淺談數(shù)學(xué)思想方法

淺談初高中數(shù)學(xué)思想方法姓名：周穎學(xué)號：56幾千年的數(shù)學(xué)發(fā)展史告訴我們：數(shù)學(xué)思想方法存在和活躍在整個數(shù)學(xué)發(fā)展的進程之中，例如古希臘的亞里士多德與歐幾里得提出公理化方法，把大量的、零散的幾何知識系統(tǒng)化，最后成就了歐式幾何；中國古代數(shù)學(xué)家劉徽提出的“割圓術(shù)”，從而解決了長期以來圓周率不準確的問題，其中也包含著極限思想的萌芽，笛卡爾采用變量的思想方法來看幾何曲線，引進了坐標系，從而創(chuàng)立了代數(shù)方法研究幾何問題的新數(shù)學(xué)分支——解析幾何，牛頓、萊布尼茨提出了無窮小量的方法，創(chuàng)立了非歐幾何理論，并解決了兩千多年來幾十代數(shù)學(xué)家為之困擾的歐式幾何第五公設(shè)問題；希爾伯特別重視解題方法的研究，他曾在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上作了題為《數(shù)學(xué)問題》的演講，精辟地闡述了重大數(shù)學(xué)問題的特點及其在數(shù)學(xué)發(fā)展史中的作用，并列舉了23個重大數(shù)學(xué)問題，對推動20世紀數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響，人們普遍認為這個演講本身就是一篇數(shù)學(xué)思想方法的重要著作。數(shù)學(xué)思想方法隨著近代和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)方法論作為一門獨立的學(xué)科已經(jīng)建立并有了相應(yīng)的發(fā)展，其中最重要的標志之一就是出現(xiàn)了許多具有劃時代意義的數(shù)學(xué)思想方法，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科的重大變革。數(shù)學(xué)思想方法的含義我們知道，數(shù)學(xué)發(fā)展的動力，無疑來自人類的生產(chǎn)實踐活動，而數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是其中重要的因素。而數(shù)學(xué)思想是人們通過數(shù)學(xué)活動(包括發(fā)現(xiàn)、研究數(shù)學(xué)知識、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題和教授與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識三項活動)認識世界的過程中所形成的基本觀點；數(shù)學(xué)思想方法是為數(shù)學(xué)活動提供的思路、方式、邏輯手段和操作原則。這里所說的數(shù)學(xué)思想方法（廣義地講，任何數(shù)學(xué)知識都是思想方法）是貫穿于數(shù)學(xué)知識之中的微觀線索。思想方法以知識為基礎(chǔ)，隱含在知識之中，反過來又指導(dǎo)、促進知識的發(fā)展深化及向能力的轉(zhuǎn)化。方法是實施思想的手段，思想是對應(yīng)方法的精神實質(zhì)和理論依據(jù)。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的生命和靈魂，它具有普遍意義和永恒的價值。一般的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)的方法分為一般的思想方法和具體的方法（包括解題方法）有幾百種之多，不多述。常見的一般的初高中數(shù)學(xué)思想方法如下：公理化方法化歸方法數(shù)學(xué)思想方法特殊化與一般化方法數(shù)學(xué)思想方法數(shù)形結(jié)合方法分類討論的思想方法反證法公理化方法公理化方法是把某一數(shù)學(xué)分支的理論按照一組選定的公理進行序化的數(shù)學(xué)思想，相應(yīng)的方法是建立演繹科學(xué)理論的一種方法，稱作公理化方法。在具體的研究工作中，公理化方法，特別是它的邏輯思維有著重要作用。如圖所示：定律或假設(shè)數(shù)學(xué)資料定律或假設(shè)數(shù)學(xué)資料公理綜合公理觀察結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)該圖表明，由“果”到“因”。即對所得的觀察材料，運用數(shù)學(xué)的公理推導(dǎo)方法，歸納出定律。由“因”到“果”如下圖所示。4.極端化原則在數(shù)學(xué)中有很多“極端”情況。例如：點是圓的半徑為零的極端情況；切線是割線的極端情況等。在解決有些數(shù)學(xué)問題時，常能從對問題的“極端”情況的考察（即對特例的分析）中獲得有益的啟示。所謂極端化原則就是運用極端化位置或狀態(tài)的特性引出一般位置或狀態(tài)下的特性，從而獲得解決問題的思路。這也是我們常說的從一般到特殊再到一般。例2.兩人輪流在一張圓桌上擺放大小相同的硬幣，每次只能平放一個，不能重疊，在桌上放下最后一枚硬幣者為游戲的勝利者。試問：先放者取勝，還是后放者取勝？分析：我們先考慮極端情形。假設(shè)桌面恰好與硬幣一樣大，則先擺者必勝，只要將硬幣擺放在桌子的中心即可。從極端情形中我們可以獲得啟示：先擺的人可以把第一枚硬幣占據(jù)桌子的中心，由于桌面是中心對稱，以后不論對方把硬幣放于何處，先擺的人總把硬幣擺在與其成中心對稱的位置，故先擺者必勝。5.和諧化原則所謂“和諧”指的是配合得適當和勻稱。和諧化原則就是在對問題進行化歸時，要注意把條件和結(jié)論的表現(xiàn)形式轉(zhuǎn)化為更具數(shù)、式與形內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一特點的形式，以幫助我們?nèi)ゴ_定解決問題的方法。特殊化與一般化方法（歸納法）特殊化方法對于一個具有一般對象的問題，從簡單情況或特殊對象入手，尋求思路和方法予以解決，這種方法稱之為特殊化方法。對于一個一般的、抽象性問題，其中的對象、因素、概念、結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，它們的關(guān)系比較隱蔽，由條件到達結(jié)論的途徑不清晰。這時，往往從特殊情況入手，用特殊化的方法探索解題的思路和途徑，并選擇突破口，進而解決一般問題。特殊化方法不僅是解題，檢驗問題的重要方法，而且還是探索規(guī)律進行創(chuàng)造性思維的有效工具，歷來被數(shù)學(xué)家所推崇。2.一般化方法對于一個不易解決的特殊命題，將之一般化，即從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合；或者考慮一個較小集合過渡到考慮一個包含該較小集合的更大集合，然后先解決一般情形的技巧、方法或者結(jié)果應(yīng)用到特殊命題上，最后獲得特殊命題解決，這種思想方法稱之為一般化方法。利用一般化方法解決問題通常有三種類型：直接把特殊命題擴廣為包含這一特殊情況的一般命題，利用一般命題的現(xiàn)成結(jié)論直接還原回去就得到解答；做出拓廣后，利用一般命題的性質(zhì)去解決特殊問題做出拓廣后，利用一般問題的解答思路去探討解決特殊問題的思路。特殊和一般是辯證統(tǒng)一的。