廣東省人教版高中數(shù)學(xué)必修2第二章知識點(diǎn)與典型試題分析

廣東省人教版高中數(shù)學(xué)必修2第二章知識點(diǎn)與典型試題分析第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第9講?2.1.1平面?學(xué)習(xí)目標(biāo):能夠從日常生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)中所說的“平面”;理解平面的無限延展性;正確地用圖形和符號表示點(diǎn)、直線、平面以及它們之間的關(guān)系;初步掌握文字語言、圖形語言與符號語言三種語言之間的轉(zhuǎn)化;理解可以作為推理依據(jù)的三條公理.?知識要點(diǎn):1.點(diǎn)A在直線上,記作;點(diǎn)A在平面內(nèi),記作;直線在平面內(nèi),記作.Aa,A,,,a,a,,2.平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、“符號語言”、“圖形語言”列表如下:公理1公理2公理3圖形語言如果一條直線上的兩點(diǎn)在過不在一條直線上的三點(diǎn)，有如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公文字一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線且只有一個(gè)平面.共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該語言在此平面內(nèi).點(diǎn)的公共直線.AlBl,,,,,,lABC,,不共線,,,符號,PP,,,l,,,,,,,語言AB,,,Pl,,,,ABC,,確定平面,,3.公理2的三條推論:推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面;推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面;推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.?例題精講:【例1】如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線是否共面,(PA組5題)56解:根據(jù)公理2的推論3，可知兩條平行直線確定一個(gè)平面，又由公理1可知，與兩條平行直線相交的第三條直線在這個(gè)平面內(nèi)，所以一條直線與兩條平行直線都相交時(shí)，這三條直線是共面的關(guān)系.【例2】空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，已知EF和GH交于P點(diǎn)，求證:EF、GH、AC三線共點(diǎn).(同PB組3題)58,解:?PEF，EF面ABC，?P面ABC.同理P面ADC.,,,?P在面ABC與面ADC的交線上，又?面ABC?面ADC=AC，?PAC，即EF、HG、AC三線共點(diǎn).,C【例3】求證:兩兩相交且不過同一個(gè)點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).AB已知:直線ABBCCA,,兩兩相交，交點(diǎn)分別為ABC,,，,求證:直線ABBCCA,,共面.證明:因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過A，B，C三點(diǎn)可以確定平面α(因?yàn)锳?α，B?α，所以ABα(同理BCα，ACα.所以AB，BC，CA三直線共面(點(diǎn)評:先依據(jù)公理2,由不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面～再依據(jù)公理1,證三條直線在平面內(nèi).注意文字語言給出的證明題～先根據(jù)題意畫出圖形～然后給出符號語言表述的已知與求證.常根據(jù)三條公理～進(jìn)行“共面”問題的證明.【例4】在正方體中，ABCDABCD,1111(1)與是否在同一平面內(nèi),(2)點(diǎn)是否在同一平面內(nèi),CCAABCD,,111(3)畫出平面與平面的交線，平面與平面的交線.ACBCDACDBDC1111解:(1)在正方體中，ABCDABCD,1111?，?由公理2的推論可知，與可確定平面，AACCACAACC//11111?與在同一平面內(nèi).AACC11(2)?點(diǎn)不共線，由公理3可知，點(diǎn)可確定平面，BCD,,BCD,,BCD111?點(diǎn)在同一平面內(nèi).BCD,,1ACBDO,(3)?，，?點(diǎn)平面，平面，O,O,DCDCE,ACBCD1111又平面，平面，C,ACC,BCD1111?平面平面，ACBCD,OC111同理平面平面(ACDBDCOE,11點(diǎn)評:確定平面的依據(jù)有公理2,不在同一條直線上的三點(diǎn),和一些推論,兩條平行直線、兩條相交直線、直線和直線外一點(diǎn),.對幾條公理的作用～我們必須十分熟練.-1-第9練?2.1.1平面※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1(兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面(C).A(相交B(重合C(相交或重合D(以上都不對2(下列推斷中，錯(cuò)誤的是(C).A(AlABlBl,,,,,,,,,,,,AABBAB,,,,,,,,,,,,,,,B(C(lAlA,,,,,,,,,,,ABCABC,,,,,,,,,D(，且A、B、C不共線重合3(E、F、G、H是三棱錐A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的點(diǎn)，延長EF、HG交于P，則點(diǎn)P(B).A.一定在直線AC上B.一定在直線BD上C.只在平面BCD內(nèi)D.只在平面ABD內(nèi)(用一個(gè)平面截一個(gè)正方體，其截面是一個(gè)多邊形，則這個(gè)多邊形邊數(shù)最多是(C).4A.三B.四C.六D.八5(下列說法中正確的是(D).A.空間不同的三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C.空間有三個(gè)角為直角的四邊形一定是平面圖形D.和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)(給出下列說法:?梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面;?三條平行直線共面;?有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合;6?每兩條都相交并且交點(diǎn)全部不同的四條直線共面.其中說法正確的序號依次是.??7(已知空間四點(diǎn)中無任何三點(diǎn)共線，那么這四點(diǎn)可以確定平面的個(gè)數(shù)是.4※能力提高A1GD1ABCDABCD,DCDDAD、、、8(正方體中,E、F、G、H、K、L分別是H1111111BC1ABBBBC、、1的中點(diǎn).求證:這六點(diǎn)共面(111F證明:連結(jié)和，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以(BDKFELBD//EL、CDCB、KBDDB又矩形中，所以，KFBD//KFEL//11AD所以可確定平面，所以共面，KFEL、EFKL、、、,,EBC,同理，故共面(EHKL//EHKL、、、L,又平面與平面都經(jīng)過不共線的三點(diǎn)，EKL、、,,故平面與平面重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面(,,同理可證，所以，E、F、G、H、K、L六點(diǎn)共面(G,,(證明共面問題常有如下兩個(gè)方法:直接法:先確定一個(gè)平面，再證明其余元素均在這個(gè)平面上;間接法:先證明這些元素分別在幾個(gè)平面上，再證明這些平面重合()BCQ,,9((1)在平面α外，ABP,,，，ACR,,，求證:P，Q，R三點(diǎn)共線.,ABC(2)已知四邊形ABCD中，AB?CD，四條邊AB，BC，DC，AD(或其延長線)分別與平面α相交于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，求證:四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共線.證明:(1)根據(jù)公理2易知確定平面β，且與α有交線l，根據(jù)公理3易知，P，Q，R三點(diǎn)都在直,ABC線l上，即三點(diǎn)共線.？(2)AB?CD，AB，CD確定一個(gè)平面β，易知AB，BC，DC，AD都在β內(nèi)，由平面的性質(zhì)可知四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都在β上，因而，E，G，G，H必都在平面α與β的交線上，所以四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共線.※探究創(chuàng)新10(在一封閉的正方體容器內(nèi)裝滿水，M，N分別是AA與CD的中點(diǎn)，由于某種原因，在D，M，N三111點(diǎn)處各有一個(gè)小洞，為使此容器內(nèi)存水最多，問應(yīng)將此容器如何放置,此時(shí)水的上表面的形狀怎樣,解:使過三點(diǎn)M，N，D的平面成為水平面時(shí)，容器內(nèi)存水最多，至于水表面的形狀，實(shí)質(zhì)上就是過M，N，D三點(diǎn)所作正方體的截面的形狀.