數(shù)值分析考試題

數(shù)值分析試題

院系,專業(yè)：分?jǐn)?shù)：

姓名，學(xué)號(hào)：日期：2005.1.

注：計(jì)算題取小數(shù)點(diǎn)后四位.

一、填空題(每小題3分，共15分)

1.若

fx3-l0<x<l

S(x)=(132

I—(x-1)'+a(x-1)~+Z>(x-1)+c14x42

是三次樣條函數(shù)，則。=J)=,c=.

2.以〃+1個(gè)整數(shù)點(diǎn)A(&=0,1,2,…，而為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為

lk(x)(k=0,1,2,—,n),則E%(x)=.

k=0

3.序列｛I,,｝：。滿足遞推關(guān)系：)"=10幾_]一1,(〃=1,2,...),若加有誤差，這個(gè)計(jì)算

過程是否穩(wěn)定？.

4.卻。1)=2/+/—3,/[1,2,3,4,5,6]=.

5.下面Matlab程序所描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式為.

forj=1:n

fori=1:zn

y(i)-A(i,j)*x(j)+y(i)

end

end

二、簡(jiǎn)單計(jì)算題(每小題6分，共18分)

134

1.已知矩陣A=321，求Givens變換陣G使GAGT為三對(duì)角陣。(不用計(jì)算GAGD

411

、?「321一

2.設(shè)A=]],求co,2d(A%.

3.確定數(shù)值求積公式￡f(x)dx+的代數(shù)精度.

三、（12分）已知矩陣4=212,

021

用施密特正交化方法求矩陣A的正交分解，即人=0區(qū)

四、（10分）應(yīng)用Lagrange插值基函數(shù)法，求滿足下面插值條件的Hermite插值多項(xiàng)式。

五、（10分）設(shè)/（*）三階連續(xù)可導(dǎo)，七=與+訪,i=0,1,2.試推導(dǎo)如下數(shù)值微分

/(*0)-4/(a)+3/(芍)

公式的截?cái)嗾`差

/'(x2)?

六、（10分）利用求積公式

求定積分J%2dxo

七、（15分）用最小二乘法確定一條經(jīng)過原點(diǎn)的二次曲線，使之?dāng)M合下列數(shù)據(jù)

Xi01.02.03.0

0.20.51.01.2

并求最小二乘擬合誤差冏％

八、（10分）

'201][1'

已知球砒公式）,b=3

203」|_-1_

x（k+i）=”>+a（Ax（k）-b）,{k=0,1,2,-）

求解解軟侏么要數(shù)可使迭代收斂，且為何值時(shí)

收斂最快？

數(shù)值分析答案

一、填空題（每小題3分，共15分）

n

1.a—3,b—3,c=0.2.Z七（x）=x3.不穩(wěn)定

A=0

4./[1,2,3,4,5,6]=05.y=Ax+y,AeRRxeR\yeR,n

二、簡(jiǎn)單計(jì)算題（每小題6分，共18分）

1.tan6=—=cos0=,1==—=sin0=.J==—

355

100'

G=03/54/5

0-4/53/5

1-2

2.cond(A\=11^11]||A-1||=4X1=4,A-1=g

(13

3.代數(shù)精度為2。

三.(12分)%=(0,2,0/,4=(2,1,2/,%=(0,2,1/,

N=/=(0,2,0)r,￡|=(0,l,0)r,

匕="2一("2'￡]="2—%=(2,0,2),￡?=-1—1)

匕="3—(”3，￡1)￡1—(“3，e2^e2=U3~2與

01/V2

A=QR=10002V21/V2

01/V2i/VIJ|_o01/V2_

四.

H(x)=7i1(x)+7ii(x)

令％(x)=x2(ax+b),h[(x)=2x(ax+b)+ax，

由蹴w:…,a=-2

b=3

/.%(x)=x2(—2x+3)

令m(x)=>lx2(x—1),hi(x)=4(3*2—2x\

由激i(l)=A=1

r.h\{x}=x2(x—1)

22

H(x)=^1(X)4-/11(X)=X(—2X4-3)4-x(x—1)

=2x2-x3

五、（10分）

/(*。)=/區(qū))一2夕(馬)+7”區(qū))一寫尸"?)

