13 微專題：平面向量中一個優(yōu)美結(jié)論的證明與應(yīng)用 講義-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊

【學(xué)生版】微專題：平面向量中一個優(yōu)美結(jié)論的證明與應(yīng)用平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個熱點，高考中針對性考查，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會控制在中等，但有時也會以出現(xiàn)壓軸題型出現(xiàn)。平面向量中有許多有趣的結(jié)論，但說到最優(yōu)美的結(jié)論，那要數(shù)被形象與趣稱的“奔馳定理”；由于這個定理的幾何表示和奔馳的logo很相似，所以，人們把其稱為“奔馳定理”；但是，這只是坊間約定與戲說；所以，正式、正規(guī)考試的解答題，若用到此結(jié)論，必須加以證明；“奔馳定理”：如圖，已知為內(nèi)一點，則有；由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，坊間約定與戲稱為“奔馳定理”；這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用；【典例】例1、如圖，已知為內(nèi)一點，證明：有；【提示】；【解析】【說明】以上證明整合了向量的線性運算、三點共線與平面幾何性質(zhì)、面積公式的交匯；例2、設(shè)點在所在平面內(nèi)，若QUOTE????+2????+3????=0，則QUOTE???????與的面積比為【提示】；【答案】；【解析】方法1：方法2：QUOTE??????????????????=【說明】通過本題說明：理解“奔馳定理”對于符合題設(shè)的填充、選擇題可以快捷、方便解答；其本質(zhì)還是向量線性運算與平面幾何性質(zhì)與運算的綜合應(yīng)用；例3、定義：“在平面上有及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理””，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心例4、若是銳角內(nèi)的一點，是的三個內(nèi)角，且點滿足，則下列命題中正確命題的序號是①為的垂心；②；③；④【歸納】1、對“奔馳定理”的理解與拓展為內(nèi)一點，，則.重要結(jié)論：，，.結(jié)論1：對于內(nèi)的任意一點，若、、的面積分別為、、，則：.即三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.結(jié)論2：對于平面內(nèi)的任意一點，若點在的外部，并且在的內(nèi)部或其對頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時，則有.結(jié)論3：對于內(nèi)的任意一點，若，則、、的面積之比為.即若三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.結(jié)論4：對于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點，，則、、的面積分別為.即若三角形平面內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕對值之比.各向量所對應(yīng)的三角形是指另外兩個向量所在的三角形.2、“奔馳定理”與三角形“四心”：已知點O在△ABC內(nèi)部，有以下四個推論：(1)若O為△ABC的重心，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(2)若O為△ABC的外心，則sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；.(3)若O為△ABC的內(nèi)心，則a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝備注：若O為△ABC的內(nèi)心，則sinA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝也對；(4)若O為△ABC的垂心，則tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；.【即時練習(xí)】1、已知點A，B，C，P在同一平面內(nèi)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，則S△ABC∶S△PBC等于()A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶62、已知點P，Q在△ABC內(nèi)，eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(QA,\s\up6(→))＋3eq\o(QB,\s\up6(→))＋5eq\o(QC,\s\up6(→))＝，則eq\f(|P\o(Q,\s\up6(→))|,|A\o(B,\s\up6(→))|)等于()A．eq\f(1,30)B．eq\f(1,31)C．eq\f(1,32)D．eq\f(1,33)3、過△ABC重心O的直線PQ交AC于點P，交BC于點Q，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))，則n的值為________．4、設(shè)點P在△ABC內(nèi)且為△ABC的外心，∠BAC＝30°，如圖．若△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為eq\f(1,2)，x，y，則x＋y的最大值是________．5、如圖，為內(nèi)任意一點，角，，的對邊分別為，，；總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為“奔馳定理”;現(xiàn)有以下命題：①若是的重心，則有；②若成立，則是的內(nèi)心；③若，則；④若是的外心，，，則.則正確的命題有___________.6、若是銳角內(nèi)的一點，，，是的三個內(nèi)角，且點滿足.（1）證明：點為的垂心；（2）證明：.【教師版】微專題：平面向量中一個優(yōu)美結(jié)論的證明與應(yīng)用平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個熱點，高考中針對性考查，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會控制在中等，但有時也會以出現(xiàn)壓軸題型出現(xiàn)。平面向量中有許多有趣的結(jié)論，但說到最優(yōu)美的結(jié)論，那要數(shù)被形象與趣稱的“奔馳定理”；由于這個定理的幾何表示和奔馳的logo很相似，所以，人們把其稱為“奔馳定理”；但是，這只是坊間約定與戲說；所以，正式、正規(guī)考試的解答題，若用到此結(jié)論，必須加以證明；“奔馳定理”：如圖，已知為內(nèi)一點，則有；由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，坊間約定與戲稱為“奔馳定理”；這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用；【典例】例1、如圖，已知為內(nèi)一點，證明：有；【提示】注意：結(jié)合平面幾何中“不同底但等高”建立邊長與面積關(guān)系；注意：利用三點直線外一點與向量線性運算的關(guān)聯(lián)；【解析】由已知，延長與邊相交于點；則由三角形的面積公式【注意：同底，等高，】得而【注意：、，三點共直線，在直線外】得【“爪子”型】即①又因為，，所以，【注意：方向相反】②由①②得，即，所以，“定理”成立；【說明】以上證明整合了向量的線性運算、三點共線與平面幾何性質(zhì)、面積公式的交匯；例2、設(shè)點在所在平面內(nèi)，若QUOTE????+2????+3????=0，則QUOTE???????與的面積比為【提示】注意；題設(shè)“點在所在平面內(nèi)，若”與“奔馳定理”的關(guān)聯(lián)；【答案】；【解析】方法1：如圖，設(shè)直線QUOTE????與直線QUOTE????的交點為點QUOTE??，則QUOTE???????與面積比為：QUOTE????:????，【注意：平面幾何相似比；同底】設(shè)，由，所以，，再由三點共線【“爪子”型】，得，解得；所以，QUOTE???????與面積比為：；方法2：由“奔馳定理”可得：【注意：定理的右邊是】；QUOTE??????????????????