連結(jié)DM并延長DM交DA的延長線于P，則點(diǎn)P既在截面內(nèi)又在底面11ABCD內(nèi)，連結(jié)PN交AB于E，連ME，ND，則過M，N，D的截面就是四邊形DMEN，易證ME?DN111111且MEDN，因而它是一個(gè)梯形.,-2-第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第10講?2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系?學(xué)習(xí)目標(biāo):了解空間兩條直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握兩條異面直線所成角的定義及垂直.?知識要點(diǎn):,相交直線:同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn);,共面直線,,1.空間兩條直線的位置關(guān)系:平行直線:同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn);,,,異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).,,,,,2.已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，把所成的銳角(或直角)叫異面ab,aabb//,//ab,O,,直線所成的角(或夾角).所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn)通常取在異面直線的ab,ab,OO(0,90]:一條上;異面直線所成的角的范圍為，如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作.求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步:選點(diǎn)?平移?定角?計(jì)算.ab,?例題精講:【例1】已知異面直線a和b所成的角為50?，P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與a、b所成角都是30?的直線有且僅有().A.1條B.2條C.3條D.4條,,,,?a，?b，若P?a，則取a為，若P?b，則取b為(這時(shí)解:過P作abab,,，相交于P點(diǎn)，它們的兩組對頂角分別為50?和130?.ab,,,,記，所確定的平面為β，那么在平面β內(nèi)，不存在與，都成30?的直線(abab,,,,過點(diǎn)P與a，b都成30?角的直線必在平面β外，這直線在平面β的射影是a，b所成對頂角的平分線(其,中射影是50?對頂角平分線的直線有兩條l和，射影是130?對頂角平分線的直線不存在(故答案選B.l【例2】如圖正方體中，E、F分別為DC和BC的中點(diǎn)，P、Q分別為AC與BD、ACABCDABCD,1111111111E與EF的交點(diǎn).(1)求證:D、B、F、E四點(diǎn)共面;DC11(2)若AC與面DBFE交于點(diǎn)R，求證:P、Q、R三點(diǎn)共線.1QF證明:(1)?正方體中，//，?BD//.ABCDABCD,BBDDBD11111111A1B1又?中，E、F為中點(diǎn)，BDC111CD1BDEF?//.?,即D、B、F、E四點(diǎn)共面.EFBD//11P2AB(2)?，，，PBE,平面，QAC,平面QBE,平面PAC,平面11?.平面平面ACBEPQ,1新疆王新敞奎屯RPQ,又，?，RBE,平面，?.即P、Q、R三點(diǎn)共線ACBER平面,RAC,平面11【例3】已知直線a//b//c，直線d與a、b、c分別相交于A、B、C，求證:a、b、c、d四線共面.ab,,,,,證明:因?yàn)閍//b，由公理2的推論，存在平面，使得.,c又因?yàn)橹本€d與a、b、c分別相交于A、B、C，由公理1，.d,,c'CB,假設(shè)，則cC,,,在平面內(nèi)過點(diǎn)C作，bcb//c,,,Aa,d,,ccC,因?yàn)閎//c，則，此與矛盾.故直線.cc//c,,綜上述，a、b、c、d四線共面.點(diǎn)評:證明一個(gè)圖形屬于平面圖形～需要緊扣公理2及其三條推論～尋找題中能確定平面的已知條件.此例拓展的證明先構(gòu)建出一個(gè)平面～然后從假設(shè)出發(fā)～推出矛盾～矛盾的原因是假設(shè)不成立～這就是證明問題的一種反證法的思路.【例4】如圖中，正方體ABCD—ABCD，E、F分別是AD、AA的中點(diǎn).11111(1)求直線AB和CC所成的角的大小;11(2)求直線AB和EF所成的角的大小.1解:(1)如圖，連結(jié)DC，?DC?AB，111?DC和CC所成的銳角?CCD就是AB和CC所成的角.11111??CCD=45?，?AB和CC所成的角是45?.111(2)如圖，連結(jié)DA、AC，111?EF?AD，AB?DC，??ADC是直線AB和EF所成的角.111111?ΔADC是等邊三角形，??ADC=60o，即直線AB和EF所成的角是60o.11111點(diǎn)評:求解異面直線所成角時(shí)～需緊扣概念～結(jié)合平移的思想～發(fā)揮空間想象力～把兩異面直線成角問題轉(zhuǎn)化為與兩相交直線所成角～即將異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題～運(yùn)用化歸思想將難化易.解題中常借助正方體等幾何模型本身的性質(zhì)～依照選點(diǎn)、平移、定角、計(jì)算的步驟～逐步尋找出解答思路.-3-第10練?2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1(分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是(D).A.異面B.平行C.相交D.以上都有可能2(教室內(nèi)有一把尺子，無論怎樣放置，地面上總有這樣的直線與該直尺所在直線(B).A(平行B(垂直C(相交但不垂直D(異面3(兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是(D).A.一定是異面直線B.一定是相交直線C.可能是平行直線D.可能是異面直線，也可能是相交直線4(把兩條異面直線稱作“一對”，在正方體的十二條棱中，異面直線的對數(shù)為(B).A.12B.24C.36D.485(正方體中，AB的中點(diǎn)為M，的中點(diǎn)為N，異面直線與DD'BM'ABCDABCD,''''CN所成的角是(B).A(30?B(90?C(45?D(60?ABCDABCD,6(如圖，正方體中，直線與所成角為______度..60?ABBC111111N7(右圖是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中:?BM與ED平行;?CN與BE是異面直線;DCMo角;?DM與BN垂直.?CN與BM成60以上四個(gè)說法中，正確說法的序號依次是.??EBA※能力提高F8(已知空間四邊形ABCD各邊長與對角線都相等，求AB和CD所成的角的大小.解:分別取AC、AD、BC的中點(diǎn)P、M、N.連接PM、PN，由三角形的中位線性質(zhì)知PN?AB，PM?CD，于是?MPN就是異面直線AB和CD成的角，如右圖所示.32連結(jié)MN、DN，設(shè)AB=2，?PM=PN=1.而AN=DN=，則MN?AD，AM=1，得MN=，222?MN=MP+NP，??MPN=90?，即異面直線AB、CD成90?角.9(空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，BEF、GH、AC三線共點(diǎn).已知EF和GH交于P點(diǎn)，求證:,,,,證明:?PEF，EF面ABC，?P面ABC，同理P面ADC，EF?P在面ABC與面ADC的交線上，又面ABC?面ADC=AC，,?PAC，即EF、HG、AC三線共點(diǎn).CPAGHD※探究創(chuàng)新(090):,,:,10(設(shè)異面直線a與b所成角為50?，O為空間一定點(diǎn)，試討論，過點(diǎn)O與a、b所成的角都是θ的直線l有且僅有幾條?解:過點(diǎn)O作a?a，b?b，則相交直線a、b確定一平面α.a與b夾角為50?或130?，設(shè)直線OA與a、1111111b均為θ角，1故當(dāng)θ<25?時(shí)，直線l不存在;當(dāng)θ=25?時(shí)，直線l有且僅有1條;當(dāng)25?<θ<65?時(shí)，直線l有且僅有2條;當(dāng)θ=65?時(shí)，直線l有且僅有3條;當(dāng)65?<θ<90?時(shí)，直線l有且僅有4條;當(dāng)θ=90?時(shí)，直線l有且僅有1條.-4-第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第11講?2.1.3直線與平面、平面與平面位置關(guān)系?學(xué)習(xí)目標(biāo):了解直線與平面的三種位置關(guān)系，理解直線在平面外的概念，了解平面與平面的兩種位置關(guān)系.?知識要點(diǎn):1.