高考立體幾何知識點總結(jié)

高考立體幾何知識點總結(jié)立體幾何一、平面.1.經(jīng)過不在同一條直線上的三點確定一個面.注:兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內(nèi).2.兩個平面可將平面分成3或4部分.(?兩個平面平行，?兩個平面相交)3.過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.(?三條直線在一個平面內(nèi)平行，?三條直線不在一個平面內(nèi)平行)[注]:三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點有0或1個.4.三個平面最多可把空間分成8部分.(X、Y、Z三個方向)二、空間直線.1.空間直線位置分三種:相交、平行、異面.相交直線—共面有反且有一個公共點;平行直不同在任一平面內(nèi)線—共面沒有公共點;異面直線—[注]:?兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.(×)(可能兩條直線平行，也可能是點和直線等)?直線在平面外，指的位置關(guān)系:平行或相交?若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).,,,?兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.?在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.(×)(射影不一定只有直線，也可以是其他圖形)?在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.(×)(并非是從平面外一點向這個平面所引((的垂線段和斜線段)a,b?是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.a,ba,b2.異面直線判定定理:過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.(不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線)3.平行公理:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4.等角定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等(如下圖).,,(二面角的取值范圍),,,0,180，,,(直線與直線所成角),,,，0,90112,,(斜線與平面成角)2，，,,0,90方向不相同方向相同-1-,,(直線與平面所成角),,,,0,90,,(向量與向量所成角,,[0,180])推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角(或直角)相等.5.兩異面直線的距離:公垂線的長度.空間兩條直線垂直的情況:相交(共面)垂直和異面垂直.是異面直線，則過外一點P，過點P且與都平行平面有一個或沒有，但與距l(xiāng),ll,ll,ll,l12121212離相等的點在同一平面內(nèi).(或在這個做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面)LLLL1212三、直線與平面平行、直線與平面垂直.1.空間直線與平面位置分三種:相交、平行、在平面內(nèi).2.直線與平面平行判定定理:如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.(“線線平行，線面平行”)[注]:?直線與平面內(nèi)一條直線平行，則?.(×)(平面外一條直線)a,a,?直線與平面內(nèi)一條直線相交，則與平面相交.(×)(平面外一條直線)a,a,?若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無數(shù)條直線與平行.(?)(不是任意一條直線，aa,,可利用平行的傳遞性證之)?兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面.(×)(可能在此平面內(nèi))?平行于同一直線的兩個平面平行.(×)(兩個平面可能相交)?平行于同一個平面的兩直線平行.(×)(兩直線可能相交或者異面)l?直線與平面、所成角相等，則?.(×)(、可能相交),,,,,,3.直線和平面平行性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.(“線面平行，線線平行”)4.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面P垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.aOAPAAOPO,若?，?，得?(三垂線定理)，,aaPOPOPO得不出?.因為?，但不垂直O(jiān)A.,a,三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這-2-兩條直線垂直于這個平面.(“線線垂直，線面垂直”)直線與平面垂直的判定定理二:如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.推論:如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.[注]:?垂直于同一平面的兩個平面平行.(×)(可能相交，垂直于同一條直線的兩個平面(((((((((平行)?垂直于同一直線的兩個平面平行.(?)(一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面)?垂直于同一平面的兩條直線平行.(?)5.?垂線段和斜線段長定理:從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，?射影相((等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長;?相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長;?垂線段比任何一條斜線段短.[注]:垂線在平面的射影為一個點.[一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.(×)]?