高考數(shù)學(xué)直線與圓知識點分析

平面解析幾何初步考綱導(dǎo)讀考綱導(dǎo)讀1．掌握兩條直線平行和垂直的條件，掌握兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系．2．會用二元一次不等式表示平面區(qū)域．3．了解簡單的線性規(guī)劃問題，了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用．4．了解解析幾何的基本思想，了解用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法．5．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程的概念．簡單的線性規(guī)劃直線的傾斜角和斜率直線方程的四種形式兩條直線的位置關(guān)系直簡單的線性規(guī)劃直線的傾斜角和斜率直線方程的四種形式兩條直線的位置關(guān)系直線圓的方程圓的一般方程圓的參數(shù)方程直線和圓圓的標(biāo)準(zhǔn)方程曲線和方程知識網(wǎng)絡(luò)高考導(dǎo)航高考導(dǎo)航在近幾年的高考試題中，兩點間的距離公式、中點坐標(biāo)公式、直線方程的點斜式、斜截式、一般式、斜率公式及兩條直線的位置關(guān)系，圓的方程及直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是考查的熱點.但由于知識的相互滲透，綜合考查直線與圓錐曲線的關(guān)系一直是高考命題的大熱門，應(yīng)當(dāng)引起特別注意，本章的線性規(guī)劃內(nèi)容是新教材中增加的新內(nèi)容，近年來，在高考中經(jīng)常考查，但基本上以中易題出現(xiàn)．考查的數(shù)學(xué)思想方法，主要是數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程的思想和待定系數(shù)法等．第1課時直線的方程基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．傾斜角:對于一條與x軸相交的直線,把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角α叫做直線的傾斜角．當(dāng)直線和x軸平行或重合時，規(guī)定直線的傾斜角為0°．傾斜角的范圍為________．斜率:當(dāng)直線的傾斜角α≠90°時，該直線的斜率即k＝tanα；當(dāng)直線的傾斜角等于90°時，直線的斜率不存在．2．過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式．若x1＝x2，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°．3．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍斜截式點斜式兩點式截距式一般式典型例題典型例題例1.已知直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．①當(dāng)m＝時，直線的傾斜角為45°．②當(dāng)m＝時，直線在x軸上的截距為1．③當(dāng)m＝時，直線在y軸上的截距為－．④當(dāng)m＝時，直線與x軸平行．⑤當(dāng)m＝時，直線過原點．解：(1)－1⑵2或－⑶或－2⑷－⑸變式訓(xùn)練1.（1）直線3y＋eq\r(3)x＋2=0的傾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°（2）設(shè)直線的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直線上的三點，則x2，y3依次是（）A．－3，4B．2，－3C．4，－3D．4，3（3）直線l1與l2關(guān)于x軸對稱，l1的斜率是－eq\r(7)，則l2的斜率是（）A．eq\r(7)B．－C．D．－eq\r(7)（4）直線l經(jīng)過兩點（1，－2），（－3，4），則該直線的方程是．解：（1）D．提示：直線的斜率即傾斜角的正切值是－．（2）C．提示：用斜率計算公式．（3）A．提示：兩直線的斜率互為相反數(shù)．（4）2y＋3x＋1=0．提示：用直線方程的兩點式或點斜式.例2.已知三點A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求證：A、B、C三點在同一條直線上.證明方法一∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴kAB==2,kBC==2，∴kAB=kBC，∴A、B、C三點共線.方法二∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴|AB|=2，|BC|=，|AC|=3，∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三點共線.方法三∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴=（2，4），=（1，2），∴=2.又∵與有公共點B，∴A、B、C三點共線.變式訓(xùn)練2.設(shè)a，b，c是互不相等的三個實數(shù)，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直線上，求證：a+b+c=0.證明∵A、B、C三點共線，∴kAB=kAC，∴，化簡得a2+ab+b2=a2+ac+c2，∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.例3.已知實數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).試求：的最大值與最小值.解：由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點P（-2，-3）與曲線段AB上任一點（x,y)的直線的斜率k,如圖可知：kPA≤k≤kPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），∴≤k≤8，故的最大值為8，最小值為.變式訓(xùn)練3.若實數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值為 （）A. B. C. D.答案D例4.已知定點P(6,4)與直線l1:y＝4x，過點P的直線l與l1交于第一象限的Q點，與x軸正半軸交于點M．求使△OQM面積最小的直線l的方程．