高等數(shù)學(xué)下考試題庫附答案

《高等數(shù)學(xué)》試卷1（下）

一.選擇題（3分x10）

1.點(diǎn)M(2,3,1)到點(diǎn)M2(2,7,4)的距離|叫心|=().

A.3B.4C.5D.6

2向.量M=_：+2/+&B=2：+/,則有().

A.aIIbB.aLb=(=?

3.函數(shù)y=j2—%2—y2+1的定義域是().

ylx2+y2—1

A.{(%,寸<x2+y2<2\B.{(x,y|l<x2+y2<2)}

C.{(x,yjl<x2+y2<2]D{(%,yjl<x2+y2<2]

4.兩個(gè)向量。與很垂直的充要條件是().

A.a-b=0B.axb=0C.a-b=0D.a+b=0

5.函數(shù)Z=X3+/一3町的極小值是().

A.2B.-2C.lD.-l

6.設(shè)z=xsiny,).

V272

A.——B.--------D.-

22

00]

7.若P級(jí)數(shù)〉：一T收斂,則（）

n-l〃

A.p<1B.p<1C.P>1D./?>1

81”

8.薛級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?).

n=l幾

A.[―1,1]1,1)C.[―1,1)D.(-1,1]

9.惠級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)是().

1221

A.------B.-------C.------D.-------

1—x2—x1—x2—x

io.微分方程盯'—ylny=。的通解為（）.

A.y=cexB.y=exC.y=cxexD.y=ecx

二.填空題（4分義5）

1.一平面過點(diǎn)A（0,0,3）且垂直于直線A6,其中點(diǎn)則此平面方程為.

2.函數(shù)z=sin（xy）的全微分是.

3.設(shè)z=x3y2-3xy3-xy+1,則---=______________

dxdy

4.3的麥克勞林級(jí)數(shù)是.

三.計(jì)算題（5分義6）

.上SzSz

1.設(shè)z=uesinv,而〃=個(gè)#=%+丁，求——,——.

..dxdy

2.已知隱函數(shù)z=z（x,y）由方程——2y2+z2—4x+2z—5=0確定，求丁，二.

dxdy

3.計(jì)算JJsin+y2db,其中O：+y2<4^2.

D

4.求兩個(gè)半徑相等的直交圓柱面所圍成的立體的體積（R為半徑）.

四.應(yīng)用題（10分X2）

1.要用鐵板做一個(gè)體積為2加的有蓋長方體水箱，問長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最省？

試卷1參考答案

一.選擇題CBCADACCBD

二.填空題

1.2%—y—2z+6-0.

2.cos（個(gè)XJYZX+九辦）.

3.6x2y-9y2-1.

n=0乙

2X

5.y=（Q+C2X>-.

三.計(jì)算題

1.—=exy[ysin（x+y）+cos（x+y）],玄=*[xsin（x+y）+cos（x+y）].

dxdy

dz_2-xdz_2y

2.——--,——---.

dxz+1dyz+1

3.J。d（p^sin/7-pdp=-6/r.

16?3

4.-K.

3

l八3%

5.y=e-2ex.

四.應(yīng)用題

1.長、寬、高均為血根時(shí)，用料最省.

12

2.y=—x.

3

《高數(shù)》試卷2（下）

一.選擇題（3分X10）

1.點(diǎn)降（4,3,1）,加2（7,1,2）的距離1MM2]=（）.

A.V12B.V13C.V14D.V15

2.設(shè)兩平面方程分別為x—2y+2z+1=。和一％+y+5=。，則兩平面的夾角為（）.

717171Tl

A.—B.—C.—D.—

6432

3.函數(shù)z=arcsinQ^+/）的定義域?yàn)椋ǎ?

A.｛（%,<x2+y2<1｝B.｛（x,</+,2<i）

C.<（x,y）0<x2+y2<^>D.<（%,y）0<x2+y2<^>

4.點(diǎn)/）（一1,一2,1）到平面%+2y一22—5=0的距離為（）.

