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文檔簡介
習(xí)題一解答
1.取3.14,3.15,—27,坦3SS作為n的近似值,求各自的絕對誤差,相對
7113
誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。
分析:求絕對誤差的方法是按定義直接計算。求相對誤差的一般方法是先
求出絕對誤差再按定義式計算。注意,不應(yīng)先求相對誤差再求絕對誤差。有效數(shù)
字位數(shù)可以根據(jù)定義來求,即先由絕對誤差確定近似數(shù)的絕對誤差不超過那一位
的半個單位,再確定有效數(shù)的末位是哪一位,進一步確定有效數(shù)字和有效數(shù)位。
有了定理2后,可以根據(jù)定理2更規(guī)范地解答。根據(jù)定理2,首先要將數(shù)值轉(zhuǎn)化
為科學(xué)記數(shù)形式,然后解答。
解:(1)絕對誤差:
e(x)=n-3.14=3.14159265---3.14=0.00159…=0.0016。
相對誤差:
,、e(x)0.0016
e(x)=-L-:-=-----?0.51xl0
rx3.14
有效數(shù)字:
因為』=3.14159265…=0.314159265…X10,3.14=0.314X10,m=U
而n-3.14=3.14159265---3.14=0.00159-
所以|“一3.14|=0.00159…<0.005=0.5義10_2=_1*10一2=J_xlO_3
22
所以,3.14作為n的近似值有3個有效數(shù)字。
(2)絕對誤差:
e(x)=n-3.15=3.14159265---3.14=-0.008407-^-0.0085?
相對誤差:
,、e(x)-0.0085”,,八_2
er(x)=-^=------?-0.27x102
x3.15
有效數(shù)字:
因為n=3.14159265…=0.314159265…X10,3.15=0.315X10,m=L
而Ji-3.15=3.14159265---3.15=-0.008407-
所以|n-3.15|=0.008407...W0.05=0.5X10-1=-xl0^^-xl01-2
22
所以,3.15作為n的近似值有2個有效數(shù)字。
(3)絕對誤差:
22
e(x)=7V——=3.14159265-■--3.142857143=-0.001264493????-0.0013
相對誤差:
/、e(x)-0.0013.
e(x)=-----=———?-0A.4/111x110a3
rx22
T
有效數(shù)字:
因為兀=3.14159265…=0.314159265-X10,
22
—=3.142857143=0.3142857143x10,m=lo
7
22
而萬——=3.14159265----3.142857143=-0.001264493-??
7
所以
22
7t--=--|-3.14159265…-3.142857143|=0.001264493…K0.005
7
=0.5x10-2=-0-2=J_x]0_3
22
所以,烏作為口的近似值有3個有效數(shù)字。
7
(4)絕對誤差:
355
e(x)=7i------=3.14159265----3.14159292=-0.0000002705??-?-0.000000271
113
相對誤差:
e(x)=£(x)=-0.00()000271_0863xl(),7
x355
H3
有效數(shù)字:
因為n=3.14159265…=0.314159265-X10,
355
3.14159292=0.314159292x10,m=l
1130
355
而乃—土上=3.14159265…—3.14159292=-0.0000002705-??
