2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-全書綜合測評

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

全書綜合測評

(全卷滿分150分,考試用時120分鐘)

一、單項選擇題體題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的)

1.已知a=(T,-2,1),b=(l,x,-2),且a?b=T3,則x的值為()

A.3B.4C.5D.6

2.在四面體0ABC中，E為0A的中點，而三方，若01=a,赤=b,0?=c,貝IJ前=()

.11.2?11.,4

A.-a--b_-cB._-a--b+-c

233233

C.--a+-b+-cD.--a+-b+-c

233233

3.已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題,每次從中抽取一道題,抽出的題

不再放回.在第1次抽到代數(shù)題的條件下,第2次抽到幾何題的概率為()

1213

----

4B.52D.5

4.設(shè)隨機變量XN(5,。2),若P(X>10-a)=0.4,則P(X>a)=()

A.0.6B.0.4

C.0.3D.0.2

5.在長方體ABCD-ABCD中，|AB|=|BC|=1,|AAj=V5,則異面直線A%與DBI所成

角的余弦值為()

A-B.—

56

C.—D.—

52

6.若過原點的直線1與圓x2-4x+y2+3=0有兩個交點，則1的傾斜角的取值范圍為

()

A(建)

7.19世紀法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動了空間幾何學(xué)

的獨立發(fā)展,提出了著名的蒙日圓定理:橢圓的兩條切線互相垂直,則切線的交點

位于一個與橢圓同心的圓上，該圓被稱為蒙日圓，且該圓的半徑長等于橢圓長半

軸長與短半軸長的平方和的算術(shù)平方根.若圓(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一個點

在橢圓爭y'l的蒙日圓上,則b的值為()

A.±1B.±5

C.±V21D.±2V5

22

8.已知F是雙曲線今-9=1(a>0,b>0)的左焦點,E是該雙曲線的右頂點,過F作垂

直于X軸的直線與雙曲線交于A、B兩點,若aABE是銳角三角形,則該雙曲線的

離心率e的取值范圍是()

A.(1,+8)B.(1,2)

C.(2,1+V2)D.(1,1+V2)

二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合

題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分)

9.已知直線l:x-my+m-1=0,則下述正確的是()

A.直線1的斜率可以等于0

B,直線1的斜率有可能不存在

C.直線1可能過點(2,1)

D.若直線1在x軸與y軸上的截距相等,則m=±l

10.關(guān)于的展開式,下列說法正確的有（）

A.所有項的二項式系數(shù)和為128

B.所有項的系數(shù)和為1

C.常數(shù)項為70

D.二項式系數(shù)最大的項為第4項

11.已知圓C:x2+y2-kx+2y+^k2-k+l=0,則下列說法正確的是（）

A.k的取值范圍是k>0

B.若k=4,過點M（3,4）的直線被圓C所截得的弦長為2V3,則該直線的方程為

12x-5y-16=0

C.若k=4,貝！J圓C與圓x2+y2=l相交

D.若k=4,m>0,n>0,直線mx-nyT=0恒過圓C的圓心,則三+馬28恒成立

mn

12.我們通常稱離心率為厚的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓

22

C邑+￡=l（a>b>0）,A"A2分別為左、右頂點,B/2分別為上、下頂點,蚪足分別為

a2b2

左、右焦點,P為橢圓上一點，則下列條件中能使橢圓c為“黃金橢圓”的有

A.|A,F,|?|F2A2|=因6|2

B.NRBIA2=90°

C.PF」x軸，且PO〃AzBi

D.四邊形AB2A2B1的內(nèi)切圓過焦點Fi,F2

三、填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

13.已矢口直線l,:3x+4y-8=0和12:3x-ay+2=0,且L//L,貝lj實數(shù)a=,直線

L與b之間的距離為.

14.圓心為直線x-y+2=0與直線2x+y-8=0的交點,且過原點的圓的標準方程

是.