從一般到特殊的演繹法，從一般到特殊的歸納法以及從特殊到特殊的類比法等，運用巧了，能獲得新的成果，乃至完成重要的發(fā)現(xiàn)。這里談及的歸納法和類比法是數(shù)學(xué)方法論中最基本的方法。其作用如圖所示：從具體問題具體材料出發(fā)實驗類比從具體問題具體材料出發(fā)實驗類比歸納聯(lián)想推廣預(yù)見形成普遍問題證明所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式。數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)解題中，運用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。一、解決集合問題：在集合運算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。二、解決函數(shù)問題：借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法。函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。三、解決方程與不等式的問題：處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數(shù)圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。四、解決三角函數(shù)問題：有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。五、解決線性規(guī)劃問題：線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標函數(shù)的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。六、解決數(shù)列問題：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式以及前n項和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進行直觀分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決。七、解決立體幾何問題：立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進行研究，可將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運算。八、解決解析幾何問題：解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運用于對點、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中。（5）分類討論的思想方法分類討論思想是指在解決一個問題時，無法用同一種方法去解決，而需要一個標準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題——加以解決，從而使問題得到解決,這就是分類討論思想。當我們所研究的各種對象之間過于復(fù)雜或涉及范圍比較廣泛時，我們大多采取分類討論的方法進行解決，即對問題中的各種情況進行分類，或?qū)λ婕暗姆秶M行分割，然后分別研究和求解。分類討論解題的實質(zhì)，是將整體問題化為部分問題來解決,以增加題設(shè)條件。分類討論的原則是不重復(fù)、不遺漏。討論的方法是逐類進行，還必須要注意綜合討論的結(jié)果，以使解題步驟完整。分類討論一方面可將復(fù)雜的問題分解成若干個簡單的問題，另一方面恰當?shù)姆诸惪杀苊鈦G值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)教養(yǎng)。近年來，在各地中考試題中涉及“分類討論”的問題十分常見，因為這類試題不僅考查我們的數(shù)學(xué)基本知識與方法，而且考查了我們思維的深刻性。在解決此類問題時，因考慮不周全導(dǎo)致失分的較多，究其原因主要是平時的學(xué)習(xí)中，尤其是在中考復(fù)習(xí)時，對“分類討論”的數(shù)學(xué)思想滲透不夠.個人水平太低。（6）反證法反證法是“間接證明法”一類，是從反面的角度的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾。法國數(shù)學(xué)家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結(jié)論的否定當作條件，使之得到與條件相矛，肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。反證法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運用。當論題從正面不容易或不能得到證明時，就需要運用反證法，此即所謂"正難則反"。數(shù)學(xué)思想來自于數(shù)學(xué)思維我們知道，數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象交互作用并按照一般的思維規(guī)律認識數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律的理性活動。具體來說，數(shù)學(xué)思維就是以“數(shù)”和“形”及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對象，以數(shù)學(xué)語言和符號為思維的載體，并以認識發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維。數(shù)學(xué)思維可分為邏輯思維、形象思維和直覺思維三種基本類型。在數(shù)學(xué)思維的全過程中，孕育著數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想源于數(shù)學(xué)思維之中。在這種思想指導(dǎo)之下，對某一類數(shù)學(xué)方法進行概括，即形成數(shù)學(xué)思想方法。如數(shù)形結(jié)合的思想方法、分類討論的思想方法、反證法等。為了發(fā)掘數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)該經(jīng)常在思維差異即思維品質(zhì)等方面進行探討。激勵質(zhì)疑，培養(yǎng)思維的深刻性縱橫滲透，培養(yǎng)思維的廣闊性多維思索，培養(yǎng)思維的靈活性辨析對比，培養(yǎng)思維的批判性勇于猜測，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性在上述原則下，既要善于發(fā)散思維，又要善于收斂思維，開拓創(chuàng)造性思維，尋找解決未發(fā)現(xiàn)和未解決的問題，大膽提出數(shù)學(xué)猜想，在研討數(shù)學(xué)的過程中，獲得新的成果。所以學(xué)好數(shù)學(xué)，可以考慮其他的思維方法，但不是僅僅記住那些思維方法的名稱，更重要的是首先要做到做事有條理，培養(yǎng)并鞏固邏輯思維！數(shù)學(xué)方法是人們生