解：Q點在l1:y＝4x上，可設(shè)Q(x0，4x0)，則PQ的方程為：令y＝0，得：x＝(x0>1)，∴M(，0)∴S△OQM＝··4x0＝10·＝10·[(x0－1)＋＋2]≥40當(dāng)且僅當(dāng)x0－1＝即x0＝2取等號，∴Q(2，8)PQ的方程為：，∴x＋y－10＝0變式訓(xùn)練4.直線l過點M(2，1)，且分別交x軸y軸的正半軸于點A、B，O為坐標(biāo)原點．(1)當(dāng)△AOB的面積最小時，求直線l的方程；(2)當(dāng)取最小值時，求直線l的方程．解：設(shè)l：y－1＝k(x－2)(k＜0)則A(2－，0)，B(0，1－2k)①由S＝(1－2k)(2－)＝(4－4k－)≥＝4當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－，即k＝－時等號成立∴△AOB的面積最小值為4此時l的方程是x＋2y－4＝0②∵|MA|·|MB|＝＝＝2≥4當(dāng)且僅當(dāng)－k＝－即k＝－1時等號成立此時l的方程為x＋y－3＝0（本題也可以先設(shè)截距式方程求解）小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．直線方程是表述直線上任意一點M的坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系式，由斜率公式可導(dǎo)出直線方程的五種形式．這五種形式各有特點又相互聯(lián)系，解題時具體選取哪一種形式，要根據(jù)直線的特點而定．2．待定系數(shù)法是解析幾何中常用的思想方法之一，用此方法求直線方程，要注意所設(shè)方程的適用范圍．如：點斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中橫縱截距存在且不為0，兩點式的橫縱坐標(biāo)不能相同等（變形后除處）．3．在解析幾何中,設(shè)點而不求,往往是簡化計算量的一個重要方法.4．在運用待定數(shù)法設(shè)出直線的斜率時，就是一種默認(rèn)斜率存在，若有不存在的情況時，就會出現(xiàn)解題漏洞，此時就要補救：較好的方法是看圖，數(shù)形結(jié)合來找差距.第2課時直線與直線的位置關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)（一）平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有三種________．1．當(dāng)直線不平行坐標(biāo)軸時，直線與直線的位置關(guān)系可根據(jù)下表判定直線條件關(guān)系l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行重合相交(垂直)2．當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時，可結(jié)合圖形判定其位置關(guān)系．（二）點到直線的距離、直線與直線的距離1．P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為______________．2．直線l1∥l2，且其方程分別為：l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0，則l1與l2的距離為．（三）兩條直線的交角公式若直線l1的斜率為k1，l2的斜率為k2，則1．直線l1到l2的角θ滿足．2．直線l1與l2所成的角(簡稱夾角)θ滿足．（四）兩條直線的交點：兩條直線的交點的個數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)．（五）五種常用的直線系方程.①過兩直線l1和l2交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).②與直線y＝kx＋b平行的直線系方程為y＝kx＋m(m≠b).③過定點(x0,y0)的直線系方程為y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.④與Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠C).⑤與Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程設(shè)為Bx－Ay＋C1＝0(AB≠0).典型例題典型例題例1.已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；（2）l1⊥l2時，求a的值.解（1）方法一當(dāng)a=1時，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當(dāng)a=0時，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 當(dāng)a≠1且a≠0時，兩直線可化為l1:y=--3,l2:y=-(a+1),l1∥l2，解得a=-1, 綜上可知，a=-1時，l1∥l2，否則l1與l2不平行. 方法二由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C1≠0，得a(a∴l(xiāng)1∥l2 a=-1, 故當(dāng)a=-1時，l1∥l2，否則l1與l2不平行. （2）方法一當(dāng)a=1時，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直，故a=1不成立. 當(dāng)a≠1時，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1), 由·=-1a=. 方法二由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=. 變式訓(xùn)練1.若直線l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，當(dāng)a、b滿足什么條件時，直線l1與l2分別相交？平行？垂直？重合？解：當(dāng)a=0時，直線l1斜率為0，l2斜率不存在，兩直線顯然垂直。當(dāng)a≠0時，分別將兩直線均化為斜截式方程為：l1：y=－eq\f(a,4)x+5，l2：y=－eq\f(1,a)x+eq\f(b,a)。（1）當(dāng)－eq\f(a,4)≠－eq\f(1,a)，即a≠±2時，兩直線相交。（2）當(dāng)－eq\f(a,4)=－eq\f(1,a)且5≠eq\f(b,a)時，即a=2且b≠10或a=－2且b≠－10時，兩直線平行。