113
所以
355
兀-----|3--.14159265??--3.14159292|=0.0000002705?--<0.0000005
113
=0.5x10^=-xl0_6=-xl01-7
22
所以,空作為口的近似值有7個有效數(shù)字。
113
指出:
①實際上,本題所求得只能是絕對誤差限和相對誤差限,而不是絕對誤差
和相對誤差。
②為簡單計,本題相對誤差沒有化為百分?jǐn)?shù)。
③在求出絕對誤差后,按定義求有效數(shù)字是基本功,必須掌握。絕對不允
許有了定理后就不會根據(jù)定義討論。因此,本類問題的解答應(yīng)當(dāng)是兩種方法都熟
練掌握的。
實際上,根據(jù)基本概念分析討論問題始終是最重要的方法,由于不同的作
者會提出不同的定理系統(tǒng),因此,掌握根據(jù)最本元的定義討論問題的方法是非常
重要的。
④祖沖之(公元429年一公元500年)是我國杰出的數(shù)學(xué)家,科學(xué)家。
南北朝時期人,漢族人,字文遠。生于宋文帝元嘉六年,卒于齊昏侯永元
二年。祖籍范陽郡遒縣(今河北部水縣)。在世界上最早計算出兀的真值
在3.1415926(胭數(shù))和3.1415927(盈數(shù))之間,相當(dāng)于精確到小數(shù)第7
位,這一紀(jì)錄直到15世紀(jì)才由阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾.卡西打破。祖沖之還給
出兀的兩個分?jǐn)?shù)形式:—(約率)和二(密率),其中密率精確到小數(shù)
7113
第7位,在西方直到16世紀(jì)才由荷蘭數(shù)學(xué)家奧托重新發(fā)現(xiàn),比祖沖之晚了
一千多年,數(shù)學(xué)史學(xué)界主張稱“密率”為“祖率”。
⑤近似數(shù)的有效數(shù)字只能是有限位。
⑥近似數(shù)的誤差分析中采用近似數(shù)x而不是其準(zhǔn)確數(shù),準(zhǔn)確數(shù)是未知
的.
⑦常出現(xiàn)德錯誤是,第一,不進行具體計算,結(jié)果不可靠;第二,兩
個分?jǐn)?shù)近似值(尤其第二個)取的數(shù)位不夠,結(jié)果有效數(shù)位計算錯誤;第
三,認(rèn)為分?jǐn)?shù)就是精確數(shù),就有無窮多有效數(shù)字。
2、用四舍五入原則寫出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近似數(shù)。
346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300
分析:本題實際上指出,按要求截取的近似數(shù)符合有效數(shù)字定義,相
關(guān)數(shù)位上的數(shù)字都是有效數(shù)字。解答方法簡單,直接寫出就可以,不需要
也不應(yīng)該做形式轉(zhuǎn)化(化為科學(xué)計數(shù)法形式)
解:346.7854心346.79,
7.000009^7.0000,
0.0001324580^0.00013246,
0.600300^0.60030o
指出:
注意0?
只要求寫出不要求變形。
3、下列各數(shù)都是對準(zhǔn)確數(shù)進行四舍五入后得到的近似數(shù),試分別指出
他們的絕對誤差限和相對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。
%1=0.0315,々=0.3015,x3=31.50,&=5000。
分析:首先,本題的準(zhǔn)確數(shù)未知,因此絕對誤差限根據(jù)四舍五入規(guī)則
確定。其次,應(yīng)當(dāng)先求絕對誤差限,再求相對誤差限,最后確定有效數(shù)字
個數(shù)。有效數(shù)字由定義可以直接得出。
解:由四舍五入的概念,上述各數(shù)的絕對誤差限分別是
£(xj=0.00005,£(%2)=0.00005,f(Xj)=0.005,f(x4)=0.5
由絕對誤差和相對誤差的關(guān)系,相對誤差限分別是
£(司)0.00005
d(x.)=----=-------?0.16%,
1Xi0.0315
£(演)_0.005
%)=?0.002%,
31.5
0.5
/為)=9?0.01%.