=11+2+3【說明】通過本題說明：理解“奔馳定理”對于符合題設(shè)的填充、選擇題可以快捷、方便解答；其本質(zhì)還是向量線性運算與平面幾何性質(zhì)與運算的綜合應(yīng)用；例3、定義：“在平面上有及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理””，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【提示】利用三角形面積公式，推出點O到三邊距離相等；【答案】B；【解析】記點O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內(nèi)心；【說明】本題是向量的線性運算與“奔馳定理”的交匯與應(yīng)用；例4、若是銳角內(nèi)的一點，是的三個內(nèi)角，且點滿足，則下列命題中正確命題的序號是①為的垂心；②；③；④【提示】利用數(shù)量積的運算律可整理得到，同理，，知①正確；推導(dǎo)得到，由此可證得②正確；由數(shù)量積的定義和②的結(jié)論可求得，同理得，，作比可得到結(jié)果，知③錯誤；利用三角形面積公式和B的結(jié)論表示出，同理得到，作比后代入③中推導(dǎo)的結(jié)論可得，由此證得④正確；【答案】①②④【解析】對于①，因為，，，即，同理可證得：，，所以，是的垂心，①正確；對于②，延長交于兩點，由①可知：，，所以，，，所以，，又，所以，，②正確；對于③，由②可得：，同理可得：，，所以，，所以，，③錯誤；對于④，由②可得：，同理可得：，，所以，，由③可得：，又，，④正確；【說明】本題考查平面向量在三角形中的應(yīng)用，涉及到垂心的向量表示、向量數(shù)量積的定義等知識；解題關(guān)鍵是能夠通過數(shù)量積的定義和運算律，將所證內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到三角形面積或向量模長與角的正余弦值之間的關(guān)系；【歸納】1、對“奔馳定理”的理解與拓展為內(nèi)一點，，則.重要結(jié)論：，，.結(jié)論1：對于內(nèi)的任意一點，若、、的面積分別為、、，則：.即三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.結(jié)論2：對于平面內(nèi)的任意一點，若點在的外部，并且在的內(nèi)部或其對頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時，則有.結(jié)論3：對于內(nèi)的任意一點，若，則、、的面積之比為.即若三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.結(jié)論4：對于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點，，則、、的面積分別為.即若三角形平面內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕對值之比.各向量所對應(yīng)的三角形是指另外兩個向量所在的三角形.2、“奔馳定理”與三角形“四心”：已知點O在△ABC內(nèi)部，有以下四個推論：(1)若O為△ABC的重心，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(2)若O為△ABC的外心，則sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；.(3)若O為△ABC的內(nèi)心，則a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝備注：若O為△ABC的內(nèi)心，則sinA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝也對；(4)若O為△ABC的垂心，則tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；.【即時練習(xí)】1、已知點A，B，C，P在同一平面內(nèi)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，則S△ABC∶S△PBC等于()A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6【答案】B；【解析】由eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，得eq\o(PR,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，由eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，得eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PR,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PR,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，整理得4eq\o(PA,\s\up6(→))＋6eq\o(PB,\s\up6(→))＋9eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以，S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.2、已知點P，Q在△ABC內(nèi)，eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(QA,\s\up6(→))＋3eq\o(QB,\s\up6(→))＋5eq\o(QC,\s\up6(→))＝，則eq\f(|P\o(Q,\s\up6(→))|,|A\o(B,\s\up6(→))|)等于()A．eq\f(1,30)B．eq\f(1,31)C．eq\f(1,32)D．eq\f(1,33)【答案】A【解析】根據(jù)奔馳定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，所以，S△PAB＝S△QAB＝eq\f(1,2)S△ABC，所以，PQ∥AB，又因為，S△PBC＝eq\f(1,6)S△ABC，S△QBC＝eq\f(1,5)S△ABC，所以，eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,30).3、過△ABC重心O的直線PQ交AC于點P，交BC于點Q，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))，則n的值為________．【答案】eq\f(3,5)；【解析】因為O是重心，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝，即eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))?eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))?eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))?eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝n(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))?eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(OC,\s\up6(→))，因為P，O，Q三點共線，所以eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(OQ,\s\up6(→))，所以－eq\f(3,4)(1－n)＝－eq\f(1,2)n，解得n＝eq\f(3,5).4、設(shè)點P在△ABC內(nèi)且為△ABC的外心，∠BAC＝30°，如圖．若△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為eq\f(1,2)，x，y，則x＋y的最大值是________．【答案】eq\f(\r(3),3)【解析】根據(jù)奔馳定理得，eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))＝，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2xeq\o(PB,\s\up6(→))＋2yeq\o(PC,\s\up6(→))，平方得eq\o(AP,\s\up6(→))2＝4x2eq\o(PB,\s\up6(→))2＋4y2eq\o(PC,\s\up6(→))2＋8xy|eq\o(PB,\s\up6(→))|·|eq\o(PC,\s\up6(→))|·cos∠BPC，又因為點P是△ABC的外心，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|