射影定理推論:如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上四、平面平行與平面垂直.1.空間兩個平面的位置關(guān)系:相交、平行.2.平面平行判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.(“線面平行，面面平行”)推論:垂直于同一條直線的兩個平面互相平行;平行于同一平面的兩個平面平行.[注]:一平面間的任一直線平行于另一平面.3.兩個平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.(“面面平行，線線平行”)4.兩個平面垂直性質(zhì)判定一:兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質(zhì)判定二:如果一個平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.(“線面垂直，面面垂直”)注:如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.5.兩個平面垂直性質(zhì)定理:如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也P垂直于另一個平面.,,MBA推論:如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.Oθ-3-證明:如圖，找O作OA、OB分別垂直于，l,l12因為則PM,OA,PM,OB.PM,,,OA,,,PM,,,OB,,2226.兩異面直線任意兩點間的距離公式:(為銳角取加，為鈍,,l,m，n，d，2mncos,,,，取減，綜上，都取加則必有),0,,,,2,，θ17.?最小角定理:(為最小角，如圖)cos,,cos,cos,,θ2112θ圖2圖1?最小角定理的應用(?PBN為最小角)簡記為:成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.五、棱錐、棱柱.1.棱柱.S,Ch??直棱柱側(cè)面積:(C為底面周長，h是高)該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.l?斜棱住側(cè)面積:(是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長)該公式是利用斜S,ClC11棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.,,,,,?{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}.,{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.側(cè)面與底面是側(cè)棱垂直底面是底面是正方體正四棱柱四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正方形底面矩形底面邊長相等平行四邊形?棱柱具有的性質(zhì):?棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等;直棱柱的各個側(cè)面都是矩形;正棱((((((((柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.(((((?棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.((?過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注:?棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱.(×)(直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖)?(直棱柱定義)棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.?平行六面體:-4-定理一:平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.((((((((((((([注]:四棱柱的對角線不一定相交于一點.定理二:長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.推論一:長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則,,,,,222.cos,，cos,，cos,,1推論二:長方體一條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為，則,,,,,222.cos,，cos,，cos,,2?有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形)[注]:?各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(應是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行)(?對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.(×)(只能推出對角線相等，推不出底面為矩形)?棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直.(兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應是充要條件)2.棱錐:棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.[注]:?一個棱錐可以四各面都為直角三角形.V,Sh,3V?一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐;所以.棱柱棱柱??正棱錐定義:底面是正多邊形;頂點在底面的射影為底面的中心.[注]:i.正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.(不是等邊三角形)ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正?側(cè)棱與底棱不一定相等iii.