①5000
有效數(shù)字分別有3位、4位、4位、4位。
指出:
本題顯然是直接指出有效數(shù)位、直接寫出絕對誤差,用定義求出相對
7天差。
4.計算后的近似值,使其相對誤差不超過0.1%。
解:設(shè)取n個有效數(shù)字可使相對誤差小于0.1%,則
—xlO1'"<0.1%,
2q
而34廂44,顯然g=3,此時,
J-xio""=—LxlO"”<0.1%,
2al2x3
即LxlOf<10-3,
6
也即6x10">1(/
所以,n=4=
U七時,而=3.162。
5、在計算機數(shù)系F(10,4,-77,77)中,對
%=0.14281x103與》2=-0.314159x1(/,試求它們的機器浮點數(shù)#(xj(i=l,2)及
其相對誤差。
解:
#(/)=0.1428x1,e(#a))=/—八區(qū))=0.14281x1O'-0.1428x1()3=0.0000IxlO3,
/Z(x2)=-0.3142xl0',e(^(x2))=x2-/7(x2)=-0.314159x10'-(-0.3142x10')=0.00041x10'
其相對誤差分別是
0.00001xlO30.000041x10'
?0.007%,ea—0.013%。
0.1428xl032-0.3142x10'
6、在機器數(shù)系F(10,8,L,U)中,取三個數(shù)
x=0.23371258xl0-4,y=0.33678429xl02,z=-0.3367781IxlO2,試按
0+》)+2,》+0+%)兩種算法計算%+>+2的值,并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。
解:
/Z((x+y)+z)=(0.23371258x107+0.33678429xlO2)-0.3367781IxlO2
=(0.00000023xlO2+0.33678429xlO2)-0.336778llxlO2
=0.33678452xl02-0.3367781lx102
=0.00000641xlO2
力(x+(y+z))=0.23371258x10-4+(033678429x102—033677811x102)
=0.23371258X10-4+0.00000618X102
=0.00000023xlO2+0.00000618xl02
=0.0000064IxlO2
精確計算得:
x+y+z=0.23371258x10Y+0.33678429xlO2-0.336778llxlO2
=(0.00000023371258xl02+0.33678429xl02)-0.3367781IxlO2
=0.33678452371258xl02-0.33677811xlO2
=0.0000641371258x102
第一種算法按從小到大計算,但出現(xiàn)了兩個數(shù)量級相差較大的數(shù)相加,
容易出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù).而第二種算法則出現(xiàn)了兩個相近的數(shù)相減,容易導(dǎo)致
有效數(shù)位的減少。計算結(jié)果證明,兩者精度水平是相同的。
***
在機器數(shù)系F(10,8,L,U)中,取三個數(shù)
x=0.23371258xl0-4,y=0.33678429xl0-2,z=-0.3367781IxlO2,試按
(x+y)+z,x+(y+z)兩種算法計算x+y+z的值,并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。
解:
.((尤+y)+z)=(0.23371258x107+0.33678429xlO-2)-0.33677811xlO2
=(0.00233713x10-2+0.33678429xlO*2)-0.336778llxlO2
=0.33912142xl0-2-0.3367781IxlO2
=0.00003391xl02-0.3367781IxlO2
=-0.3367442xlO2
#(x+(y+z))=0.23371258X10-4+(0.33678429X10-2—033677811X1。2)
=0.23371258X10-4+(0.00003368xlO2-0.336778HxlO2)
=0.23371258X10-4-0.33674742X102
=0.00000023xlO2-0.33674742x102
=—0.33674719x102
第一種算法是按從小到大的順序計算的,防止了大數(shù)吃小數(shù),計算更
精確。
精確計算得:
x+y+z=0.23371258x10"+0.33678429xlO2-0.336778HxlO2
=0.000023371258+0.0033678429-33.677811
=0.003391214158-33.677811
=-33.674419785842
=-0.33674419785842x102
顯然,也是第一種算法求出的結(jié)果和精確結(jié)果更接近。
7、某計算機的機器數(shù)系為F(10,2,L,U),用浮點運算分別從左到右計
算及從右到左計算
1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01
試比較所得結(jié)果。
解:從左到右計算得
1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01
