專題04 四邊形的證明與計算（原卷版）

2/2專題04四邊形的證明與計算目錄熱點題型歸納 1題型01四邊形與全等 1題型02四邊形與相似 7題型03四邊形邊角計算 18中考練場 36題型01四邊形與全等【解題策略】六個全等模型手拉手模型倍長中線模型平行線中等模型雨傘模型【典例分析】例1．（2023·內蒙古·中考真題）如圖，在菱形中，對角線相交于點，點分別是邊，線段上的點，連接與相交于點．

(1)如圖1，連接．當時，試判斷點是否在線段的垂直平分線上，并說明理由；(2)如圖2，若，且，①求證：；②當時，設，求的長（用含的代數(shù)式表示）．例2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知四邊形是平行四邊形，點在對角線上，點在邊上，連接，，．

(1)如圖①，求證；(2)如圖②，若，過點作交于點，在不添加任何軸助線的情況下，請直接寫出圖②中四個角（除外），使寫出的每個角都與相等．【變式演練】1．（2023·北京海淀·一模）如圖，正方形中，點分別在上，交于點；(1)_______．(2)在線段上截取，連接的角平分線交于點．①依題意補全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明．2．（2023·山東泰安·三模）已知如圖，為正方形的邊上任意一點，于點，在的延長線上取點，使，連接，的平分線交于點．(1)求證：；(2)求證：是等腰直角三角形；(3)如圖，若正方形的邊長為，連接，當點為的中點時，求的長．3．（2022·湖南長沙·三模）如圖，在和中，，，與交于點．

(1)求證：；(2)將關于所在直線翻折，得到，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論；(3)若平分，，，求的長．題型02四邊形與相似【解題策略】8字模型 反8字模型手拉手模型一線三等角模型【典例分析】例．（2023·內蒙古·中考真題）已知正方形，是對角線上一點．

(1)如圖1，連接，．求證：；(2)如圖2，是延長線上一點，交于點，．判斷的形狀并說明理由；(3)在第（2）題的條件下，．求的值．【變式演練】1．（22-23浙江·模擬預測）在中，D，E分別是，的中點，延長至點F，使得，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)于點G，連接，若G是的中點，，，①求的長．②求平行四邊形的周長．2．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在矩形中，點E在上，且，延長至點F，使，連接，交、分別于M、N．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若且，求的長度．3．（2022·湖北武漢·模擬預測）【基礎鞏固】（1）如圖1，四邊形中，，，求證：四邊形是平行四邊形．【靈活運用】（2）如圖2，中，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，，的延長線交的延長線于點G，若，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，矩形中，，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，，求的長度．4．（2022·安徽·模擬預測）如圖1，是正方形的邊上一個動點，連接的平分線交于點，直線于點，交于點，交的延長線于點，連接．(1)求證：．(2)如圖2，若，連接并延長，交于點．①求證：；②求的值．題型03四邊形邊角計算【解題策略】勾股定理常見折疊模型：計算方差的公式：設一組數(shù)據(jù)是，是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。則這組數(shù)據(jù)的方差是：

例：DB2+BC2=DC2例：DB2+AB2=AD2例：BM2+AB2=AM2MN=MC2例：FC=AC例：AD=AC【典例分析】例1．（2023·湖南·中考真題）如圖，在中，平分，交于點E，交的延長線于點F．

(1)求證：；(2)若，求的長和的面積．例2．（2023·湖北·中考真題）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點的對應點落在邊上（點不與點重合），點落在點處，與交于點，折痕分別與邊，交于點，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長．【變式演練】1．（2024·貴州貴陽·模擬預測）如圖，在矩形中，，將矩形沿折疊，使點與點重合．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，求的長．2．（2023·廣東廣州·一模）如圖，在菱形中，對角線，相交于點．(1)尺規(guī)作圖：過點作的垂線，垂足為；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若，，求的值．3．（2023·廣東深圳·一模）綜合與探究在矩形的邊上取一點E，將沿翻折，使點C恰好落在邊上的點F處．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，當，且時，求的長；(3)如圖③，延長，與的角平分線交于點M，交于點N，當時，請直接寫出的值．1．（2023·山東·中考真題）（1）如圖1，在矩形中，點，分別在邊，上，，垂足為點．求證：．

【問題解決】（2）如圖2，在正方形中，點，分別在邊，上，，延長到點，使，連接．求證：．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形中，點，分別在邊，上，，，，求的長．2．（2023·江西·中考真題）課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．(1)定理證明：為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：在中，對角線，垂足為．求證：是菱形．

(2)知識應用：如圖，在中，對角線和相交于點，．

①求證：是菱形；②延長至點，連接交于點，若，求的值．3．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，四邊形中，，點O為對角線的中點，過點O的直線l分別與、所在的直線相交于點E、F．（點E不與點D重合）

(1)求證：；(2)當直線時，連接、，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．4．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長為的菱形，，點為的中點，為線段上的動點，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當時，求四邊形的面積；(2)當點在線段上移動時，設，四邊形的面積為，求關于的函數(shù)表達式．5．（2023·內蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，連接，交于點，平分交于點，平分交于點，連接，．(1)求證：；(2)若四邊形是菱形且，，求四邊形的面積．6．（2023·遼寧營口