高二數學復習

第1課時：三角函數的概念，同角三角函數的關系

1.角度與弧度的互換關系：360°=2%180°=%\rad?57.30°

1Q

弧度與角度互換公式：=-?57.3°1°=2“0.01745

7T180

注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零

2.與角a終邊相同的角的集合S=/忸=a+2k兀,kwZ}

例：下列各角中與240。角終邊相同的角為()

A25「7

A.-nBo.—7iC.—一2萬D.-71

3636

例：若a為第二象限角，則4是第____________象限角

2

練習：1.圓弧長度等于其內接正三角形的邊長,其圓心角的弧度數是()

712

A.—B.—71C.V3D.2

33

2..若夕是第二象限角，那么臺吟,都不是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

總結：已知a所在的象限a,確定4所在的象限

n

(1)按照角a所在的象限將其范圍表示出來，進而表示出4的范圍，通過分類討論得出-所在的象限

nn

(2)作出〃等分各個象限的從原點出發(fā)的射線，它們與坐標軸把周角分成4〃個區(qū)域，從x軸的非負半軸

起，按逆時針方向把這4〃個區(qū)域依次循環(huán)標上1,2,3,4,則標號是。的區(qū)域，就是a為第。象限角時

-終邊落在的區(qū)域

n

3.特殊角的三角函數值

717171713乃

a0712%

7~4T~2T

\_A/3

sin(7010-10

2VT

V2]_

COS(71也0-101

~T22

tana0V31不存在0不存在0

TV3

JIJIJIJI

例:sin—?tan—+tan—?cos---tan—?cos—=

336642

4.弧長公式：/=|a"扇形面積公式：S扇形=)>=：囪，2

例：若2弧度的圓心角所對的弧長為4cm,則這個圓心角所夾的扇形的面積是()

A.4cm2B.2cm2C.47rcm2D.2兀cm?

2

例：已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個圓心角所對弧的弧長是(——)

sinl

練習：將分針撥慢十分鐘，則分針所轉過的弧度數是()

5.三角函數：設。是一個任意角，在a的終邊上任取(異于原點的)一點P(xj),P與原點的距離為r,

貝（Jsincr=—cosa=-tana=—

rrx

例：已知角a的終邊過點P（-1,2）,cosa的值為（）

2亞V5

B.一小C.-^―D.

55V

6.三角函數在各象限的符號：(一全正二正弦，三正切四余弦)

例：1.若sin26<0,則角。是()

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角

2.已知角a的終邊過點P（4（7,—3a）（。<0），則2sina+cosa的值是（)

22

A.gB.-gC.0D.與a的取值有關

0n

練習：1.若。是第三象限角，且cos—<0,則一是()

22

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2.已知點P(tana,cosa)在第三象限，則角a在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.同角三角函數的基本關系式：

sma-=tanasin2cr+cos2a=1

cosa

3

例：1.已知sina=—,且。為第二象限角，貝hana的值為

5

2.如果sina_2c0Sa=-5,那么tana的值為_________

3sina+5cosa

知識測試：

1..終邊在第一、四象限的角的集合可表示為（）

c.l2^-y,2^+1UeZ)D.(2人;r-yU(2ATT,2左左+'^)(左eZ)

。是第二象限角，火）為其終邊上一點,

2.P（X,且cosa="x,貝代ma的值為()

4

A.叵B.四C.也

D..叵

4444

3.。是第二象限角，且cos4=-cos4,則里是（)

222

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

4..使lg（co使tan。）有意義的角6是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第二象限角D.第一、二象限角或終邊在y軸上

5.求證：tan%—sin20=tan2Osin2。

第2課時：三角函數的誘導公式

誘導公式:

sin(2Z;r+a)=sinasin(-a)=-sinasin(乃+a)=-sina

cos(2左乃+a)=cosacos(-a)=cosacos(1+a)=-cosa

tan(2左乃+a)=tanatan(-a)=-tanatan(%+a)=tana

sin（乃一a）=sinasin（］-a）=cosasin（］+a）=cosa

cos（^-a）=-cosa

tan（4一a）=-tanacos弓-a）=sina+a）=-sina

記憶方法：奇變偶不變，符號看象限

例：Lsin585。的值為

c,15%

2.tan---

4

練習：tan-）

1

A.-C.73

2V

sin（乃-a）cos（2萬-a）

例：已知a是第三象限角，且/(a)=

sin（一乃-a）

（1）化簡/(a)；

3乃1

（2）若cos(a-號)=：,求/(a)的值;