15.西湖龍井素來有“綠茶皇后”“十大名茶之首”的稱號，按照產(chǎn)地品質(zhì)不同,

西湖龍井茶可以分為“獅、龍、云、虎、梅"五個字號，某茶文化活動給西湖龍

井茶留出了三個展臺的位置，現(xiàn)在從五個字號的茶中任意選擇三個字號的茶參加

展出活動，如果三個字號中有“獅、梅”，則“獅”字號茶要排在“梅”字號茶

前（不一定相鄰），則不同的展出方法有種.（用數(shù)字作答）

16.如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,P,Q分別是棱BC,CD上的動

點,BC=4,CD=3,CC，=2V3,直線CC'與平面PQC'所成的角為30°,則△PQC'的面積

的最小值是.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）已知G+2x）：neN..

(1)若展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)的和等于第6項的二項式系數(shù)的2

倍,求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)；

(2)若展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于79,求展開式中系數(shù)最大的項.

18.(本小題滿分12分)機動車行經(jīng)人行橫道時,應(yīng)當減速慢行;遇行人正在通過人

行橫道，應(yīng)當停車讓行，俗稱“禮讓行人”.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓

拍的1月份到5月份這5個月內(nèi)駕駛員不“禮讓行人”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

月份12345

違章駕駛員人

1201051009580

數(shù)

(1)請利用所給數(shù)據(jù)求違章駕駛員人數(shù)y與月份x之間的線性回歸方程y=bx+a;

⑵預(yù)測該路口9月份的不“禮讓行人”違章駕駛員人數(shù)；

(3)交警從這5個月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機抽查70人,調(diào)查駕駛員不“禮

讓行人”行為與駕齡的關(guān)系，得到下表：

是否“禮讓行

不“禮讓行“禮讓行

人”

人”人”

駕齡

駕齡不超過1年2416

駕齡1年以上1614

能否據(jù)此判斷有90%的把握認為“禮讓行人”行為與駕齡有關(guān)?

nn

AEXiVi-nxy&(和幻(力-mA_A_

參考公式:b=E,-=f------,a=y-bx,X2—n(ad-bc)2(其中

￡xf-nx2區(qū)(和可(a+b)(c+d)(a+c)(匕+d)

i=i1

n=a+b+c+d).

19.(本小題滿分12分)已知動圓過點F(0,2),且與直線1:y=-2相切.

(1)求動圓圓心M的軌跡方程；

(2)若過點F且斜率為1的直線與圓心M的軌跡交于A,B兩點,求線段AB的長度.

20.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形,PA_L底面

ABCD,AB=AP,E為棱PB的中點.

(1)求直線PD與CE所成角的余弦值;

⑵求直線CD與平面ACE所成角的正弦值；

(3)求二面角E-AC-P的平面角的余弦值.

21.(本小題滿分12分)2020年1月10日,引發(fā)新冠肺炎疫情的C0VID-9病毒基因

序列公布后,科學(xué)家們便開始了病毒疫苗的研究過程.但是類似這種病毒疫苗的

研制需要科學(xué)的流程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做動物試驗.已知

一個科研團隊用小白鼠做接種試驗,檢測接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗設(shè)計是:

每天接種一次,3天為一個接種周期.已知小白鼠接種后當天出現(xiàn)抗體的概率為今

假設(shè)每次接種后當天是否出現(xiàn)抗體與上次接種無關(guān).

⑴求一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體次數(shù)k的分布列；

⑵已知每天接種一次花費100元,現(xiàn)有以下兩種試驗方案：

①若在一個接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)抗體即終止本周期試驗,進行下一個接種周

期,試驗持續(xù)三個接種周期,設(shè)此種試驗方式的花費為X元；

②若在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體,該周期結(jié)束后終止試驗，已知試驗

至多持續(xù)三個接種周期,設(shè)此種試驗方式的花費為Y元.

比較隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望的大小.

