統(tǒng)考版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章10.9離散型隨機(jī)變量的均值與方差課時(shí)作業(yè)理含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時(shí)作業(yè)65離散型隨機(jī)變量的均值與方差〖基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)〗1．〖2021·開封市高三模擬試卷〗某大學(xué)為了調(diào)查該校學(xué)生性別與身高(單位：厘米)的關(guān)系，對(duì)該校1000名學(xué)生按照10:1的比例進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到身高頻數(shù)分布表如下：男生身高頻數(shù)分布表男生身高/厘米〖160，165)〖165，170)〖170，175)〖175，180)〖180，185)〖185，190〗頻數(shù)710191842女生身高頻數(shù)分布表女生身高/厘米〖150，155)〖155，160)〖160，165)〖165，170)〖170，175)〖175，180〗頻數(shù)31015633(1)估計(jì)這1000名學(xué)生中女生的人數(shù)；(2)估計(jì)這1000名學(xué)生的身高在〖170,190〗的概率；(3)在樣本中，從身高在〖170,180〗的女生中任取3名進(jìn)行調(diào)查，設(shè)X表示所選3名學(xué)生中身高在〖170,175)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．〖2021·洛陽市尖子生第一次聯(lián)考〗“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗.2021年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)量檢測(cè)部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，所得頻率分布直方圖如圖：(1)求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．(2)(ⅰ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，利用該正態(tài)分布，求Z落在(14.55,38.45〗內(nèi)的概率；(ⅱ)將頻率視為概率，若某人從該市某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30〗內(nèi)的包數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差σ＝eq\r(142.75)≈11.95.若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545.

3.〖2021·廣州市調(diào)研檢測(cè)〗某城市A公司外賣配送員底薪是每月1800元/人，設(shè)每月每人配送的單數(shù)為X，若X∈〖1,300〗，配送員每單提成3元；若X∈(300,600〗，配送員每單提成4元；若X∈(600，＋∞)，配送員每單提成4.5元．B公司外賣配送員底薪是每月2100元/人，設(shè)每月每人配送的單數(shù)為Y，若Y∈〖1,400〗，配送員每單提成3元；若Y∈(400，＋∞)，配送員每單提成4元．小王計(jì)劃在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機(jī)調(diào)查了A公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在9月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1：A公司外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量x/單131416171820天數(shù)2612622表2：B公司外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量y/單111314151618天數(shù)4512351(1)設(shè)A公司外賣配送員月工資為f(X)(單位：元/人)，B公司外賣配送員月工資為g(Y)(單位：元/人)，當(dāng)X＝Y(jié)且X，Y∈(300,600〗時(shí)，比較f(X)與g(Y)的大小．(2)若將甲、乙9月份的日送餐量的頻率視為對(duì)應(yīng)公司日送餐量的概率，(ⅰ)分別計(jì)算外賣配送員甲和乙每日送餐量的數(shù)學(xué)期望；(ⅱ)請(qǐng)利用你所學(xué)的知識(shí)為小王作出選擇，并說明理由．4．〖2021·安徽示范高中名校聯(lián)考〗某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)G有3個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能否正常工作的概率均為eq\f(1,2)，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立．若系統(tǒng)G中有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費(fèi)用為500元．(1)求系統(tǒng)G不需要維修的概率；(2)該電子產(chǎn)品共由3個(gè)系統(tǒng)G組成，設(shè)ξ為該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的費(fèi)用，求ξ的分布列與期望；(3)為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加2個(gè)功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個(gè)新元件正常工作的概率均為p，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)G可以正常工作，問：p滿足什么條件時(shí)，可以提高整個(gè)系統(tǒng)G的正常工作概率？5.