三垂線定理課件

三垂線定理aAPoα復(fù)習(xí)：什么叫平面的斜線、垂線、射影？

如果a

α,a⊥AO，思考a與PO的位置關(guān)系如何？∪aAPoα

PO是平面α的斜線,O為斜足;

PA是平面α的垂線,A為垂足;

AO是PO在平面α內(nèi)的射影.三垂線定理性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直PO

平面PAO∪a⊥PO③學(xué)生答：a⊥PO

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。為什么呢？PA⊥αa

α∪①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO三垂線定理PaAoα1、三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關(guān)系。2、a與PO可以相交，也可以異面。3、三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。對三垂線定理的說明：三垂線定理例題分析：1、判定下列命題是否正確(1)若a是平面α的斜線、直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b。()2°定理的關(guān)鍵找“平面”這個參照系。

強調(diào)：1°四線是相對同一個平面而言。(2)若a是平面α的斜線，b是平面α內(nèi)的直線，且b垂直于a在β內(nèi)的射影，則a⊥b。()××三垂線定理

關(guān)于三垂線定的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準面)的垂線。至于射影則是由垂足、斜足來確定的，因而是第二位的。

從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個程序：一垂、二射、三證。即第一、找平面(基準面)及平面垂線

第二、找射影線，這時a、b便成平面上的一條直線與一條斜線。三垂線定理第三、證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。

例2、道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測角器和皮尺作測量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？

解：在道邊取一點C，使BC與道邊所成水平角等于90°，再在道邊取一點D，使水平角CDB等于45°，測得C、D的距離等于20cmBAC90°D⌒45°三垂線定理BAC90°D⌒45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC

∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20cm∴BC=20m，在直角三角形ABC中

AC2=AB2+BC2，AC=152+202=25(cm)答：電塔頂與道路的距離是25m。

因此斜線AC的長度就是電塔頂與道路的距離。三垂線定理AH為PA在平面ABC內(nèi)的射影∴BC⊥AH在Rt△PBC中，PE=------=----在Rt△APE中，AE=PA2+PE2=9+---=----4×642+6212131441322922913

例3、設(shè)PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=3，PB=4，PC=6，求點P到平面ABC的距離。APCBEH解:作PH⊥平面ABC，連AH交BC于E，連PE∵PA、PB、PC兩兩垂直∴PA⊥平面PBC∴PA⊥BC三垂線定理

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。小結(jié)