A.3B.4C.5D.6

5.函數(shù)z=2孫一31-2儼的極大值為（）

A.0B.lC.-l

99dzI

6.設(shè)z=%+3xy+y，則——2)=).

ex1

A.6B.7C.8D.9

00

7.若幾何級(jí)數(shù)X。，'是收斂的，則().

n-0

A.r<1B.r>1C.|r|<1D.|r|<1

00

8孱級(jí)數(shù)X（〃+l*的收斂域?yàn)椋ǎ?

〃=0

A.[-1,1]C.(-U]D.(-1,1)

e,￡1sin〃〃口/、

9.級(jí)數(shù)t/Z—「是().

n-\"

A.條件收斂B.絕對(duì)收斂C.發(fā)散D.不能確定

二.填空題（4分X5）

x=3+t

1.直線/過點(diǎn)A（2,2,—1）且與直線<>=/平行，則直線/的方程為.

z-l-2t

2.函數(shù)z=e孫的全微分為.

3.曲面z=2—-4y2在點(diǎn)(2,L4)處的切平面方程為.

三.計(jì)算題(5分X6)

1.設(shè)N=i+2j-k,b=2j+3k,求NxB.

2Kdzdz

2.<z=2uv-uv,而z/=xcosy,v=xsiny,求——,——.

dxdy

8zdz

3.已知隱函數(shù)z=z(x,y)由x3+3xyz=2確定，求丁,二.

oxdy

4.如圖，求球面/+/+z?=4］與圓柱面/+V=2?（?！?）所圍的幾何體的體積.

四.應(yīng)用題（10分X2）

1.試用二重積分計(jì)算由y==2?和1=4所圍圖形的面積.

試卷2參考答案

一.選擇題CBABACCDBA.

二.填空題

x—2y—2z+1

1.--------=--------=--------.

112

2.exy{ydx+xdy）.

3.8x-8y-z=4.

00

立(-1)?.

n-0

3

5.y=%.

三.計(jì)算題

1.8f-3j+2^.

2.—=3x2sinjcosj(cosj-sinj),—=-2x3sinjcosy(siny+cosy)+x3(sin3j+cos3y).

dxdy

dz—yzdz-xz

3.-―=2，c_

oxxy+zdyxy+z2

323712

4.——a

3~2~3

G"2X+x

5.y=C2e~.

四.應(yīng)用題

16

1.—

3

1,

2.x=--gt-+VQt+XQ.

《高等數(shù)學(xué)》試卷3(下)

一、選擇題（本題共10小題，每題3分，共30分）

2、設(shè)a=i+2j-k,b=2j+3k,則a與b的向量積為（）

A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k

3、點(diǎn)P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距離為（）

A、2B、3C、4D、5

71

4、函數(shù)z=xsiny在點(diǎn)（1,—）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別為（)

72V2V27272416

A、B、C、D、

22222222

c^z

5、設(shè)x2+y2+z2=2Rx,則丁，丁分別為()

oxoy

x-Ryx-Ryx—Rx—R

A、B、C、2D、2

zzZZzZzZ

6^設(shè)圓心在原點(diǎn)，半徑為R,面密度為〃=/+儼的薄板的質(zhì)量為（)(面積A=;rf?2)

1

A、R2AB、2R2AC、3R2AD、-R29A

2

8Xn

7、級(jí)數(shù)￡（-1）”—的收斂半徑為（)

?=in

A、2B、C、1D、3

2

8、cosx的麥克勞林級(jí)數(shù)為（）

002n002n002n002n-l

xxxJi

A、E(-1)"-------B、E(-1)"C、Z(-D"D、E(-1)"

M=0(2〃)！n-l(2〃)!n-0(2〃)!n-0(2n-l)!

二、填空題（本題共5小題，每題4分,共20分）

1、直線Li：X=y二z與直線L2：—一I=2+3=Z的夾角為.

2-1

直線Ls:—=正2=三與平面3x+2y—6z=0之間的夾角為___________

2-12'

2、(0.98)2。3的近似值為,sinl0。的近似值為。

3、二重積分+y2<1的值為。

D

oooon

4、嘉級(jí)數(shù)之"!x"的收斂半徑為,之一的收斂半徑為0

”=0n=0”■

三、計(jì)算題(本題共6小題，每小題5分，共30分)

2、求曲線在點(diǎn)(1,1,1)處的切線及法平面方程.

