數(shù)學(xué)（選修22）課件622間接證明反證法

第六章推理與證明6.2直接證明與間接證明6.2.2間接證明：反證法1.反證法的定義(1)先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個前提下，若推出的結(jié)果與__________________相矛盾，或與命題中的__________相矛盾，或與_______相矛盾，從而說明命題的結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立.這種證明方法叫作_________.(2)反證法是一種_______證明的方法.定義、公理、定理已知條件假定反證法間接溫馨提示：一般地，由證明p?q轉(zhuǎn)向證明?q?r?…?t，t與假設(shè)或與某個真命題矛盾，?q為假，推出q為真的方法，叫作反證法.關(guān)于反證法，法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪曾說過：“這種證法在于表明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾.”這是對反證法的精辟的概括.2.反證法的證明步驟(1)反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論________，而設(shè)結(jié)論的______成立；(2)歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，通過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與___________，____________，_______，_______，______及________________或____________；(3)結(jié)論：因為推理正確，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的______，既結(jié)論的_______不成立從而肯定了__________.不成立反面已知條件已知的公理定義定理反設(shè)明顯的事實矛盾自相矛盾謬誤反面結(jié)論成立溫馨提示：(1)反證法推證問題模式框圖(2)適合反證法的類型題.①問題共有n種情形，現(xiàn)在要證其中一種情形成立時，可利用反證法把其余的(n－1)種情形排除，從而確定這種情形成立.②命題用否定形式敘述的，如證明2不是方程2x＋1＝0的根，可用反證法證明.假設(shè)2是方程2x＋1＝0的根，推導(dǎo)出矛盾，從而確定2不是方程的根.③命題用“至少”“至多”等敘述時，可用反證法證明.④命題成立非常明顯，而要直接證明，所能用的理論太少，且不容易說明白，可用反證法證明.(3)應(yīng)用反證法時，推出的矛盾常有如下情形：①與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已證明了的結(jié)論相矛盾；②與臨時假設(shè)矛盾；③與公認(rèn)的事實或自相矛盾等.

設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.設(shè)q≠1，求證：數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列.用反證法證明否定性命題【點評】

(1)用反證法證明否定性命題的適用類型：結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法.(2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟：用反證法證明“至多、至少”類問題【點評】應(yīng)用反證法常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時，直接證明不易入手且討論較復(fù)雜.這時，可用反證法證明，證明時常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下表：2.已知a，b，c是互不相等的實數(shù)，求證：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點.證明：假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點，由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b,得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0.∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.∴a＝b＝c.這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，從而命題得證.

求證：方程2x＝3有且只有一個根.證明：∵2x＝3，∴x＝log23.這說明方程2x＝3有根.下面用反證法證明方程2x＝3的根是唯一的.假設(shè)方程2x＝3至少有兩個根b1，b2(b1≠b2)，則2b1＝3,2b2＝3，兩式相除得2b1－b2＝1，∴b1－b2＝0，則b1＝b2，這與b1≠b2矛盾.∴假設(shè)不成立，從而原命題得證.用反證法證明唯一性命題【點評】用反證法證明唯一性命題的一般思路：證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性.當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”“只有一個”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，可先證“存在性”，由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾，因此可用反證法證其唯一性.3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，求證：方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個實根.證明：假設(shè)方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個實根，設(shè)α，β為其中的兩個實根.由α≠β，不妨設(shè)α＜β，又∵函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，∴f(α)＜f(β).這與假設(shè)f(α)＝0＝f(β)矛盾，∴方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個實根.用反證法證題要把握三點：(1)必須先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的.(