22

22.(本小題滿分12分)已知0為坐標原點,橢圓C(a>b>0)的左、右焦點分

a2b2

別為R,F2,|F1F2|=2,P為橢圓的上頂點，以P為圓心且過R,F2的圓與直線x=-V2

相切.

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵已知直線1交橢圓C于M,N兩點.

⑴若直線1的斜率等于1,求aOMN面積的最大值；

(ii)若麗?而=-1,點D在1上,OD±1.證明:存在定點W,使得|DW|為定值.

答案與解析

1.C由題意得a?b=-l-2x-2=-13,解得x=5,故選C.

2.D根據(jù)題意得,OE=^OA,CF=^CB,

：.EF=OF-OE=++1(OS-OC)]-

-OA=(OC+-OB--Oc}--OA=--OA+-OB+-OC=--a+-b+-c.故選D.

2V33/2233233

3.C設(shè)事件A=”第1次抽到代數(shù)題”，事件B="第2次抽到幾何題”，

貝(jP(A)=|,P(AB)=|X~=~,

6

則P(B|A)=今警善?=；,故選C.

4.A由隨機變量X~N(5,。2),可知R=5.因為P(X>10-a)=0.4,所以P(X〈a)=0.4,

所以P(X>a)=O.6.故選A.

5.C如圖所示，以D為坐標原點,DA,DC,DDi所在直線分別為x軸、y軸、z軸建

立空間直角坐標系，

貝ijD(0,0,0),A(1,0,0),Bi(1,1,?Di(0,0,8),

所以西=(-1,0,遍)，西=(1,1,8),

所以cos〈福,西>二AD^?DB7_-1+3_V5

\AD^\\DB^\2xV55

所以異面直線ADt與DB,所成角的余弦值為看故選C.

6.C由x2-4x+y2+3=0W(x-2)2+y2=l,則圓心為(2,0),半徑r=l,

由題意得,直線1的斜率存在,

設(shè)直線1的方程為y=kx,

由直線1與圓（x-2）2+y2=l有兩個交點,得段<1,

解得一彳

所以直線1的傾斜角的取值范圍是［o,9U（詈

7.C橢圓白+y2=l的蒙日圓方程為x?+y2=4,由題意得該圓與已知圓相切，又兩圓

圓心距為所以或解得b=±VH,故選C.

8.B根據(jù)雙曲線的對稱性，得|AE|=|BE|,

?:△ABE是銳角三角形，，NAEB為銳角，

.,.在RSAFE中，ZAEF<45°,|AF|<|EF|,

V|AF|=^=—,|EF|=a+c,

aa

22

-~~—<a+c,即2a2+ac_c2>0,BP2+e_e2>0,解得

a

又e〉l,J該雙曲線的離心率e的取值范圍是（1,2）.

故選B.

9.BD當m=0時,直線1的斜率不存在，

當mWO時,直線1的斜率為三,不可能等于0,

m

故A錯誤,B正確.

將⑵1)代入x-my+m-l=O,等式不成立,可知點⑵1)不在直線1上,C錯誤.

若直線1在x軸與y軸上的截距相等,則mWO,即l-m=—,解得m=±l,故D正確.

m

10.BD所有項的二項式系數(shù)和為26=64,故A錯誤；

令x=l,得所有項的系數(shù)和為(1-2)'I,故B正確；

的二項式通項為%尸《(-2)比丁，

令30,得廠2,.?.常數(shù)項為髭(-2)2=60,故C錯誤；

展開式有7項,二項式系數(shù)最大的項為第4項，故D正確.故選BD.