3、計(jì)算孫ds其中。由直線y=l,x=2及y=x圍成.

D

001

4、問級(jí)數(shù)￡(-l)"sin—收斂嗎,若收斂，則是條件收斂還是絕對(duì)收斂?

n=l〃

5、將函數(shù)f(x)=e3x展成麥克勞林級(jí)數(shù)

四、應(yīng)用題(本題共2小題，每題10分，共20分)

1、求表面積為a?而體積最大的長方體體積。

一、選擇題

1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B

10,A

二、填空題

28

1、"COS—；=,arcsin——2、0.96,0.17365

V1821

3、A4、0,+00

-1

5、y=ce-,ex=1---

y

三、計(jì)算題

2、解：0^7x=t,7=^,7=?,

2

所以xt=l,yt=2t,zt=3t,

所以Xt|t=i=l,YtIt=i~2,zt|t=i=3

故切線方程為：~T~=^~=~T~

123

法平面方程為：(x-1)+2(y-l)+3(z-l)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因?yàn)镈由直線y=l,x=2,y=x圍成,

所以

D:A<y<2

Y

ik.xydcr=xydx\dy=1(2y-^-)dy=11

Dy2X

4、解：這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因?yàn)?/p>

=sin—)0,所以，14?+1〈V〃，且limsin』=0,所以該級(jí)數(shù)為萊布尼耀^級(jí)數(shù)，故收斂。

nn

.11CO1

Sm

.1工將”什.rn[p依米代士發(fā)散，從而發(fā)散。

又2$111—當(dāng)天趨于0時(shí),$111%~苞所以,hm---=1,又級(jí)數(shù)念〃5

n

所以，原級(jí)數(shù)條件收斂

ew=1+x+—%2+—x3H------xn-\—

、解：因?yàn)?!3!nl

xe(-oo,+oo)

用2x代x,得：

=1+(2%)+:(2x)2+^(2x)3+…+：(2%)〃+???

0203r\n

=1+2%+——x+——x+???+——x+?一

2!3!nl

xe(-oo,+oo)

四、應(yīng)用題

1、解：設(shè)長方體的三棱長分別為X,y,z

則2(xy+yz+zx)=a2

構(gòu)造輔助函數(shù)

F(x,y,z)=xyz+A(2xy+2yz+2zx—a2)

求其對(duì)x,y,z的偏導(dǎo)，并使之為0,得：

Lyz+22(y+z)=0

Yxz+2A(x+z)=0

jXy+2X(x+y)=0

與2(xy+yz+zx)-a2=0聯(lián)立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y二z

2

代入2(xy+yz+zx)-a=0得x二y二z二血a

6

所以，表面積為*而體積最大的長方體的體積為V==F7-

36

2、解：據(jù)題意

dM

---二-AM

dt

其中外0為常數(shù)

初始條件”|,=0=般0

對(duì)于也=—,式

dt

dM一

---二—Aut

M

兩端積分得InM=-At+lnC

所以，A/=ce~At

又因?yàn)椤皘/=0=A/。

所以，M0=C

所以，M=M°e一〃

由此可知，鈾的衰變規(guī)律為：鈾的含量隨時(shí)間的增所按指數(shù)規(guī)律衰減

《高數(shù)》試卷4(下)

—.選擇題：3'xlO=3O'

1.下列平面中過點(diǎn)(1,1,1)的平面是.

(A)x+y+z=Q(B)x+y+z=1(C)x=l(D)x=3

2.在空間直角坐標(biāo)系中，方程N(yùn)+y2=2表示.

(A)圓(B)圓域(C)球面(D)圓柱面

3.二元函數(shù)z=(l-x)2+(l-y)2的駐點(diǎn)是.

(A)(0,0)(B)(0,1)(C)(1,0)(D)(1,1)

4.二重積分的積分區(qū)域。是14/+儼44,則.