〖2021·廣東四校聯(lián)考〗某地有種特產(chǎn)水果很受當(dāng)?shù)乩习傩諝g迎，但該種特產(chǎn)水果只能在9月份銷售，且該種特產(chǎn)水果當(dāng)天食用口感最好，隔天食用口感較差．某超市每年9月份都銷售該種特產(chǎn)水果，每天計(jì)劃進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每千克8元，銷售價(jià)每千克12元，當(dāng)天未賣出的水果則轉(zhuǎn)賣給水果罐頭廠，但每千克只能賣到5元．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)?shù)刈罡邭鉁?單位：℃)有一定關(guān)系．若最高氣溫不低于30，則需求量為5000千克；若最高氣溫位于〖25,30)，則需求量為3500千克；若最高氣溫低于25，則需求量為2000千克．為了制訂今年9月份訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年9月份的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫〖15,20)〖20,25)〖25,30)〖30,35)〖35,40)天數(shù)414362115以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)求今年9月份這種特產(chǎn)水果一天需求量X(單位：千克)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)9月份一天銷售這種特產(chǎn)水果的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)9月份這種特產(chǎn)水果一天的進(jìn)貨量n(單位：千克)為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為多少？6．〖2021·山東棗莊、滕州聯(lián)考〗2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商積極準(zhǔn)備投入到“魅力城市”的建設(shè)之中．某投資公司準(zhǔn)備在2018年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)之中．項(xiàng)目一：天坑院是黃土高原地域獨(dú)具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實(shí)物見證．現(xiàn)準(zhǔn)備投資建設(shè)20個(gè)天坑院，每個(gè)天坑院投資0.2百萬元，假設(shè)每個(gè)天坑院是否盈利是相互獨(dú)立的，據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，到2020年底每個(gè)天坑院盈利的概率為p(0<p<1)，若盈利則盈利投資額的40%，否則盈利額為0.項(xiàng)目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到2020年底可能盈利投資額的50%，也可能虧損投資額的30%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為p和1－p.(1)若投資項(xiàng)目一，記X1為盈利的天坑院的個(gè)數(shù)，求E(X1)(用p表示)；(2)若投資項(xiàng)目二，記投資項(xiàng)目二的盈利為X2百萬元，求E(X2)(用p表示)；(3)在(1)(2)兩個(gè)條件下，針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)項(xiàng)目，并說明理由．〖能力挑戰(zhàn)〗7．〖2021·湖南省長(zhǎng)沙市高三調(diào)研試題〗插花是一種高雅的審美藝術(shù)，是表現(xiàn)植物自然美的一種造型藝術(shù)，與建筑、盆景、造園等藝術(shù)形式相似，是最優(yōu)美的空間造型藝術(shù)之一．為了通過插花藝術(shù)激發(fā)學(xué)生對(duì)美的追求，增添生活樂趣，提高學(xué)生保護(hù)環(huán)境的意識(shí)，增加團(tuán)隊(duì)凝聚力，某高校舉辦了以“魅力校園、花香溢校園”為主題的校園插花比賽．比賽按照百分制的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)委由10名專業(yè)教師、10名非專業(yè)教師以及20名學(xué)生會(huì)代表組成，各參賽小組的最后得分為評(píng)委所打分?jǐn)?shù)的平均分．比賽結(jié)束后，得到甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，如下所示：分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)〖72,76)1〖76,80)5〖80,84)12〖84,88)14〖88,92)4〖92,96)3〖96,100〗1定義評(píng)委對(duì)插花作品的“觀賞值”如下所示．分?jǐn)?shù)區(qū)間〖72,84)〖84,92)〖92,100〗觀賞值123(1)估計(jì)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù))；(2)從40位評(píng)委中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)其對(duì)乙組插花作品的“觀賞值”比對(duì)甲組插花作品的“觀賞值”高的概率；(3)若該校擬從甲、乙兩組插花作品中選出一個(gè)用于展覽，從這兩組插花作品的最后得分來看該校會(huì)選哪一組？請(qǐng)說明理由(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．課時(shí)作業(yè)651．〖解析〗(1)樣本中男生為60名，女生為40名．估計(jì)這1000名學(xué)生中女生的人數(shù)是1000×eq\f(40,40＋60)＝400.(2)由題中表知樣本中身高在〖170,190〗的人數(shù)為19＋18＋4＋2＋3＋3＝49，樣本容量是100，∴樣本中身高在〖170,190〗的頻率為eq\f(49,100).∴估計(jì)這1000名學(xué)生的身高在〖170,190〗的概率為0.49.(3)依題意，X的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20).