上海上寶中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

上海上寶中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)，若存在為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C【知識(shí)點(diǎn)】單元綜合B14由f（f（b））=b，可得f（b）=f-1（b），

其中f-1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)

因此命題“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，轉(zhuǎn)化為

“存在b∈[1，e]，使f（b）=f-1（b）”，

即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f-1（x）的圖象有交點(diǎn)，

且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[1，e]，

∵y=f（x）的圖象與y=f-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

∴y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f-1（x）的圖象的交點(diǎn)必定在直線y=x上，

由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[1，e]，

令：lnx+x-a=x，則方程在[1，e]上一定有解∴a=lnx-x，

設(shè)g（x）=lnx-x則g′（x）=-=，

當(dāng)g′（x）=0．解得x=2，

∴函數(shù)g（x）=在[1，2]為增函數(shù)，在[2，e]上為減函數(shù)，

∴g（x）≤g（2）=ln2-1，g（1）=-，g（e）=1-e，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-，ln2-1]【思路點(diǎn)撥】利用反函數(shù)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再將解方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題．2.若實(shí)數(shù)數(shù)列：成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率是(

)A．或

B．或

C．

D．或10參考答案：A3.小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國(guó)詩詞大會(huì)》的現(xiàn)場(chǎng)錄制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人與他相鄰，則不同坐法的總數(shù)為（）A．60 B．72 C．84 D．96參考答案：C【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分3種情況討論：①、小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母不相鄰，②、小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母相鄰，③、小明的父母都與小明相鄰，分別求出每一種情況下的排法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分3種情況討論：①、若小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母不相鄰時(shí)，先在其父母中選一人與小明相鄰，有C21=2種情況，將小明與選出的家長(zhǎng)看成一個(gè)整體，考慮其順序有A22=2種情況，當(dāng)父母不相鄰時(shí)，需要將爺爺奶奶進(jìn)行全排列，將整體與另一個(gè)家長(zhǎng)安排在空位中，有A22×A32=12種安排方法，此時(shí)有2×2×12=48種不同坐法；②、若小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母相鄰時(shí)，將父母及小明看成一個(gè)整體，小明在一端，有2種情況，考慮父母之間的順序，有2種情況，則這個(gè)整體內(nèi)部有2×2=4種情況，將這個(gè)整體與爺爺奶奶進(jìn)行全排列，有A33=6種情況，此時(shí)有2×2×6=24種不同坐法；③、小明的父母都與小明相鄰，即小明在中間，父母在兩邊，將3人看成一個(gè)整體，考慮父母的順序，有A22=2種情況，將這個(gè)整體與爺爺奶奶進(jìn)行全排列，有A33=6種情況，此時(shí)，共有2×6=12種不同坐法；則一共有48+24+12=84種不同坐法；故選：C．4.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+參考答案：B

從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長(zhǎng)度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理的計(jì)算得到的邊長(zhǎng)。本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：，，，，因此該幾何體表面積，故選B。5.已知數(shù)列滿足，則通項(xiàng)

；

參考答案：略6.閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，當(dāng)輸入x的值為-25時(shí)，輸出x的值為（A）-1

（B）1（C）3

（D）9參考答案：C

第一次循環(huán)，第二次循環(huán)，第三次循環(huán)不滿足條件輸出，選C.

7.設(shè)其中實(shí)數(shù)滿足，若的最大值為，則的最小值為(

) A． B． C． D．參考答案：B略8.已知是奇函數(shù)，且時(shí)，（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略9.已知集合，={0,1,2}，=則= ． ．{0,1} ．{1,2} ．參考答案：A10.若曲線y=a（x﹣1）﹣lnx在x=2處的切線垂直于直線y=﹣2x+2，則a=（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用x=2處的切線垂直于直線y=﹣2x+2，列出方程求解即可．【解答】解：由y=a（x﹣1）﹣lnx，求導(dǎo)得f′（x）=a﹣，依題意曲線y=a（x﹣1）﹣lnx在x=2處的切線垂直于直線y=﹣2x+2，得，a﹣，即a=1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（2009江蘇卷）現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度（單位：m）分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率為

.參考答案：0.2解析：考查等可能事件的概率知識(shí)。從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根的可能的事件總數(shù)為10，它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的事件數(shù)為2，分別是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率為0.2。12.在△ABC中，，，，則∠C=__________；a=____________.參考答案：

【分析】由已知利用余弦定理可求cosC，結(jié)合范圍C∈（0，π），可求C的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可得a的值．【詳解】∵a2+b2﹣c2＝ab，∴可得cosC，∵C∈（0，π），∴C，∵，c＝3，∴由正弦定理，可得：，解得：a．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來說,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.13.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，，則=

