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文檔簡介
第1課時(shí):三角函數(shù)的概念,同角三角函數(shù)的關(guān)系
1.角度與弧度的互換關(guān)系:360°=2%180°=%\rad?57.30°
1Q
弧度與角度互換公式:=-?57.3°1°=2“0.01745
7T180
注意:正角的弧度數(shù)為正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)為零
2.與角a終邊相同的角的集合S=/忸=a+2k兀,kwZ}
例:下列各角中與240。角終邊相同的角為()
A25「7
A.-nBo.—7iC.—一2萬D.-71
3636
例:若a為第二象限角,則4是第____________象限角
2
練習(xí):1.圓弧長度等于其內(nèi)接正三角形的邊長,其圓心角的弧度數(shù)是()
712
A.—B.—71C.V3D.2
33
2..若夕是第二象限角,那么臺吟,都不是()
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
總結(jié):已知a所在的象限a,確定4所在的象限
n
(1)按照角a所在的象限將其范圍表示出來,進(jìn)而表示出4的范圍,通過分類討論得出-所在的象限
nn
(2)作出〃等分各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的射線,它們與坐標(biāo)軸把周角分成4〃個(gè)區(qū)域,從x軸的非負(fù)半軸
起,按逆時(shí)針方向把這4〃個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4,則標(biāo)號是。的區(qū)域,就是a為第。象限角時(shí)
-終邊落在的區(qū)域
n
3.特殊角的三角函數(shù)值
717171713乃
a0712%
7~4T~2T
\_A/3
sin(7010-10
2VT
V2]_
COS(71也0-101
~T22
tana0V31不存在0不存在0
TV3
JIJIJIJI
例:sin—?tan—+tan—?cos---tan—?cos—=
336642
4.弧長公式:/=|a"扇形面積公式:S扇形=)>=:囪,2
例:若2弧度的圓心角所對的弧長為4cm,則這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積是()
A.4cm2B.2cm2C.47rcm2D.2兀cm?
2
例:已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個(gè)圓心角所對弧的弧長是(——)
sinl
練習(xí):將分針撥慢十分鐘,則分針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)是()
5.三角函數(shù):設(shè)。是一個(gè)任意角,在a的終邊上任取(異于原點(diǎn)的)一點(diǎn)P(xj),P與原點(diǎn)的距離為r,
貝(Jsincr=—cosa=-tana=—
rrx
例:已知角a的終邊過點(diǎn)P(-1,2),cosa的值為()
2亞V5
B.一小C.-^―D.
55V
6.三角函數(shù)在各象限的符號:(一全正二正弦,三正切四余弦)
例:1.若sin26<0,則角。是()
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角
2.已知角a的終邊過點(diǎn)P(4(7,—3a)(。<0),則2sina+cosa的值是()
22
A.gB.-gC.0D.與a的取值有關(guān)
0n
練習(xí):1.若。是第三象限角,且cos—<0,則一是()
22
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
2.已知點(diǎn)P(tana,cosa)在第三象限,則角a在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
7.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:
sma-=tanasin2cr+cos2a=1
cosa
3
例:1.已知sina=—,且。為第二象限角,貝hana的值為
5
2.如果sina_2c0Sa=-5,那么tana的值為_________
3sina+5cosa
知識測試:
1..終邊在第一、四象限的角的集合可表示為()
c.l2^-y,2^+1UeZ)D.(2人;r-yU(2ATT,2左左+'^)(左eZ)
。是第二象限角,火)為其終邊上一點(diǎn),
2.P(X,且cosa="x,貝代ma的值為()
4
A.叵B.四C.也
D..叵
4444
3.。是第二象限角,且cos4=-cos4,則里是()
222
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
4..使lg(co使tan。)有意義的角6是()