11.ACD對于A,由方程表示圓可得(-k)2+4-4Qk2_k+i)>o,

解得k>0,故A正確；

對于B,若k=4,則圓C的方程為(x-2)2+(y+l)2=4,

過點M(3,4)的直線被圓C所截得的弦長為2V3,則圓心C(2,-1)到直線的距離為

1,當直線的斜率不存在時,直線方程為x=3,滿足條件,故B不正確；

對于C,圓C:(x-2T+(y+l)2=4的圓心為C(2,T),半徑n=2,

22

圓x+y=l的圓心為(0,0),半徑r2=l,

而r「r2=l〈j22+(-1)2=2"+=2=3,故兩圓相交,故C正確;

對于D,直線mx-ny-l=O恒過圓C的圓心,

所以2m+n=l,

所以工+“(工+(2m+n)=4+-+—^4+2I--—=8,

mn\mnJmnyjmn

當且僅當nW時取等號,故D正確.故選ACD.

42

12.BD由題意得A.(-a,0),A2(a,0),B,(0,b),B2(0,-b),F.(-c,0),F2(c,0).

對于A,若|AFil?|F2A2RFF2I2,貝！J(a-c)2=(2c)2,，a-c=2c,.■=!，不滿足條件，

故A不符合；

2

對于B,ZF,B,A2=90°,AlA^l^lB.F,^+lB^I,

即(a+c)'=a2+a?+b;i,c2+ac-a2=0,e"+e-l=0,

解得e專或e夸(舍去)，故B符合；

對于C,VPF.lx^,

叱

P0//A2B1,...kpo=/cA2Bi，:?彳■工解得b=c,

Va2=b2+c2,/.a=V2c,

???e中宣=今不滿足條件，故C不符合；

對于D,四邊形A,B2A2B1的內(nèi)切圓過焦點F?F2,

即四邊形AAA2B1的內(nèi)切圓的半徑為c,Aab=cVa2+b2,

：.c-3a2c2+a4=0,e4-3e2+l=0,解得e2=^(舍去)或e2=^,e=^,故D符合.

故選BD.

13.答案-4;2

解析由題意得|=fH"I，解得a=-4.

34-0

所以直線L與k之間的距離為空雪2.

14.答案(x-2)2+(y-4)2=20

解析由俄黑屋:可得后二:即圓心為⑵4),從而

r=J(2-0)2+(4—0)2=2遍,故圓的標準方程為(x-2)2+(y-4)2=20.

15.答案51

解析當選出的字號中沒有“獅、梅”時，共有Ag=6種展出方法；

當選出的字號中有且僅有“獅、梅”中任意一種時，共有瑪瑪Ag=36種展出方法;

當選出的字號中有“獅、梅”兩種字號時,共有禺Ag=9種展出方法.

綜上,共有6+36+9=51種不同的展出方法.

16.答案8

解析以C為原點,CD,CB,CC'所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐

標系,如圖所示:

則C(0,0,0),C'(0,0,2百)，設(shè)P(0,a,0),Q(b,0,0),0<aW4,0<bW3,

PC=(0,-a,2V3),QC=(-b,0,2?CC=(0,0,2V3).

設(shè)平面PQC'的一個法向量為n=(x,y,z),

則，i?PC=0,即卜ay+2V3z=0,

(n,QC=0,\-bx4-2痘z=0,

令z=l,得n=

「sin30。3

2V3-Jjf+p+i

**,a2+b2=-a'b2^2ab,解得ab28(當且僅當a=b=2V^時等號成立),

a2b24

當ab=8時,Sa*=4,三棱錐C-PQC的體積最小.

???直線CC'與平面PQC'所成的角為30°,.?.點C到平面PQC'的距離d=27IXsin

30°=V3.

