隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征

隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征隨機(jī)變量與隨機(jī)變量分布函數(shù)一、隨機(jī)變量為了更有效的研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，需要引入微積分作為工具，這就需要用變量的形式來表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象。先考察下列兩個隨機(jī)試驗(yàn)的例子例2.11某人拋擲一枚骰色子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。試驗(yàn)結(jié)果的事件表達(dá)形式：出現(xiàn)1點(diǎn)；出現(xiàn)2點(diǎn)；出現(xiàn)3點(diǎn)；出現(xiàn)4點(diǎn)；出現(xiàn)5點(diǎn)；出現(xiàn)6點(diǎn)。如果令表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則的可能取值為于是，試驗(yàn)結(jié)果的變量表示為：“出現(xiàn)1點(diǎn)”；

“出現(xiàn)2點(diǎn)”

“出現(xiàn)3點(diǎn)”；“出現(xiàn)4點(diǎn)”

“出現(xiàn)5點(diǎn)”；“出現(xiàn)6點(diǎn)”例2.12某人擲硬幣試驗(yàn)，觀察落地以后出現(xiàn)在上面的面。試驗(yàn)結(jié)果的事件表達(dá)形式：RandomVariable第2頁,共61頁，2024年2月25日，星期天國徽面在上面；有字面在上面如果表示國徽面在上面，表示有字面在上面。于是，試驗(yàn)結(jié)果的變量表示為：“國徽面在上面”;“有字面在上面”特點(diǎn)：試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化了，試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)建立了對應(yīng)關(guān)系。

1.Def設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對于每一個樣本點(diǎn)，均有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，稱為樣本空間上的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的兩個特征:

1）它是一個變量；

2）它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而改變；

3）隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個隨機(jī)事件。設(shè)為一個隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)，則集合是隨機(jī)事件，隨著變化，事件也會變化。這說明該事件是實(shí)變量的“函數(shù)”。第3頁,共61頁，2024年2月25日，星期天2.隨機(jī)變量舉例與分類隨機(jī)變量實(shí)例：例2.13某人拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。

的可能取值為。例2.14某個燈泡的使用壽命。的可能取值為。例2.15一部電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)。的可能取值為。例2.16在區(qū)間上隨機(jī)移動的點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)。的可能取值為。隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量有限或無窮可列取值連續(xù)型非連續(xù)型無窮且不可列取值第4頁,共61頁，2024年2月25日，星期天二、分布函數(shù)

1.隨機(jī)變量的概率分布

Def能反映隨機(jī)變量取值規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為隨機(jī)變量的概率分布律，簡稱概率分布。

概率分布的常用表達(dá)方式有：分布函數(shù)（“通用型”）；概率函數(shù)或概率密度函數(shù)（“針對型”）。

2.分布函數(shù)概念

Def設(shè)為隨機(jī)變量，為任意實(shí)數(shù)，則稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。其定義域?yàn)椤?/p>

顯然，分布函數(shù)是一個特殊的隨機(jī)事件的概率。

3.分布函數(shù)的性質(zhì)

（1）對于任意有（非負(fù)有界性）；（2）（規(guī)范性）；

（3）對于任意有（單調(diào)性）；（4）在每一點(diǎn)至少是右連續(xù)的（連續(xù)性）。

是一個實(shí)函數(shù)！DistributionFunction第5頁,共61頁，2024年2月25日，星期天

若已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則對于任意有例2.17已知隨機(jī)變量的所有可能取值為，取各值的概率分別為，試求隨機(jī)變量的分布函數(shù)并作其圖像。

解：由題設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為由分布函數(shù)的定義有當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，。分布函數(shù)圖像如圖2.1所示0.30.30.4210圖2.1第6頁,共61頁，2024年2月25日，星期天概率函數(shù)與概率密度函數(shù)一、隨機(jī)變量的概率函數(shù)

1.離散型隨機(jī)變量

Def如果隨機(jī)變量所有可能取值為有限或無窮可列，則該隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。

設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值是，而取值的概率為，即有則稱該式為隨機(jī)變量的概率函數(shù)。其也可以用下列表達(dá)：并稱其為隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱分布列。