=0.1x10+0.04x10+0.03x10+0.02x10+0.00x10+0.00x10+0.00x10+0.00x10
=0.19x10
=1.9
從右到左計算得
1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01
=0.01+0.02+0.03+0.04+0.2+0.3+0.4+1
=0.1x10-1+0.2x10-'+0.3x"+0.4xl0-1+0.2+0.3+0.4+1
=0.1+0.24-0.3+0.4+1
=0.1x10+1
=0.1x10+0.1x10
=0.2x10
=2
從右到左計算避免了大數(shù)吃小數(shù),比從左到右計算精確。
8、對于有效數(shù)%,=-3.105,X2=0.001,%=0-100,估計下列算式的相對誤
差限
4
y,=x,+x2+x3,y2=%,%2%3,^
X3
分析:求和差的相對誤差限采取先求出和差的絕對誤差限再求相對誤
差限的方法。求積商的相對誤差限采取先求每一個數(shù)的相對誤差限再求和
的方法。
解:因為芯=一3.105,尤2=0.001,尤3=0」00都是有效數(shù),
所以£(%)=0.0005,s(x2)=0.0005,s(x3)=0.0005
0.00050.00050.0005
刎)==0.16%,<>(X)==50%?(九)=0.5%
3.10520.0010.100
貝Us(x}+x2+x3)=£(%)+£(%2)+£(演)=0.0005+0.0005+0.0005=0.0015
-、^(x,+x+x)0.00150.0015
6(X|+x,+£)=-------2=---3p?4.99xl0^=0.05%
>+X2+X3I|-3.105+0.001+0.100|-3.004
^(x,x2x3)=b(X1)+b(z)+15)=0.16%+50%+0.5%=50.66%
x
b(二)=)+6(X3)=50%+0.5%=50.5%
X3
指出:
如果簡單地用有效數(shù)字與誤差的關(guān)系計算,則不夠精確。
注意是相對誤差限的討論.符號要正確,商的誤差限是誤差限的和而不
是差。
9、試改變下列表達式,使其計算結(jié)果比較精確(其中kl1表示X充分
接近0,兇1表示x充分大)。
(1)Inx,-Inx2,x]?x2;
⑷匕土川?0且|x|1;
X
(5)--cotx,x^0且W1o
分析:根據(jù)算法設(shè)計的原則進行變形即可。當(dāng)沒有簡單有效的方法時就
采用泰勒展開的方法。
解:(1)InX]-lnx2=ln—;
X2
(2)
1_1-X_1+X-(1-X)2
1-x1+x(l-x)(l+x)
1+x-(1-2x+x2)3x~~x2
(l-x)(l+x)(1-x)(l+x)
2
y[x(Vx2+1+A/%2-1)
或
亭(G+1+y/x2-1)
y/x
__________2__________
yfx(yj%2+1+4x2-1)
(4)
彳2〃-1
X1
------+(-l),,+1-------十???
2;4!(2〃)!
⑸
L°tx=--…2"'篇
xxx345(2/1)!
11322"紇2,1
=-x+——X+??-+-----X+???
345(2〃)!
(B”是貝努利數(shù))
指出:
①采用等價無窮小代換的方法一般不可行。近似計算中的誤差并不是無
窮小量,利用無窮小量等價代換,兩個量的差別可能恰恰是影響精度的因
素。采用等價無窮小代換,可能只會得到精度水平比較低的結(jié)論。
例如
l-cosx2s嗚嗎)2
X
-------=------X——--
xXX2
11cosxsinx-xcosx
——cotx=--------=-------------
xxsinxxsinx
x---------(x?1,sinx)
xsinx
1-cosx
sinx
?----(Ixl?1,COSX?1)
sinx
=0
試與上例比較。
有時候這種方法可以使用,例如
因為cos(x+<J>)=cosxcos<5-sinxsin5,
當(dāng)周<<1時,cos5?l,sin^?0
cos(x+S')-cosxcos-sinxsin8?cosx-sinx8
在這個計算中,由于X是常數(shù),X的函數(shù)值實際上放大了每一項的計算
結(jié)果,使得相近的數(shù)相減的問題不很突出。
而利用一階的泰勒展開/(x+b)a/(x)+b/'《)(x<g<x+b),當(dāng)冏1時,
就有/(x+6)a/(x)+b/'(x),因"匕
cos(x+b)bcosx-bsinx
和上面的結(jié)果一樣。但顯然,用泰勒展開的方法具有一般性并能得到精
度更高的結(jié)果,而且不會有方法上出錯的可能。
②采用洛必達法則也是不可以的。實際上,無論是等價無窮小還是洛必
達法則都是極限方法,而因為近似計算中的誤差雖然可以近似地看作是微
分,但本質(zhì)上卻是一個確定的可能極小的小數(shù)而不是無窮小(趨于零的變
量),因此近似計算是不能采用極限方法的。
③轉(zhuǎn)化的結(jié)果要化簡,比如化繁分式為簡分式,但不能取極限。取極限
就違背的了數(shù)值計算的本意。
所以,
11-x11-0,,
-------------x--------------=1-1=0A
1-x1+冗1—01+0
是錯誤的。
④極小的數(shù)做除數(shù),實際上是9型的不定型,要轉(zhuǎn)化為非不定型。
o
10、用4位三角函數(shù)表,怎樣算才能保證1-COS2。有較高的精度?