（3）由于方程(－eq\f(a,4))(－eq\f(1,a))=－1無解，故僅當(dāng)a=0時，兩直線垂直。（4）當(dāng)－eq\f(a,4)=－eq\f(1,a)且5=eq\f(b,a)時，即a=2且b=10或a=－2且b=－10時，兩直線重合.例2.已知直線l經(jīng)過兩條直線l1：x＋2y＝0與l2：3x－4y－10＝0的交點，且與直線l3：5x－2y＋3＝0的夾角為，求直線l的方程．解：由解得l1和l2的交點坐標(biāo)為(2，－1)，因為直線l3的斜率為k3＝，l與l3的夾角為，所以直線l的斜率存在.設(shè)所求直線l的方程為y＋1＝k(x－2)．則tan＝＝＝1k＝或k＝－，故所求直線l的方程為y＋1＝－(x－2)或y＋1＝(x－2)即7x＋3y＋11＝0或3x－7y－13＝0變式訓(xùn)練2.某人在一山坡P處觀看對面山頂上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l，且點P在直線l上，l與水平地面的夾角為,tan=.試問，此人距水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大（不計此人的身高）？解如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直線l的方程為y=(x-200)tan,則y=.設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,y），則P（x,）(x＞200).由經(jīng)過兩點的直線的斜率公式kPC=,kPB=.由直線PC到直線PB的角的公式得tan∠BPC==(x＞200).要使tan∠BPC達到最大，只需x+-288達到最小，由均值不等式x+-288≥2-288,當(dāng)且僅當(dāng)x=時上式取得等號.故當(dāng)x=320時，tan∠BPC最大.這時，點P的縱坐標(biāo)y為y==60.由此實際問題知0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大時，∠BPC最大.故當(dāng)此人距水平地面60米高時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.例3.直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若A、B坐標(biāo)分別為A(－4，2)、B(3，1)，求點C的坐標(biāo)并判斷△ABC的形狀．解：因為直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線，所以CA、CB所在直線關(guān)于y＝2x對稱，而A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x對稱點A1必在CB邊所在直線上設(shè)A1(x1，y1)則得即A1(4,－2)由A1(4,－2)，B(3,1)求得CB邊所在直線的方程為：3x＋y－10＝0又由解得C(2,4)又可求得：kBC＝－3，kAC＝∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形變式訓(xùn)練3.三條直線l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能構(gòu)成三角形，求實數(shù)a的取值范圍。解：a∈R且a≠±1，a≠-2（提示：因三條直線能構(gòu)成三角形，故三條直線兩兩相交且不共點，即任意兩條直線都不平行且三線不共點。（1）若l1、l2、l3相交于同一點，則l1與l2的交點（-a-1，1）在直線l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此時a=1或a=-2。（2）若l1∥l2，則-1=-eq\f(1,a)，a=1。（3）若l1∥l3，則-1=-a，a=1。（4）若l2∥l3，則-eq\f(1,a)=-a，a=±1。）例4.設(shè)點A(－3，5)和B(2，15)，在直線l：3x－4y＋4＝0上找一點p，使為最小，并求出這個最小值．解：設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點A'的坐標(biāo)為(a，b)，則由AA′⊥l和AA′被l平分，則解之得a＝3，b＝－3，∴A′＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝5∵kA′B＝＝－18∴A′B的方程為y＋3＝－18(x－3)解方程組得P(，3)變式訓(xùn)練4：已知過點A（1，1）且斜率為－m(m>0)的直線l與x、y軸分別交于P、Q兩點，過P、Q作直線2x＋y＝0的垂線，垂足分別為R、S，求四邊形PRSQ的面積的最小值．解：設(shè)l的方程為y－1＝－m(x－1)，則P（1＋，0），Q（0，1＋m）從則直線PR：x－2y－＝0；直線QS：x－2y＋2(m＋1)＝0又PR∥QS∴|RS|＝＝又|PR|＝，|QS|＝而四邊形PRSQ為直角梯形，∴SPRSQ＝×()×＝(m＋＋)2－≥(2＋)2－＝3.6∴四邊形PRSQ的面積的最小值為3.6．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．處理兩直線位置關(guān)系的有關(guān)問題時，要注意其滿足的條件．如兩直線垂直時，有兩直線斜率都存在和斜率為O與斜率不存在的兩種直線垂直．2．注意數(shù)形結(jié)合，依據(jù)條件畫出圖形，充分利用平面圖形的性質(zhì)和圖形的直觀性，有助于問題的解決．3．利用直線系方程可少走彎路，使一些問題得到簡捷的解法．4．解決對稱問題中，若是成中心點對稱的，關(guān)鍵是運用中點公式，而對于軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點，其關(guān)鍵抓住兩點：一是對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中點在對稱軸上，如例4基礎(chǔ)過關(guān)第3課時線性規(guī)劃基礎(chǔ)過關(guān)1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域．⑴一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)不含邊界線，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)包括邊界線．⑵對于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(x、y)使得Ax＋By＋C的值符號相同．