注意：離散型隨機(jī)變量的概率分布除用分布函數(shù)可以表示以外，還可以利用概率函數(shù)或分布列表示，概率函數(shù)與分布列是等效的，概率函數(shù)或分布列表示更直觀、簡便。第7頁,共61頁，2024年2月25日，星期天2.概率函數(shù)或分布列的性質(zhì)（1）；（2）（歸一性）。

3.概率函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系已知概率函數(shù)求分布函數(shù)已知分布函數(shù)求概率函數(shù)例2.21設(shè)的分布列為試求。解：由隨機(jī)變量的分布列有第8頁,共61頁，2024年2月25日，星期天

例2.22設(shè)有一批產(chǎn)品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，用表示抽取出2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求隨機(jī)變量的分布律和“至少抽得一件次品”的概率。解：的可能取值為。

于是，由古典概率有所以，的分布列為第9頁,共61頁，2024年2月25日，星期天

例2.23一名士兵向一目標(biāo)連續(xù)射擊，直至其擊中目標(biāo)為止。假定該士兵命中率為，而且任意兩次射擊之間互不影響，用表示該名士兵射擊次數(shù)。求的概率分布。解：的可能取值為；設(shè)表示該名士兵第次擊中目標(biāo)，。于是有相互獨(dú)立；。所以

即的概率函數(shù)為

注意：這種類型的隨機(jī)變量取值愈大，概率值愈小，是典型的不等概分布。當(dāng)時，取1的概率最大。第10頁,共61頁，2024年2月25日，星期天

例2.24設(shè)隨機(jī)變量的概率函數(shù)為試求（1）常數(shù)的值；（2）概率最大的取值。解:(1)由概率函數(shù)的性質(zhì)有又有函數(shù)的冪級數(shù)展開知，從而有解得

(2)由(1)知隨機(jī)變量的分布列為顯然，隨機(jī)變量取1和2的概率最大。第11頁,共61頁，2024年2月25日，星期天二、隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)

1.連續(xù)型隨機(jī)變量

Def設(shè)為隨機(jī)變量，其分布函數(shù)記為，如果存在非負(fù)函數(shù)，使得則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，非負(fù)函數(shù)為概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)。

2.概率密度的性質(zhì)（1）對于任意有；（2）；（3）對于任意有；（4）在函數(shù)連續(xù)點(diǎn)有。第12頁,共61頁，2024年2月25日，星期天3.連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量區(qū)別

定理：設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，為任意實(shí)數(shù)，則有證明：設(shè)的分布函數(shù)為，易知處處連續(xù)。于是，對于任意的，一定成立下列結(jié)論：即有不等式關(guān)于求極限，便得所以有該定理表明連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布不能用逐點(diǎn)取值的概率表達(dá)，而只能用概率密度來表達(dá)。第13頁,共61頁，2024年2月25日，星期天對于連續(xù)型隨機(jī)變量總成立下式：

例2.31設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為試求。解:有概率密度的性質(zhì)知解得，所以第14頁,共61頁，2024年2月25日，星期天

例2.32設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試求(1)常數(shù)的值；(2)；(3)概率密度。解:(1)由于連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)處處連續(xù)，所以有從而有，于是分布函數(shù)為

(2)

(3)第15頁,共61頁，2024年2月25日，星期天幾個常用的概率分布引入隨機(jī)變量的概念以后，客觀世界中的許多隨機(jī)現(xiàn)象，如果拋開其所涉及的具體內(nèi)容，實(shí)質(zhì)上可以用同一個概率模型（概率分布）來表達(dá)。一、幾個常用的離散型概率分布

1.二點(diǎn)分布（0-1分布）

Def若隨機(jī)變量的分布表為其中，則稱服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布。

二點(diǎn)分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象：

凡是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個可能的結(jié)果，都可以二點(diǎn)分布作為其概率模型。例如：擲硬幣觀察正反面，產(chǎn)品是否格，人口性別統(tǒng)計，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超負(fù)荷等等。第16頁,共61頁，2024年2月25日，星期天2.二項(xiàng)分布

Def若隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記為。二項(xiàng)分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象：凡是重貝努里概型中隨機(jī)事件發(fā)生次數(shù)的概率分布規(guī)律都可用二項(xiàng)分布來刻畫。當(dāng)時，二項(xiàng)分布就是二點(diǎn)分布。例2.41設(shè)某學(xué)生在期末考試中，共有5門課程要考，已知該學(xué)生每門課程及格的概率為0.8。試求該學(xué)生恰好有3門課及格的概率和至少有3門課及格的概率。解:設(shè)表示該學(xué)生恰好有3門課及格；表示該學(xué)生至少有3門課及格。顯然，這是一個5重貝努里概型，從而有第17頁,共61頁，2024年2月25日，星期天