正棱錐定義的推論:若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形(即側(cè)棱相等);底面為正多邊形.1''S,ChC?正棱錐的側(cè)面積:(底面周長為，斜高為)h2S底S,,?棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式:(側(cè)面與底面成的二面角為)側(cè)cos,ccos,,a,ba,l,bc,附:以知?，，為二面角.lalb11S,a,lS,l,bcos,,a,b,則?，?，????得1222-5-S底S,.側(cè)cos,注:S為任意多邊形的面積(可分別多個三角形的方法).?棱錐具有的性質(zhì):?正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正棱錐的斜高).?正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.?特殊棱錐的頂點在底面的射影位置:?棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.?棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.?棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.?棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.?三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.?三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.?每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑;I?每個四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.[注]:i.各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.(×)(各個側(cè)面的等Aba腰三角形不知是否全等)cii.若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直.BCDDAB,a,AD,c,AC,b簡證:AB?CD，AC?BD,BC?AD.令FE得，已知，，，，a,c,b,0,b,a,c,0BC,AC,AB,b,a,AD,c,BC,AD,bc,acACO'H,ac,bc,0G則.BC,AD,0Biii.空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形.iv.若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是一定是正方形.,,,OOB,AC,BO,，F(xiàn)GH,O'簡證:取AC中點，則平面90?易oo,AC,BO,AC,AC,EF,FG,EFGH知EFGH為平行四邊形,EFGH為長方形.若對角線等，則為正方形.-6-3.球:?球的截面是一個圓面.2?球的表面積公式:.S,4,ROr43VR,,?球的體積公式:.3?緯度、經(jīng)度:PP?緯度:地球上一點的緯度是指經(jīng)過點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).A,B?經(jīng)度:地球上兩點的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面AB的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是點的二面角的度數(shù)，特別地，當經(jīng)過點的經(jīng)度.2h附:?圓柱體積:(為半徑，為高)rV,,rh12hV,,rh?圓錐體積:(為半徑，為高)r31hV,Sh?錐形體積:(S為底面積，為高)OR333622S,aS,a4.?內(nèi)切球:當四面體為正四面體時，設邊長為a，，，h,a側(cè)底443363132426222得.a,a,a,R，,a,R,R,a/3,a,3,a43434434411V,,S,R,3，S,R,S,h,BACD側(cè)底底注:球內(nèi)切于四面體:33?外接球:球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.六、常用結(jié)論、方法和公式1.從一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若?AOB=?AOC，則點A在平面?BOC上的射影在?BOC的平分線上;,,,,2.已知:直二面角M,AB,N中，AEM，BFN,?EAB=,?ABF=，異面直線AE21cos,,cos,cos,;與BF所成的角為，則,12A,A3.立平斜公式:如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，BC和AB的射影BA11,,,,,成，設?ABC=,則coscos=cos;33212BA1DC,4.異面直線所成角的求法:(1)平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線;-7-(2)補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系;5.直線與平面所成的角斜線和平面所成的是一個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵;6.二面角的求法(1)定義法:直接在二面角的棱上取一點(特殊點)，分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性;(2)三垂線法:已知二面角其中一個面內(nèi)一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角;(3)垂面法:已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直;(4)射影法:利用面積射影公式S,Scos,其中為平面角的大小，此法不必在圖,,射原形中畫出平面角;特別:對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法(尤其要考慮射影法)。7.