直線與平面的位置關(guān)系:(1)直線在平面內(nèi)(有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn));(2)直線與平面相交(有且只有一個(gè)公共點(diǎn));(3)直線與平面平行(沒有公共點(diǎn)).分別記作:;;.lP,,l,,l//,,,,l//,,2.兩平面的位置關(guān)系:平行(沒有公共點(diǎn));相交(有一條公共直線).分別記作;.?例題精講:【例1】已知空間邊邊形ABCD各邊長與對角線都相等，求異面直線AB和CD所成的角的大小.解:分別取AC、AD、BC的中點(diǎn)P、M、N連接PM、PN，由三角形的中位線性質(zhì)知PN?AB，PM?CD，于是?MPN就是異面直線AB和CD成的角(如圖所示).連結(jié)MN、DN，設(shè)AB=2，?PM=PN=1.而AN=DN=，由MN?AD，AM=1，得MN=，32A222?MN=MP+NP，??MPN=90?.?異面直線AB、CD成90?角.EH【例2】在空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分22,EGFH，別是CB、CD的中點(diǎn)，若AC+BD=a，ACBD=b，求.BD解:四邊形EFGH是平行四邊形，F(xiàn)G112222222EGFH，()(2)ACBDab，,,=2=.()EFFG，C22【例3】已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、GCFCG2,,分別是BC、CD上的點(diǎn)，且.CBCD3A求證:(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面;(2)三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn).EH證明:(1)在?ABD和?CBD中，D1G?E、H分別是AB和CD的中點(diǎn)，?EH//BD.2BFCCFCG22,,又?，?FG//BD.3CBCD3?EH?FG.所以，EFGH四點(diǎn)共面.、、、(2)由(1)可知，EH?FG，且EHFG，即直線EF，GH是梯形的兩腰，,所以它們的延長線必相交于一點(diǎn)P.?AC是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)，,?由公理3知PAC.所以，三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn).點(diǎn)評:一般地～證明三線共點(diǎn)～可證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上～而第三條直線又往往是兩平面的交線.【例4】如下圖，設(shè)?ABC和?ABC的三對對應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA、BB、CC相交于一點(diǎn)O，且1111112SBOCOAO,ABC===.試求的值.3OBOASOC111,ABC111BOCOAO解:依題意，因?yàn)锳A、BB、CC相交于一點(diǎn)O，且==，111OBOAOC111所以AB?AB，AC?AC，BC?BC.111111由平移角定理得?BAC=?BAC，?ABC=?ABC，?ABC??ABC，11111111124S2,ABC所以=()=.39S,ABC111點(diǎn)評:利用平移角定理～可證明空間兩個(gè)角相等或兩個(gè)三角形相似、全等,利用平行公理～可證明空間兩條直線平行～從而解決相關(guān)問題.-5-第11練?2.1.3直線與平面、平面與平面位置關(guān)系※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1(直線與平面不平行，則(C).,,,A.與相交B.C.與相交或D.以上結(jié)論都不對,,,,2(正方體各面所在平面將空間分成(D)個(gè)部分.A.7B.15C.21D.273(若兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，則這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)(D).A.有限個(gè)B.無限個(gè)C.沒有D.沒有或無限個(gè)4(E、F、G、H是棱錐A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的點(diǎn)，延長EF、HG交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P(B).A.一定在直線AC上B.一定在直線BD上C.只在平面BCD內(nèi)D.只在平面ABD內(nèi)(一個(gè)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等且不為零，則這兩個(gè)平面(D).5A.平行B.相交C.平行或垂合D.平行或相交6(若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面平行，則這條直線與另一平面的位置關(guān)系是.平行、在平面內(nèi)7(一個(gè)平面把空間分成部分，兩個(gè)平面可以把空間分成部分，三個(gè)平面可以把空間分成部分(2;3、4;4、6、7、8.※能力提高8(A是?BCD平面外的一點(diǎn)，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，(1)求證:直線EF與BD是異面直線;(2)若AC?BD，AC=BD，求EF與BD所成的角.解:(1)證明:用反證法.設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是?BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾.故直線EF與BD是異面直線.(2)取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，則EG?BD，所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角.在Rt?EGF中，求得?FEG=45?，即異面直線EF與BD所成的角為45?.9(已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、DC的三等分點(diǎn)(如右圖)，求證:(1)對角線AC、BD是異面直線;(2)直線EF和HG必交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)在AC上.證明:(1)假設(shè)對角線AC、BD在同一平面α內(nèi)，則A、B、C、D都在平面α內(nèi)，這與ABCD是空間四邊形矛盾，?AC、BD是異面直線.1(2)?E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，?EHBD.//22又F、G分別是BC、DC的三等分點(diǎn)，?FGBD.?EH?FG，且EH,FG.?//3FE與GH相交.設(shè)交點(diǎn)為O，又O在GH上，GH在平面ADC內(nèi)，?O在平面ADC內(nèi).同理，O在平面ABC內(nèi).從而O在平面ADC與平面ABC的交線AC上.※探究創(chuàng)新10(空間四邊形ABCD中，P、Q、R、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).(1)求證:四邊形PQRH是平行四邊形;(2)若AC=BD，則四邊形PQRH是什么四邊形,(3)若AC?BD，則四邊形PQRH是什么四邊形,(4)空間四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，PQRH是正方形,解:(1)在?ABD中，P、H分別為AB、AD的中點(diǎn)，即PH為中位線.1,PHBD//?,,2.?四邊形PQRH為平行四邊形,PHQR//,1,QRBD//同理,2,11(2)在?ABC中，P、Q為AB、BC中點(diǎn)，PQ//AC，又PH//BD，AC=BD.22?PH=PQ.?平行四邊形PQRH為菱形.-6-第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(3)?AC?BD，?異面直線AC與BD所成角為直角.?PH?BD，PQ?AC,??HPQ為AC與BD所成的角.??HPQ=90?,即四邊形PQRH為矩形(4)由(2)、(3)的證明可知，當(dāng)AC=BD且AC?BD時(shí)，四邊形PQRH為正方形.第12講?2.2.1直線與平面平行的判定?學(xué)習(xí)目標(biāo):以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中線面平行的判定，掌握直線與平面平行判定定理，掌握轉(zhuǎn)化思想“線線平行線面平行”.,?知識要點(diǎn):1.定義:直線和平面沒有公共點(diǎn)，則直線和平面平行.2.判定定理:平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行..圖形如右圖所示.符號表示為:ababa,,,,,,,,////?例題精講:【例1】已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，求證:AF?平面PEC證明:設(shè)PC的中點(diǎn)為G，連接EG、FG.1?F為PD中點(diǎn)，?GF?CD且GF=CD.2?AB?CD，AB=CD，E為AB中點(diǎn)，?GF?AE，GF=AE，四邊形AEGF為平行四邊形.?EG?AF，,又?AF平面PEC，EG平面PEC，?AF?