因此，如果直線Ax＋By＋C＝0一側(cè)的點使Ax＋By＋C>0，另一側(cè)的點就使Ax＋By＋C<0，所以判定不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面區(qū)域時，只要在直線Ax＋By＋C＝0的一側(cè)任意取一點(x0，y0)，將它的坐標(biāo)代入不等式，如果該點的坐標(biāo)滿足不等式，不等式就表示該點所在一側(cè)的平面區(qū)域；如果不滿足不等式，就表示這個點所在區(qū)域的另一側(cè)平面區(qū)域．⑶由幾個不等式組成的不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．2．線性規(guī)劃⑴基本概念名稱意義線性約束條件由x、y的一次不等式(或方程)組成的不等式組,是對x、y的約束條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x、y的解析式如：z＝2x＋y，z＝x2＋y2等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x、y的一次解析式可行解滿足線性約束條件x、y的解（x，y）叫做可行解可行域所有可行解組成的集合叫做可行域最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達到最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題⑵用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：①設(shè)出所求的未知數(shù)；②列出約束條件(即不等式組)；③建立目標(biāo)函數(shù)；④作出可行域和目標(biāo)函數(shù)的等值線；⑤運用圖解法即平行移動目標(biāo)函數(shù)等值線，求出最優(yōu)解．（有些實際問題應(yīng)注意其整解性）典型例題典型例題例1.若△ABC的三個頂點為A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，寫出△ABC區(qū)域（含邊界）表示的二元一次不等式組．解：由兩點式得AB、BC、CA直線的方程并化簡得AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0，CA：2x＋y－5＝0結(jié)合區(qū)域圖易得不等式組為變式訓(xùn)練1：△ABC的三個頂點為A(2，4)、B(－1，2)、C(1，0)，則△ABC的內(nèi)部(含邊界)可用二元一次不等式組表示為．ACyxB例2.已知x、y滿足約束條件ACyxB⑴z＝2x＋y⑵z＝4x－3y⑶z＝x2+y2的最大值、最小值？解：在直角坐標(biāo)系中作出表示不等式組的公共區(qū)域如圖陰影部分．其中A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)(1)作與直線2x＋y＝0平行的直線l1：2x＋y＝t，則當(dāng)l1經(jīng)過點A時，t取最大，l1經(jīng)過點B時，t取最小．∴zmax＝9zmin＝－13(2)作與直線4x－3y＝0平行的直線l2：4x－3y＝t，則當(dāng)l2過點C時，t最小，l2過點B時，t最大．∴zmax＝14zmin＝－18(3)由z＝x2＋y2，則表示點(x，y)到(0，0)的距離，結(jié)合不等式組表示的區(qū)域．知點B到原點的距離最大，當(dāng)(x，y)為原點時距離為0．∴zmax＝37zmin＝0變式訓(xùn)練2：給出平面區(qū)域如下圖所示，目標(biāo)函數(shù)t＝ax－y，(1)若在區(qū)域上有無窮多個點(x，y)可使目標(biāo)函數(shù)t取得最小值，求此時a的值．(2)若當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝時，目標(biāo)函數(shù)t取得最小值，求實數(shù)a的取值范圍？x0A(1,0)x0A(1,0)C(,)B(0,1)y要使t取得最小時的(x，y)有無窮多個，則y＝ax－t與AC重合．∴a＝kAC＝＝－(2)由KAC<a<KBC得－<a<－.例3.某木器廠生產(chǎn)圓桌子和衣柜兩種產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種木料，第一種72立方米，第二種有56立方米，假設(shè)生產(chǎn)每種產(chǎn)品都需要用兩種木料，生產(chǎn)一張圓桌需用第一種木料0.18立方米，第二種木料0.08立方米，可獲利潤6元，生產(chǎn)一個衣柜需用第一種木料0.09立方米解：設(shè)圓桌和衣柜的生產(chǎn)件數(shù)分別為x、y，所獲利潤為z，則：xy(0,800)M(350,100)(0,200)xy(0,800)M(350,100)(0,200)O則z＝6x＋10y作出可行域如圖．由得即M(350，100)由圖可知，當(dāng)直線l：6x＋10y＝0平移到經(jīng)過點M(350，100)時，z＝6x＋10y最大，即當(dāng)x＝350，y＝100時，，z＝6x＋10y最大．變式訓(xùn)練3：某廠要生產(chǎn)甲種產(chǎn)品45個，乙種產(chǎn)品55個，可用原料為A、B兩種規(guī)格的金屬板，每張面積分別為2m2和3m2，用A種可造甲種產(chǎn)品3個和乙種產(chǎn)品5個，用B種可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個．問A、B兩種產(chǎn)品各取多少塊可保證完成任務(wù)，且使總的用料(面積AxylO515解：設(shè)A種取x塊，BAxylO515z＝2x＋3y(x、y∈N)可行域如圖：最優(yōu)解為A(5，5)，x＝5，y＝5時，zmin＝25，即A、B兩種各取5塊時可保證完成任務(wù)，且總的用料(面積)最省為25m2例4.預(yù)算用2000元購買單價為50元桌子和20元的椅子，希望桌子的總數(shù)盡可能的多，但解：椅子的總數(shù)不能少于桌子的總數(shù)，但不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌椅各買多少才合適？設(shè)桌椅分別買x、y張，由題意得：由解得：∴點A(，)由解得∴點B(25，)滿足以上不等式組表示的區(qū)域是以A、B、O為頂點的△AOB及內(nèi)部設(shè)x＋y＝z，即y＝－x＋z；當(dāng)直線過點B時，即x＝25，y＝，z最大．∵y∈z，∴y＝37∴買桌子25張，椅子37張是最優(yōu)選擇．