空間距離的求法(1)兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進行計算;(2)求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解;(3)求點到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來作，因此，確定已知面的垂面是關(guān)鍵;二是不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解;8.正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為，則Scos=S;,,側(cè)底9.已知:長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有,,,,,,222,,cos,+cos+cos=1;若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為222,,,則有cos+cos+cos=2;,,,,,,10.正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長;12.柱體的體積公式:柱體(棱柱、圓柱)的體積公式是V=Sh.其中S是柱體的底面積，h柱體-8-是柱體的高.13.直棱柱的側(cè)面積和全面積S=c(c表示底面周長，表示側(cè)棱長)S=S+S,,直棱柱側(cè)棱柱全底側(cè)114(棱錐的體積:V=，其中S是棱錐的底面積，h是棱錐的高。Sh棱錐342315.球的體積公式V=，表面積公式;S,4,RR,3高考真題O1((安徽19)((本小題滿分12分)如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的OABCD,ABCD,M菱形，,OAABCD,底面,,為ABC，,OA,2OA4M的中點。(?)求異面直線AB與MD所成角的大小;(?)求點B到平面OCD的距離。DA方法一(綜合法)BC(1)CD‖AB,ABMD為異面直線與所成的角(或其補角)?，MDCOMP作APCDP,于,連接?OA,,平面ABCD，?CDMPM,2??，,DP=ADP,42Q22D，?MDMAAD,，,2ADP1,P?，,,，,，,cos,MDPMDCMDPMD23BC,ABMD所以與所成角的大小為3??AB‖平面OCD,(,)點A和點B到平面OCD的距離相等，AQOP,連接OP,過點A作于點Q，??APCDOACDCDOAP,,,,,,平面??AQOAPAQCD,,平面,-9-又,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離??AQOPAQOCD,,,平面132222222?OPODDPOAADDP,,,，,,，,,41APDP,,，22222OAAP222，所以點B到平面OCD的距離為?AQ,,,3OP3322方法二(向量法)xyz,,作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系APCD,222ABPDOM(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1),,222zABMD(1)設與所成的角為,,O22?ABMD,,,,(1,0,0),(,,1)22MABMD1,,??,,,cos,,,23,ABMD,?ABMD與所成角的大小為3DAP222?OPOD,,,,,(0,,2),(,,2)(2)xyCB222?設平面OCD的法向量為nxyz,(,,),則nOPnOD,,0,0,2yz,,20,,2即,22,,，,,xyz20,,22z,2取,解得n,(0,4,2)OB設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,n,(0,4,2)ddOBn,2,.?d,,?OB,,(1,0,2)n32所以點B到平面OCD的距離為3-10-2((北京16)(本小題共14分)APBPAB,,如圖，在三棱錐中，，，，(，,ACB90PABC,ACBC,,2PCAC,P(?)求證:;PCAB,(?)求二面角的大小(BAPC,,解法一:ABABD(?)取中點，連結(jié)(PDCD，PAPBP,，C？,PDAB(，ACBC,D(？,CDABBA，PDCDD,？,AB平面(PCDC平面，PC,PCD(？,PCABAPBP,(?)，，ACBC,(？???APCBPC又，PCAC,P(？,PCBC又，即，且，，,ACB90ACPCC,ACBC,E平面(？,BCPACBAAPE取中點(連結(jié)(BECE，ABBP,？,BEAP，(CBE是在平面內(nèi)的射影，ECPAC(？,CEAP是二面角的平面角(？，BECBAPC,,3BEAB,,6在中，，，，，,BCE90?BCEBC,22BC6？，,,sinBEC(BE36arcsin？二面角的大小為(BAPC,,3解法二:APBP,(?)，，ACBC,(？???APCBPC又，PCAC,(？,PCBC，ACBCC,z平面(？,PCABCPAB,平面，ABCEyx-11-ABC(？,PCAB(?)如圖，以為原點建立空間直角坐標系(Cxyz,C則(CAB(000)(020)(200)，，，，，，，，設(Pt(00)，，，PBAB,,22，(P(002)，，？,t2APE取中點，連結(jié)(BECE，，，ACPC,ABBP,BEAP,，(？,CEAP是二面角的平面角(？，BECBAPC,,，，，E(011)，，EC,,,(011)，，EB,,,(211)，，ECEB23(？，,,,cosBEC326ECEB3arccos二面角的大小為(？BAPC,,33((福建19)(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD?底面2ABCD，側(cè)棱PA,PD=,底面ABCD為直角梯形，其中BC?AD,AB?AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.(?)求證:PO?平面ABCD;(?)求異面直線PB與CD所成角的余弦值;(?)求點A到平面PCD的距離.解法一:(?)證明:在?PAD卡中PA,PD，O為AD中點，所以PO?AD.又側(cè)面PAD?底面ABCD，平面PAD?平面ABCD,AD，PO,平面PAD，所以PO?平面ABCD.(?)連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中，BC?AD,AD=2AB=2BC，有OD?BC且OD,BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以OB?DC.