平面PEC.,【例2】在正方體ABCD-ABCD中，E、F分別為棱BC、CD的中點(diǎn).求證:111111EF?平面BBDD.111證明:連接AC交BD于O，連接OE，則OE?DC，OE=DC.2?DC?DC，DC=DC，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，111111?OE?DF，OE=DF，四邊形DFEO為平行四邊形.111?EF?DO.1,又?EF平面BBDD，DO平面BBDD，,11111?EF?平面BBDD.11EFMADBD【例3】如圖，已知、、G、分別是四面體的棱、、、CDBCAAM的中點(diǎn)，求證:?平面.EFGDM證明:如右圖，連結(jié)，交于O點(diǎn)，連結(jié)，GFOEEFBD在中，G、分別是、中點(diǎn)，?，,BCDCDGFBC//BDMD?G為中點(diǎn)，?O為中點(diǎn)，DBGEADMD在,AMD中，?、O為、中點(diǎn)，?，EOAM//OF又?AM,平面，平面，EFGEO,EFGMAM??平面.EFGC點(diǎn)評:要證明直線和平面平行～只須在平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了.注意適當(dāng)添加輔助線～重視中位線在解題中的應(yīng)用.新疆王新敞奎屯【例4】如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)(1)求證:MN//平面PAD;(2)若，，求異面直線PA與MN所成的角的大小.MNBC,,4PA,43解:(1)取PD的中點(diǎn)H，連接AH，由N是PC的中點(diǎn)，1////DC?NH.由M是AB的中點(diǎn)，?NHAM，,,2即AMNH為平行四邊形.?MNAH//.MNPADAHPAD,,平面平面,MNPAD//平面由，?.(2)連接AC并取其中點(diǎn)為O，連接OM、ON，11////?OMBC，ONPA，,,22-7-所以就是異面直線PA與MN所成的角，且MO?NO.，ONM新疆王新敞奎屯由，,得OM=2，ON=MNBC,,423PA,430新疆王新敞奎屯所以，,ONM30，即異面直線PA與MN成30?的角點(diǎn)評:已知中點(diǎn)～牢牢抓住中位線得到線線平行～通過線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行.求兩條異面直線所成角～方法的關(guān)鍵也是平移其中一條或者兩條直線～得到相交的線線角～通過解三角形而得.第12練?2.2.1直線與平面平行的判定※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(已知直線、,平面α,?,?α,那么與平面α的關(guān)系是(C).1llllll121212,,A.?αB.αC.?α或αD.與α相交lllll122222(以下說法(其中a，b表示直線，,表示平面)?若a?b，b,,，則a?,?若a?,，b?,，則a?b?若a?b，b?,，則a?,?若a?,，b,,，則a?b其中正確說法的個(gè)數(shù)是(A).A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)3(已知a，b是兩條相交直線，a?,，則b與,的位置關(guān)系是(D).,A.b?,B.b與,相交C.bαD.b?,或b與,相交4(如果平面,外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面,的距離都是a，則直線AB和平面,的位置關(guān)系一定是(C).C.平行或相交D.AB,,A.平行B.相交5(如果點(diǎn)M是兩條異面直線外的一點(diǎn)，則過點(diǎn)M且與a，b都平行的平面(A).A.只有一個(gè)B.恰有兩個(gè)C.或沒有，或只有一個(gè)D.有無數(shù)個(gè)6(已知P是正方體ABCD-ABCD棱DD上任意一點(diǎn)，則在正方體的12條棱中，與平面ABP平行的11111是.DC、DC、AB11117(過三棱錐A-BCD的棱AB、BC、CD的中點(diǎn)M、N、P作平面MNP，三棱錐的六條棱中與平面MNP平行的是;若AC與BD成90?角，AC=6，BD=8，則截面四邊形的面積是.BD、AC;12.※能力提高8(平面,與?ABC的兩邊AB、AC分別交于D、E，且AD?DB=AE?EC，求證:BCB?平面,.C證明:在?ABC中，?AD?DB=AE?EC，?.BCDE//D又?，?.BCDE,,,,,BC//,E,A9(P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為PB的中點(diǎn)，O為AC，BD的交點(diǎn).(1)求證:EO‖平面PCD;(2)圖中EO還與哪個(gè)平面平行,解:(1)證明:?在平行四邊形ABCD中，O為AC，BD的交點(diǎn)，?O為BD的中點(diǎn).又?在?PBD中，E為PB的中點(diǎn)，?EO//PD.?EOPCDPDPCD,,平面平面,，?EO‖平面PCD.(2)圖中EO還與平面PAD平行.※探究創(chuàng)新10(三角形的三條中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的重心，且到頂點(diǎn)的距離等于到對邊中點(diǎn)距離的2倍.這一結(jié)論叫做三角形的重心定理.在四面體ABCD中，M、N分別是面?ACD、?BCD的重心，在四面體的四個(gè)面中，與MN平行的是哪幾個(gè)面,試證明你的結(jié)論.解:連結(jié)AM并延長，交CD于E，連結(jié)BN并延長交CD于F，由重心性質(zhì)可EN1EM知，E、F重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E，由==得MN?AB，NB2MA因此，MN?平面ABC且MN?平面ABD.-8-第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第13講?2.2.2平面與平面平行的判定?學(xué)習(xí)目標(biāo):以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中面面平行的判定，掌握兩個(gè)平面平行的判定定理與應(yīng)用及轉(zhuǎn)化的思想.?知識要點(diǎn):面面平行判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(用符號ababP,,,,,,,,,//表示為:,,.,ab//,//,,,?例題精講:【例1】如右圖，在正方體ABCD—ABCD中，M、N、P分別是CC、BC、CD111111111的中點(diǎn)，求證:平面MNP?平面ABD.1C、BC的中點(diǎn)，?PN?BD.證明:連結(jié)BD，?P、N分別是D11111111又BD?BD，?PN?BD.11又PN不在平面ABD上，?PN?平面ABD.11D同理，MN?平面ABD.又PN?MN=N，?平面PMN?平面ABD.111C1【例2】正方體ABCD—ABCD中((1)求證:平面ABD?平面BDC;1111111B(2)若E、F分別是AA，CC的中點(diǎn)，求證:平面EBD?平面FBD(11111A1//證明:(1)由BBDD，得四邊形BBDD是平行四邊形，?BD?BD，111111F,又BD,平面BDC，BD平面BDC，?BD?平面BDC(,11111111EG同理AD?平面BDC(而AD?BD,D，?平面ABD?平面BCD(111111CD(2)由BD?BD，得BD?平面EBD(取BB中點(diǎn)G，?AE?BG(111111從而得BE?AG，同理GF?AD(?AG?DF(?BE?DF(11AB?DF?平面EBD(?平面EBD?平面FBD(1111【例3】已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形.點(diǎn)PM、N、Q分別在PA、BD、PD上,且PM:MA=BN:ND=PQ:QD.求證:平面MNQ?平面PBC.Q證明:PM:MA=BN:ND=PQ:QD.M?MQ//AD，NQ//BP，C,而BP平面PBC，NQ平面PBC,?NQ//平面PBC.,D又ABCD為平行四邊形，BC//AD，?MQ//BC，N,而BC平面PBC，MQ平面PBC,?MQ//平面PBC.,BA由MQNQ=Q，根據(jù)平面與平面平行的判定定理，?平面MNQ?平面PBC.點(diǎn)評:由比例線段得到線線平行～依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行～證得兩條相交直線平行于一個(gè)平面后～轉(zhuǎn)化為面面平行.一般證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行.ABCDABCD,【例4】直四棱柱中，底面ABCD為正方形，邊長為2,側(cè)棱，M、N分別為AB、AA,31111111AD的中點(diǎn)，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn).111111(1)求證:平面AMN?平面EFDB;(2)求平面AMN與平面EFDB的距離.證:(1)連接,分別交MN、EF于P、Q.連接AC交BD于O，連接AP、OQ.AC11由已知可得，?MNEFDB//平面.MNEF//PQAO//PQAO,由已知可得，且.APOQ//?,?APEFDB//平面.?平面AMN?