導數(shù)及其應(yīng)用2024年高考數(shù)專項復習

導數(shù)及其應(yīng)用2024年高考數(shù)專項復習引入問題1容器裝水向高為H的水瓶中注水，注滿為止．如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系如圖，那么水瓶的形狀是圖中的（）問題2高臺跳水高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.一、平均變化率1．概念：對于函數(shù)，稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率.注：2.幾何意義：平均變化率表示過與直線的斜率.練習：求在附近的平均變化率。二、瞬時速度h(t)=-4.9t2+6.5t+10在間的平均速度為.考察附近的情況：結(jié)論：當趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近于常數(shù)-13.1.為了表述方便，我們用三、導數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或，即注：四、導函數(shù)1.定義：在開區(qū)間內(nèi)每一點都是可導的，具體是指：任給，總有.從而對開區(qū)間內(nèi)的每一個，都有一個數(shù)與之對應(yīng)，所以在開區(qū)間內(nèi)，就構(gòu)成一個新函數(shù)，此新函數(shù)稱為函數(shù)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)2.函數(shù)在點處的導數(shù)、導函數(shù)、導數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。例1．（1）求函數(shù)在x=1處的導數(shù).（2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù)．解析：例2．求函數(shù)在點處的導數(shù).小結(jié)：導數(shù)的幾何意義一、回顧導數(shù)的概念二、導數(shù)的幾何意義點沿著曲線無限接近點Q即Δx=0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線QT稱為曲線在點Q處的切線.問題：割線的斜率與切線QT的斜率有什么關(guān)系？注：（1）當PQ時,割線PQ的斜率的極限,稱為曲線在點Q處的切線的斜率（2）曲線在某點處有沒有切線要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷，如果有切線，則唯一存在.（3）曲線的切線與曲線的公共點可以有一個，也可以有多個,甚至可以有無窮多個.（4）求曲線在某點Q處的切線方程的基本步驟:①求出切點Q的坐標;②求出函數(shù)在點處的變化率得到曲線在點的切線的斜率；③利用直線的點斜式方程寫出切線方程.例1.曲線的方程為，那么求此曲線在點P（1，2）處的切線的斜率，以及切線的方程.解析：例2.求曲線經(jīng)過點的切線方程.小結(jié)：求曲線的切線時，要注意區(qū)分不同的說法：通常情況下求曲線在某點處的切線時，該點即為切點；求曲線經(jīng)過某點的切線時，該點不一定是切點。已知切點求切線方程的基本步驟:①求出切點Q的坐標;②求出函數(shù)在點處的導數(shù)得到曲線在點的切線的斜率；③利用直線的點斜式方程寫出切線方程.過某點的切線的基本思路：例3．設(shè)函數(shù)，其中，a、b為常數(shù)，已知曲線與在點（2,0）處有相同的切線l.求a、b的值，并寫出切線l的方程.導數(shù)的計算一、回顧導數(shù)的概念函數(shù)在處的導數(shù)的求解步驟；①求函數(shù)的增量；②求平均變化率；③取極限，得導數(shù).二、幾類常見函數(shù)的導數(shù)1.常數(shù)函數(shù)：2．冪函數(shù)：3.指數(shù)函數(shù)：4.對數(shù)函數(shù)：5.三角函數(shù)：即：三、導數(shù)的四則運算法則若函數(shù)可導，則有：（1）；（2）；（3）證明：（1）設(shè)，則，；同理可證（2）設(shè)，則由函數(shù)可導，則函數(shù)連續(xù)，因此有：，（3）略例1．求下列函數(shù)的導數(shù)（1）（2）（3）（4）（5）；（6）（7）解析：四、復合函數(shù)求導法則若函數(shù)在處可導，函數(shù)在處可導，則復合函數(shù)在也可導，且.例2．求下列函數(shù)的導數(shù).（1）（2）（3）（4）解析：.已知是關(guān)于的多項式函數(shù)，（1）若，求；（2）若且，解不等式.解析：五、小結(jié)：第2講導數(shù)的應(yīng)用（一）——函數(shù)的單調(diào)性知識要點在函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)，；在函數(shù)y=f（x）的減區(qū)間內(nèi)，.一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則f（x）為增函數(shù)；如果，則f（x）為減函數(shù).若，則存在區(qū)間，使得當時，都有，也就是隨x的增大而增大，減小而減??；所以在區(qū)間內(nèi)單增.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；（2）求導數(shù)；（3）在定義域內(nèi)解不等式或；（4）確定f（x）的單調(diào)區(qū)間。典型例題分析例1、確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解析：OyOyxOyxOA．B．C．D．例2、設(shè)是函數(shù)fOyOyxOyxOA．B．C．D．圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）解析：例3、已知函數(shù)，求導函數(shù)，并確定f（x）的單調(diào)區(qū)間．解析：例4、設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（－1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，求k的