A.第一象限角B.第二象限角
C.第一或第二象限角D.第一、二象限角或終邊在y軸上
5.求證:tan%—sin20=tan2Osin2。
第2課時(shí):三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
誘導(dǎo)公式:
sin(2Z;r+a)=sinasin(-a)=-sinasin(乃+a)=-sina
cos(2左乃+a)=cosacos(-a)=cosacos(1+a)=-cosa
tan(2左乃+a)=tanatan(-a)=-tanatan(%+a)=tana
sin(乃一a)=sinasin(]-a)=cosasin(]+a)=cosa
cos(^-a)=-cosa
tan(4一a)=-tanacos弓-a)=sina+a)=-sina
記憶方法:奇變偶不變,符號看象限
例:Lsin585。的值為
c,15%
2.tan---
4
練習(xí):tan-)
1
A.-C.73
2V
sin(乃-a)cos(2萬-a)
例:已知a是第三象限角,且/(a)=
sin(一乃-a)
(1)化簡/(a);
3乃1
(2)若cos(a-號)=:,求/(a)的值;
(3)若a=—1860°,求,(a)的值
練習(xí):1.若a是第三象限角,則Jl—2sin(7T—a)cos(7t—a)=
2sin(7i+^)-cos^-l_tan(9兀+。)一1
2.證明:
l-2sin26>tan(n+。)+1
誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用
例:在AABC中,若sin(2兀-A)=—>/2sin(n-p),6cosA=—5/2cos(兀-。)求AABC的三內(nèi)角
注:在AABC中常用的變形結(jié)論有:
VA+B+C=7i,2A+2B+2c=2兀,+-+—=-
2222
/.sin(A+B)=sin(7r-C)=sinC;COS(A+B)=COS(7C-C)=-COSC;
tan(A+B)=tan(7r-C)=-tanC;sin(2A+2B)=sin(27c-2C)=-sin2C;
cos(2A+2B)=COS(2TC-2C)=COS2C;tan(2A+2B)=tan(27r-2C)=-tan2C;
/B.71CCABTCCC
sin(—l——)=sin(-------)=cos—;costz—I—)=cos(-------)=sin—
2222222222
知識檢測:
19
l.sin(-一萬)的值等于()
6
11V3
A.-B.--C.也D.------
22T2
.如果為銳角,(乃+/)=-;,
2Asin那么cos(萬-A)=()
11_V3V3
A.----B.—C.D.—
222
3.下列三角函數(shù):
①sin(〃兀+”");②cos(2〃兀+巴);③sin(2m+巴);@cos[(2w+l)兀一巴];
3636
⑤sin[(2〃+1)71——](〃WZ).其中函數(shù)值與sin三的值相同的是()
33
A.①②B.①③④C.②③⑤D.①?@
4.設(shè)4、B、。是三角形的三個(gè)內(nèi)角,下列關(guān)系恒成立的是()
A.cos(4+8)=cosCB.sin(A+S)=sinCC.tan(4+8)=tanCD.sin-=sin—
22
課后練習(xí):
,“sina+cosa
1.若.2,則tana=()
2sma-cosa
c.34
A.1B.-1D.——
43
…1+sinx1,則占比的值是(
2.已知-------=一―)
cosx2sinx-1
11
A.-B.----C.2D.-2
22
3.若sin(工一a)=,TT
,則cos(一+a)等于()
7r1c.i7
A.----B.—D.
9339
A伯c;1。兀一質(zhì)cc”19兀、?4/13兀、
4.“身.sin3V2cos(4)1lan(3)—_—
「升sina+cosa
5.若.=:2,則tana=()
2sina-cosa
c.3_4
A.1B.?1D.
4~3
,「八1+sinx1L.COSX弘“□/
6.已知-------=一一,則二------的值是()
cosx2sinx-1
11
A.-B.----C.2D.-2
22
7.已知sin200,=a,則tan160°等于()
aac71-fl2yll—a2
ARD.
aa
8.tan600°的值是()
AV3B/
C.-V3D.百
33
9.已知sina=-且,且a為第四象限角,求cosa,tana的值
2
l+2sin2900cos430。
sin250°+cos790°
tan(2兀一夕)sin(—2兀一夕)cos(6兀一。)_口
11.求證:-----------------------------------------------Kan”.
cos(6-兀)sin(5ic+6)
第3課時(shí):三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)
正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):
y=sinxy-cosxy=tanx
L
yy
/TX”挈2M
1MJ.