由(?)知PO?OB，?PBO為銳角，所以?PBO是異面直線PB與CD所成的角.2因為AD,2AB,2BC,2，在Rt?AOB中，AB,1，AO,1，所以OB,，-12-在Rt?POA中，因為AP，AO,1，所以OP,1，,222在Rt?PBO中，PB,,OP，OB,3OB26cos?PBO=,,,PB336所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.3OB,，(?)由(?)得CD,222在Rt?POC中，PC,，OC，OP,233所以PC,CD,DP，S=?2=.?PCD421又S?=AD,AB,1,2設點A到平面PCD的距離h，由V=V，P-ACDA-PCD11得S?OP,S?h，??ACDPCD33311即×1×1,××h，23323解得h,.3解法二:(?)同解法一，OC、OD、OP(?)以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz.則A(0，-1，0)，B(1，-1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).PBCD所以,(-1，1，0)，,(t，-1，-1)，PB,CD,1,16PBCD,,,?〈、〉=，33,2PBCD6所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為，3-13-(?)設平面PCD的法向量為n,(x,y,x)，000由(?)知CP=(-1，0，1)，CD,(-1，1，0)，CP則n?,0，所以-x+x=000,CDn?,0，-x+y=0，00即x=y=x,000取x=1，得平面的一個法向量為n=(1,1,1).0AC又=(1,1,0).AC,n223從而點A到平面PCD的距離d,,,.n3341814((廣東)(本小題滿分分)5P-ABCDABCDR如圖所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接BDABD=60,BDC=45,ADPBAD.四邊形，其中是圓的直徑，?????,?(1)PD求線段的長;(2)PC=RP-ABC.若，求三棱錐的體積111BD解:()是圓的直徑？,又ADPBAD~，,BAD903224R，2BDsin60，，ADADDP4？DPR,,,,3,;,1BABAADBDsin30，，2R，2(2)在中，RtBCDCDBDR,,cos452222222PDCDRRRPC，,，,,9211？又PDCD,，,PDA90？ABCD底面PD,,,11321231，2SABBCRRR,，,，,sin60452，，,,ABC,,2222224,,三棱錐的體積為PABC,113131，，23.VSPDRRR,,,3PABCABC,3344-14-5((寧夏18)(本小題滿分12分)如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖(它的正視圖和俯視圖在下面畫出(單位:cm)(?)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖;(?)按照給出的尺寸，求該多面體的體積;,,(?)在所給直觀圖中連結(jié)，證明:面(BCBC?EFG6,D22,CGF,B24EDCA4B解:(?)如圖2662244242(正視圖)(側(cè)視圖)(俯視圖)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3分(?)所求多面體體積VVV,,長方體正三棱錐11,,,，，,，，，，446222,,32,,2842,D,C(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7分,(cm)G3F,A,B,,,,(?)證明:在長方體中，ABCDABCD,,AD,,連結(jié)，則(ADBC?ED,,,AAAD因為分別為，中點，CEG，,所以，ADEG?AB,,從而(又平面，EGBC?BC,EFG,所以面(12分BC?EFG6((江蘇16)(14分)在四面體CB,CD,AD,BD中，，且E、F分別是AB、BD的中點，ABCD求證:(1)直線EF//面ACD(2)面EFC?面BCD【解析】:本小題考查空間直線于平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力、推理論證能力。(1)?E、F分別是AB、BD的中點?EF是?ABD的中位線?EF//AD,又?面ACD，AD面ACD?直線EF//面ACDEF,BEFAD//,(2),,EFBD,ADBD,,FED-15-CACBCD,,,,CFBD,FBD為中點,,,BDCEF面,,,面面EFCBCD,BDBCD,面,CFEFF,7((江西20)如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長度均為OABC,OAOBOCEFABHEFEF2(、分別是、的中點，是的中點，過的平面與側(cè)棱、、ACOAOBOC3ABC或其延長線分別相交于、、，已知(OA,11112BC(1)求證:?面;OAH11OOABC,,(2)求二面角的大小(111CEF解:(1)證明:依題設，是的中,ABCA1FCEF1位線，所以?，BCHAEFEFBC則?平面，所以?。OBC11EHEFAHEF又是的中點，所以?，BAHBC則?。11B1因為?，?，OAOBOAOCOBC所以?面，則?，OAOBCOA11BC因此?面。OAH11CMA1FABCN(2)作?于，連。ONN111CH1ANOCOAB因為?平面，111EBCNAB根據(jù)三垂線定理知，?，111，ONCOABC,,就是二面角的平面角。1111B1EMMEMOB作?于，則?，則OA1M是的中點，則。OBEMOM,,1OBOAx311OBx,,設，由得，，解得，,x,31MBEMx,121OAOB,332211Rt,OABON,,在中，，則，。ABOAOB,，,5111111AB2511-16-OC1OABC,,所以，故二面角為arctan5。tan5，,,ONC1111ONxy、、z解法二:(1)以直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則Oxyz,OAOCOB、、11ABCEFH(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,,)221111所以AHOHBC,,,,,(1,,),(1,,),(0,2,2)2222所以AHBCOHBC,,,,0,0所以平面BC,OAHEFBCBC,由?