變式訓(xùn)練4：A1、A2兩煤礦分別有煤8萬噸和18萬噸，需通過外運能力分別為20萬噸和16萬噸的B1、B2兩車站外運，用汽車將煤運到車站，A1的煤運到B1、B2的運費分別為3元/噸和5元/噸，A2的煤運到B1、B2的運費分別為7元/噸和8元/噸，問如何設(shè)計調(diào)運方案可使總運費最少？xyA(8,12)l1O102018解：設(shè)A1運到B1x萬噸，A2運到B1y萬噸，總運費為z萬元，則A1運到B2(8－x)萬噸，A2運到B2(18－y)萬噸，z＝3x＋5(8－x)＋7y＋8(18－y)＝184－2xxyA(8,12)l1O102018可行域如圖陰影部分．當(dāng)x＝8時，y＝12時，zmin＝156即A1的8萬噸煤全運到B1，A2運到12萬噸運到B1，剩余6萬噸運到B2，這時總運費最少為156萬元．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域：①直線確定邊界；②特殊點確定區(qū)域．2．線性規(guī)劃實際上是“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是一種求最值的方法．3．把實際問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是本節(jié)的重難點，求解關(guān)鍵是根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解．而在考慮約束條件時，除數(shù)學(xué)概念的條件約束外，還要深入其境、考慮實際意義的約束．4．解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范。但最優(yōu)點不易辨別時，要逐一檢查.基礎(chǔ)過關(guān)第4課時曲線與方程基礎(chǔ)過關(guān)、1．直接法求軌跡的一般步驟：建系設(shè)標(biāo)，列式表標(biāo)，化簡作答（除雜）．2．求曲線軌跡方程，常用的方法有：直接法、定義法、代入法（相關(guān)點法、轉(zhuǎn)移法）、參數(shù)法、交軌法等．典型例題典型例題例1.如圖所示，過點P（2，4）作互相垂直的直線l1、l2.若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點M的軌跡方程.解：設(shè)點M的坐標(biāo)為（x,y）,∵M是線段AB的中點，∴A點的坐標(biāo)為（2x,0），B點的坐標(biāo)為（0，2y）.∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.∴線段AB中點M的軌跡方程為x+2y-5=0.變式訓(xùn)練1：已知兩點M（-2，0）、N（2，0），點P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，滿足||||+·=0，求動點P（x，y）的軌跡方程.解由題意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,∵||||+·=0，∴·+（x-2）·4+y·0=0，兩邊平方，化簡得y2=-8x.例2.在△ABC中，A為動點，B、C為定點，B,C且滿足條件sinC-sinB=sinA,則動點A的軌跡方程是 （）A.=1(y≠0) B.=1(x≠0)C.=1（y≠0）的左支 D.=1（y≠0)的右支答案D變式訓(xùn)練2：已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：（x-3）2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程.解如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因為|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.這表明動點M到兩定點C2，C1的距離之差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支（點M到C2的距離大，到C1的距離?。?，這里a=1,c=3,則b2=8,設(shè)點M的坐標(biāo)為（x,y）,其軌跡方程為x2-=1(x≤-1).例3.如圖所示，已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.解設(shè)AB的中點為R，坐標(biāo)為（x1，y1），Q點坐標(biāo)為（x，y），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理有Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.又|AR|=|PR|=，所以有（x1-4）2+=36-（）.即-4x1-10=0.因為R為PQ的中點，所以x1=，y1=.代入方程-4x1-10=0，得·-10=0.整理得x2+y2=56.這就是Q點的軌跡方程.變式訓(xùn)練3：設(shè)F（1，0），M點在x軸上，P點在y軸上，且=2，⊥，當(dāng)點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程.解設(shè)M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），∴即∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),∴(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+=0.小結(jié)歸納∴-x+=0,即y2=4x.故所求的點N的軌跡方程是y2=4x.小結(jié)歸納1．直接法求軌跡方程關(guān)鍵在于利用已知條件，找出動點滿足的等量關(guān)系，這個等量關(guān)系有的可直接利用已知條件，有的需要轉(zhuǎn)化后才能用．2．回歸定義是解決圓錐曲線軌跡問題的有效途徑．3．所求動點依賴于已知曲線上的動點的運動而運動，常用代入法求軌跡．第5課時圓的方程基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1．圓心為C(a、b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________________．2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圓心為，半徑r＝．3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的方程的充要條件是．