平面EFDB.AHAP111解:(2)過作平面AMN與平面EFDB的垂線，垂足為H、H’，易得.A,,1HHPQ'222382222APAAAP,，,，,3()由,根據(jù)VV,,則11AAMNAAMN,,114238，23196191111，2，解得.所以，平面AMN與平面EFDB的距離為.AH,，，,，，AH31119193232點(diǎn)評:第,1,問證面面平行～轉(zhuǎn)化途徑為“線線平行?線面平行?面面平行”.第,2,問求面面距離～巧妙將中間兩個(gè)平面的距離～轉(zhuǎn)化為平面另一側(cè)某點(diǎn)到平面距離的比例～然后利用等體積法求距離.等價(jià)轉(zhuǎn)化-9-的思想在本題中十分突出～我們可以用同樣的轉(zhuǎn)化思維～將此例中的兩個(gè)平面的距離～轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到平面AB’C的距離.第13練?2.2.2平面與平面平行的判定※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1(下列說法正確的是(D).A.一條直線和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線平行B.平行于同一平面的兩條直線平行C.如果一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行D.如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行2(在下列條件中，可判斷平面α與β平行的是(D).A.α、β都平行于直線lB.α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等C.l、m是α內(nèi)兩條直線，且l?β，m?βD.l、m是兩條異面直線，且l?α，m?α，l?β，m?β3(下列說法正確的是(D).A.垂直于同一條直線的兩條直線平行B.平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行C.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行4(經(jīng)過平面外的兩點(diǎn)作該平面的平行平面可以作(C).A.0個(gè)B.1個(gè)C.0個(gè)或1個(gè)D.1個(gè)或2個(gè)5(不在同一直線上的三點(diǎn)A，B，C到平面α的距離相等，且Aα，則(B).,A.α?平面ABCB.?ABC中至少有一邊平行于αC.?ABC中至多有兩邊平行于αD.?ABC中只可能有一條邊與α平行6(已知直線a、b，平面α、β,且a//b，a//α，α//β，則直線b與平面β的位置關(guān)系為直線b//平面β或直線b在平面β內(nèi);.7(已知a、b、c是三條不重合直線，,、,、,是三個(gè)不重合的平面，下列說法中:?a?c，b?ca?b;?a?,，b?,a?b;?c?,，c?,,?,;,,,?,?,，,?,,?,;?a?c，,?ca?,;?a?,，,?,a?,.,,,其中正確的說法依次是.(1)、(4).※能力提高8(在棱長為a的正方體ABCD-ABCD中，E，F(xiàn)，G，M，N，Q分別是棱AA，AB，AD，CB，CC，1111111111CD的中點(diǎn)，求證:平面EFG?平面MNQ.證明:由已知EF?AB，AB?DC，DC?QN，EF?QN，同理FG?MQ，,1111所以，平面EFG?平面MNQ.9(兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M?AC，N?FB，且AM=FN，過M作MH?AB于H，求證:(1)平面MNH//平面BCE;(2)MN?平面BCE.證明:(1)?正方形ABCD中，MH?AB，?則MH?BC，?.FNAH,連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得，?NH//AF//BE.BFAB由MH//BC，NH//BE，?平面MNH//平面BCE.(2)?平面MNH，平面MNH//平面BCE，?MN?平面BCE.MN,※探究創(chuàng)新'''ABC、、10(P是所在平面外一點(diǎn)，分別是的重心，,ABC,,,PBCPCAPAB、、'''ABCABC//平面(1)求證:平面;(2)求SS:.''',ABC,ABC證明:分別連PA’，PB’，PC’并延長分別交BC，AC，AB于D，E，F(xiàn).PAPC'2',,則D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點(diǎn).?，?A’C’//FD.PDPF3'''ABCABC//平面同理,?平面.ABDE''//ABPA'''21,,(2)?，?,又DE=AB.ABDE''//2DEPD3AB''1,?，易證?.?=1:9.SS:,ABC,ABC'''''',ABC,ABCAB3-10-第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第14講?2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)?學(xué)習(xí)目標(biāo):通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中線面平行的性質(zhì)，掌握直線和平面平行的性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線”“線面”平行的轉(zhuǎn)化.?知識要點(diǎn):線面平行的性質(zhì):如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平a//,,aβ,面相交，那么這條直線和交線平行.即:.aab,,//,,b,,b,,,,?例題精講:新疆王新敞奎屯【例1】經(jīng)過正方體ABCD-ABCD的棱BB作一平面交平面AADD于EE，求證:EE?BB1111111111AABBAABEEBBBBEEB//,,,,平面平面證明:?，11111111DC11?.AABEEB//平面E1111AAAADDAADDABEEBEE,,平面，平面平面又，1B111111111?.AAEE//11DCAABB//,11E,BBEE//則.,11AAEE//AB11,【例2】如圖，，，，，求證:.AB//,ACBD//C,,D,,ACBD,證明:連結(jié)，CD?，ACBD//AB,?直線和BD可以確定一個(gè)平面，記為，ACβCD,,,,,,CD?CD,,,，，?，DC,,,,CDAB,,?，，AB//,?，ABCD//又?，ACBD//?四邊形為平行四邊形，?.ACDBACBD,【例3】如右圖，平行四邊形EFGH的分別在空間四邊形ABCD各邊上，求證:BD//平面EFGH.證明:?,平面，平面，EHFG//EH,BCDFG,BCD?EHBCD//平面.平面平面BCDABDBD,又?EHABD,平面，,?.EHBD//又?EHEFGH,平面,BDEFGH,平面,?BDEFGH//平面.點(diǎn)評:轉(zhuǎn)化思維鏈?zhǔn)恰坝梢阎€線平行?線面平行?線線平行?線面平行”.此題屬于教材,必修?人教A版,中第64頁的3題的演變,同樣還可證平面.AC//EFGH【例4】已知直線?平面α，直線?平面β，平面α平面β=，求證(ba//baa證明:經(jīng)過作兩個(gè)平面和，與平面α和β分別相交于直線和，,,dacd??平面α，?平面β，aa??，?，daca,b_??，dc,,,又?平面β，平面β，d,ca_,??平面β，c,又平面α，平面α?平面β=，bcc??b，c??，??(baca點(diǎn)評:利用公理4～尋求一條直線分別與a～b均平行～從而達(dá)到a?b的目的～這里借用已知條件中的a?α及a?β來實(shí)現(xiàn)(證線線平行～可由公理4進(jìn)行平行傳遞～也可以由線面平行的性質(zhì)及后面的面面平行的-11-性質(zhì)得到線線平行.這里采用作輔助平面～利用線面平行的性質(zhì)得到線線平行.第14練?2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1(已知直線l//平面α，m為平面α內(nèi)任一直線，則直線l與直線m的位置關(guān)系是(D).A.平行B.異面C.相交D.平行或異面,2(梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是,(B).A.平行B.平行和異面C.平行和相交D.異面和相交3(一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線的位置關(guān)系是(C).A.異面B.相交C.平行D.不能確定4(若直線、b均平行于平面α，則與b的關(guān)系是(D).aaA.平行B.相交C.異面D.平行或相交或異面5(已知l是過正方體ABCD—ABCD的頂點(diǎn)的平面ABD與下底面ABCD所在平面111111的交線，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(D).A.DB?lB.BD//平面ADBC.l?平面ADBD.l?BC111111111ABCD6(已知正方體的棱長為1，點(diǎn)P是的面的中心，點(diǎn)Q是面的ACAADD11111112PQ//PQ對角線上一點(diǎn)，且平面，則線段的長為.BDAABB111127(設(shè)不同的直線a,b和不同的平面α，β，γ，給出下列四個(gè)說法:?a?α，b?α，則a?b;?a?α,a?β,則α?β;,?α?γ，β?γ，則α?β;?a?b,bα,則a?α.