高等數(shù)學(xué)經(jīng)典考試試題及參考答案

高等數(shù)學(xué)

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名__________得分

一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共18分)

1.lim°=[]

母，孫+1T

(A)0(B)1(C)2(D)8

2.若函數(shù)z=/(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則曲面z=/(x,y)在點(diǎn)(x,y,f(x,y))處的切平面

的法向量為【】

(A)(力/,一1)(B)(A，4，1)(C)(/v,/y,0)(D)(-l""v)

3.設(shè)。是由y=f與y=8—V所圍成的閉區(qū)域，則JJx/dxdy=[

D

聞jjdG/dy(B)20dJ；"xy2dy

2

(C)j(-dxj8'_f2xydy(D)0

4.已知/(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則lim」yff

/(x,y)dxdy=【

"°兀P&

(A)0(B)/(0,0)(C)8(D)1

5.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，Z乙發(fā)散，則Z(”“+匕,)【I

n=lM=1〃=1

(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對(duì)收斂(D)斂散性不確定

6.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是【】

1、門”R2〃-IYe,八“〃+

(A)E-1H0+-)(B)?E—(D)E(->)—

二、填空題(每小題3分，共18分)

7.設(shè)z=(x+y)(x-2y),則dz|(2』=.

8.改換二次積分的積分次序，得J；dxJ：/(x,y)dy=.

9.jjj(x2+/+z2)dv=.

222人

片+y+zWl

10.設(shè)L是圓周V+y2=i的逆時(shí)針?lè)较颍瑒t由(2xy+y)dx+，+3x)dy=

11.設(shè)L是連接(0,1)及(1,0)兩點(diǎn)的直線段，則Jjx+y)ds=.

12.將/(尤)=arctanx展開為x的基級(jí)數(shù)，得/(尤)=,

且［2007)(。)=

三、計(jì)算與應(yīng)用題(每小題6分，共54分)

13.設(shè)u-f(x,y,z)-X2-y2+z,求：⑴點(diǎn)(1,1,1)處的梯度grad/(1,1,1)；

⑵點(diǎn)(1,1,1)處沿方向7=(3,0,4)的方向?qū)?shù).

d2z

14.設(shè)z=f(xy,x2+y2),其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

dx2

15.在曲面肛z=l的第一卦限部分上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最短.

16.計(jì)算J[cos(x+y2)+2)[dx+[2ycos(x+y2)+2x]dy,其中L：y=sinx從尤=0

L

到X-7C.

17.求JJzdS,其中Z是錐面z=J7+y2含在柱面(》一1)2+；/=1內(nèi)部的部分.

18.求幕級(jí)數(shù)V—%"的收斂域.

￡〃+i

19.將函數(shù)/(x)=x(0<x<^)展開為正弦級(jí)數(shù).

20.求JJ(2犬+z)dydz+zdxdy,其中Z是曲面z=x2+y2(OWzWl)的上側(cè)

21.計(jì)算||max{x2,y}dxdy,其中D：-1<X<1,0<y<2.

四、證明題（每小題5分，共10分）

22.設(shè)x-2z=/（3y—2z）,其中，是可導(dǎo)函數(shù)，證明：6①+2姓=3.

dxdy

23.設(shè)級(jí)數(shù)“條件收斂，且1加殳旦=/（/是常數(shù)），指出|/|的值，并證明

.〃一＞8

〃=111

你的結(jié)論.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共18分）

1.C2.A3.D4.B5.A6.A

二、填空題(每小題3分，共18分)

7.3dx-6dy8.jjdyj*/(x,y)dx9.手

10,2〃11.y/212.2n+l,-2006!

En=02n+i'

三、計(jì)算與應(yīng)用題（每小題6分，共54分）

13.(1)grad/(l,1,1)=(2,-2,1)；(2)2

力27

14.—=y//+『=+

oxdx~

15.令F=x1+y~+z1+A(xyz-1)

F：=0

F；=0

<得x-y=z-1,所求點(diǎn)為(1,1,1)

F；=0

xyz-1

16.與路徑無(wú)關(guān)

17.原式=&JJJx2+y2dxdy=&jZdeJ："、'p2d0

18.p=limM-?巴?=2,收斂半徑R=L

…”+22，i2

當(dāng)*=士時(shí)，原級(jí)數(shù)為y---,發(fā)散

2七2(〃+1)

當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為￡(-1)"

x=-J收斂

2n=\2(〃+1)

故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?）

22

19.將/*）奇延拓、周期延拓，使延拓后的函數(shù)是（-8,+8）上以7=2〃為周期的奇函數(shù)

2.力.(-1)向

b=—\f(x)sinnxdx=2?

萬(wàn)Jon

/(幻=①(嚴(yán)

2Tsinnx(0<x<^)

〃=1〃

20.設(shè)J：z=l(x2+y2<1)上側(cè)

L(2x+z)dydz+zdxdy+L(2x+z)dydz+zdxdy

=JJL3dv=3j：d可卜比pdz=]

￡(2x+z)dydz+zdxdy=〃

r1

:?JJ2x+z)dydz+zdxdy=—7T

21.Jjmax{J?,y}d九dy=x?dx+yd%=—

D10i-v5

22Hz=