/(巧)=/區(qū))一礦(/)+]/”(0)一④)

(1)-4*⑵除2九得

廣

2h3

(

(10分)jf(x)dx=11/dt

。2-?22-'—

=0.3600

七、(15分)例(*)=*,夕2(*)=/

1436["]16.11r?1_r0.6184-

3698_|[打一]《獨(dú)㈤一]-0.0711_

s(x)=0.6184x-0.0711x2

同「=(y,y)一q(①],y)—b(9,y)

=2.73-0.6184x6.1+0.0711x15.3

=0.0456

'A-20-1'

八他解：)I2/-AI=02-50=(2-5)(22-5A+4)

-202-3

4=i,A2=44=,5

迭代矩陣的特程值為A"]=l+a,〃2=1+加,〃3=1+S。

11+。1<1=一1<1+。<1=-2<。<0,

ll+4al<l=>-l<l+4a<l=>~—<a<0,

2

,一2

11+5。k1=-1<1+5u<1=—<A<0,

5

當(dāng)w凝代格式收斂。

11+a1=11+5。In-(D+a=1+5〃n6a=-2no二-'

3

當(dāng)昨4斂最快。

數(shù)值分析試題(A)

院系,專業(yè):分?jǐn)?shù)：

姓名，學(xué)號(hào):日期：2005.6.29.

注：計(jì)算題取小數(shù)點(diǎn)后5位.

一、填空題(每空3分，共15分)

1.形如加力的插值型求積公式，其代數(shù)精度至少可達(dá)次，

A=0

至多可達(dá)次。

2.以〃+1個(gè)整數(shù)點(diǎn)k(k=l,2,…,n,n+1)為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為

〃+1

lk(x)(k=1,2,???，〃,〃+I),貝！IE[A(0)A"+'=?

k=l

3.糊心)=2/+/-3,/[1,2,3,4,5]=.

4.下面Matlab程序所描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式為.

fory=1:n-1

b(j)=b(j)/L(jJ);

b(j+l:n)=b(j+l:n)-b(j)*L(j+l:nj);

end

b(n)=b(n)/L(n,n);

二、簡(jiǎn)單計(jì)算題(每小題6分，共18分)

1-2-后

1.已知矩陣4=-221，求Householder變換陣H使HAH為三對(duì)角陣。

_-V511

(不用計(jì)算HAH)

12

2.設(shè)4=1-1,求co〃d(A)2.

11

2,求A的LU分解。

3

三、(12分)已知一組線性無(wú)關(guān)的向量

?2=(2,1,0/,4=(0，1，11，

由此向量組，按Schmidt正交化方法，求一組A共匏向量組，

'100-

其中A=020.

001_

四、(12分)應(yīng)用Lagrange插值基函數(shù)法，求滿足下面插值條件的Hermite插值多項(xiàng)式,

并寫出截?cái)嗾`差。

O12

y,O12

"OO

4/+x2-2X3=1

五、(12分)設(shè)線性方程組為,/+39+*3=2

—2X］+x2+4X3=3

(1)寫出用SOR迭代法求解此方程組的分量計(jì)算格式；

(2)當(dāng)取。=2時(shí)，SOR迭代法是否收斂，為什么？

(3)當(dāng)取0=1時(shí)，SOR迭代法是否收斂，為什么？

1

六、(12分)已知高斯求積公式Jf(x)dx?/(0.57735)+/(-0.57735)

-1

1

將區(qū)間［0,1］二等分，用復(fù)化高斯求積法求定積分JWdx的近似值。

o

七、(12分)用最小二乘法確定一條經(jīng)過點(diǎn)(4,0)的二次曲線，使之?dāng)M合下列數(shù)據(jù)

X,0.01.02.03.0

［以2.02.83.64.8

八、(7分)設(shè)內(nèi)積空間H=spa〃{Go(x),0(x),…，e.(x)},

由0o(x),%(x),…，0”(x)所確定的Gram矩陣為

例(x))…(°o(x)，G“(x))

G=::

證明：若G為非奇異矩陣，則0o(x),0i(x),…,e,(x)線性無(wú)關(guān)。

數(shù)值分析答案

一、填空題(每空3分，共15分)

1.n,2n+l.2.(—l)n(zz+1)!