其中說法正確的序號依次是.?A※能力提高E8(如圖，空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形.(1)求證:CD?平面EFGH;(2)如果AB?CD，AB=a，CD=b是定值，求截面EFGH的面積.FHBD解:(1)證明:?EFGH是平行四邊形，?EF//GH，,又?EF平面BDC，GH平面BDC，?EH//平面BDC.,G,?EF平面ADC，平面ADC?平面BDC=DC，?EF//DC，?CD?平面EFGH.C1BA(2)截面EFGH的面積為.Sab,49(如右圖，直線AB和是異面直線，，，，，ACM,,BDN,,CDAB//,CD//,M,AMBNN,求證:.MCNDNCQMQQN證明:如圖，連結(jié)交平面于點(diǎn)，連結(jié)、.AD,DBAAB//,,AQBN,,,,,平面ABABDABQN//，,NQMQDND,,平面平面ABDQN,,,CD//,,NCAQAM,CDACDCDMQ,,,,平面//，D,QDMC,平面平面ACDMQ,,,NAMBN,?.MCND※探究創(chuàng)新110(如下圖，在正四棱柱ABCD—ABCD中，AA=AB，點(diǎn)E、M分別為AB、1111112CC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A、B、M三點(diǎn)的平面ABMN交CD于點(diǎn)N.11111(1)求證:EM?平面ABCD;(2)設(shè)截面ABMN把該正四棱柱截成兩個(gè)11111幾何體的體積分別為V、V(V,V，求V?V的值.)121212解:(1)證明:設(shè)AB的中點(diǎn)為F，連結(jié)EF、FC.111-12-第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系11?E為AB的中點(diǎn)，?EFBB.又CMBB，?EFMC.//////1111122?四邊形EMCF為平行四邊形.1?EM?FC.?EM平面ABCD，F(xiàn)C平面ABCD，,,1111111111?EM?平面ABCD.1111(2)延長AN與BC交于P，則P?平面ABMN，且P?平面BBCC.111111又?平面ABMN?平面BBCC=BM，?P?BM，即直線AN、BC、111111BM交于一點(diǎn)P.又?平面MNC?平面BAB，?幾何體MNC—BAB為棱臺.111111111122?S=?2a?a=a，S=?a?a=a，2224棱臺MNC—BAB的高為BC=2a，11111V1771771122333221V=?2a?(a++a)=a，?V=2a?2a?a,a=a.?=.aa,126173664V42第15講?2.2.4平面與平面平行的性質(zhì)?學(xué)習(xí)目標(biāo):通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中面面平行的性質(zhì)，掌握面面平行的性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線”“線面”“面面”平行的轉(zhuǎn)化.?知識要點(diǎn):1.面面平行的性質(zhì):如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線,,,,,,//,,//,,,abab平行.用符號語言表示為:.,,,,//,//ll,,,,,,//,ll,,,2.其它性質(zhì):?;?;?夾在平行平面間的平行線段相等.A?例題精講:C【例1】如圖，設(shè)平面α?平面β，AB、CD是兩異面直線，M、N分別是AB、,CD的中點(diǎn)，且A、C?α，B、D?β.求證:MN?α.M證明:連接BC，取BC的中點(diǎn)E，分別連接ME、NE，NE則ME?AC，?ME?平面α，D又NE?BD，?NE?β，,B又ME?NE=E，?平面MEN?平面α，,?MN平面MEN，?MN?α.【例2】如圖，A，B，C，D四點(diǎn)都在平面,，,外，它們在,內(nèi)的射影A，B，C，D是平行四邊形的四1111個(gè)頂點(diǎn)，在,內(nèi)的射影A，B，C，D在一條直線上，求證:ABCD是平行四邊形(2222證明:?A，B，C，D四點(diǎn)在,內(nèi)的射影A，B，C，D在一條直線上，2222?A，B，C，D四點(diǎn)共面(又A，B，C，D四點(diǎn)在,內(nèi)的射影A，B，C，D是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，1111?平面ABBA?平面CDDC(1111?AB，CD是平面ABCD與平面ABBA，平面CDDC的交線(1111?AB?CD(同理AD?BC(?四邊形ABCD是平行四邊形(【例3】如圖，在正三棱柱ABC—ABC中，E、F、G是側(cè)面對角線上的點(diǎn)，且，求證:BECFAG,,111平面EFG?平面ABC.EPBB,證明:作于P，連接PF.在正三棱柱ABC—ABC的側(cè)面中，ABBA111111BEBPABBB,EPBB,EPABAB////易知，又，所以.?，平面ABC.EP//,111111BABB11CFBPBACB,又?，，?，?，則平面ABC.BECF,PFBC//PF//,11CBBB11?EPPFP,，?平面PEF//平面ABC.EF,?平面PEF，?EF//平面ABC.同理，GF//平面ABC.EFGFF,?，?平面EFG//平面ABC.點(diǎn)評:將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題～是解決立體幾何問題的重要策略～關(guān)鍵在于選擇或添加適當(dāng)?shù)钠矫婊蚓€～并抓住一些平面圖形的幾何性質(zhì)～如比例線段等.此題通過巧作垂線～得到所作平面與底面平行～由性質(zhì)-13-,,,,//,//ll,,易得線面平行～進(jìn)而轉(zhuǎn)化出待證的面面平行～突出了平行問題中轉(zhuǎn)化思想.ABCDABCD,BECF,】如圖，已知正方體中，面對角線，上分別有兩點(diǎn)EF，且.【例4、ABBC11111111求證:EF?平面ABCD.證明:過E、F分別作AB、BC的垂線，EM、FN分別交AB、BC于M、N，連接MN.?BB?平面ABCD，?BB?AB，BB?BC，?EM?BB，F(xiàn)N?BB，?EM?FN，11111CD11?AB=BC，BE=CF，?AE=BF，又?BAB=?CBC=45?，111111B?Rt?AME?Rt?BNF，?EM=FN.1A1F?四邊形MNFE是平行四邊形，?EF?MN.EG,又MN平面ABCD，?EF?平面ABCD.EDC證法二:過E作EG?AB交BB于G，連接GF，1NBEBGCFBG1111BECF,BACB,?，，，?，?FG?BC?BC.,,11B1111MABABBCBBB1111又?EG=G，ABBC=B，?平面EFG?平面ABCD.FG,b又EF平面EFG，?EF?平面ABCD.點(diǎn)評:在熟知線面平行、面面平行的判定與性質(zhì)之后～空間平行問題的證明～緊緊抓住“線線平行線,面平行面面平行”之間的互相轉(zhuǎn)化而完成證明.,第15練?2.2.4平面與平面平行的性質(zhì)※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1(下列說法正確的是(C).A.如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么它們重合B.過兩條異面直線中的一條可以作無數(shù)個(gè)平面與另一條直線平行C.在兩個(gè)平行平面中，一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都與另一個(gè)平面平行D.如果兩個(gè)平面平行，那么分別在兩個(gè)平面中的兩條直線平行,aB,,,,,,,2(已知?，則在內(nèi)過點(diǎn)B的所有直線中(D).,A(不一定存在與平行的直線B(只有兩條與平行的直線aaC(存在無數(shù)條與平行的直線D(存在唯一一條與平行的直線aa3(下列說法正確的是(D).A.直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線平行B.經(jīng)過兩條平行線中一條有且只有一個(gè)平面與另一條直線平行C.經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行D.經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行4(在正方體中，下列四對截面中，彼此平行的一對截面是(B).ABCDABCD,''''A.BDCBDC'''與B.ABCACD'''與C.BDDBDA'''與D.ADCADC'''與,,,,,,,PPAC,P5(已知平面平面，是外一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與分別交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與,//mn,,,BD,分別交于點(diǎn)，且，，，則BD的長為(B).PA,6AC,9PD,82414A.B.24或C.D.162056(已知平面α?β，，有下列說法:?a與β內(nèi)的所有直線平行;?a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行;a,,?a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直.其中正確的序號依次是.?7(設(shè)平面α?β，A、C?α，B、D?