4．圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為_________．x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為________________．5．過兩圓的公共點的圓系方程：設(shè)⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，則經(jīng)過兩圓公共點的圓系方程為．典型例題典型例題例1.根據(jù)下列條件，求圓的方程．(1)經(jīng)過A(6，5)，B(0，1)兩點，并且圓心在直線3x＋10y＋9＝0上．(2)經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長為6．解：(1)∵AB的中垂線方程為3x＋2y－15＝0由解得∴圓心為C(7，－3)，半徑r＝故所求圓的方程為(x－7)2＋(y＋3)2＝65(2)設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0將P、Q兩點坐標(biāo)代入得令y＝0得x2＋Dx＋F＝0由弦長|x1－x2|＝6得D2－4F＝36③解①②③可得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0變式訓(xùn)練1：求過點A（2，－3），B（－2，－5），且圓心在直線x－2y－3=0上的圓的方程．由A（2，－3），B（－2，－5），得直線AB的斜率為kAB=eq\f(－5－(－3),－2－2)=eq\f(1,2),線段AB的中點為（0，－4），線段AB的中垂線方程為y＋4=－2x,即y＋2x＋4=0,解方程組得∴圓心為（－1，－2），根據(jù)兩點間的距離公式，得半徑r=eq\r((2+1)2＋(－3＋2)2)=eq\r(10)所求圓的方程為（x＋1)2＋(y＋2)2=10例2.已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.解方法一將x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則y1、y2滿足條件：y1+y2=4,y1y2=∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此時Δ＞0,圓心坐標(biāo)為,半徑r=.方法二如圖所示，設(shè)弦PQ中點為M，∵O1M⊥PQ，∴.∴O1M的方程為:y-3=2,即：y=2x+4.由方程組解得M的坐標(biāo)為（-1，2）.則以PQ為直徑的圓可設(shè)為（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴點O在以PQ為直徑的圓上.∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2∴(3-2)2+5=∴m=3.∴半徑為,圓心為.方法三設(shè)過P、Q的圓系方程為x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，點O（0，0）在圓上.∴m-3=0，即m=3.∴圓的方程可化為x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.∴圓心M，又圓在PQ上.∴-+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.∴圓心為，半徑為.變式訓(xùn)練2：已知圓C：（x-1）2+(y-2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).（1）證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C恒相交；（2）求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時的直線方程.（1）證明直線l可化為x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不論m取什么實數(shù)，它恒過兩直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點.兩方程聯(lián)立，解得交點為（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴點（3，1）在圓內(nèi)部，∴不論m為何實數(shù)，直線l與圓恒相交.（2）解從（1）的結(jié)論和直線l過定點M（3，1）且與過此點的圓C的半徑垂直時，l被圓所截的弦長|AB|最短，由垂徑定理得|AB|=2=此時，kt=-,從而kt=-=2.∴l(xiāng)的方程為y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3.知點P（x，y）是圓(x+2)2+y2=1上任意一點.（1）求P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解（1）圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為d=.∴P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=+1=，最小值為d-r=-1=.（2）設(shè)t=x-2y,則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點.∴≤1.∴--2≤t≤-2，∴tmax=-2，tmin=-2-.（3）設(shè)k=，則直線kx-y-k+2=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點，∴≤1.∴≤k≤,∴kmax=，kmin=.變式訓(xùn)練3：已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解（1）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b=-2±.所以y-x的最大值為-2+，最小值為-2-. （2）x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值. 又圓心到原點的距離為=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4. 例4.設(shè)圓滿足：①截y軸所得的弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1．