解:根據(jù)l-cos20=2sin2「,先查表求出sinl再計算出要求的結(jié)果精度
較高。
指出:
用度數(shù)就可以。不必化為弧度。
11、利用用5。27.982求方程x2-56x+l=0的兩個根,使它們至少具有
4位有效數(shù)字。
解:
由方程的求根公式,本方程的根為
56±V^.56±2k=28±^
口22
因為7^^27.982,則
x,=28+7783?28+27.982=55.982
如果直接根據(jù)求根公式計算第二個根,則因為兩個相近的數(shù)相減會造
成有效數(shù)字的減少,誤差增大。因此
根據(jù)韋達定理百々=1,在求出%=55.982后這樣計算/:
x,=—?―1—=0.01786=0.1786x10'
■占55.982
這樣就保證了求出的根有四位有效數(shù)字。
12、試給出一種計算積分
1
/〃=e~l^xnexdx[n=0,1,2,3,...),
o
近似值的穩(wěn)定算法。
1
]]x]
解:當(dāng)n=O時,/0=e~^edx=e~\e-X)=\-e~o
o
ii
(^exdx—ex|=e-1)。
oo
bb
對L運用分部積分法(-卜加)得
aa
111
lnx-lz,vn[xn}x
In=e~^xedx=e(xe|(-n^x~edx)=e~\e-Q-n^x~edx)
000
=1—ne~l^xn}exdx=1—nl,1
o
由此得到帶初值的遞推關(guān)系式
/0=i-/
Jn=1-〃/“一](〃=1,2,3,…)
由遞推公式L=l—nl“一解得—這是逆向的遞推公式,對
n
L的值作估計,有
1
/〃=e~]^xnexdx<ex"dx=——
oo"+1
另有
11
/“=e~]^xnexdx>e~]^xndx=e~l1
〃
00+l
(取e的指數(shù)為最小值0,將e,取作e°=1作為常數(shù)即可簡化公式)。
則-o
〃+1〃+1
那么,我們可以取其上下限的平均值作為其近似值。即取
2〃+1
可以看出,n越大,這個近似值越精確地接近于準(zhǔn)確值。
(n越大,1n的上限和下限就越接近,近似值區(qū)間的長度就越短,近似值和
精確值就越接近)
此時,en-l=In-i*—In-1=——(L:—L)=—e()=-Ie?|,計算是穩(wěn)
nnn\
定的。
實際上,如果我們要求L,可以先求出L。,這樣求出的h的誤差是比Lo
的誤差小得多的,而品的誤差本身也并不大。實際上,這樣求出的L比直接計
算出來的精確得多。
習(xí)題二解答
1.用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在區(qū)間[3,4]內(nèi)的根,精確到10"即誤
差不超過
2
分析:精確到IO"與誤差不超過IO"不同。
解:因為f(3)=-10V0,f(4)=9>0,所以,方程在區(qū)間[3,4]上有根。
由
b-ah-a4-31
——inL=-------=--------=——<-xlO-3
2T2〃T2
有2*1>1000,又為2i°=1024>1000,
所以n=ll,即只需要二分11次即可。
列表討論如下:
f(Xn)的符號
nbnXn
1343.500—
23.50043.750+
33.5003.7503.625—
43.6253.7503.688+
53.6253.6883.657+
63.6253.6573.641+
73.6253.6413.633+
83.6253.6333.629—
93.6293.6333.631—
103.6313.6333.632+
113.6313.6323.632——
x々Xi1=3.632。
指出:
(1)注意精確度的不同表述。精確到IO-和誤差不超過1()7是不同的。
(2)在計算過程中按規(guī)定精度保留小數(shù),最后兩次計算結(jié)果相同。
如果計算過7f呈中取4位小數(shù),結(jié)果取3位,則如下表:
nf(xj的符號
anbnXn
1343.5000一
23.500043.7500+
33.50003.75003.6250—
43.62503.75003.6875+
53.62503.68753.6563+
63.62503.65633.6407+
73.62503.64073.6329+
83.62503.63293.6290—
93.62903.63293.6310—
103.63103.63293.6320+
113.63103.63203.6315—
(3)用秦九韶算法計算f(xj比較簡單。
1*.求方程X3-2X2-4X-7=0的隔根區(qū)間。
解:令y=d—2x2-4x-7,
則y'-3x2-4x-4=(3x+2)(x-2'
當(dāng)y'=3x2-4x-4-(3x+2)(x-2)=0時,有玉=一1'x2=2。
函數(shù)單調(diào)區(qū)間列表分析如下:
2_2(2.)