β，直線AB與CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，則SC=_.6868或3※能力提高8(如圖，設(shè)平面α?平面β，AB、CD是兩異面直線，且A、C?α，B、D?β，A,,//AC?BD，AC=6，BD=8.M是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作一個(gè)平面γ，交CD與N，且，C,求線段MN的長.解:連接BC，與平面γ交于點(diǎn)E，分別連接ME、NE.MNE易知平面MEN//平面α，平面MEN//平面β.由于平面ABC、平面BDC分別與三個(gè)平行平面相交，D所以，ME//AC，EN//BD.,B?M是AB的中點(diǎn)，?E、N分別是BC、CD的中點(diǎn).11MEAC,,3ENBD,,4?，，22-14-第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系22又?AC?BD，?ME?EN，所以.MN,，,345,,,,,,,//,,//,,//9(已知平面，且，，求證:(a證明:在平面內(nèi)取兩條相交直線，ab,,,b,,分別過作平面，使它們分別與平面交于兩相交直線，,,,,ab,ab,,,,,//?，?，aabb//,//,a,,,,又?,,//，同理在平面內(nèi)存在兩相交直線，使得ab,,,b,,,,,,,，aabb//,//,,a,,,,,,//?，?(aabb//,//,,,b※探究創(chuàng)新10(如圖甲，在透明塑料制成的長方體ABCD—ABCD容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地1111面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)說法:?水的部分始終呈棱柱狀;?水面四邊形EFGH的面積不改變;?棱AD始終與水面EFGH平行;11?當(dāng)容器傾斜如圖乙時(shí)，EF?BF是定值.其中正確說法的序號是_____________.解:對于命題?，由于BC固定，所以在傾斜的過程中，始終有AD?EH?FG?BC，且平面AEFB?平面DHGC，故水的部分始終呈棱柱狀(四棱柱或三棱柱、五棱柱)，且BC為棱柱的一條側(cè)棱，命題?正確.對于命題?，當(dāng)水是四棱柱或五棱柱時(shí)，水面面積與上下底面面積相等;當(dāng)水是三棱柱時(shí)，則水面面積可能變大，也可能變小，故?不正確.?是正確的(請給出證明).?是正確的，由水的體積的不變性可證得.綜上所述，正確命題的序號是???.第16講?2.3.1直線與平面垂直的判定?學(xué)習(xí)目標(biāo):以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的判定，掌握直線與平面垂直的定義，理解直線與平面垂直的判定定理，并會用定義和判定定理證明直線與平面垂直的關(guān)系.掌握線面角的定義及求解.?知識要點(diǎn):1.定義:如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線與平面互相垂直，記作.,平llll,,,,P面的垂線，,直線的垂面，它們的唯一公共點(diǎn)叫做垂足.(線線垂直線面垂直)l,,,2.判定定理:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直.符號語言表示為:若?，?，?,B，,，,，則?lllmnmnm,n,,3.斜線和平面所成的角，簡稱“線面角”，它是平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角.求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足，再作垂線找射影，然后通過解直角三角形求解，可以簡述為“作(作出線面角)?證(證所作為所求)?求(解直角三角形)”.通常，通過斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵.?例題精講:2，,BDC90ACBDEF,,,ADBC,【例1】四面體中，分別為的中點(diǎn)，且，，求證:ABCDEFAC,2BD,平面.ACD11////ACFGBDEGFG,EF,ADBC,證明:取GCD的中點(diǎn)，連結(jié)，?分別為的中點(diǎn)，?EG，.,,22112222FGAC,EGFGACEF，,,ACBD,,又?，?在中，，,EFG22，,BDC90ACCDC,?，?，又，即，，EGFG,BDAC,BDCD,BD,?平面.ACD【例2】已知棱長為1的正方體ABCD,ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABCD所成11111111的角的正弦值.解:取CD的中點(diǎn)F，連接EF交平面于O，連AO.ABCD11由已知正方體，易知平面，所以為所求.EO,，EAOABCD111511222在RtEOA,中，，，AE,，,()1EOEFAD,,,122222-15-EO10.sin，,,EAOAE510所以直線AE與平面所成的角的正弦值為.ABCD115【例3】三棱錐中，，平面ABC，垂足為O，PABC,PO,PABCPBAC,,，求證:O為底面?ABC的垂心.證明:連接OA、OB、OC，?平面ABC，?.PO,POBCPOAC,,,又?，PABCPBAC,,，BCPAOACPBO,,平面，平面?，得,AOBCBOAC,,，?O為底面?ABC的垂心.點(diǎn)評:此例可以變式為“已知～求證”～其思路PCAB,PABCPBAC,,，是接著利用射影是垂心的結(jié)論得到后進(jìn)行證明.三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí)～也可按同樣的思路證出.OCAB,【例4】已知，斜邊BC//平面，AB，AC分別與A,,,Rt,ABC,C平面成30?和45?的角，已知BC=6，求BC到平面的距離.,,BB,,CC,,解:作于，于，則由，得BC//,BC1111BCBBCC,，且就是BC到平面的距離，CC,1111B1AABAC,設(shè)，連結(jié)，則，，,，,BABCAC30,45CCx,11111,?，ACxABx,,2,222BCBAC,，,6,903624,，xx在中，，?，?，即BC到平面的距離為(RtABC,,x,66點(diǎn)評:由直線與平面的平行～直接作平面的垂線段即為線面距離.此題通過兩條垂線段把所已知的線面角同時(shí)作出～利用解直角三角形的知識和方程思想容易解決問題.第16練?2.3.1直線與平面垂直的判定※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1(若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(C).A(平面OABB(平面OACC(平面OBCD(平面ABC2(若直線平面，直線，則(A).l,,m,,GS3A(B(l可能和m平行C(l和m相交D(l和m不相交lm,3(在正方形SGGG中，E、F分別是GG、GG的中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE、SF、1231223EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G、G、G重合為點(diǎn)G，則有(A).123FA.SG?面EFGB.EG?面SEFC.GF?面SEFD.SG?面SEF,4(直線a?直線b，b?平面，則a與β的關(guān)系是(D).GEG12a,,,,,,A(a?B.a?β(C(D(a或a?5((04年湖南卷.理4文5)把正方形ABCD沿對角線AC折起,當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為(C).A.90?B.60?C.45?D.30?6(在直四棱柱ABCD-ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件時(shí)，有1111AC?BD(注:填上你認(rèn)為正確的一種即可，不必考慮所有可能的情形).AC?BD111PH7(設(shè)三棱錐的頂點(diǎn)在平面上的射影是，給出以下說法:PABC,ABCHH?若，，則是垂心;?若PAPBPC,,兩兩互相垂直，則是垂心;PABC,PBAC,,ABC,ABC，,ABC90HH?若，是的中點(diǎn)，則;?若，則是的外心.ACPAPBPC,,PAPBPC,,,ABC其中正確說法的序號依次是.????※能力提高DC11ABCDABCD,8(如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC,BD的交CC11111B1AFBED,平面點(diǎn)，求證:(1A1EAAABCD,平面AABD,證明:?，?.11BDAAF,平面AFBD,又?，?,得.ACBD,11DFGBG,ABFG//取BC中點(diǎn)G，連結(jié)，?.C111GABBCCB,平面ABBE,?，?.F111111BABCCBCCBC,BEBG,又?正方形中，E,G分別為的中點(diǎn)，?，1111-16-第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系?BEABGF,平面,得AFBE,.又?，?AFBED,平面EBBDB,1111ABa,29(如圖，是矩形，平面，，是線段上的點(diǎn)，是線EFPA,PAADa,,,PDABCDABCDPEBF1,,段上的點(diǎn)，且(求直線與平面所成角的正弦值.ABEFABCDEDFA2解:平面，過作于，則平面，連，EPA,EMAD,MEM,FMABCDABCD則為直線與平面所成的角.