∴X的分布列為X0123Peq\f(1,20)eq\f(9,20)eq\f(9,20)eq\f(1,20)∴E(X)＝0×eq\f(1,20)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(1,20)＝eq\f(3,2).2．〖解析〗(1)所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為x＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)(ⅰ)∵Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，∴P(14.55<Z≤38.45)＝P(26.5－11.95<Z≤26.5＋11.95)≈0.6827，∴Z落在(14.55,38.45〗內(nèi)的概率是0.6827.(ⅱ)根據(jù)題意得X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,16)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,4)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,8)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,4)；P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,16).∴X的分布列為X01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)∴E(X)＝4×eq\f(1,2)＝2.3．〖解析〗(1)因?yàn)閄＝Y(jié)且X，Y∈(300,600〗，所以g(X)＝g(Y)，當(dāng)X∈(300,400〗時(shí)，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300>0.當(dāng)X∈(400,600〗時(shí)，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300<0.故當(dāng)X∈(300,400〗時(shí)，f(x)>g(X)，當(dāng)X∈(400,600〗時(shí)，f(X)<g(X)．(2)(ⅰ)日送餐量x的分布列為：x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)則E(x)＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16.日送餐量y的分布列為：y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)則E(y)＝11×eq\f(2,15)＋13×eq\f(1,6)＋14×eq\f(2,5)＋15×eq\f(1,10)＋16×eq\f(1,6)＋18×eq\f(1,30)＝14.(ⅱ)E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600〗，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)．估計(jì)A公司外賣配送員月薪平均為1800＋4E(X)＝3720(元)．估計(jì)B公司外賣配送員月薪平均為2100＋4E(Y)＝3780(元)．因?yàn)?780>3720，所以小王應(yīng)選擇做B公司外賣配送員．4．〖解析〗(1)系統(tǒng)G不需要維修的概率為Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,2).(2)設(shè)X為維修的系統(tǒng)個(gè)數(shù)，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))，且ξ＝500X，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－k，k＝0,1,2,3.所以ξ的分布列為ξ050010001500Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)所以ξ的期望為E(ξ)＝500×3×eq\f(1,2)＝750.(3)當(dāng)系統(tǒng)G有5個(gè)電子元件時(shí)，原來3個(gè)電子元件中至少有1個(gè)正常工作，系統(tǒng)G才正常工作．若原來3個(gè)電子元件中有1個(gè)正常工作，同時(shí)新增的2個(gè)電子元件必須都正常工作，則概率為Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×p2＝eq\f(3,8)p2；若原來3個(gè)電子元件中有2個(gè)正常工作，同時(shí)新增的2個(gè)電子元件至少有1個(gè)正常工作，則概率為Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,2)×Ceq\o\al(1,2)×p×(1－p)＋Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,2)×p2＝eq\f(3,8)(2p－p2)；若原來3個(gè)電子元件都正常工作，則不管新增2個(gè)電子元件能否正常工作，系統(tǒng)G均能正常工作，則概率為Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,8).所以新增2個(gè)電子元件后系統(tǒng)G能正常工作的概率為eq\f(3,8)p2＋eq\f(3,8)(2p－p2)＋eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)p＋eq\f(1,8)，于是由eq\f(3,4)p＋eq\f(1,8)－eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)(2p－1)知，當(dāng)2p－1>0，即eq\f(1,2)<p<1時(shí)，可以提高整個(gè)系統(tǒng)G的正常工作概率．5．〖解析〗(1)今年9月份這種特產(chǎn)水果一天的需求量X的可能取值為2000,3500，5000，P(X＝2000)＝eq\f(4＋14,90)＝eq\f(1,5)，P(X＝3500)＝eq\f(36,90)＝eq\f(2,5)，P(X＝5000)＝eq\f(21＋15,90)＝eq\f(2,5).