（3）若a=—1860°,求，(a)的值

練習：1.若a是第三象限角，則Jl—2sin(7T—a)cos(7t—a)=

2sin（7i+^）-cos^-l_tan（9兀+。）一1

2.證明:

l-2sin26>tan（n+。）+1

誘導公式在三角形中的應用

例：在AABC中，若sin(2兀-A)=—>/2sin(n-p)，6cosA=—5/2cos(兀-。)求AABC的三內角

注：在AABC中常用的變形結論有:

VA+B+C=7i,2A+2B+2c=2兀，+-+—=-

2222

/.sin(A+B)=sin(7r-C)=sinC;COS(A+B)=COS(7C-C)=-COSC;

tan(A+B)=tan(7r-C)=-tanC;sin(2A+2B)=sin(27c-2C)=-sin2C;

cos(2A+2B)=COS(2TC-2C)=COS2C;tan(2A+2B)=tan(27r-2C)=-tan2C;

/B.71CCABTCCC

sin(—l——)=sin(-------)=cos—;costz—I—)=cos(-------)=sin—

2222222222

知識檢測：

19

l.sin（-一萬）的值等于（）

6

11V3

A.-B.--C.也D.------

22T2

.如果為銳角，（乃+/）=-；，

2Asin那么cos(萬-A)=（）

11_V3V3

A.----B.—C.D.—

222

3.下列三角函數:

①sin(〃兀+”")；②cos(2〃兀+巴)；③sin(2m+巴)；@cos[(2w+l)兀一巴];

3636

⑤sin[（2〃+1）71——]（〃WZ）.其中函數值與sin三的值相同的是（）

33

A.①②B.①③④C.②③⑤D.①?@

4.設4、B、。是三角形的三個內角，下列關系恒成立的是（）

A.cos(4+8)=cosCB.sin(A+S)=sinCC.tan(4+8)=tanCD.sin-=sin—

22

課后練習:

,“sina+cosa

1.若.2,則tana=()

2sma-cosa

c.34

A.1B.-1D.——

43

…1+sinx1,則占比的值是（

2.已知-------=一―)

cosx2sinx-1

11

A.-B.----C.2D.-2

22

3.若sin（工一a）=，TT

,則cos(一+a)等于()

7r1c.i7

A.----B.—D.

9339

A伯c；1。兀一質cc”19兀、?4/13兀、

4.“身.sin3V2cos(4)1lan(3)—_—

「升sina+cosa

5.若.=:2,則tana=()

2sina-cosa

c.3_4

A.1B.?1D.

4~3

,「八1+sinx1L.COSX弘“□/

6.已知-------=一一,則二------的值是()

cosx2sinx-1

11

A.-B.----C.2D.-2

22

7.已知sin200,=a,則tan160°等于（)

aac71-fl2yll—a2

ARD.

aa

8.tan600°的值是()

AV3B/

C.-V3D.百

33

9.已知sina=-且，且a為第四象限角，求cosa,tana的值

2

l+2sin2900cos430。

sin250°+cos790°

tan（2兀一夕）sin（—2兀一夕）cos（6兀一。）_口

11.求證:-----------------------------------------------Kan”.

cos(6-兀)sin(5ic+6)

第3課時：三角函數的圖像及性質

正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質：

y=sinxy-cosxy=tanx

L

yy

/TX”挈2M

1MJ.

圖象00"XYdf?T

定義

RR\xx^k7i-\——,ksZ、

域[2J

值域[-M][-M]R

■jr

當x=2k7r+—(keZ)當工=2k7r（k￡Z）時，

時，Xnax=1；當Vmax=1：當工=2左乃+乃

最值既無最大值也無最小值

x=Ikn--（keZ）時，WL」

2

(AeZ^,%in=T.

周期2424TC

性

奇偶奇函數偶函數奇函數

性

_.71_.71

在24萬,2卜?！?/p>

.22

在［2左乃一乃,2左乃］(左￡Z)

(左eZ）上是增函數；?J,7C,71：\

上是增函數；在在k7r---,k兀?——

單調122）

［2%］,2左乃+乃］

性,?！?7

2K7TH,2k冗H---

22.（左￡Z）上是增函數.

(AwZ)上是減函數.

eZ）上是減函數.