3.川,2,3,4,5]=2

4.解Lr=),其中LeR"x"，為下三角陣,xeR",5eR"

二、簡(jiǎn)單計(jì)算題(每小題6分，共18分)

l.x=(-2,-V5)r,cr=-3,j=(3,0)r,w=x-j=(-5,-75/

100

H=0-2/3-V5/3

0-V5/32/3

,「32

2.A'A=,A'A的特征值為CTj-7,CT2=2,，cond(A)2=—=

26'%

1002-11

3.A=LU=210010

1-11002

三.(12分)解法1:b=%

rr

v2=?2-(?2,Af,)f,=(2,l,0)-2(|,|,-1)=(l,0,1/

匕=%一(u3,AeJj-,AE2)e2

3T

4

r

三.(12分)解法2：VI=ux=(l,l,-l),

2+2v,=(2,1,0/-(1,1,-1/=(1,0,1/

(%,4匕)=4

(VpAv,)4

匕=%+4匕+4%

iia

=(0,1,1)7-;(1,1,-1)，-",(Ml=口-1,1,11

424

(匕，4匕)4-(V2,AV2)2

四、(12分)11(*)=%(*)+2也0)

令%(%)=Ax2(x—2)2,

由％(1)=4=1,:?％(x)=x2(x—2)2

2

令色(x)=x(x—l)(ax+b)9

22

h2(x)=(3x—2x)(ax+b)+ax(x—1),

由懶2)=核+刀=1,k=4

色(2)=8(2?+))+4。=0,,5

4

715

:.h2(x)=x(x—1)(—^-x+—)

15

222

7/(X)=/?1(X)+2^(X)=X(X-2)+2X(X-1)(-IX+-)

=-x2--x3

22

r(5)(百)

R(x)=f(x)-H(小望，--】心-2)2

碟+D=球>+：(1—4球，一婢>+2球>)

+,)

五分迭怫制Rx”>=球)+|(2-x；*-3寸>一球))

球+D=球)+?(3+2婢+|>_球+。一4球))

(2)當(dāng)時(shí)迭2代溫段敬。

(3)當(dāng)時(shí)此時(shí)迭代法頗auss-Seide嗨代法，

由于A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的所以速相法收斂。

=-(V1+0.57735+Vl-0.57735+J3+0.57735+J3-0.57735)

8

=0.66924

七（1分切］（X）=X+1,02（X）=（X+1）2

3010037.61.69414

100354b122.6b-0.13226

s(x)=1.69414(x+1)-0.13226(x+1)2

八、（分）證明：酢奇異，=>Qe線性就關(guān)）（pn（x）

反證：假設(shè)夕o（x），雒（幽相關(guān)，丸（x）

存在不全為零的俅a0,1,…,n）\>閉（*）

j=0

n

（Zc/?j（x）,猊Qx）k=O,1,...,n

j=o

￡（%0x于0,效檎）％?…而非零解，

航可宥非零解，

G奇異,矛盾。

數(shù)值分析試題（A）

院系：專業(yè):分?jǐn)?shù)：

姓名：學(xué)號(hào)日期：2006.1.5?

注：計(jì)算題取小數(shù)點(diǎn)后四位。

一、填空題（每小題3分，共15分）

2.已知x=62.1341是由準(zhǔn)確數(shù)a經(jīng)四舍五入得到的a的近似值，試給出x的絕對(duì)

誤差界.

12

3.已知矩陣4=,則A的奇異值為.

21

3.設(shè)x和’的相對(duì)誤差均為0.001,則盯的相對(duì)誤差約為.

4

4.若手則)=5X+/-3,七I,A4/(X,.)=.