圖象00"XYdf?T
定義
RR\xx^k7i-\——,ksZ、
域[2J
值域[-M][-M]R
■jr
當(dāng)x=2k7r+—(keZ)當(dāng)工=2k7r(k£Z)時(shí),
時(shí),Xnax=1;當(dāng)Vmax=1:當(dāng)工=2左乃+乃
最值既無最大值也無最小值
x=Ikn--(keZ)時(shí),WL」
2
(AeZ^,%in=T.
周期2424TC
性
奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)
性
_.71_.71
在24萬,2卜?!?/p>
.22
在[2左乃一乃,2左乃](左£Z)
(左eZ)上是增函數(shù);?J,7C,71:\
上是增函數(shù);在在k7r---,k兀?——
單調(diào)122)
[2%],2左乃+乃]
性,?!?7
2K7TH,2k冗H---
22.(左£Z)上是增函數(shù).
(AwZ)上是減函數(shù).
eZ)上是減函數(shù).
對稱中心對稱中心
對稱中心
(左肛0)(%GZ)(左乃+],()](左eZ)
對稱(容。)(左eZ)
性對稱軸
x-k%+言(keZ)對稱軸X=左"(左£Z)無對稱軸
例:函數(shù)丁=2cos2(x——1是()
A.最小正周期為兀的奇函數(shù)B.最小正周期為K的偶函數(shù)
TT7T
C.最小正周期為-的奇函數(shù)D.最小正周期為-的偶函數(shù)
22
例:設(shè)/(x)=sin(2x+J則/(x)的圖像的一條對稱軸的方程是()
冗冗7171
A.x=—B.x=—C.x=—D.x=—
9632
練習(xí):1.已知函數(shù)/(x)=2sin((yx+e),xwR,其中?!?,-不<夕4萬.若/(x)的最小正周期為6%,且當(dāng)
X=]7T時(shí),/(X)取得最大值,則()
A./*)在區(qū)間[-2肛0]上是增函數(shù)B./(x)在區(qū)間[-3肛-加上是增函數(shù)
C./(%)在區(qū)間[3開,5句上是減函數(shù)D./(x)在區(qū)間[4肛6句上是減函數(shù)
2.函數(shù)/(x)=x+sinx(xeR)()
A.是偶函數(shù),且在(-8,+8)上是減函數(shù)B.是偶函數(shù),且在(-8,+00)上是增函數(shù)
C.是奇函數(shù),且在(-8,+00)上是減函數(shù)D.是奇函數(shù),且在(-8,+oo)上是增函數(shù)
3.設(shè)函數(shù)/(x)=sin3x+o)+cos3x+°)[0>0,|0的最小正周期為萬,且/(-%)=/(%),
則()
A./(x)在(0彳)單調(diào)遞減B.〃x)在單調(diào)遞減
C.小)在?單調(diào)遞增D./(x)在岑)單調(diào)遞增
三角函數(shù)的五點(diǎn)法作圖及圖象變換
例:已知函數(shù)/(x)=4sin(x+奇一1.用五點(diǎn)法作出/(x)在一個(gè)周期內(nèi)
7T
練習(xí):畫出函數(shù)Xx)=4sina+@+l在一個(gè)周期內(nèi)的圖像
知識檢測:
1.函數(shù)y=cos(x+—)9xsR()
A.是奇函數(shù)B.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C.是偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
2.函數(shù)y=tan(工-x)的定義域?yàn)?)