對稱中心對稱中心

對稱中心

（左肛0）（%GZ）(左乃+］,()］(左eZ)

對稱(容。)(左eZ)

性對稱軸

x-k%+言（keZ）對稱軸X=左"(左￡Z)無對稱軸

例：函數丁=2cos2(x——1是()

A.最小正周期為兀的奇函數B.最小正周期為K的偶函數

TT7T

C.最小正周期為-的奇函數D.最小正周期為-的偶函數

22

例：設/(x)=sin(2x+J則/(x)的圖像的一條對稱軸的方程是()

冗冗7171

A.x=—B.x=—C.x=—D.x=—

9632

練習：1.已知函數/(x)=2sin((yx+e),xwR,其中。〉0,-不＜夕4萬.若/(x)的最小正周期為6%,且當

X=］7T時，/(X)取得最大值，則()

A./*)在區(qū)間［-2肛0］上是增函數B./(x)在區(qū)間［-3肛-加上是增函數

C./(%)在區(qū)間［3開,5句上是減函數D./(x)在區(qū)間［4肛6句上是減函數

2.函數/(x)=x+sinx(xeR)()

A.是偶函數，且在(-8,+8)上是減函數B.是偶函數，且在(-8,+00)上是增函數

C.是奇函數，且在(-8,+00)上是減函數D.是奇函數，且在(-8,+oo)上是增函數

3.設函數/(x)=sin3x+o)+cos3x+°)[0>0,|0的最小正周期為萬，且/(-%)=/(%),

則()

A./(x)在(0彳)單調遞減B.〃x)在單調遞減

C.小)在?單調遞增D./(x)在岑)單調遞增

三角函數的五點法作圖及圖象變換

例：已知函數/(x)=4sin(x+奇一1.用五點法作出/(x)在一個周期內

7T

練習：畫出函數Xx)=4sina+@+l在一個周期內的圖像

知識檢測:

1.函數y=cos(x+—)9xsR()

A.是奇函數B.既不是奇函數也不是偶函數C.是偶函數D.既是奇函數又是偶函數

2.函數y=tan(工-x)的定義域為()

4

A.<x\xEZ>B.<x\x2kjr--,ZreZ>C.<xkk/r+—EZ>D.<x\x2kji4--,eZ>

14]I14JI14|114J

3.設〃x）=sin2x+7,則/（x）的圖像的一條對稱軸的方程是（)

7171c兀71

A.x——B.x=—C.x=—D.x=-

9632

4.y=sin（x-工）的圖象的一個對稱中心是（)

4

受0

A.(%,0)B.%C.D.y,0

第4課時：三角函數的性質的應用

函數y=Zsin（&r+0）（4>0,69>0）的性質：

①振幅：A②周期：T=—③頻率：/=-=—④相位：m+9⑤初相：（p

CDT

注：函數尸/sin（cox+。）和尸/COS（COX+Q）的最小正周期為那，尸tan（cox+e）的最小正周期為春

三角函數圖象與解析式的相互轉化

例、函數作）=Zsin（（ax+p）（xeR,/>0,cy>0,0〈夕令的部分圖象如圖所示，求兀0的解析式

注：根據y=/sin（s+夕）+K的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個方面來考慮:

①4的確定：根據圖象的最高點和最低點，即/=最高一占、一2最.四低占、、：；

②K的確定：根據圖象的最高點和最低點，即.=最"汕”低公

③3的確定：結合圖象，先求出周期，然后由T=2（0>O）來確定3：

@（p的確定：由函數sin（5+p）+K最開始與x軸的交點（最靠近原點）的橫坐標為一'（即令cox+（p

=0,x=—確定9.

jr

練習：1.已知函數外）=/sin（cox+e），xGR（其中/>0,。>0,0<9<］）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩

個交點之間的距離為去且圖象上一個最低點為M號，-2）,求人x）的解析式；

jr

2.已知函數/（x）=Nsin3x+°）（其中/>0,附<上）的圖象如圖所示，則函數/（x）的解析式為（）

A./(x)=sin(2x---)B.f(x)=sin(2x+—)C./(x)=sin(2x+—)D.f(x)=sin(4x+—)

3636

7T

3.函數/(x)=Nsin(&x+。)(/>0,0>0］。|<-)的部分圖象如圖所示，則將y=/(x)的圖象向右平移

差TT個單位后，得到的圖象解析式為（）

6

.27r.71

A.y-sin2xB.y=cos2xC.y=sin(2x+-^-)D.y—sin(2x---)