X(『)——22(2,+8)
-33
y十0—0+
y---------------15
27f—
因為「-2)=一亶<0'『2)=-15<0,所以方程在區(qū)間(-2'2)上無根;
3273
因為),(-2)=一此<o(jì),而函數(shù)在(-8'-2)上單調(diào)增,函數(shù)值不可能變號,所以
3273
方程在該區(qū)間上無根;
因為),2=-15<0,函數(shù)在(2,+8)上單調(diào)增,所以方程在該區(qū)間上最多有
一個根,
而(3)=-10<0,y(4)=9>0,所以方程在區(qū)間(3,4)有一個根。
所以,該方程有一個根,隔根區(qū)間是(3.4)。
2.證明1-x-sinx=O在[0,1]內(nèi)有一個根,使用二分法求誤差不大于gxlO"
的根,需要迭代多少次?
分析:證明方程在指定區(qū)間內(nèi)有一個根,就是證明相應(yīng)的函數(shù)在指定區(qū)間
有至少一個零點。
解:令/(x)=l-x-sinx,
因為/(0)=l—0—sin0=l>0J(l)=l-1—sinl=—sinl<0,
則〃0)/(1)<0,
由零點定理,函數(shù)f(x)在[0,1]區(qū)間有一個根。
III
I*1,一a”b—a1—011A_4
I"I22"T2"2
有2^1>10000,又為2i°=1024,213=8192<10000,214=16384>10000
所以n=15,即需要二分15次。
指出:
要證明的是有一個解而不是唯一解,因此不必討論單調(diào)性。
70
3.試用迭代公式Z+1=-^--------=1,求方程/+2尤2+10/-20=0的
芍++10
根,要求精確到105。
分析:精確到10-5即誤差不超過-X10-5
2
解:令/(x)=1+2x2+lOx-20
列表進行迭代如下:
x?/區(qū))
01-7
11.538463.75964
21.29502-1.52380
31.401820.70311
41.35421-0.30667
51.375300.13721
61.36593-0.06067
71.370090.02705
81.36824-0.01198
91.369060.00531
101.36870-0.00228
111.368860.00110
121.36879-0.00038
131.368820.00025
141.368813992x1O-5
151.368813992x10-5
指出:
精確到105可以從兩個方面判定。第一,計算過程中取小數(shù)到105位,最后
兩個計算結(jié)果相同,終止計算。第二,計算過程中取小數(shù)到KT。,當(dāng)
終止計算。
本題采用第一種方法。
COS.
4.將一元非線性方程2x-e'=0寫成收斂的迭代公式,并求其在%=05
附近的根,要求精確到IO-。
coscos
COScos9x2x
解:2x-e'=0改寫為2x=—=1=0,則
xx
cosee
2x'H.
X=X-------1,*ix.