4
A.<x\xEZ>B.<x\x2kjr--,ZreZ>C.<xkk/r+—EZ>D.<x\x2kji4--,eZ>
14]I14JI14|114J
3.設(shè)〃x)=sin2x+7,則/(x)的圖像的一條對稱軸的方程是()
7171c兀71
A.x——B.x=—C.x=—D.x=-
9632
4.y=sin(x-工)的圖象的一個(gè)對稱中心是()
4
受0
A.(%,0)B.%C.D.y,0
第4課時(shí):三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用
函數(shù)y=Zsin(&r+0)(4>0,69>0)的性質(zhì):
①振幅:A②周期:T=—③頻率:/=-=—④相位:m+9⑤初相:(p
CDT
注:函數(shù)尸/sin(cox+。)和尸/COS(COX+Q)的最小正周期為那,尸tan(cox+e)的最小正周期為春
三角函數(shù)圖象與解析式的相互轉(zhuǎn)化
例、函數(shù)作)=Zsin((ax+p)(xeR,/>0,cy>0,0〈夕令的部分圖象如圖所示,求兀0的解析式
注:根據(jù)y=/sin(s+夕)+K的圖象求其解析式的問題,主要從以下四個(gè)方面來考慮:
①4的確定:根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),即/=最高一占、一2最.四低占、、:;
②K的確定:根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),即.=最"汕”低公
③3的確定:結(jié)合圖象,先求出周期,然后由T=2(0>O)來確定3:
@(p的確定:由函數(shù)sin(5+p)+K最開始與x軸的交點(diǎn)(最靠近原點(diǎn))的橫坐標(biāo)為一'(即令cox+(p
=0,x=—確定9.
jr
練習(xí):1.已知函數(shù)外)=/sin(cox+e),xGR(其中/>0,。>0,0<9<])的圖象與x軸的交點(diǎn)中,相鄰兩
個(gè)交點(diǎn)之間的距離為去且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M號,-2),求人x)的解析式;
jr
2.已知函數(shù)/(x)=Nsin3x+°)(其中/>0,附<上)的圖象如圖所示,則函數(shù)/(x)的解析式為()
A./(x)=sin(2x---)B.f(x)=sin(2x+—)C./(x)=sin(2x+—)D.f(x)=sin(4x+—)
3636
7T
3.函數(shù)/(x)=Nsin(&x+。)(/>0,0>0]。|<-)的部分圖象如圖所示,則將y=/(x)的圖象向右平移
差TT個(gè)單位后,得到的圖象解析式為()
6
.27r.71
A.y-sin2xB.y=cos2xC.y=sin(2x+-^-)D.y—sin(2x---)
三角函數(shù)的伸縮變化
先平移后伸縮
向左(8〉0)或向右(8<0)橫坐標(biāo)伸長或縮短(切>1)、
i<
y=sinx的圖象平移|同個(gè)單位長度>得歹=sin(x+9)的圖象到原來的!(縱坐標(biāo)不變)
ZH./、八同二縱坐標(biāo)伸長a>i)或縮短(0</1)、4.、Ajg句,?句上(〃〉o)或向卜"<°)、
得y=sm(<yx+⑼的圖象為原來的X倍(橫坐標(biāo)不變)>得ply=Nsin((wx+夕)的圖象平移網(wǎng)個(gè)單位長度
得y=/sin(x+夕)+%的圖象.