5.下面Matlab程序所描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式為.

a=[10,3,4,6];t=1/(x-1);n=1ength(a)

y=a(n);

forA:=n-l:-l:l

y=￡*y+a(A);

end

二、(10分)設(shè)/(x)=(x3-a)2。

(1)寫出解/(x)=0的Newt。〃迭代格式；

(2)證明此迭代格式是線性收斂的。

-21rr

三、(15分)已知矛盾方程組Ax斗，其中A=10,b=1,

--%.k

(1)用Householder方法求矩陣A的正交分解，即A=QR。

(2)用此正交分解求矛盾方程組4x=b的最小二乘解。

x=01234

四、(15分)給出數(shù)據(jù)點(diǎn)：,■

y.=3961215

(1)用X”*2,*3,“4構(gòu)造三次Newton插值多項(xiàng)式N3(X)，并計(jì)算X=1.5

的近似值&(1.5)。

(2)用事后誤差估計(jì)方法估計(jì)N3(L5)的誤差。

五、(15分)

(1)設(shè)｛夕o(x)M](x),%(x)｝是定義于[-1，1]上關(guān)于權(quán)函數(shù)/(x)=x)的首項(xiàng)系數(shù)為1的

正交多項(xiàng)式組，若已知外（X）==X,試求出6（x）。

（2）利用正交多項(xiàng)式組｛%（*）,例（x）@2（x）｝，求/（x）=|x］在［-；,,上的二次最佳平方

逼近多項(xiàng)式。

六、（15分）設(shè)［（X）是/（X）的以+當(dāng)）為插值節(jié)點(diǎn)的一次插值多項(xiàng)式，

試由［（X）導(dǎo)出求積分/=f/（x）dx的一個(gè)插值型求積公式，并推導(dǎo)此求積公式

的截?cái)嗾`差。

七、（15分）已知求解線性方程組Ax斗的分量迭代格式

丫（*+1）_丫（"）4.@"弋〃丫（*八

陽(yáng)i一乙%毛），1=1,2,-,n

UiiJ=1

（1）試導(dǎo)出其矩陣迭代格式及迭代矩陣；

（2）證明當(dāng)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，時(shí)此迭代格式收斂。

2

數(shù)值分析答案

三、填空題（每小題3分，共15分）

1.-xlO^.2.o'1=3,<T=13.0.002

22

y=10+'3+一

4.120

x-1(x-1)2(x-1)3

二、(10分)解(1)s/(x)=(x3-a)2,tt/'(x)=6x2(x3-a).

f(x)

由New，?！ǖ剑簒k+i=xk---；—,A=0,1,2,…

(短一a)?5a

得乙+1=Xk-(2/3—1=7八+/T，k=0,1,2,???

6MA(4一。)66xk

(2)上述迭代格式對(duì)應(yīng)的迭代函數(shù)為夕(X)=3X+兵，于是”(*)=9-[XT,

66x63

又X*=%\則有夕（，）=：-2（物）-3=：一:=：＜1且H0,故此迭代格式是線性收斂

63632

的。

三為玉法一：

(l)x=(-2,1,2/,j=(3,0,0)r,u=x-j=(-5,1,2/

1/3263187

居*=。：％=，x=

17/15225^^75

法二：

rr

(l)x,=(-2,l,2),j,=(-3,0,0),M,=x,-j,=(1,1,2/

x,=(14/11,3/11,-4/11/,j2=(14/11,-5/11,Of,M,=x2-y2=(0,8/11,-4/11/

■10-5-10'-3314-

2=3$-5-142,R=QTA=^0-5

-102-1100

263187

&x=￡b

225，~75

四.Q分。

%3(x)=9+3(x-1)+4.5(x-l)(x-2)-2(x-l)(x-2)(x-3)

AT3(1.5)=5.6250,

N3(x)=3+6x—4.5x(x-1)4-3x(x—l)(x—2)