D

(A)71(B)4萬(C)3萬(D)15萬

5.交換積分次序后分=

(A)(B)]＞。(內(nèi))公(c)(D)岸可"(x,y)dx

6.〃階行列式中所有元素都是1,其值是

(A)n(B)0(C)n!(D)1

8.下列級(jí)數(shù)收斂的是

8nooan00

(A)(B)E—(C)E

干Fn=l乙n=ln

9.正項(xiàng)級(jí)數(shù)和X%滿足關(guān)系式""4%，則

n=ln=l

0000

(A)若E詼?zhǔn)諗?則收斂(B)若W?"收斂，則X”"收斂

n=\n=\n=ln=\

00000000

若發(fā)散，則發(fā)散(D)若收斂，則Ev?發(fā)散

n=\n=ln=ln=l

2

10.已知：—^―=1+X+X+???,則一^―-的嘉級(jí)數(shù)展開式為

1-X1+X2

(A)1+X2+A4H----(B)-1+X2—X4H----(C)-1-X2—X4(D)1—x2+x4----

二.填空題：4'x5=20'

1.數(shù)z=yjx2+-1+ln(2-x2-y2)的定義域?yàn)?/p>

2.若f(.x,y)=xy,則/(—,1)=

X

3.

已知(沏,％)是f{x,y)的駐點(diǎn)，若A(Xo,%)=3,fyy(x0,%)=12,f"y(Xo，yo)=a則

當(dāng)時(shí)，(沏,用)一定是極小點(diǎn).

00

5.級(jí)數(shù)收斂的必要條件是.

n=l

三.計(jì)算題（一）：6'x5=3（X

1.已知：z=爐，求：—,—.

dxdy

2.計(jì)算二重積分,其中。={（%,?。﹟。4yWJ4—N％42}.

((12-3、

3.已知：XB=A,其中/=12T,5=012,求未知矩陣X.

(2OU[oo1,

8Yn

4.求得級(jí)數(shù)—的收斂區(qū)間.

?=1n

5,求/（x）=e-x的麥克勞林展開式（需指出收斂區(qū)間）.

四,計(jì)算題（二）：10'x2=2（y

1.求平面X—2y+z=2和2x+y—z=4：的交線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

參考答案

一.1.C;2.D;3.D;4.D;5.A;6.B;7.B;8.C;9.B;10.D.

22

二.1.{(x,y)11<x+y<2)2.—3.-6<a<64.275.limun=Q

Xn->co

四.1.解：一=yxki—=xy\ny

dxdy

2,解：JJ，4一%2加二jd4-x2dy=J：(4-N)dx=4x-—二;

D3J。3

fl-27/、

向、?n。2、

3.解：5-1=01-2.

12-415)

lo01J')

4.解：H=L當(dāng)|x|〈1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)X=1時(shí)，得收斂,

n=i〃

8(-]\2n-l8-1

當(dāng)x=—l時(shí)，得一=Z一發(fā)散，所以收斂區(qū)間為(T』.

n=l〃n=l〃

H無〃巴(-x\n00

5.解：.因?yàn)閑*=2-X￡(TO,+oo),所以e~x-Z-------=￡-----—xnxG(ro,4<)o).

n=04n-0加n=04

i,/k

四.1.解：.求直線的方向向量：§二1-21=f+3]+5E,求點(diǎn):令z=0,#y=0,x=2,即交點(diǎn)為(2,0.0),所以

21-1

x-2z

交線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

135

《高數(shù)》試卷5（下）

一、選擇題（3分/題）

1、已知〃=，+/,否=一1，則axB=（）

A0Bi~jCi+jD—z+j

2、空間直角坐標(biāo)系中/+/=1表示（）

A圓B圓面C圓柱面D球面

3、二元函數(shù)2=絲現(xiàn)在（0,0）點(diǎn)處的極限是（）

A1B0CooD不存在

4、交換積分次序后Jdxf=（）

o

1

Bf（x,y）dx

0X

1I1

xx

Cx,y)dxDj^Jo'f（>y^

y

o0

5、二重積分的積分區(qū)域D是W+H4l,則（）

D

A2