，EFMEFABCD22,,2aaa22,,22EMFMAMAF,,，,.,，,a,,,,,,333,,,,EM2213tan，,,EFM在中，(?(RtFEM,sin，,EFMFM313※探究創(chuàng)新10(如圖，已知平行六面體ABCD—ABCD的底面是菱形且?CCB=?CCD=?BCD=60?,111111CD(1)證明:CC?BD;(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，可使AC?面CBD,111CC1解:(1)證明:連結(jié)AC、AC，AC和BD交于點(diǎn)O，連結(jié)CO，111?四邊形ABCD是菱形，?AC?BD，BC=CD又??BCC=?DCC，CC是公共邊，??CBC??CDC，?CB=CD1111111?DO=OB，?CO?BD，但AC?BD，AC?CO=O11,?BD?平面AC，又CC平面AC，?CC?BD.1111CD,(2)由(1)知BD?平面AC，?AO平面AC，?BD?AC，當(dāng)=1時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全1111CC1等的菱形，同理可證BC?AC，又?BD?BC=B，?AC?平面CBD.11111第17講?2.3.2平面與平面垂直的判定?學(xué)習(xí)目標(biāo):通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中面面垂直的判定，掌握二面角和兩個(gè)平面垂直的定義，理解平面與平面垂直的判定定理并會用判定定理證明平面與平面垂直的關(guān)系，會用所學(xué)知識求兩平面所成的二面角的平面角的大小.?知識要點(diǎn):1.定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角(dihedralangle).這條直線叫做二面角的,,,,ABPABQ,,棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.記作二面角.(簡記),,,,,,,l2.二面角的平面角:在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面內(nèi)分別作垂l直于棱的射線和，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角.范圍:.lOAOBOAOB，AOB0180:,,:,,,,3.定義:兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.記作.4.判定:一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.(線面垂直面面垂直),?例題精講:【例1】已知正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連結(jié)AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P.(1)求證:AP?EF;(2)求證:平面APE?平面APF.證明:(1)如右圖，??APE=?APF=90?，PE?PF=P，,?PA?平面PEF.?EF平面PEF，?PA?EF.(2)??APE=?EPF=90?，AP?PF=P，?PE?平面APF.,又PE平面PAE，?平面APE?平面APF.【例2】如圖,在空間四邊形ABCD中，ABBCCDDA,,,,AEFG,,CDDAAC,,BEF,分別是的中點(diǎn)，求證:平面平面.BGDABBCG,,證明:為AC中點(diǎn)，所以.ACBG,FACDG,,同理可證?面BGD.AC,GEF,又易知EF//AC，則面BGD.DEF,BEF,又因?yàn)槊鍮EF，所以平面平面BGD.BEC-17-ABCDABCD,平面平面ABDBED,【例3】如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn)，求證:(CC111111證明:連接AC，交BD于F，連接，EF，，.AFAEAC1111ABCDABCD,ADAB,由正方體，易得，，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，EDEB,111111AFBDEFBD,,,ABDE,,所以，得到是二面角的平面角.，AFE111ABCDABCD,設(shè)正方體的棱長為2，則11112222222222，，AFAAAF,，,，,2(2)6EFCECF,，,，,1(2)31122222.AEACCE,，,，,(22)19111222AFEF,平面平面ABDBED,?，即，所以.AFEFAE，,1111點(diǎn)評:要證兩平面垂直～證其二面角的平面角為直角～這也是證兩平面垂直的常用方法.此題由幾何圖形的特征～作出待證的兩個(gè)垂直平面所成二面角的平面角是解決問題的關(guān)鍵.】正三棱柱ABC—ABC中，AA=2AB，D、E分別是側(cè)棱BB、CC上的點(diǎn)，且EC=BC=2BD，過【例4111111A、D、E作一截面，求:(1)截面與底面所成的角;(2)截面將三棱柱分成兩部分的體積之比.解:(1)延長ED交CB延長線于F，A1C11DBECBDECFBBCABABF//,,.120,？,,，,:又，B12?，.，,，,:BAFBFA30，,:FAC90E,?，?為截面與底面所成二面角的平面角.AAAFACAF,,,AFAEEAC,，,D在Rt?AEC中，EC=AC，故得?EAC=45?.CA1133,(2)設(shè)AB=a，則，AAaBDaECaVhSa,,,？,,,2,,,ABCEDBCED,B238V3333,,,233ADEABC,,.?,3.VSAAaaaVa,,,,,,2,,,,,,,,ABCABCABCADEABC,,,S428ABCDE,點(diǎn)評:截面問題的研究～需注意結(jié)合截面的性質(zhì).如何作出截面～是解決問題的關(guān)鍵～然后把截面的看成一個(gè)平面圖形.求二面角時(shí)～抓住二面角的平面角定義,兩線垂棱,～找出其平面角～解直角三角形.第17練?2.3.2平面與平面垂直的判定※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo),,,,1(對于直線、和平面、，的一個(gè)條件是(C).mn,n//,mnmn,,,,,,,,A(，，B.mn,m//,mnnm//,,//,,,n,,C(D.，，mn//m,,2(過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段AP?平面ABCD，且AP=AB，則平面ABP與平面CDP所成的二面角的度數(shù)是(B).A(30?B(45?C(60?D(90?3(在三棱錐A—BCD中，如果AD?BC，BD?AD，?BCD是銳角三角形，那么(C).A.平面ABD?平面ADCB.平面ABD?平面ABCC.平面BCD?平面ADCD.平面ABC?平面BCD,,,,,,,AB4(在直二面角棱AB上取一點(diǎn)P，過P分別在平面內(nèi)作與棱成45?角的斜線PC、PD，則?CPD的大小是(D).A(45?B(60?C(120?D(60?或120?5(下面四個(gè)說法:?如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直;?過空間一定點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直;?垂直同一平面的兩條直線互相平行;?經(jīng)過一個(gè)平面的垂線的平面與這個(gè)平面垂直.其中正確的說法個(gè)數(shù)是(C).A.1B.2C.3D.46(E是正方形ABCD的AB邊中點(diǎn)，將?ADE與?BCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合為點(diǎn)P，那么二面角D—PE—C的大小為.60?7(空間四邊形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E是AC的中點(diǎn)，則平面BDE與平面ABC的位置關(guān)系是.垂直※能力提高8(如圖，正三角形ABC的邊長為3，過其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于、.將沿折起到的位置，使點(diǎn)在平面上的射BCBCA,ABC,ABCBBCC111111111111-18-第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系A(chǔ)BCM,,影恰是線段BC的中點(diǎn)M.試求二面角的大小.111解:連接AG、GM、AG.?G是正ΔABC的中心，M是BC的中點(diǎn)，1?A、G、M三點(diǎn)共線，且AG:GM=2:1，AM?BC.BCBC//AMBC,AGBC,GMBC,?,?,即,,111111111，AGM?為二面角ABCM,,的的平面角.1111BBCCBBCCAAM,AM,?M是點(diǎn)在平面上的射影，即平面，?.GM1111111GM1RtAMG,中，由，得，,:AGM60.即二面角ABCM,,的大小是60?.在cos，,,AGM111111AG21ABCDABCD,9(如圖，棱長為的正方體中，分別為棱和的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn).EF,ABMBCBBa11111求證:(1)平面;(2)平面平面.EF,BBD