得?，故:平面BCBCOAH11113Bz(0,0,)(2)由已知設A(,0,0),1121則AEEBz,,,,,(,0,1),(1,0,1)112由與共線得:存在有得AEEBAEEB,,,,R1111O1,,,,,,,,z32,C,1(1),,zA,1,FC1？B(0,0,3)AH1ExC(0,3,0)同理:y1B33？,,,,ABAC(,0,3),(,3,0)111122B1ABC設是平面的一個法向量,nxyz,(,,)1111111z3,,，,xz30,,2則令得yx,,1x,2,3,,，,xy30,,2？,n(2,1,1).1OAB又是平面的一個法量n,(0,1,0)11216？,,,,cos,nn126411，，-17-6arccos所以二面角的大小為6ABCDABCD-BD8((江蘇選修)記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記11111DP1,(當為鈍角時，求的取值范圍(,,，APCDB1zC1D1解:由題設可知，以DA、、為單位正交基底，DCDD1B1A1建立如圖所示的空間直角坐標系，則有Dxyz,CDyP,,,A(1,0,0)B(1,1,0)C(0,1,0)D(0,0,1)ABx由，得，所以DB,,(1,1,1)DPDB,,,,,,,(,,)111PAPDDA,，,,,，,,,,,(,,)(1,0,1)(1,,1),,,,,,11PCPDDC,，,,,，,,,,,(,,)(0,1,1)(,1,1),,,,,,11顯然不是平角，所以為鈍角等價于，APC，APCPAPCcoscos,0，,,,,,APCPAPCPAPC,0，則等價于PAPC12(1)()()(1)(1)(1)(31)0,,，,,，,,,,,,,,,,,,即，得,,,131因此，的取值范圍是(,1),39((湖南18)(本小題滿分12分)如圖所示，四棱錐P,ABCD的底面積ABCD是邊長為1的菱形，?BCD,60?，E是CD3的中點，PA?底面積ABCD，PA,.(?)證明:平面PBE?平面PAB;(?)求二面角A,BE,P的大小.解解法一(?)如圖年示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且?BCD,60?知，ΔBCD是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BE?CD，又AB?CD，所以BE?AB.又因為PA?平面ABCD，BE平面ABCD，-18-所以PA?BE.而PA?AB,A，因此BE?平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE?平面PAB.(?)由(?)知，BE?平面PAB，PB平面PAB，所以PB?BE.又AB?BE，所以?PBA是二面角A,BE,P的平面角.PA在RtΔPAB中，tan?PBA,，?PBA,60?.,3AB故二面角A,BE,P的大小是60?.解法二如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關(guān)各3313,,0,,0點的坐標分別是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C()，D()，222231,,0P()，E().0,0,323BE,(0,,0)(?)因為，平面PAB的一個法向量是,(0,1,0)，n02BE所以和共線.從而BE?平面PAB.又因為BE平面BEF，所以平面PBE?平面PAB.n0313PBBE(?)易知=(1,0,-),=(0,,0),22,xyz，，,,030,111,n設=(x,y,z)是平面PBE的一個法向量，則有111,13000.，，，，,xyz,111,2n33所以y=0,x=z.故可取=(,0,1).1111n而平面ABE的一個法向量是=(0,0,1).2nn112nn,于是，cos,,,,.12||nn||212故二面角A-BE-P的大小是6010((遼寧19)(本小題滿分12分)-19-,AD,,,,如圖，在棱長為1的正方體中，AP=BQ=b(0<b<1)，截面PQEF?，ABCDABCD,,AD截面PQGH?(,D(?)證明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;,CGH(?)證明:截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，,A,B并求出這個值;1PQ,DE(?)若，求與平面PQEF所成角的正弦值(b,DC2FEA解法一:B,,,ADAD,ADAB,(?)證明:在正方體中，，，又由已知可得,,PFAD?PHAD?，，，PQAB?PHPF,，，所以PHPQ,PH,所以平面(PQEF所以平面和平面互相垂直(???????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分PQEFPQGH(?)證明:由(?)知,PFAPPHPA,,22，，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是,，是定值(???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8分(22)2APPAPQ，，,,ADPF(?)解:設交于點，連結(jié)，NEN,AD,因為平面PQEF，,D,CH,DE,所以為與平面PQEF所成的角(?DENG,A,B1,,AABBAD因為，所以PQEF，，，分別為，，，的中點(b,BCDPQ2NCFEA323B,,DN,可知，(DE,423224,所以(???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分sin?DEN,,322解法二:以D為原點，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標系D,xyz(由已知得，故DFb,,1,,A(100)，，A(101)，，D(000)，，D(001)，，，，，，zPb(10)，，Qb(11)，，Eb(110),，，，，，,D,CHG,A,B-20-CPQDyFEAB，，(Fb(100),，，Gb(11)，，Hb(01)，，(?)