于是X的分布列為X200035005000Peq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(2,5)X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝2000×eq\f(1,5)＋3500×eq\f(2,5)＋5000×eq\f(2,5)＝3800.(2)由題意知，這種特產(chǎn)水果一天的需求量至多為5000千克，至少為2000千克，因此只需要考慮2000≤n≤5000.當(dāng)3500≤n≤5000時(shí)，若最高氣溫不低于30，則Y＝4n；若最高氣溫位于〖25,30)，則Y＝3500×4－(n－3500)×3＝24500－3n；若最高氣溫低于25，則Y＝2000×4－(n－2000)×3＝14000－3n.此時(shí)E(Y)＝eq\f(2,5)×4n＋eq\f(2,5)(24500－3n)＋eq\f(1,5)(14000－3n)＝12600－eq\f(1,5)n≤11900.當(dāng)2000≤n<3500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝4n；若最高氣溫低于25，則Y＝2000×4－(n－2000)×3＝14000－3n.此時(shí)E(Y)＝eq\f(4,5)×4n＋eq\f(1,5)(14000－3n)＝2800＋eq\f(13,5)n<11900.所以n＝3500時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為11900.6．〖解析〗(1)由題意X1～B(20，p)，則盈利的天坑院個(gè)數(shù)X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)＝20p.(2)若投資項(xiàng)目二，則X2的分布列為X22－1.2Pp1－p盈利X2的數(shù)學(xué)期望E(X2)＝2p－1.2(1－p)＝3.2p－1.2.(3)項(xiàng)目一若盈利，則每個(gè)天坑院盈利0.2×40%＝0.08(百萬元)，所以投資建設(shè)20個(gè)天坑院，盈利的數(shù)學(xué)期望為E(0.08X1)＝0.08E(X1)＝0.08×20p＝1.6p(百萬元)，方差D(0.08X1)＝0.082D(X1)＝0.082×20p(1－p)＝0.128p(1－p)．項(xiàng)目二盈利的方差D(X2)＝(2－3.2p＋1.2)2p＋(－1.2－3.2p＋1.2)2·(1－p)＝10.24p(1－p)．①當(dāng)E(0.08X1)＝E(X2)時(shí)，1.6p＝3.2p－1.2，解得p＝0.75.D(0.08X1)＝0.024<D(X2)＝1.92.故選擇投資項(xiàng)目一．②當(dāng)E(0.08X1)>E(X2)時(shí)，1.6p>3.2p－1.2，解得0<p<0.75.此時(shí)選擇投資項(xiàng)目一．③當(dāng)E(0.08X1)<E(X2)時(shí)，1.6p<3.2p－1.2，解得0.75<p<1.此時(shí)選擇投資項(xiàng)目二．7．〖解析〗(1)設(shè)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為x，由頻率分布直方圖可得甲組得分在前三個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間的頻率之和為0.3，在最后三個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間的頻率之和為0.26，故x在〖84,88)內(nèi)，且eq\f(x－84,88－x)＝eq\f(0.5－0.3,0.5－0.26)，解得x＝eq\f(944,11)，故x≈85.82.(2)設(shè)“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’比對(duì)甲組插花作品的‘觀賞值’高”為事件C，“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’為2”為事件A2，“對(duì)乙組插花作品的‘觀賞值’為3”為事件A3，“對(duì)甲組插花作品的‘觀賞值’為1”為事件B1，“對(duì)甲組插花作品的‘觀賞值’為2”為事件B2，則P(B1)＝(0.010＋0.025＋0.040)×4＝0.3，P(B2)＝(0.110＋0.040)×4＝0.6，由頻數(shù)分布表得，P(A2)＝eq\f(14＋4,40)＝0.45，P(A3)＝eq\f(3＋1,40)＝0.1.因?yàn)槭录嗀i與Bj相互獨(dú)立，其中i＝2,3，j＝1,2，所以P(C)＝P(A2B1＋A3B1＋A3B2)＝P(A2)P(B1)＋P(A3)P(B1)＋P(A3)P(B2)＝0.45×0.3＋0.1×0.3＋0.1×0.6＝0.225，所以評(píng)委對(duì)乙組插花作品的“觀賞值”比對(duì)甲組插花作品的“觀賞值”高的概率為0.225.(3)由頻率分布直方圖可知，甲組插花作品的最后得分約為(0.010×74＋0.025×78＋0.040×82＋0.110×86＋0.040×90＋0.020×94＋0.005×98)×4＝85.6.由乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻率分布表，得分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)頻率〖72,76)10.025〖76,80)50.125〖80,84)120.300〖84,88)140.350〖88,92)40.100〖92,96)30.075〖96,100〗10.025所以乙組插花作品的最后得分約為0．025×74＋0.125×78＋0.300×82＋0.350×86＋0.100×90＋0.075×94＋0.025×98＝84.8.因?yàn)?5.6>84.8，所以該校會(huì)選擇甲組插花作品．課時(shí)作業(yè)65離散型隨機(jī)變量的均值與方差〖基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)〗1．