先伸縮后平移
橫坐標(biāo)伸長(0<3<1)或縮短(si)、
.“,向八縱坐標(biāo)伸長”>1)或縮短.1VL;<
y=sinx的圖象為原來的4倍(橫坐標(biāo)不變)>得、=Zsmx的圖象到原來的上(縱坐標(biāo)不變)
(0
向左(0>9)或向右(e<o)向上(左>0)或向下(〃<0)、
得y=4sin(s)的圖象平移母個(gè)單位得N=Zsinx(0x+°)的圖象平移網(wǎng)個(gè)單位長度~)
co
得y=4sin(公r+/)+%的圖象
例.函數(shù)歹=sin(2x+工)的圖象可看成是把函數(shù)y二sin2x的圖象做以下平移得到()
A.向右平移工B.向左平移—C.向右平移—D.向左平移工
612126
7T
例.將函數(shù)歹=sin2x的圖象向右平移一個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為()
4
?兀2.2
K.y=sin(2x---)+1B.y=2cosxC.y=2sinxD.y=-cos2x
4
練習(xí).函數(shù)/(x)=5出(3+9)(0>0,\(p\<||的最小正周期是",若其圖像向右平移。個(gè)單位后得到的
函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)/(x)的圖像()
A.關(guān)于點(diǎn)(2,0〕對稱B.關(guān)于直線》=三對稱C.關(guān)于點(diǎn)(且,()]對稱D.關(guān)于直線x=*巴對稱
(12;12112J12
三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法
(1)準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是求復(fù)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基礎(chǔ);
(2)形如y=Asin((Dx+(p)(A>0,6>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,基本思路是把cox+(p看作一個(gè)整體,由
TTTTTT>77"
一7+2左4<CDX+(/)<—+2k/r(kGZ)求得函數(shù)的增區(qū)間,山—+2k7i<69%4-<—4-2k7i(kwZ)求
得函數(shù)的減區(qū)間。
(3)形如y=Asin(?cox+(p)(A>0,(o>0)的函數(shù),可先利用誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù),得到y(tǒng)=-Asin(cox-(p),
兀3乃
由一T+2k兀<cox-(/)<^+2k](keZ)得到函數(shù)的減區(qū)間,由]+2k冗<cox-(/)<^-^2左1(女€Z)得到
函數(shù)的增區(qū)間。
注:對于函數(shù)y=Acos((ox+(p),尸Atan?x+(p)產(chǎn)單調(diào)區(qū)間的求法與y=Asin?x+(p)的單調(diào)區(qū)間的求法相同
TT
例.(1)求函數(shù)y=sin(§-2x),乃]的單調(diào)遞減區(qū)間
TTX
(2)求夕=3tan(上一土)的周期及單調(diào)區(qū)間
64
7[
練習(xí):求函數(shù)y=sin(§-2x),.re[-n,7r]的單調(diào)遞增區(qū)間
三角函數(shù)的值域與最值
7T7T
例.函數(shù)/(x)=2“sin(2x-;)+b的定義域?yàn)?,1,函數(shù)的最大值為1,最小值為-5,求a和b的值。
注:求三角函數(shù)的值域主要有三條途徑:
(1)將sinx或cosx用所求變量y來表示,如sinx=f(y),再由|sinx|<l得到一個(gè)關(guān)于y的不等式|f(y)|Wl,
從而求得y的取值范圍;
(2)將y用sinx或cosx來表示,或配方或換元或利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式來確定y的取值范圍;
(3)利用數(shù)形結(jié)合或不等式法求解。
練習(xí):求函數(shù)y=3一c°s”的值域
2-cosx
第5課時(shí):兩角和差的三角公式及二倍角公式
兩角和差公式
sin(a±/?)=sinacosp±cosasin£
cos(a±0)=cosacos夕干sinacosp
,,c、tana±tan£
tan(6Z±6)=------------
1+tan°tan(3
巧變角:a=(a+0)_0=(a_/3)+02a=(a+4)+(a—尸)=('+a)——a)
a+4=2—Y~
二倍角公式
sin2a=2sinacosa
l-tan2?
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a=----------(z想一想,最后一個(gè)公式是怎樣得到的?)
