奇偶性 教學設(shè)計二-人教A版高中數(shù)學必修第一冊

3.2.2奇偶性(人教A版)

教材分析

《奇偶性》內(nèi)容選自人教版A版第一冊第三章第三節(jié)第二課時;函數(shù)奇偶性是研究函數(shù)的一個重要

策略，因此奇偶性成為函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的研究也為今后指對函數(shù)、累函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)等后

續(xù)內(nèi)容的深入起著鋪墊的作用.

教學目標與核心素養(yǎng)

課程目標

1、理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義；

2、學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；

3、學會判斷函數(shù)的奇偶性.

數(shù)學學科素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：用數(shù)學語言表示函數(shù)奇偶性；

2.邏輯推理：證明函數(shù)奇偶性；

3.數(shù)學運算：運用函數(shù)奇偶性求參數(shù)；

4.數(shù)據(jù)分析：利用圖像求奇偶函數(shù)；

5.數(shù)學建模：在具體問題情境中，運用數(shù)形結(jié)合思想，利用奇偶性解決實際問題。

教學重難點

重點：函數(shù)奇偶性概念的形成和函數(shù)奇偶性的判斷;

難點：函數(shù)奇偶性概念的探究與理解.

課前準備

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

教學過程

一、情景導入

前面我們用符號語言準確地描述了函數(shù)圖象在定義域的某個區(qū)間上“上升”(或“下降”)的性質(zhì).下

面繼續(xù)研究函數(shù)的其他性質(zhì).

畫出并觀察函數(shù)/(%)=犬和g(x)=2-|x|、/(%)=兀和8(1)=工的圖像，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖像

有什么共同特征碼？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、預習課本，引入新課

閱讀課本82-84頁，思考并完成以下問題

1.偶函數(shù)、奇函數(shù)的概念是什么？

2.奇偶函數(shù)各自的特點是？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1.奇函數(shù)、偶函數(shù)

(1)偶函數(shù)(evenfunction)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

(2)奇函數(shù)(oddfunction)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

2、奇偶函數(shù)的特點

(1)具有奇偶性的函數(shù)的定義域具有對稱性，即關(guān)于坐標原點對稱，如果一個函數(shù)的定義域關(guān)于坐標原點

不對稱，就不具有奇偶性.因此定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)存在奇偶性的一個必要條件。

(2)具有奇偶性的函數(shù)的圖象具有對稱性.偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱;

反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，那么，這個函數(shù)是偶函數(shù)，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對

稱，那么，這個函數(shù)是奇函數(shù).

(1)

(3)由于奇函數(shù)和偶函數(shù)的對稱性質(zhì),我們在研究函數(shù)時，只要知道一半定義域上的圖象和性質(zhì)，就可以

得到另一半定興貼的陛到哪/⑴+/(_尤)=o

(4)偶函數(shù)：/(一幻=/(尤)O/(x)-/(一無)=0,

奇函數(shù):

(5)根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。

(6)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(0)有定義，則f(0)=0。

四、典例分析、舉一反三

題型一判斷函數(shù)奇偶性

例1(課本P84例6)：判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)/(x)=X4(2)f(x)=x5(3)f(x)=x+—(4)/(x)=

xx

【答案】(Df(x)為偶函數(shù)(2)f(x)為偶函數(shù)

(3)f(x)為奇函數(shù)(4)f(x)為偶函數(shù)

【解析】

(1)f(x)=x4的定義域為R,關(guān)于原點對稱。且/(—X)=(—尤)4=/=/(%),

所以f(x)=x4為偶函數(shù).

(2)/(X)=/的定義域為R,關(guān)于原點對稱。且/(-x)=(-x)5=-X5=

5

所以f(X)=x為偶函數(shù).

(3)f(x)=x+—的定義域為{%|九W0},關(guān)于原點對稱.

且/(-%)=-x+—=-(x+-)=-/(%),所以/(%)=x+—為奇函數(shù).

-XXX

(4)Z(-x)的定義域為{x|xwO},關(guān)于原點對稱.且/(一%)=，±=+=/(￡),

所以/(X)=3為偶函數(shù).

解題技巧：(利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：)

1.定義法

(1).首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱;

(2).確定f(—x)與f(x)的關(guān)系；

(3).作出相應結(jié)論：

若f(—x)=f(x)或f(―x)—f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù)；

若f(-x)=-f(x)或f(—x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).