例2.42某保險公司以往資料顯示，索賠要求中有8%是因?yàn)楸槐I而提出來的。現(xiàn)已知該公司某個月共收到10個索賠要求，試求其中包含4個以上被盜索賠要求的概率。解:設(shè)表示10各索賠要求中被盜索賠要求的個數(shù)，則于是，所求概率為即10各索賠要求中有4個以上被盜索賠要求的概率為0.00059

通過該例題的求解，可以看出：二項(xiàng)分布當(dāng)參數(shù)很大，而很小時，有關(guān)概率的計算是相當(dāng)麻煩的。甚至有時借助于計算工具也難實(shí)現(xiàn)。為了解決這種情況下的二項(xiàng)分布有關(guān)概率計算問題，1837年法國數(shù)學(xué)家S.D.Poisson提出了一下定理。第18頁,共61頁，2024年2月25日，星期天Poisson定理

設(shè)隨機(jī)變量，若時，有，則有

證明：令，于是有對于固定的有所以第19頁,共61頁，2024年2月25日，星期天有百分之一的希望就要做百分之百的努力

實(shí)際應(yīng)用中：當(dāng)較大,較小，適中時，即可用泊松定理的結(jié)果對二項(xiàng)概率進(jìn)行近似計算。例2.43某人騎摩托車上街，出事故的概率為0.02，獨(dú)立重復(fù)上街400次，求至少出兩次事故的概率。解:400次上街

400重Bernoulli概型；

記為出事故的次數(shù)，則。由于，所以由Poisson定理有

若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力400次，則該人成功的概率為。這表明隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，小概率事件是會發(fā)生的！第20頁,共61頁，2024年2月25日，星期天3.泊松（Poisson）分布

Def若隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為。泊松分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象：

服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)；交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)；礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù)；顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目；

單位時間內(nèi)市級醫(yī)院急診病人數(shù)；

一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)。特別注意:體積相對較小的物質(zhì)，在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其參數(shù)

可以由觀測值的平均值求出。第21頁,共61頁，2024年2月25日，星期天二、幾個常用的連續(xù)型概率分布

1.均勻分布（UniformDistribution）

Def若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則稱隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，記為均勻分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象：“等可能”地取區(qū)間中的值。這里的“等可能”理解為：落在區(qū)間中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的；或者說它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。這正是幾何概型的情形。例2.44

設(shè)在上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率。解:方程有實(shí)數(shù)根等價于，即；

所求概率為。第22頁,共61頁，2024年2月25日，星期天2.指數(shù)分布（ExponentialDistribution）

Def若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為指數(shù)分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象：

隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間；電話的通話時間；無線電元件的壽命；動植物的壽命。例2.45設(shè)服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，試寫出它的密度函數(shù)并求。解:的概率密度為第23頁,共61頁，2024年2月25日，星期天3.正態(tài)分布（NormalDistribution）

Def若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為其中參數(shù)滿足，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為。

特別當(dāng)參數(shù)時，也即，稱其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度記為正態(tài)分布概率密度函數(shù)的圖像特點(diǎn)：

圖像呈單峰狀；

圖像關(guān)于直線對稱；圖像在點(diǎn)處有拐點(diǎn)；

圖像以軸為漸近線。Gauss第24頁,共61頁，2024年2月25日，星期天參數(shù)對密度曲線的影響

相同不同密度曲線情況

相同不同密度曲線情況位置參數(shù)變化形狀參數(shù)變化第25頁,共61頁，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算分布函數(shù)利用查表法可計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值，從而解決概率計算問題。例2.46設(shè)隨機(jī)變量，試求解:查表知所以有第26頁,共61頁，2024年2月25日，星期天一般正態(tài)分布的概率計算分布函數(shù)在求解一般正態(tài)分布的概率計算問題時，現(xiàn)將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問題，然后利用查表法可計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值，從而解決概率計算問題。例2.47設(shè)隨機(jī)變量，試求。解:已知，所以有第27頁,共61頁，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù)