證明:在所建立的坐標系中，可得，PQPFbb,,,,(010)(0)，，，，，，PHbb,,,(101)，，,,(ADAD,,,,,(101)(101)，，，，，,,,因為，所以AD是平面PQEF的法向量(ADPQADPF,,00，,,,因為，所以AD是平面PQGH的法向量(ADPQADPH,,00，,,,,因為，所以ADAD,，ADAD,0所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直(??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分EFPQEFPQ?，=(?)證明:因為，所以，又，所以PQEFEF,,(010)，，PFPQ,為矩形，同理PQGH為矩形(PHb,,2(1)PFb,2在所建立的坐標系中可求得，，PHPF，,2PQ,1所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為2，是定值(??????????????????????????????????????????????????????8分,(?)解:由(?)知是平面的法向量(PQEFAD,,(101)，，,,PAABBAD由為中點可知，QEF，，分別為，，的中點(BC11,,,,,,DEE，，10DE,,，，11所以，，因此與平面所成角的正弦值等于PQEF,,,,22,,,,2,,|cos|,,,ADDE，(12分211((全國?18)(本小題滿分12分)CD,2四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，，，ABCDE,BCDEABC,BCDEBC,2(ABAC,(?)證明:;ADCE,A(?)設側(cè)面為等邊三角形，求二面角的大小(ABCCADE,,FDF解:(1)取中點，連接交于點，BCCEOB，ABAC,ECD-21-，？AFBC,又面面，ABC,BCDEAF,面，？BCDE(？AFCE,2tantan，,，,CEDFDC，2，？，，，,OEDODE90，即，？，,DOE90CEDF,ADF面，？,CE(？,CEADAD(2)在面內(nèi)過點做的垂線，垂足為(ACDCG，，CGAD,CEAD,？,AD面，CEG，？,EGAD則即為所求二面角(，CGEACCD236DG,CG,,，，3AD33022EGDEDG,,,，3CE,6，222CGGECE，,10cos，,,,CGE則，210CGGE,,10？，,,CGEπarccos(,,,,10,,12((全國?20)(本小題滿分12分)EABCDABCD,AAAB,,24CCCE,3EC中，，點在上且(如圖，正四棱柱1111111BEDAC,(?)證明:平面;1D1C1A1B1ADEB,,(?)求二面角的大小(1解法一:AB,2依題設，，(CE,1EBDF(?)連結(jié)交于點，則(ACBDAC,DCABBDAC,由三垂線定理知，(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3分1-22-EFACAAC在平面內(nèi)，連結(jié)交于點，G11AAAC1由于，,,22FCCED1C1RtRt???AACFCE，,，AACCFE故，，A111B1，F(xiàn)CA與互余(，CFE1HEACEF,于是(G1DCFABBEDAC與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，BDEF，1,BEDAC平面(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分所以1HAHAHDE,(?)作，垂足為，連結(jié)(由三垂線定理知，GHDE,11，AHGADEB,,故是二面角的平面角(?????????????????????????????????????????????????????????????????????????8分1122，EFCFCE,，,33CECF，222EGCECG,,,，(CG,,3EF312EFFD，EG1，(,GH,，,EF33DE155622ACAAAC,，,26AGACCG,,,又，(11113AG1(tan55，,,AHG1HGADEB,,arctan55所以二面角的大小為(??????????????????????????????????????????????????????????????????12分1z解法二:D1C1DDA以為坐標原點，射線為軸的正半軸，xA1B1Dxyz,建立如圖所示直角坐標系(BCEA(220)(020)(021)(204)，，，，，，，，，，，依題設，(1EDyCABx，(???????????????????????????????????????3分ACDA,,,,(224)(204)，，，，，DEDB,,(021)(220)，，，，，11-23-(?)因為，，ACDB,0ACDE,011ACBD,ACDE,，(故11又，DBDED,DBEAC,所以平面(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分1DAE(?)設向量是平面的法向量，則n,()xyz，，1n,DE，(n,DA1故，(20yz，,240xz，,z,,2令，則，，(??????????????????????????????????????????????????????????????????????9分y,1n,,(412)，，x,4ADEB,,等于二面角的平面角，,,n，AC11nAC141(cos,,,,n，AC142nAC114ADEB,,arccos所以二面角的大小為(?????????????????????????????????????????????????????????????????12分14213((山東19)(本小題滿分12分)PAD,如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角PABCD,ABCDABDC??PADABDC,,245形，已知，(BDAD,,28PMMBD,PAD(?)設是上的一點，證明:平面平面;PCM(?)求四棱錐的體積(PABCD,DC(?)證明:在中，?ABDABAD,4AB,45由于，，，BD,8P222所以ADBDAB，,(MADBD,故(DCPAD,又平面平面，平面平面，PADABCDABCDAD,OBD,平面，AABCDBBD,PAD所以平面，BD,MBD又平面，MBD,PAD故平面平面(PAD(?)