/、cos
()2x
2X=XH-------1
有
(sincos)272Slnx+-)
2x+x4
-----------=1-------------
eje-刀
在Xo=O,5處,因為
r-sin(.)
()2V205+-K
g'05=1-------——^-=09615<l
cos
所以迭代法gX*M=4+-1在x。=0,5的鄰域內(nèi)收斂。
ek
列表迭代如下:
Xk
00.5
10.71
20.69
30.69
COS...
止匕時2069—e°A69=000614。
5.為求方程d-1=0在x°=r5附近的一個根,設(shè)將方程改為下列等價
形式,并建立相應(yīng)的迭代公式:
()]1
1X=1+—迭代公式/+]=1+=
(2x3=14-X2'迭代公式/+[=(1+X;%
(3'迭代公式x*+|=-7~
x-1v1片
4-1-
試分析每種迭代公式的收斂性,并取一種公式求出具有4位有效數(shù)字的近
似值。
解:(1)因為x=l+],所以迭代函數(shù)為g1Ll+4,則
XX
JJ=g"'=(-2)=-2x-3,[J15]=|-2xl57卜—=—^—<1滿足局部
x153375
收斂性條件,所以迭代公式=1+4具有局部收斂性。
()【所以迭代函數(shù)為g(上,/;,則
(2)因為x=1+x2-
,()1(,^-i2(,2月2x
2X=-1+X-232x--X1+X-,工,
331+/號
=0456<1滿足局部收斂性條件,所以迭代公式
31+152^
具有收斂性。
(3)因為》=]彳,所以迭代函數(shù)為則
x-/x-H
|g乙?5:|=,;5-1*=—^=1,414>1不滿足收斂性條件,所以迭代公式
22x055
4M=1\不具有收斂性。
4-12
用迭代公式ki=1+4列表計算如下:
不
01.5
11.444
21.480
31.457
41.471
51.462
61.468
71.464
81.467
91.465
101.466
111.465
所以,方程的近似根為x*a「465。
6.設(shè)夕2=x+c"_3),應(yīng)如何取C才能使迭代公式%=夕1*,具有局部
收斂性?
解:設(shè)C為常數(shù),因為°1)=X+C(X2-3),所以JX)=1+2CX,要使迭代
公式具有局部收斂性,需忸'=+此時即有-1<1+2&。<1,也即
-l<Cx0<Oo即只要C去滿足如上條件的常數(shù),就可以使得迭代公式具有局
部收斂性。
指出:
下面的討論是不合適的:
因為=x+c3—3),所以x=x+C,—3),所以。(/-3)=0,所以
x=±百,由此確定方程的準(zhǔn)確值。
要明確的是,方程的準(zhǔn)確值時不知道并難以獲得的,因此才需要迭代法。
用解析法確定公式解在討論在邏輯上是不通的。同時,這里強調(diào)的是一類方程的
迭代解法的收斂性,也不應(yīng)局限在具體的求解,關(guān)鍵是確定C的范圍。
7.用牛頓法求方程V—3x7=0在初始值x°=2鄰近的一個正根,要求
Iki—<103。
解:因為X3—3X—1=0
所以有/(x)=x3-3x-1,相應(yīng)的迭代公式為
X;—3x..—1+1
y_丫入人______2________
八|―*--3--3-3x;-3
取x0=2為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下:
k0123
Xk21.88891.87951.8794
因為k-引=0.0001<|xl0-3,符合計算的精度要求,所以
x*xx3=1.8794o
8.用牛頓法解方程,-c=0,導(dǎo)出計算數(shù)c的倒數(shù)而不用除法的一種簡單
X
的迭代公式。用此公式求0.324的倒數(shù),設(shè)初始值x0=3,要求計算有5位有效
數(shù)字。
解:對于方程1-c=0,W/V=--c,相應(yīng)的迭代公式為
XX
1
-------C
々O2
Z+1=4--=2Xk-cXk。
三
應(yīng)用該迭代公式求0.324的倒數(shù),列表計算如下
Xk
03
13.084
23.0864
33.0864
1.
所以「一?30864o
0324
指出:
如果將方程
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