1+tana
c2tana
tan2a=-------z-
1-tana
24
例:L已知sin2a=----a-e\-—,0,貝心出々+00$。等于()
25I4
1\7
A.----B.-cD.-
55-45
2.若tan[a+?)=g,則sina=()
D.q
3.已知sin(a-。)cosa-cos(a-(5)sina=—,那么cos20的值為)
718718
A.——B.—C.——D.——
25252525
3
練習(xí):1.已知二二<。是第二象限角,且以+尸)=1,則口〃夕的值為()
3
A.-7B.7C.--D.一
44
2.(cos---sin—)(cos—+sin—)=()
12121212
,V31八1V3
A.----B.--C.-D.—
2222
3.已知a,/?£(0,7r),tan(a-0)=g,tan£二一;,求2a-/?的值
4.已知,=(cosx,2),很=(2sinX,3),萬〃5,則sin2x—2cos2x=
例:1.設(shè)sina+sin?=L,cosa+cos^=-,求下列各式的值:
23
①cos(a-0)②cos(a+p)
2.已知tana=3,tan/?=;,并且a,/?均為銳角,求a+24的值
練習(xí):若sinA=t,sinB=*,且A,B均為鈍角,求A+B的值
知識測試:
1.已知5出“=3,且06(工,丁〕,那么包些的值等于________
5U)cos2a
2.已知tan(a+£)=3,tan(a-p)=5,則tan2a=
3.設(shè)aW(0,—),若sina=3,貝UVIcos(a+—)=
254
4已.知tan(a+尸尸I",tan(夕一?)=;,那么tan(a+=
5.sinl630-sin223°-i-sin253o-sin313o=
第6課時(shí):降第公式及輔助角公式的應(yīng)用
降嘉公式
.l-cos2a
sin-2a=------------
2
1+cos2a
cos2a=-----------
2
l-cos2cr
2tana=------------
1+cos2a
輔助角公式
asmx±bcosx=+6」sin(x±6),(其中tan0=-)
知識應(yīng)用:
一、利用降累公式化簡求值
例:1.已知cosa=-/則si成等于()
--fB乎—返返
J55
-、n_-5兀必l-cos(a-Tr)..,
2.設(shè)一3TCVQV一爹,M1則IZI化簡,----------^A的結(jié)m果R是()
a.a
A.sin|B.cogC.-co"D.—sin,
練習(xí):1.若弓弓],sin20=#^,則sin0=(
)
A3C亞D
A.5。4-1
2.已知一:貝4,;+gcos2a的值為()
aa.aa
AA.-s?m]B.cos$C.sin]Dc.—cos^
二、與三角函數(shù)的性質(zhì)的結(jié)合
例:1.某同學(xué)研究sinx+cosx時(shí);得到如下結(jié)果:
①sinx+cosx=V2sin(x+—);②sinx+cosx=V2sin(x--);
44
③sinx+cosx=V2cos(x+~);④sinx+cosx=V2cos(x--).
44
其中正確的個(gè)數(shù)有()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
2.函數(shù)/(x)=cos2x-2V5sinxcosx的最小正周期是
練習(xí):關(guān)于函數(shù)/(x)=sin2x—cos2x,有下列命題:
①函數(shù)y=/(x)的周期為兀;
②直線x=今是),=/(x)的圖象的一條對稱軸:
③點(diǎn)(2,0)是y=/(x)的圖象的一個(gè)對稱中心;
④將y=/(x)的圖象向左平移;個(gè)單位,可得到y(tǒng)=^sin2x的圖象.
其中真命題的序號是
2.設(shè)a=sin140+cos14°,A=sin16°+cosl6°,c=,則a,b,c大小關(guān)系()
A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b
知識測試:
1.函數(shù)/(x)=cos2x+2sinx的最小值和最大值分別為()
33
A.—3,1B.—2,2C.—3,—D.—2,一
22
2.已知鈍角a滿足cosa=-白,貝ijsin^等于()
32
3.函數(shù)/(xhcos?x+sinxcosx的最大值是()
3J2+11+272
A.2B,2C.-^—D.—
4.函數(shù)y=sinxcosx+JJcos?x—的圖象的一個(gè)對稱中心是()
D.(§,一6)
5.函數(shù)y=sin'+Gcos'的圖像的一條對稱軸方程是()
22
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