Def設(shè)隨機(jī)變量，對于給定的，如果實(shí)數(shù)滿足，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布關(guān)于的雙側(cè)分位數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)的意義如圖2.1所示。雙側(cè)分位數(shù)的計算方法：由定義知

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表便可得；也可直接查依據(jù)上式編制的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)表。

例如：圖2.1576.201.096.105.0645.110.0?=?=?=aaa第28頁,共61頁，2024年2月25日，星期天

上側(cè)分位數(shù)

Def設(shè)隨機(jī)變量，對于給定的，如果實(shí)數(shù)滿足，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布關(guān)于的上側(cè)分位數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)分位數(shù)的意義如圖2.2所示。上側(cè)分位數(shù)的計算方法：由定義知

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表便可得；也可由定義利用上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)之間的關(guān)系，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)表直接查得，即直接查的雙側(cè)分位數(shù)。

例如：圖2.2326.201.0645.105.0?=?=aaaauu第29頁,共61頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、一元隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.一元隨機(jī)變量函數(shù)Def注意：已知圓軸截面直徑D的分布,求所需鋼材截面積。第30頁,共61頁，2024年2月25日，星期天2.一元離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布求法一般地，若X是離散型R.V

，X的分布律為則Y=g(X)的分布表為如果中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可。證明因?yàn)樗杂猩鲜鼋Y(jié)果得以證明。

第31頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例2.51設(shè)X的分布表為-2-10120.20.10.40.20.1解：0.20.10.40.20.1-2-1012-4-202463236從而有的概率分布列為-4-20240.20.10.40.20.1的概率分布列為2360.40.30.3第32頁,共61頁，2024年2月25日，星期天3.一元連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布求法分布函數(shù)法的一般步驟例2.52設(shè)X的概率密度為求Y=2X+8的概率密度。解：隨機(jī)變量Y=2X+8的分布函數(shù)為

于是，Y的概率密度函數(shù)為第33頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例2.53已知的概率密度為，求的概率分布。解：第34頁,共61頁，2024年2月25日，星期天注意：第35頁,共61頁，2024年2月25日，星期天證：因?yàn)榈?6頁,共61頁，2024年2月25日，星期天服從正態(tài)分布，其中。例2.54

設(shè)隨機(jī)變量，證明也證明因?yàn)橛谑怯械?7頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例2.55

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求Y=sinX的概率密度。解：隨機(jī)變量Y=sinX的分布函數(shù)為

第38頁,共61頁，2024年2月25日，星期天所以有第39頁,共61頁，2024年2月25日，星期天

在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么,X的全部概率特征也就知道了.

然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.

因此，在對隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.第40頁,共61頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)期望（Expectation）：隨機(jī)變量的平均值；反映的是隨機(jī)變量的集中位置。方差（Variance）：隨機(jī)變量的集中程度。第41頁,共61頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望MathematicalExpectation以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均，反映了這7位同學(xué)高數(shù)成績的平均狀態(tài)。一、引例

某7學(xué)生的高數(shù)成績?yōu)?0，85，85，80，80，75，60，則他們的平均成績?yōu)殡S機(jī)變量所有可能取值的平均應(yīng)怎么確定？？？第42頁,共61頁，2024年2月25日，星期天二、數(shù)學(xué)期望的定義離散型隨機(jī)變量Def設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為

連續(xù)型隨機(jī)變量Def設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為

，若廣義積分第43頁,共61頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望所反應(yīng)的意義例2.61已知隨機(jī)變量X的分布律為4561/41/21/4求數(shù)學(xué)期望解：由數(shù)學(xué)期望的定義例2.62已知隨機(jī)變量X的分布律為01求數(shù)學(xué)期望解：由數(shù)學(xué)期望的定義第44頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例2.63已知隨機(jī)變量。求數(shù)學(xué)期望例2.64已知隨機(jī)變量。求數(shù)學(xué)期望第45頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例2.65已知隨機(jī)變量。求數(shù)學(xué)期望第46頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例2.66已知隨機(jī)變量。求數(shù)學(xué)期望第47頁,共61頁，2024年2月25日，星期天一元隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)是隨機(jī)變量X的函數(shù)，離散型連續(xù)型第48頁,共61頁，2024年2月25日，星期天該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變函數(shù)的期望帶來很大方便.例2.67解：因?yàn)榈?9頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例2.68第50頁,共61頁，2024年2月25日，星期天例2.6