在滿足條件①②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程。解法一設(shè)圓的圓心為P（a,b),半徑為r，則點P到x軸y軸的距離分別為∣b∣、∣a∣。由題設(shè)條件知圓P截x軸所得的劣弧所對的圓心角為90°，圓P截x軸所得的弦長為eq\r(2)r，故r2=2b2．又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r2=a2＋1,從而得2b2=a2＋1．點P到直線x－2y=0的距離為d=,∴5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab=2a2＋2b2－4ab＋1=2(a－b)2＋當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，此時，5d2=1,d取得最小值．由a=b及2b2=a2＋1得，進而得r2=2所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2解法二同解法一，得d=，所以a－2b=±eq\r(5)da2=4b2±4eq\r(5)bd＋5d2,將a2=2b2－1代入整理得2b2±4eq\r(5)bd＋5d2＋1=0（※）把（※）看成關(guān)于b的二次方程，由于方程有實數(shù)根，故△≥0即8（5d2－1)≥0,5d2≥1可見5d2有最小值1，從而d有最小值eq\f(eq\r(5),5)，將其代入（※）式得2b2±4b＋2=0,b=±1,r2=2b2=2,a2=2b2－1=1,a=±1由∣a－2b∣=1知a、b同號故所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2變式訓(xùn)練4：如圖，圖O1和圓O2的半徑都等于1，O1O2＝4，過動點P分別作圓O1和圓O2的切線PM、PN(M、N為切點)，使得PM＝PN，試建立平面直角坐標(biāo)系，并求動點P的軌跡方程．O1O1O2NMPOxy－22O1O2NMP解：以O(shè)1、O2的中點為原點，O1O2所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則O1(－2,0)、O2(2,0)．如圖：由PM＝PN得PM2＝2PN2∴PO12－1＝2(PO22－1)，設(shè)P(x，y)∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]即(x－6)2＋y2＝33為所求點P的軌跡方程．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．本節(jié)主要復(fù)習(xí)了圓的軌跡方程，要明確：必須具備三個獨立條件，才能確定一個圓的方程．2．求圓的方程時一般用待定系數(shù)法：若已知條件與圓心、半徑有關(guān)，可先由已知條件求出圓的半徑，用標(biāo)準(zhǔn)方程求解；若條件涉及過幾點，往往可考慮用一般方程；若所求的圓過兩已知圓的交點，則一般用圓系方程．3．求圓方程時,若能運用幾何性質(zhì),如垂徑定理等往往能簡化計算．4．運用圓的參數(shù)方程求距離的最值往往較方便．5．點與圓的位置關(guān)系可通過點的坐標(biāo)代入圓的方程或點與圓心之間的距離與半徑的大小比較來確定.基礎(chǔ)過關(guān)第6課時直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)1．直線與圓的位置關(guān)系將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為△，圓心C到直線l的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：相切d＝r△＝0相交相離2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為R和r(R≥r)，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系滿足以下條件：外離d>R＋r外切相交內(nèi)切內(nèi)含3.圓的切線方程①圓x2＋y2＝r2上一點p(x0,y0)處的切線方程為l:.②圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點p(x0,y0)處的切線方程為l:.③圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點p(x0,y0)處的切線方程為.典型例題典型例題PP2P1P(4，2)xyO例1.過⊙：x2＋y2＝2外一點P(4，2)向圓引切線．⑴求過點P的圓的切線方程．⑵若切點為P1、P2求過切點P1、P2的直線方程．解：(1)設(shè)過點P(4，2)的切線方程為y－2＝k(x－4)即kx－y+2－4k＝0①則d＝∴＝解得k＝1或k＝∴切線方程為：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0(2)設(shè)切點Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，則兩切線的方程可寫成l1:x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２因為點(4，2)在l1和l2上．則有4x1＋2y1＝24x2＋2y2＝2這表明兩點都在直線4x＋2y＝2上，由于兩點只能確定一條直線，故直線2x＋y－1＝0即為所求變式訓(xùn)練1：（1）已知點P(1，2)和圓C：，過P作C的切線有兩條，則k的取值范圍是()

A.k∈RＢ.k＜Ｃ.D.（2）設(shè)集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},當(dāng)A∩B=B時，r的取值范圍是（）A．（0，eq\r(2)－1）B．（0，1]C．（0，2－eq\r(2)]D．（0，eq\r(2)]（3）若實數(shù)x、y滿足等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么的最大值為()

