增區(qū)間是(lna，＋∞)，減區(qū)間是(－∞，lna)．----------6分(2)證明：令g(x)＝f(x)－f(－x)＝ex－－2x，g′(x)＝ex＋e－x－2≥0，∴g(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，∴g(x)≥g(0)＝0，∴f(x)≥f(－x)．------------12分21.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示.（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；（2）求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y約為多少？附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：，.回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，參考答案：（1）0.95；（2），6.1百千克.【分析】（1）直接利用相關(guān)系數(shù)的公式求相關(guān)系數(shù)，再根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小判斷可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）利用最小二乘法求回歸方程，再利用回歸方程預(yù)測得解.【詳解】（1）由已知數(shù)據(jù)可得，.所以，，，所以相關(guān)系數(shù).因?yàn)?，所以可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）.那么.所以回歸方程為.當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為6.1百千克.【點(diǎn)睛】本題主要考查相關(guān)系數(shù)和回歸方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線E：﹣y2=1（a＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為，且經(jīng)過右焦點(diǎn)F2的直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)．（1）求雙曲線E的方程；（2）求△ABF1的面積的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與雙曲線的位置關(guān)系．【分析】（1）利用雙曲線E：﹣y2=1（a＞0）的離心率為，求雙曲線E的方程；（2）設(shè)直線方程為x=my+2（m≠0），代入﹣y2=1，整理可得（m2﹣3）