解:過作交于，POAD,OPAD,由于平面平面，ABCD所以平面(PO,ABCD因此為四棱錐的高，POPABCD,-24-又是邊長為4的等邊三角形(?PAD3PO,，,423因此(2在底面四邊形中，，，ABCDABDC?ABDC,24885，AB所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，,ABCDRt?ADB545此即為梯形的高，ABCD254585，S,，,24所以四邊形的面積為(ABCD251故(V,，，,2423163PABCD,314((上海16)(本題滿分12分)ABCDABCD,如圖，在棱長為2的正方體中，E是BC的中點(求直線DE與平面ABCD11111所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)(D1C1B1A1【解】過E作EF?BC，交BC于F，連接DF.?EF?平面ABCD，E??EDF是直線DE與平面ABCD所成的角.……………4分DC1由題意，得EF=CC,1.12AB1D1C1?…………..8分CFCBDF,,？,1,5.2B1A1EF5tan.，,,EDF?EF?DF，?……………..10分DF5ED5Carctan故直線DE與平面ABCD所成角的大小是….12分F5AB15((四川19)(本小題滿分12分)ABEF,ABEF如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，ABCDABCD110////BE，,，,BADFABBC90,GH,FAFD,，，分別為的中點ADAF22,,(?)證明:四邊形是平行四邊形;BCHG(?)四點是否共面,為什么,CDFE,,,ABBE,ADE,(?)設，證明:平面平面;CDEFGGAFHHD,,,【解1】:(?)由題意知，-25-1//所以GHAD2,1////又，故BCGHBCAD2,,所以四邊形是平行四邊形。BCHG(?)四點共面。理由如下:CDFE,,,1////FABE由，是的中點知，，所以BCGGHEFBG//AF2,,DFH由(?)知，所以，故共面。又點在直線上ECFH,BGCH//EFCH//所以四點共面。CDFE,,,0//ABBE,BE(?)連結(jié)，由，及知是正方形，,BAG90ECAGABEG,AD,FABE故。由題設知兩兩垂直，故平面，F(xiàn)AFDAB,,BGEA,EAEDFABE因此是在平面內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，BGED,ADE又，所以平面EDEAE,BG,ADE由(?)知，所以平面。CHBG//CH,F,ADE,由(?)知平面，故平面，得平面平面CDECH,CDECDEABEF,AFAB,AF,【解2】:由平面平面，，得平面，ABCDABCDAAB以為坐標原點，射線為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系Axyz,(?)設，則由題設得ABaBCbBEc,,,,,ABaCabDbEacGcHbc0,0,0,,0,0,,0,0,2,0,,0,,0,0,,0,,,，，，，，，，，，，，，，，HGbBCb,,0,,0,0,,0所以，，，，HGBC,于是又點不在直線上GBC所以四邊形是平行四邊形。BCHG(?)四點共面。理由如下:CDFE,,,由題設知，所以Fc0,0,2，，EFacCHacEFCH,,,,,,0.,,0.,，，，，-26-又，故四點共面。CEFHFD,,,CDEF,,,ABBE,(?)由得，所以CHaaAEaa,,,,0,,,0,，，，，又，因此ADb,0,2,0CHAECHAD,,,,0,0，，即CHAECHAD,,,ADE又，所以平面ADAEA,CH,ADE,故由平面，得平面平面CH,CDFECDE16((天津19)(本小題滿分12分)AD,2PA,2如圖，在四棱錐中，底面是矩形(已知，，，PABCD,ABCDAB,3，(PD,22?PAB,60PAD,PAB(?)證明平面;AD(?)求異面直線與所成的角的大小;PCADPBDA,,(?)求二面角的大小(BC222PA,2AD,2(?)證明:在中，由題設，，PD,22，可得，PAADPD，,?PADADPA,ADAB,AD,PAB于是(在矩形中，，又，所以平面(PAABA,ABCDAD(?)解:由題設，，所以(或其補角)是異面直線與所成的角(BCAD??PCBPC在中，由余弦定理得?PAB22(PBPAABPAABPAB,，,,2cos7PAD,PABPB,PAB由(?)知平面，平面，ADPB,所以，因而，于是是直角三角形，BCPB,?PBCADHEPB7BtanPCB,,故(CBC27ADarctan所以異面直線與所成的角的大小為(PC2PPHAB,HHHEBD,EPE(?)解:過點作于，過點作于，連結(jié)(AD,PABPH,PABADPH,PH,因為平面，平面，所以(又，因而ADABA,HEPEBDPE,平面，故為在平面內(nèi)的射影(由三垂線定理可知，(從而ABCDABCD?PEHPBDA,,是二面角的平面角(由題設可得，PHPA,,sin603，，AHPA,,cos60122BHABAH,,,2，，BDABAD,，,13AD4HEBH,,(BD13-27-PH39tanPEH,,于是在中，(Rt?PHEHE439PBDA,,arctan所以二面角的大小為(417((浙江20)(本題14分)如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，，，BCF=CEF=,AD=3,EF=2。90:(?)求證:AE//平面DCF;D(?)當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為,60:ACB方法一:FE(?)證明:過點作交于，連結(jié)，EGCF,CFGDGED可得四邊形為矩形，BCGEA又為矩形，ABCDCG?所以，從而四邊形為平行四邊形，BADEGADGEFHE故(AEDG?因為平面，平面，AE,DCFDG,DCFAE?所以平面(DCFBBHEF,FEHAH(?)解:過點作交的延長線于，連結(jié)(由平面平面，，得ABCD,BEFCABBC,AB,平面，BEFCAHEF,從而(，AHB所以為二面角的平面角(AEFC,,EF,2EGAD,,3在中，因為，，所以，(，,CFE60Rt?EFGFG,1又因為，所以，CEEF,CF,4從而(BECG,,333BHBEBEH,，,sin于是(2因為，ABBHAHB,，tan9AB所以當為時，二面角的大小為(60AEFC,,2yz方法二:如圖，以點為坐標原點，以和分別作為x軸，軸和軸，建立空CCBCF，CDCxyz,間直角坐標系(zD設，ABaBEbCFc,,,，，ACC(000)，，F(xiàn)c(00)，，則，，，，(Aa(30)，，B(300)，，Eb