〖2021·開封市高三模擬試卷〗某大學(xué)為了調(diào)查該校學(xué)生性別與身高(單位：厘米)的關(guān)系，對(duì)該校1000名學(xué)生按照10:1的比例進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到身高頻數(shù)分布表如下：男生身高頻數(shù)分布表男生身高/厘米〖160，165)〖165，170)〖170，175)〖175，180)〖180，185)〖185，190〗頻數(shù)710191842女生身高頻數(shù)分布表女生身高/厘米〖150，155)〖155，160)〖160，165)〖165，170)〖170，175)〖175，180〗頻數(shù)31015633(1)估計(jì)這1000名學(xué)生中女生的人數(shù)；(2)估計(jì)這1000名學(xué)生的身高在〖170,190〗的概率；(3)在樣本中，從身高在〖170,180〗的女生中任取3名進(jìn)行調(diào)查，設(shè)X表示所選3名學(xué)生中身高在〖170,175)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．〖2021·洛陽市尖子生第一次聯(lián)考〗“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗.2021年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)量檢測(cè)部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，所得頻率分布直方圖如圖：(1)求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．(2)(ⅰ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，利用該正態(tài)分布，求Z落在(14.55,38.45〗內(nèi)的概率；(ⅱ)將頻率視為概率，若某人從該市某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30〗內(nèi)的包數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差σ＝eq\r(142.75)≈11.95.若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545.

3.〖2021·廣州市調(diào)研檢測(cè)〗某城市A公司外賣配送員底薪是每月1800元/人，設(shè)每月每人配送的單數(shù)為X，若X∈〖1,300〗，配送員每單提成3元；若X∈(300,600〗，配送員每單提成4元；若X∈(600，＋∞)，配送員每單提成4.5元．B公司外賣配送員底薪是每月2100元/人，設(shè)每月每人配送的單數(shù)為Y，若Y∈〖1,400〗，配送員每單提成3元；若Y∈(400，＋∞)，配送員每單提成4元．小王計(jì)劃在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機(jī)調(diào)查了A公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在9月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1：A公司外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量x/單131416171820天數(shù)2612622表2：B公司外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量y/單111314151618天數(shù)4512351(1)設(shè)A公司外賣配送員月工資為f(X)(單位：元/人)，B公司外賣配送員月工資為g(Y)(單位：元/人)，當(dāng)X＝Y(jié)且X，Y∈(300,600〗時(shí)，比較f(X)與g(Y)的大?。?2)若將甲、乙9月份的日送餐量的頻率視為對(duì)應(yīng)公司日送餐量的概率，(ⅰ)分別計(jì)算外賣配送員甲和乙每日送餐量的數(shù)學(xué)期望；(ⅱ)請(qǐng)利用你所學(xué)的知識(shí)為小王作出選擇，并說明理由．4．〖2021·安徽示范高中名校聯(lián)考〗某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)G有3個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能否正常工作的概率均為eq\f(1,2)，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立．若系統(tǒng)G中有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費(fèi)用為500元．(1)求系統(tǒng)G不需要維修的概率；(2)該電子產(chǎn)品共由3個(gè)系統(tǒng)G組成，設(shè)ξ為該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的費(fèi)用，求ξ的分布列與期望；(3)為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加2個(gè)功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個(gè)新元件正常工作的概率均為p，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)G可以正常工作，問：p滿足什么條件時(shí)，可以提高整個(gè)系統(tǒng)G的正常工作概率？5.〖2021·廣東四校聯(lián)考〗某地有種特產(chǎn)水果很受當(dāng)?shù)乩习傩諝g迎，但該種特產(chǎn)水果只能在9月份銷售，且該種特產(chǎn)水果當(dāng)天食用口感最好，隔天食用口感較差．某超市每年9月份都銷售該種特產(chǎn)水果，每天計(jì)劃進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每千克8元，銷售價(jià)每千克12元，當(dāng)天未賣出的水果則轉(zhuǎn)賣給水果罐頭廠，但每千克只能賣到5元．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)?shù)刈罡邭鉁?單位：℃)有一定關(guān)系．若最高氣溫不低于30，則需求量為5000千克；若最高氣溫位于〖25,30)，則需求量為3500千克；若最高氣溫低于25，則需求量為2000千克．