A.Ｂ.Ｃ.Ｄ.（4）過點M且被圓截得弦長為8的直線的方程為．（5）圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過兩圓和的交點的圓的方程是.解：（1）D．提示：P在圓外．（2）C．提示：兩圓內(nèi)切或內(nèi)含．（3）D．提示：從純代數(shù)角度看，設(shè)t=,則y=tx，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可解得t的范圍。從數(shù)形結(jié)合角度看，是圓上一點與原點連線的斜率，切線的斜率是邊界．（4）．提示：用點到直線的距離公式，求直線的斜率．（5）.提示：經(jīng)過兩圓交點的圓的方程可用圓系方程形式設(shè)出，其中的一個待定系數(shù)，可依據(jù)圓心在已知直線上求得．例2.求經(jīng)過點A(4，－1)，且與圓：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于點B(1，2)的圓的方程．解：圓C的方程可化為(x＋1)2＋(y－3)2＝5∴圓心C(－1，3)，直線BC的方程為：x＋2y－5＝0 ①又線段AB的中點D(，)，kAB＝－1∴線段AB的垂直平分線方程為：y－＝x－即x－y－2＝0②聯(lián)立①②解得x＝3，y＝1∴所求圓的圓心為E(3，1)，半徑|BE|＝∴所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝5變式訓(xùn)練2：求圓心在直線5x-3y=8上，且與坐標(biāo)軸相切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,∵圓與坐標(biāo)軸相切，∴a=±b,r=｜a｜又∵圓心(a,b)在直線5x-3y=8上.∴5a-3b由得∴所求圓的方程為：（x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2＝1．例3.已知直線l：y＝k(x＋2)(k≠0)與圓O：x2＋y2＝4相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．△AOB的面積為S．⑴試將S表示為k的函數(shù)S(k)，并求出它的定義域．⑵求S(k)的最大值，并求出此時的k值．解：(1)圓心O到AB的距離d＝由d<2－1<k<1|AB|＝4S(k)＝4(2)解法一：據(jù)(1)令1＋k2＝tk2＝t－1(1<t<2)S＝4＝4≤4·＝2當(dāng)＝即k＝時，等號成立．∴k＝±為所求．解法二：△ABD的面積S＝|OA||OB|sin∠AOB＝2sin∠AOB∴當(dāng)∠AOB＝90°時，S可取最大值2，此時，設(shè)AB的中點為C．則OC＝|OA|＝由O到直線的距離為|OC|＝得＝，k＝±變式訓(xùn)練3：點P在直線上，PA、PB與圓相切于A、B兩點，求四邊形PAOB面積的最小值．．答案：8。提示：四邊形可以分成兩個全等的直角三角形，要面積最小，只要切線長最小，亦即P到圓心距離要最小．例4.已知圓C方程為：，直線l的方程為：（2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0（1）證明：無論m取何值，直線l與圓C恒有兩個公共點。（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長度，并求出此時的m值．提示：（1）用點到直線的距離公式，證明r2－d2＞0恒成立．（2）求（1）中r2－d2的最小值，得直線l被圓C截得的線段的最短長度為4eq\r(5)，此時的m值為－eq\f(3,4)．變式訓(xùn)練4：已知圓系，其中a≠1,且a∈R,則該圓系恒過定點．答案：（1，1）．提示：將a取兩個特殊值，得兩個圓的方程，求其交點，必為所求的定點，故求出交點坐標(biāo)后，只須再驗證即可。另一方面，我們將方程按字母a重新整理，要使得原方程對任意a都成立，只須a的系數(shù)及式中不含a的部分同時為零．小結(jié)歸納小結(jié)歸納1．處理直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，有代數(shù)法和幾何法兩種方法，但用幾何法往往較簡便．2．圓的弦長公式l＝2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)利用這一弦長公式比用一般二次曲線的弦長公式l＝要方便．3．為簡化運算，處理交點問題時，常采用“設(shè)而不求”的方法，一般是設(shè)出交點后，再用韋達定理處理，這種方法在處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中也常常用到．

解析幾何初步章節(jié)測試題一、選擇題1．圓(x－1)2＋y2＝1的圓心到直線y＝x的距離為（）A．B．C．D．12．如果把圓C：x2＋y2＝1沿向量平移到圓C′，且C′與直線3x－4y＝0相切，則m的值為（）A．2或－B．2或C．－2或D．－2或－3．如果直線沿x軸負方向平移3個單位，再沿y軸正方向平移1個單位后，又回到原來的位置，那么直線l的斜率是 （）A．－B．－3C．D．4．已知點P（3，2）與點Q（1，4）關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為（）A．x－y＋1＝0B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋5．如果直線l1、l2的斜率為k1、k2，二直線的夾角為θ，若k1、k2分別為二次方程x2－4x＋1＝0的兩根，那么θ為 （）A．B．C．D．6．若圓(x－1)2＋(y＋1)2＝R2上有且僅有兩個點到直線4x＋3y－11＝0的距離相等，則半徑R的取值范圍是（）A．R＞1 B．0<R<3C．1<R<3D．R≠2且7．已知x，y滿足不等式組，則t＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值為（）A．B．2C．3D8．（06湖南卷）若圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個不同點到直線l：ax＋by＝0的距離為2，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．B．C．D．9．已知圓C：，那么直線l：y＝kx與圓的位置關(guān)系是（）A．相離或相切B．相交或相切C．一定相交D．不能確定10．如果直線y＝ax＋2與直線y＝3x－b關(guān)于直線y＝x對稱，那么 （）A．a(chǎn)＝，b＝6B．a(chǎn)＝，b＝－6C．a(chǎn)＝3，b＝－2D．a(chǎn)＝3，b＝二、填空題11．“關(guān)于實數(shù)k的方程x2＋y2＋4kx－2y－k＝0的圖形是圓”的充分且必要條件是．12．設(shè)直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B兩點，且，則a＝．13．將一張畫有直角坐標(biāo)系的圖紙折疊一次，使得點A(0，2)與點B(4，0)重合，若此時點C(7，3)與點D(m，n)重合，則m＋n的值是