,**VC,-PQC=VC-PQC,,.,.^X4X2A/3=^,SAPQC",V3,SAPQC,=8.

nrr2rnr

17.解析：+2x)”的二項式通項為Tr+尸品Q)'?(2x)=2^C^x.(1分)

（1）由題意知2瑞=以+廢，，n=14或n=7.（2分）

當n=14時，第8項的二項式系數(shù)最大,該項的系數(shù)為22X77（%=3432;

當n=7時,第4、5項的二項式系數(shù)相等且最大，（4分）

其系數(shù)分別為22x3-7C^=y,22X1牛70.（5分）

⑵由題意知第+C/鬣=79,

解得n=12或n=-13（舍去），.??「+尸22”""'.（7分）

由

...展開式中系數(shù)最大的項為九=22*,2解2嗎16896乂叱（10分）

18.解析（1）由已知數(shù)據(jù)可知,二三義（1+2+3+4+5）=3,

y=-X（120+105+100+95+80）=100,（2分）

5

所以鼠年空空二筆等2:一9,（3分）

￡xf-5x255-45

i=l1

所以。二9-加=127,

故所求線性回歸方程為y=-9x+127.（4分）

（2）由（1）可知，y=-9x+127,

令x=9,得y=-9X9+127=46.（7分）

預(yù)測該路口9月份的不“禮讓行人”違章駕駛員人數(shù)為46.

⑶由已知數(shù)據(jù)可得x3110.706,（10分）

40X30X40X30

故沒有90%的把握認為“禮讓行人”行為與駕齡有關(guān).（12分）

19.解析⑴二?動圓過點F（0,2）,且與直線l:y=-2相切,

.?.點M到直線1的距離等于|MF|.

由拋物線的定義可知點M的軌跡是以F（0,2）為焦點,y=-2為準線的拋物線，（2分）

依題意,設(shè)點M的軌跡方程為x2=2py（p>0）,則g,解得p=4,（4分）

所以動圓圓心M的軌跡方程是x2=8y.（5分）

⑵依題意可得直線AB:y=x+2,設(shè)A（x>yj,B（x2,y2）,（6分）

聯(lián)立?2=2'得y2-12y+4=0,則山+丫2=12,（9分）

所以線段AB的長度為yi+yz+p=16.（12分）

20.解析（1）設(shè)AD=2,以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z

軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,1),

PD=(0,2,-2),CE=(-l,-2,1),(2分)

|cos<PD而訪?函=卜6|二打

I'I\PD\\CE\2V2XV62'

所以直線PD與CE所成角的余弦值為當(4分)

(2)易知尼=(2,2,0),族=(1,0,1),CD=(-2,0,0),

設(shè)平面ACE的一個法向量為m=(xbybz,),

由jm?竺=2xi+2%=。，可得修：取X1=l,可得yi=Z1=-l,所以平面ACE

?AE=Xi+Zi=0,--Xi，

的一個法向量為m=(l,T,T).(6分)

設(shè)直線CD與平面ACE所成角為a,

貝！Jsina=|cos<m,而〉|=lZU_￡￡!-_k￡L-^I

I''|m||CD|V3X23'

所以直線CD與平面ACE所成角的正弦值為(8分)

(3)易得前=(2,2,0),而=(0,0,2),設(shè)平面PAC的一個法向量為n=(x2,y2,z2),

由卜?竺=。，可得匿2:北取X2=l,則y2rZ2=0,

所以平面PAC的一個法向量為n=(l,-l,0),(10分)

/m?n2V6

cos<m,nK>=----=■—7==—,

|7n||n|A/3XV23

由題圖可知,二面角E-AC-P為銳角，

所以二面角E-AC-P的平面角的余弦值為(12分)

21.解析(1)由題意可知,k~B(3，)，

故P(k)=《C?g)3-k(k=0,1,2,3).(2分)

則k的分布列為

⑵①設(shè)一個接種周期的接種費用為€元，則&的可能取值為200,300,(4分)

P(€=200)AP(^=300)=-,

44

所以Eg=200義工+300X8275.(6分)

44

所以三個接種周期的平均花費EX=3E€=3X275=825.(7分)

②Y的可能取值為300,600,900,

設(shè)事件A為“在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體”，由(1)知,P(A)=99"(8

OO2

分)

所以P(Y=300)=P(A)=|,

P(Y=600)=[l-P(A)]XP(A)」，

4

P(Y=