為了制訂今年9月份訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年9月份的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫〖15,20)〖20,25)〖25,30)〖30,35)〖35,40)天數(shù)414362115以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)求今年9月份這種特產(chǎn)水果一天需求量X(單位：千克)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)9月份一天銷售這種特產(chǎn)水果的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)9月份這種特產(chǎn)水果一天的進(jìn)貨量n(單位：千克)為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為多少？6．〖2021·山東棗莊、滕州聯(lián)考〗2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商積極準(zhǔn)備投入到“魅力城市”的建設(shè)之中．某投資公司準(zhǔn)備在2018年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)之中．項(xiàng)目一：天坑院是黃土高原地域獨(dú)具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實(shí)物見證．現(xiàn)準(zhǔn)備投資建設(shè)20個(gè)天坑院，每個(gè)天坑院投資0.2百萬元，假設(shè)每個(gè)天坑院是否盈利是相互獨(dú)立的，據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，到2020年底每個(gè)天坑院盈利的概率為p(0<p<1)，若盈利則盈利投資額的40%，否則盈利額為0.項(xiàng)目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到2020年底可能盈利投資額的50%，也可能虧損投資額的30%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為p和1－p.(1)若投資項(xiàng)目一，記X1為盈利的天坑院的個(gè)數(shù)，求E(X1)(用p表示)；(2)若投資項(xiàng)目二，記投資項(xiàng)目二的盈利為X2百萬元，求E(X2)(用p表示)；(3)在(1)(2)兩個(gè)條件下，針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)項(xiàng)目，并說明理由．〖能力挑戰(zhàn)〗7．〖2021·湖南省長(zhǎng)沙市高三調(diào)研試題〗插花是一種高雅的審美藝術(shù)，是表現(xiàn)植物自然美的一種造型藝術(shù)，與建筑、盆景、造園等藝術(shù)形式相似，是最優(yōu)美的空間造型藝術(shù)之一．為了通過插花藝術(shù)激發(fā)學(xué)生對(duì)美的追求，增添生活樂趣，提高學(xué)生保護(hù)環(huán)境的意識(shí)，增加團(tuán)隊(duì)凝聚力，某高校舉辦了以“魅力校園、花香溢校園”為主題的校園插花比賽．比賽按照百分制的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)委由10名專業(yè)教師、10名非專業(yè)教師以及20名學(xué)生會(huì)代表組成，各參賽小組的最后得分為評(píng)委所打分?jǐn)?shù)的平均分．比賽結(jié)束后，得到甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和乙組插花作品所得分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，如下所示：分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)〖72,76)1〖76,80)5〖80,84)12〖84,88)14〖88,92)4〖92,96)3〖96,100〗1定義評(píng)委對(duì)插花作品的“觀賞值”如下所示．分?jǐn)?shù)區(qū)間〖72,84)〖84,92)〖92,100〗觀賞值123(1)估計(jì)甲組插花作品所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù))；(2)從40位評(píng)委中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)其對(duì)乙組插花作品的“觀賞值”比對(duì)甲組插花作品的“觀賞值”高的概率；(3)若該校擬從甲、乙兩組插花作品中選出一個(gè)用于展覽，從這兩組插花作品的最后得分來看該校會(huì)選哪一組？請(qǐng)說明理由(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．課時(shí)作業(yè)651．〖解析〗(1)樣本中男生為60名，女生為40名．估計(jì)這1000名學(xué)生中女生的人數(shù)是1000×eq\f(40,40＋60)＝400.(2)由題中表知樣本中身高在〖170,190〗的人數(shù)為19＋18＋4＋2＋3＋3＝49，樣本容量是100，∴樣本中身高在〖170,190〗的頻率為eq\f(49,100).∴估計(jì)這1000名學(xué)生的身高在〖170,190〗的概率為0.49.(3)依題意，X的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20).∴X的分布列為X0123Peq\f(1,20)eq\f(9,20)eq\f(9,20)eq\f(1,20)∴E(X)＝0×eq\f(1,20)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(1,20)＝eq\f(3,2).2．〖解析〗(1)所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為x＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)(ⅰ)∵Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，∴P(14.55<Z≤38.45)＝P(26.5－11.95<Z≤26.5＋11.95)≈0.6827，∴Z落在(14.55,38.45〗內(nèi)的概率是0.6827.