D7-2曲面方程 空間曲線 平面方程 空間直線

第七章空間解析幾何一、平面及其方程

二、直線及其方程三、二次曲面及一般曲面①(一)平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式為平面

的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故一、平面及其方程

(二)平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.特殊情形?

當(dāng)

D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示

通過原點(diǎn)的平面;?當(dāng)

A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xOy

面的平面;平行于yOz

面的平面；平行于zOx

面的平面.特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.時(shí),平面方程為(P250

例3)(三)兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常指銳角)稱為兩平面的夾角.特別有下列結(jié)論：外一點(diǎn),求例設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點(diǎn)到平面的距離公式)因此其一般式方程(一)

一般式方程直線可視為兩平面交線，(不唯一)二直線及其方程(二)點(diǎn)向式方程故有說明:

某些分母為零時(shí),其分子也理解為零.設(shè)直線上的動點(diǎn)為則此式稱為直線的點(diǎn)向式方程(也稱為對稱式方程)直線方程為已知直線上一點(diǎn)例如,當(dāng)和它的方向向量(三)參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程:過兩個(gè)不同的點(diǎn)有且僅有一條直線。設(shè)直線L過點(diǎn)P1(x1,y1,z1)，和P2(x2,y2,z2)，則于是設(shè)P(x,y,z)為直線上任意一點(diǎn)，即(P252

例7)說明:(四)線面間的位置關(guān)系1.兩直線的夾角

則兩直線夾角

滿足設(shè)直線

L1,L2的方向向量分別為兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)(P251

例4)特別有:當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角為線所夾銳角

稱為直線與平面間的夾角;

2.

直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線

L的方向向量為平面

的法向量為則直線與平面夾角

滿足直線和它在平面上的投影直(P252

例5,6)特別有:

3.

過直線的平面束方程兩不平行平面決定的直線①對任意直線上的點(diǎn)(x,y,z)及數(shù)p,q，有整理得表示過直線①的所有平面，稱為平面束方程。②②(P265

例8,9)例解:垂直于軸的平面一般方程為經(jīng)過點(diǎn)可得方程為(09-10,一(1))例過點(diǎn)和解:

由題的直線方程為則直線方程為(09-10,二.5)例以為球心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程為解:由題所以球面方程為(09-10,二(7))三、空間曲面定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程(一)曲面方程

例如，球心為半徑為

R

的球面方程為(二)二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)說明：研究二次曲面特性的基本方法:截痕法對于由方程F(x,y,z)=0所確定的曲面，坐標(biāo)面的平面相截，用平行于考察交線的形狀，了解曲面性質(zhì)1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b

時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c

時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號)特別,當(dāng)p=q時(shí)為繞

z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.橢圓;拋物線.雙曲線;拋物線.3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面

上的截痕情況:雙曲線:虛軸平行于x軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面定義2.一條平面曲線(三)旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:母線軸建立yOz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yOz

面上曲線

C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？規(guī)律：當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線C繞此坐標(biāo)平面的一個(gè)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其它兩個(gè)坐標(biāo)平方和的正負(fù)平方根來代替方程中的另一坐標(biāo)。例試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yOz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方(P255

例3)(四)柱面定義3.平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.表示圓柱面平行

z

軸的直線

l,沿定xOy

面上曲線移動準(zhǔn)線母線平行于

z

軸

表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xOy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.

z

軸的平面.

表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于(五)空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C說明:

一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù),形如參數(shù)方程稱它為空間曲線的參數(shù)方程.(六)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xOy

面上的投影曲線C′為消去x得C在yOz

面上的投影曲線方程消去y得C在zOx

面上的投影曲線方程

P