2V3(1.5)=7.5000,

R,=/(1.5)-^3(1.5)?i^^(2V3(1.5)-2V3(1.5))=1.1719

五、（15分）

（1）設(shè)外（X）=/+左留（%）+40°0。）

則利用(p2(x)和夕0(x),e](X)的正交性得

k=<，,%(1)>=[產(chǎn)'公=3

<0o(x)，0o(x)>Jx2dx5

k\=<一,%(x)>==0

'<%(x),Pi(x)>f1x^dx

故%(%)=/一父00(*)=/一|

(2)首先做變量代換將區(qū)間從［一］，事變換到［-1,1］,則

222

/(X)=|X|=M=F(O

\t\3

對(duì)產(chǎn)⑷=>取外⑴=1,/?)=/例(力=產(chǎn)有

伊.口力I?力1

4-3

c=<?(/),外")>"2J____-=

28-

。<%?),%(/)>,力寸/出3-

-10

\t2-^tdt

c=C(f)>［2=0

'</(，)例(”卜山

-I

”2.M.(f2_3)力f(/5--/3)<ft

_<-%?)>_125;!5

2<心”)，9式，)>).儼一3>力2卜6-3,一再產(chǎn))力

-15u55

1_3

6-20^35

2(^--+—)96

72525

3353

ffr&.s(t)=c^(t)+c(p(/)+C^(0=-+—(<2-7)

00x{22o965

故/(X)=國(guó)在［一；,；］上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式s(x)=率2+g

六、(15分)/=。⑴dx"((」g))+〃(l+

/i1分阻-(1-V))2(X-(1+T))2</X

=f(X-(1-T))2(x-(1+T))2JX

Fs電

=空白+小

七劭5)

(l)x**+,*=Bx(/t,+g

迭代矩陣B=D'(D-a)A)

右端向量g=mD'b

O嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)即，

"(5)<|磯

所以此迭代格式收斂.

數(shù)值分析試題

院系：專業(yè)：分?jǐn)?shù)：

姓名：學(xué)號(hào)：日期：2006.5.27

一、填空題(每空2分，共20分)

-12'

1.設(shè)4=，則A的奇異值5=.

_2-1J1

2.已知舄(x)是用極小化插值法得到的sinx在[0,3]上的二次插值多項(xiàng)式，則舄(x)的

截?cái)嗾`差上界為|R(x)|=|sinx-巴(x)|4.

3.設(shè)/(x)=2x4+3x2+1和節(jié)點(diǎn)x*=:,k=0,1,2,…

則/[*0,X],…,*5]=和A4f(X。)=:

4.如下兩種計(jì)算e-1近似值的方法中哪種方法能夠提供較好的近似。

方法1:方法2：e~l?

5.已知a是非線性方程/(x)=0的二重根，試構(gòu)造至少二階收斂的迭代格式

—Xj+x2+8X3=-8

6.給出求解線性方程組V9x1-2x2+x3=6的收斂的Jacobi迭代格式(分量

—X]+8%—*3=8

形式)及相應(yīng)的迭代矩陣。

7.解線性方程組的簡(jiǎn)單迭代格式X(A+1)=Rr(A)+g收斂的充要條件是

8.下面Matlab程序所解決的數(shù)學(xué)問題為.

functionx=fun(A,b)

n=length(b);

x=zeros(n,l);

x(n)=b(n)/A(n,n);

fori=n-l:-l:l

x(i)=(b(i)-A(M+l:n)*x(i+l:n))/A(i,i);

end

[x,+1.0001x=21

二、(15分)已知方程組Ax斗，即《i2有解x=(2,0)T,

[+x2=2

(1)求co^ajA);

(2)求右端項(xiàng)有小擾動(dòng)的方程組《x.1+l.OOOelx2,=2.0001的解X+AX；

X]+W=2

(3)計(jì)算M中l(wèi)2?和llA%r畫ll，結(jié)果說(shuō)明了什么問題。

ibLML

fx.-2-1012

三、(15分)已知函數(shù)值表J,012IO

在函數(shù)空間H=spa〃{l,一}中求最佳平方逼近多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差憐

（注：取小數(shù)點(diǎn)后四位）

x,.=1234

四、（15分）已知函數(shù)值表

f（xi）=1.12.62.81.6

用二次多項(xiàng)式計(jì)算x=0.26時(shí)函數(shù)的較好近似值，并估計(jì)誤差.