三角函數的伸縮變化

先平移后伸縮

向左（8〉0）或向右（8<0）橫坐標伸長或縮短（切>1）、

i<

y=sinx的圖象平移|同個單位長度>得歹=sin（x+9）的圖象到原來的!（縱坐標不變）

ZH./、八同二縱坐標伸長a>i）或縮短（0</1）、4.、Ajg句,?句上（〃〉o）或向卜"<°）、

得y=sm（<yx+⑼的圖象為原來的X倍（橫坐標不變）>得ply=Nsin（（wx+夕）的圖象平移網個單位長度

得y=/sin（x+夕）+%的圖象.

先伸縮后平移

橫坐標伸長（0<3<1）或縮短（si）、

.“，向八縱坐標伸長”>1）或縮短.1VL；<

y=sinx的圖象為原來的4倍（橫坐標不變）>得、=Zsmx的圖象到原來的上（縱坐標不變）

（0

向左（0>9）或向右（e<o）向上（左>0）或向下（〃<0）、

得y=4sin（s）的圖象平移母個單位得N=Zsinx（0x+°）的圖象平移網個單位長度~）

co

得y=4sin（公r+/）+%的圖象

例.函數歹=sin（2x+工）的圖象可看成是把函數y二sin2x的圖象做以下平移得到（）

A.向右平移工B.向左平移—C.向右平移—D.向左平移工

612126

7T

例.將函數歹=sin2x的圖象向右平移一個單位，再向上平移1個單位，所得函數圖象對應的解析式為（）

4

?兀2.2

K.y=sin（2x---）+1B.y=2cosxC.y=2sinxD.y=-cos2x

4

練習.函數/（x）=5出（3+9）（0>0,\（p\<||的最小正周期是"，若其圖像向右平移。個單位后得到的

函數為奇函數，則函數/（x）的圖像（）

A.關于點（2,0〕對稱B.關于直線》=三對稱C.關于點（且,（）］對稱D.關于直線x=*巴對稱

（12；12112J12

三角函數單調區(qū)間的求法

（1）準確記憶三角函數的單調區(qū)間是求復合三角函數單調區(qū)間的基礎；

（2）形如y=Asin（（Dx+（p）（A>0,6>0）的函數的單調區(qū)間，基本思路是把cox+（p看作一個整體，由

TTTTTT>77"

一7+2左4<CDX+（/）<—+2k/r（kGZ）求得函數的增區(qū)間，山—+2k7i<69%4-<—4-2k7i（kwZ）求

得函數的減區(qū)間。

（3）形如y=Asin（?cox+（p）（A>0,（o>0）的函數，可先利用誘導公式把x的系數變?yōu)檎龜担玫統(tǒng)=-Asin（cox-（p），

兀3乃

由一T+2k兀<cox-（/）<^+2k］（keZ）得到函數的減區(qū)間，由］+2k冗<cox-（/）<^-^2左1（女€Z）得到

函數的增區(qū)間。

注：對于函數y=Acos（（ox+（p）,尸Atan?x+（p）產單調區(qū)間的求法與y=Asin?x+（p）的單調區(qū)間的求法相同

TT

例.(1)求函數y=sin(§-2x),乃]的單調遞減區(qū)間

TTX

(2)求夕=3tan(上一土)的周期及單調區(qū)間

64

7[

練習：求函數y=sin(§-2x),.re[-n,7r]的單調遞增區(qū)間

三角函數的值域與最值

7T7T

例.函數/(x)=2“sin(2x-；)+b的定義域為0,1,函數的最大值為1,最小值為-5,求a和b的值。

注：求三角函數的值域主要有三條途徑：

(1)將sinx或cosx用所求變量y來表示,如sinx=f(y),再由|sinx|<l得到一個關于y的不等式|f(y)|Wl,

從而求得y的取值范圍；

(2)將y用sinx或cosx來表示，或配方或換元或利用函數的單調性或基本不等式來確定y的取值范圍;

（3）利用數形結合或不等式法求解。

練習：求函數y=3一c°s”的值域

2-cosx

第5課時：兩角和差的三角公式及二倍角公式

兩角和差公式

sin(a±/?)=sinacosp±cosasin￡

cos(a±0)=cosacos夕干sinacosp

,,c、tana±tan￡

tan(6Z±6)=------------

1+tan°tan(3

巧變角：a=(a+0)_0=(a_/3)+02a=(a+4)+(a—尸)=('+a)——a)

a+4=2—Y~

二倍角公式

sin2a=2sinacosa

l-tan2?