(ⅱ)根據(jù)題意得X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,16)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,4)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,8)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,4)；P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,16).∴X的分布列為X01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)∴E(X)＝4×eq\f(1,2)＝2.3．〖解析〗(1)因?yàn)閄＝Y(jié)且X，Y∈(300,600〗，所以g(X)＝g(Y)，當(dāng)X∈(300,400〗時(shí)，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300>0.當(dāng)X∈(400,600〗時(shí)，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300<0.故當(dāng)X∈(300,400〗時(shí)，f(x)>g(X)，當(dāng)X∈(400,600〗時(shí)，f(X)<g(X)．(2)(ⅰ)日送餐量x的分布列為：x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)則E(x)＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16.日送餐量y的分布列為：y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)則E(y)＝11×eq\f(2,15)＋13×eq\f(1,6)＋14×eq\f(2,5)＋15×eq\f(1,10)＋16×eq\f(1,6)＋18×eq\f(1,30)＝14.(ⅱ)E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600〗，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)．估計(jì)A公司外賣配送員月薪平均為1800＋4E(X)＝3720(元)．估計(jì)B公司外賣配送員月薪平均為2100＋4E(Y)＝3780(元)．因?yàn)?780>3720，所以小王應(yīng)選擇做B公司外賣配送員．4．〖解析〗(1)系統(tǒng)G不需要維修的概率為Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,2).(2)設(shè)X為維修的系統(tǒng)個(gè)數(shù)，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))，且ξ＝500X，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－k，k＝0,1,2,3.所以ξ的分布列為ξ050010001500Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)所以ξ的期望為E(ξ)＝500×3×eq\f(1,2)＝750.(3)當(dāng)系統(tǒng)G有5個(gè)電子元件時(shí)，原來3個(gè)電子元件中至少有1個(gè)正常工作，系統(tǒng)G才正常工作．若原來3個(gè)電子元件中有1個(gè)正常工作，同時(shí)新增的2個(gè)電子元件必須都正常工作，則概率為Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×p2＝eq\f(3,8)p2；若原來3個(gè)電子元件中有2個(gè)正常工作，同時(shí)新增的2個(gè)電子元件至少有1個(gè)正常工作，則概率為Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,2)×Ceq\o\al(1,2)×p×(1－p)＋Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,2)×p2＝eq\f(3,8)(2p－p2)；若原來3個(gè)電子元件都正常工作，則不管新增2個(gè)電子元件能否正常工作，系統(tǒng)G均能正常工作，則概率為Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,8).所以新增2個(gè)電子元件后系統(tǒng)G能正常工作的概率為eq\f(3,8)p2＋eq\f(3,8)(2p－p2)＋eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)p＋eq\f(1,8)，于是由eq\f(3,4)p＋eq\f(1,8)－eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)(2p－1)知，當(dāng)2p－1>0，即eq\f(1,2)<p<1時(shí)，可以提高整個(gè)系統(tǒng)G的正常工作概率．5．〖解析〗(1)今年9月份這種特產(chǎn)水果一天的需求量X的可能取值為2000,3500，5000，P(X＝2000)＝eq\f(4＋14,90)＝eq\f(1,5)，P(X＝3500)＝eq\f(36,90)＝eq\f(2,5)，P(X＝5000)＝eq\f(21＋15,90)＝eq\f(2,5).于是X的分布列為X200035005000Peq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(2,5)X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝2000×eq\f(1,5)＋3500×eq\f(2,5)＋5000×eq\f(2,5)＝3800.(2)由題意知，這種特產(chǎn)水果一天的需求量至多為5000千克，至少為2000千克，因此只需要考慮2000≤n≤5000.當(dāng)3500≤n≤5000時(shí)，若最高氣溫不低于30，則Y＝4n；若最高氣溫位于〖25,30)，則Y＝3500×4－(n－3500)×3＝24500－3n；若最高氣溫