2.圖像法

跟蹤訓練一

1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(l)f(X)=2—|x|；

(2)f(x)=^/x2—1+-xjl—x2；

X

(3)f(x)='

X—1

x+1,x>0,

(4)f(x)=

—x+1,x<0.

【答案】(Df(x)為偶函數(shù)(2)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

(3)f(x)是非奇非偶函數(shù)(4)f(x)為偶函數(shù)

【解析】(1”.?函數(shù)f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱，

又f(―x)=2—|—x|=2—|x|=f(x),

；.f(x)為偶函數(shù).

(2”.?函數(shù)f(x)的定義域為{—1,1},關(guān)于原點對稱,且f(x)=0,

又x)=—f(x),f(—x)=f(x),

f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(3)???函數(shù)f(x)的定義域為{x|x#l},不關(guān)于原點對稱，

；.f(x)是非奇非偶函數(shù).

⑷f(x)的定義域是(一8,o)u(O,+8),關(guān)于原點對稱.

當x>0時，-x<0,f(―x)=1—(―x)=l+x=f(x)；

當x<0時，-x>0,f(―x)=1+(―x)=1—x=f(x).

綜上可知，對于xG(—8,0)U(0,+8),都有f(―x)=f(x),f(x)為偶函數(shù).

題型二利用函數(shù)的奇偶性求解析式

例2已知f(x)為R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=-2%2+3X+1,

⑴求f(T)；

⑵求f(x)的解析式.

f-2x2+3x+l,x>0,

【答案】(D-2(2)f(x)=10,x=0,

(2x2+3x-l,x<0.

【解析】(1)因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

所以f(T)=-f(1)=-(-2X12+3X1+1)=-2.

⑵當x<0時,-x>0,則

f(-x)=~2(—X)2+3(-x)+1=-2x2-3x+l.

由于f(x)是奇函數(shù)，則f(x)=-f(-x),

所以f(x)=2%2+3x-l.當x=0時，f(-0)=-f(0),則f(0)=-f(0),即f(0)=0.

iOy、n

0,x=0,''

2x2+3x-l,x<0.

解題技巧：(求函數(shù)解析式的注意事項))

1.已知當xe(a,b)時,f(x)=4)(x),求當xe(-b,-a)時f(x)的解析式.

若f(x)為奇函數(shù),則當x￡(-b,-a)時,

f(x)=-f(-x)=一6(-x);

若f(x)為偶函數(shù),則當x￡(-b,-a)時,

f(x)=f(-x)=6(-x).

2.若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù),則必有f(0)=0,不能漏掉.

跟蹤訓練二

1.若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=x2—2x+3,求f(x)的解析式.

X2—2x+3,x>0,

【答案】f(x)Jo,x=0,

、一x2—2x—3,xVO.

【解析】當xVO時，-x>0,

f(—x)—(—x)2—2(—x)+3=x2+2x+3,

由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)=—f(—x),

所以f(x)=—x2—2x—3.

即當x<0時，f(x)=—x2—2x—3.

x2—2x+3,x>0,

故f(x)=<0,x=0,

、一x2—2x—3,xVO.

題型三利用函數(shù)的奇偶性求參

例3(1)若函數(shù)f(x)=a%2+bx+3a+b是偶函數(shù)，定義域為[a—1,2a],則a=,b=；

⑵已知函數(shù)f(x)=ax2+2x是奇函數(shù)，則實數(shù)a=.

【答案】(1)10(2)0

【解析】(1)因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以a—1=—2a,解得a=)

又函數(shù)f(x)=(x2+bx+b+l為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點，易得b=0.

(2)由奇函數(shù)定義有f(—X)+f(x)=0,得a(—x)2+2(—x)+ax2+2x=2ax2=0,故a=0.

解題技巧：(利用奇偶性求參數(shù))

1.定義域含參數(shù)：奇偶函數(shù)的定義域為[a,b],則根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱，即a+b=O求參；

2.奇偶函數(shù)求參可利用特殊值法，若是奇函數(shù)則利用f(0)=0,或f(l)+f(-l)=O等，若是偶函數(shù)則利用

f(1)-f(-1)=0等求參.

跟蹤訓練三

1.設(shè)函數(shù)1——八——為奇函數(shù)，則