參考答案：1略14.設(shè)是等差數(shù)列，的前項(xiàng)和，且，則=

。參考答案：25略15.已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2﹣x．給出如下結(jié)論：①對(duì)任意m∈Z，有f（2m）=0；②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；③函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2k，2k+1）”．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

．參考答案：①③④【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；函數(shù)的值域；抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】規(guī)律型．【分析】依據(jù)題中條件注意研究每個(gè)選項(xiàng)的正確性，連續(xù)利用題中第（1）個(gè)條件得到①正確；利用反證法及2x變化如下：2，4，8，16，32，判斷②命題錯(cuò)誤；連續(xù)利用題中第③個(gè)條件得到③正確；據(jù)①③的正確性可得④是正確的．【解答】解：①f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，正確；②f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假設(shè)存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又，2x變化如下：2，4，8，16，32，顯然不存在，所以該命題錯(cuò)誤；③取x∈（2m，2m+1），則∈（1，2]；f（）=2﹣，f（）=…=2mf（）=2m+1﹣x從而f（x）∈[0，+∞），正確④根據(jù)③的分析容易知道該選項(xiàng)正確；綜合有正確的序號(hào)是①③④．故答案為①③④【點(diǎn)評(píng)】本題通過抽象函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，以及學(xué)生的綜合分析能力，難度不大．16.甲，乙，丙，丁四名同學(xué)做傳遞手帕游戲（每位同學(xué)傳遞到另一位同學(xué)記傳遞1次），手帕從甲手中開始傳遞，經(jīng)過5次傳遞后手帕回到甲手中，則共有

種不同的傳遞方法．（用數(shù)字作答）參考答案：

60種17.若點(diǎn)（其中）為平面區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_____________。參考答案：13【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的及其內(nèi)部．根據(jù)題意，將目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，由此可得本題的答案．【詳解】點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的區(qū)域，其中，可得，將直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，．故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍，著重考查了向量的數(shù)量積、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為3，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是棱BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）求二面角C1﹣DE﹣C的正切值；（Ⅲ）在側(cè)棱BB1上是否存在點(diǎn)P，使得CP⊥平面C1DE？證明你的結(jié)論．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．（Ⅰ）求出平面C1DE的一個(gè)法向量，，通過數(shù)量積為0，推出BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）求出平面ABCD的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積求解夾角的余弦函數(shù)值，然后求解二面角C1﹣DE﹣C的正切值．（Ⅲ）假設(shè)側(cè)棱BB1上是否存在點(diǎn)P，使得CP⊥平面C1DE，設(shè)P（2，2，t），利用與共線，列出不等式組，求解即可．【解答】解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，3），D1（1，2，0），∵DC⊥AD是棱△ABC的中點(diǎn)，∴E（1，2，0），（Ⅰ）設(shè)平面C1DE的一個(gè)法向量為，則，∵，∴，∴，又DE?平面C1DE，∴BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）平面ABCD的一個(gè)法向量為，∴，，，∴二面角C1﹣DE﹣C的正切值為；（Ⅲ）假設(shè)側(cè)棱BB1上是否存在點(diǎn)P，使得CP⊥平面C1DE，設(shè)P（2，2，t），則，且與共線，∴存在實(shí)數(shù)λ使得，即這樣的λ不存在，∴在側(cè)棱BB1上不存在點(diǎn)P，使得CP⊥平面C1DE．19.已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與軸的正半軸重合，且長(zhǎng)度單位相同，曲線的方程是，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），設(shè)，直線與曲線交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；（2）求的取值范圍.參考答案：（1）曲線的方程是，化為，化為，所以，曲線的方程，當(dāng)時(shí)，直線，代入方程，解得或，所以。（2）將代入到，得，由，化簡(jiǎn)得，所以，所以，所以20.（13分）已知（）是曲線上的點(diǎn)，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，…．（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；（III）證明：當(dāng)時(shí)，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增．參考答案：解析：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得．因?yàn)?，所以?/p>

……①于是．

……②由②－①得．

……③于是．

……

④由④－③得，

……⑤所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列．（II）由①有，所以．由③有，，所以，．而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以，，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對(duì)任意的成立．且．即所求的取值集合是．（III）解法一：弦的斜率為任取，設(shè)函數(shù)，則記，則，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，所以時(shí)，，從而，所以在和上都是增函數(shù)．由（II）知，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，取，因?yàn)椋裕?，因?yàn)椋裕?，即弦的斜率隨單調(diào)遞增．解法二：設(shè)函數(shù)，同解法一得，在和上都是增函數(shù)，所以，．故，即弦的斜率隨單調(diào)遞增．21.如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)求證：（1）直線EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD

參考答案：證明：(1)∵E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)∴EF‖PD

…………1分又∵平面PCD，…………2分平面PCD

…………3分∴直線EF‖平面PCD…………4分（2）∵AB=AD，∠BAD=60°∴△ABD是正三