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a=----------(z想一想,最后一個公式是怎樣得到的？）

1+tana

c2tana

tan2a=-------z-

1-tana

24

例：L已知sin2a=----a-e\-—,0,貝心出々+00$。等于（)

25I4

1\7

A.----B.-cD.-

55-45

2.若tan[a+?)=g,則sina=()

D.q

3.已知sin(a-。)cosa-cos(a-(5)sina=—,那么cos20的值為)

718718

A.——B.—C.——D.——

25252525

3

練習：1.已知二二＜。是第二象限角，且以+尸）=1,則口〃夕的值為（）

3

A.-7B.7C.--D.一

44

2.(cos---sin—)(cos—+sin—)=()

12121212

,V31八1V3

A.----B.--C.-D.—

2222

3.已知a,/?￡(0,7r),tan(a-0)=g,tan￡二一；，求2a-/?的值

4.已知，=(cosx,2),很=(2sinX,3),萬〃5,則sin2x—2cos2x=

例：1.設sina+sin?=L,cosa+cos^=-，求下列各式的值：

23

①cos(a-0)②cos(a+p)

2.已知tana=3，tan/?=；,并且a,/?均為銳角，求a+24的值

練習：若sinA=t,sinB=*，且A,B均為鈍角，求A+B的值

知識測試:

1.已知5出“=3,且06(工,丁〕，那么包些的值等于________

5U)cos2a

2.已知tan(a+￡)=3,tan(a-p)=5,則tan2a=

3.設aW(0,—),若sina=3,貝UVIcos(a+—)=

254

4已.知tan(a+尸尸I",tan(夕一?)=；，那么tan(a+=

5.sinl630-sin223°-i-sin253o-sin313o=

第6課時：降第公式及輔助角公式的應用

降嘉公式

.l-cos2a

sin-2a=------------

2

1+cos2a

cos2a=-----------

2

l-cos2cr

2tana=------------

1+cos2a

輔助角公式

asmx±bcosx=+6」sin(x±6),(其中tan0=-)

知識應用：

一、利用降累公式化簡求值

例：1.已知cosa=-/則si成等于()

--fB乎—返返

J55

-、n_-5兀必l-cos(a-Tr)..,

2.設一3TCVQV一爹，M1則IZI化簡,----------^A的結m果R是()

a.a

A.sin|B.cogC.-co"D.—sin,

練習：1.若弓弓］,sin20=#^,則sin0=(

)

A3C亞D

A.5。4-1

2.已知一:貝4,；+gcos2a的值為（）

aa.aa

AA.-s?m]B.cos$C.sin]Dc.—cos^

二、與三角函數的性質的結合

例：1.某同學研究sinx+cosx時;得到如下結果:

①sinx+cosx=V2sin(x+—)；②sinx+cosx=V2sin(x--)；

44

③sinx+cosx=V2cos(x+~)；④sinx+cosx=V2cos(x--).

44

其中正確的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.函數/（x）=cos2x-2V5sinxcosx的最小正周期是

練習：關于函數/（x）=sin2x—cos2x,有下列命題：

①函數y=/（x）的周期為兀；

②直線x=今是），=/（x）的圖象的一條對稱軸：

③點（2,0）是y=/（x）的圖象的一個對稱中心；

④將y=/（x）的圖象向左平移;個單位，可得到y(tǒng)=^sin2x的圖象.

其中真命題的序號是

2.設a=sin140+cos14°,A=sin16°+cosl6°,c=,則a,b,c大小關系（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

知識測試:

1.函數/(x)=cos2x+2sinx的最小值和最大值分別為()

33

A.—3,1B.—2,2C.—3,—D.—2,一

22

2.已知鈍角a滿足cosa=-白，貝ijsin^等于（）

32

3.函數/(xhcos?x+sinxcosx的最大值是()

3J2+11+272

A.2B，2C.-^—D.—

4.函數y=sinxcosx+JJcos?x—的圖象的一個對稱中心是（）

D.(§,一6)

5.函數y=sin'+Gcos'的圖像的一條對稱軸方程是（）

22