第一節(jié)向量及其線性運算

第一節(jié)向量及其線性運算一問題的提出四空間直角坐標(biāo)系六小結(jié)與思考判斷題二向量的概念三向量的線性運算五利用坐標(biāo)作向量的線性運算5/12/20241一問題的提出

在平面解析幾何中，我們曾經(jīng)用代數(shù)的方法來解決集合問題，空間解析幾何也是按照類似的方法建立起來的。和解決平面問題相仿，我們先是給出空間直角坐標(biāo)系的定義，接著給出空間中任意一點的坐標(biāo)表示。和平面上任意兩點間的距離相仿我們給出空間中任意兩點間的距離公式。5/12/20242

向量是我們解決空間解析幾何問題的一個重要工具，同時向量的方法也是力學(xué)，物理學(xué)以及其他應(yīng)用學(xué)科的一個好的方法。在這一節(jié)，我們在引入向量概念的基礎(chǔ)上，給出向量的加減數(shù)乘的概念。同時要會應(yīng)用向量來解決空間幾何中的問題。大家需要注意的是，向量的方法是我們解決以后問題的一個重要的方法。5/12/20243向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量（它的方向是任意的）.||向量的模：向量的大?。ㄩL度）.單位向量：二向量(Vector)的概念或或或5/12/20244自由向量：不考慮起點位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點

與原點構(gòu)成的向量.

∥5/12/202451加法(Addition)：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向三向量的線性運算（OperationsofVectors)5/12/20246向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：2減法(Subtraction)5/12/20247(MultiplicationbyNumbers)3向量與數(shù)的乘法5/12/20248數(shù)與向量的乘積符合下列運算律（1）結(jié)合律：（2）分配律：（3）分配律：向量相加及數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性運算.5/12/20249按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量.5/12/202410我們用數(shù)乘向量來說明兩個向量的平行關(guān)系：證條件的充分性顯然；下證必要性‖5/12/202411兩式相減，得5/12/202412例1化簡解5/12/202413平行四邊形的對角線互相平分解5/12/202414橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.四空間直角坐標(biāo)系5/12/202415Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ5/12/202416空間的點有序數(shù)組特殊點的表示:坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)面上的點5/12/202417軸X上點P軸Y上點P軸Z上點P5/12/202418空間的點M向量的坐標(biāo)式5/12/202419空間兩點間的距離5/12/202420空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為5/12/202421五利用坐標(biāo)作向量的線性運算利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算5/12/202422解設(shè)為直線上的點，5/12/202423由題意知：5/12/202424六向量的模、方向角、投影5/12/2024255/12/202426解原結(jié)論成立.5/12/202427解設(shè)P點坐標(biāo)為所求點為5/12/202428空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.2向量的方向角與方向余弦5/12/202429向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.5/12/202430當(dāng)時，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式5/12/202431方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為5/12/202432解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向或5/12/202433解5/12/2024345/12/202435空間一點在軸上的投影5/12/2024363向量在軸上的投影5/12/202437空間一向量在軸上的投影5/12/202438關(guān)于向量的投影定理（1）證5/12/202439關(guān)于向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）5/12/202440證于是5/12/202441解5/12/202442向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘向量的方向）向量在