五、（15分）

（1）求[0,1]區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)/（x）=-InX的首項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式

外（X）W

（2）構(gòu)造帶權(quán)"（x）=-lnx的高斯型求積公式，P（x）/'（x）dMAJ'（XI）

（3）導(dǎo)出此高斯型求積公式的截?cái)嗾`差。

六、（10分）已知近似數(shù)x=10的絕對(duì)誤差限為0.05,試求函數(shù)f（x）=照的相對(duì)誤差限.

11痣

七、（10分）用Householder方法求矩陣4=1-30的正交分解，即A=QR。

V201

數(shù)值分析答案

一、填空題（每空2分，共20分）

1.3.2.%4=°443./[x0,x1/?-,x5]=0和A4/（X（,）=3

4.方法25.%=/_甘，）

XR+D=（6+2XJ>T*/9FO%%

6。Jacobi迭代格式｛X「+D=（8+X嚴(yán)+x『））/8迭代矩陣呂=卜0y

3

Y（A+1）_/aJ_Y（A）Y（幻,8/8

后一（一8+/-x2）/8[%_%。

7.p（B）<l8.解上三角形方程組Ax=b

4

A-11-0001X10'

二、（15分）（1）104-104

-|44

conrfoo（A）=||AL||A|L=2.0001x（2.0001xl0）?4xl0

（2）x+zkr=[1l]7

b=[22]r,A/>=[0.00010]r

Ax=（x+Ax）-x=[1l]r-[20]r=[-1l]r

=0.005%和=50%

MILWL

雖然方程組右端項(xiàng)擾動(dòng)的相對(duì)誤差僅為0.005%,然而此小擾動(dòng)引起解的相對(duì)誤差卻高達(dá)

50%,這是由于”系數(shù)矩陣的條件數(shù)比較大，方程組是病態(tài)的”，從而導(dǎo)致上述結(jié)果.

三、（15分）0i（X）=l,%（X）=x2

510a4a

1034b-2，'b-

S（x）=---X2=1.6572-0.4286x2

357

|同「=（y,y）-a（R,y）—b（o）2，y）

CQ3

=6---x4+-x2=0.2286

357

四、（15分）（1）建立如下差商表

xif（“一階差商二階差商

11.1

22.61.5

32.80.2-0.65

41.6-1.2-0.7

NJx)=1.1+1.5(x-1)-0.65(x-l)(x-2)

7V2(0.26)=1.1+1.5x0.74-0.65x0.74xl.74=-0.84694

N2(x)=2.6+0.2(x-2)-0.7(x-2)(x-3)

N2(0.26)=2.6+0.2xl.74-0.7xl.74x2.74=-1.08523

n26-1—

R=f(0.26)—N2(0.26)?——(Nz(0.26)-N2(0.26))

21—4

⑵

(-0.84694+1.08532)=0.0588

1-4

——0?26—4—

Z?2=/(0.26)-N1(0.26)?---------(N2(0.26)—Ni(0.26))

1—4

-4(一。84694+1.08532)=0.2972

1-4

五、（15分）（1）由首1正交多項(xiàng)式的構(gòu)造公式，可得

%(x)=l,^,(x)=x--——-^0(x)

(夕o(x),Qo(x))

￡Inxdx=-1,￡xInxdx=——,￡x2lnxdx=—

(x,%(x))-fxhiMrJ4J1

Wo(x)，8o(x))-J'Inxdx1k14

⑵/=［，4=一］Inxdx,￡p(x)f(x)dx?/(；)

(3)Gauss型求積公式的截?cái)嗾`差為

R(f)=］-；,，(-lnx)(x-i)2dr=f(-Ex)(x~^dx

MUfmnx-LEx+'lnxMxMUd-L+LHN-b)

2!*2162!9816288

六、(10分)|e(x)|40.05,/'(x)=Vx—,n=20

y/x-e(x)

/'(x)e(x)1

一竿一=—e(x)

/(x)Nxnx

k(/(x))|?-L.(x)<005=0.00025

20x10

七、(10分)

X=(l,l,V2)r,j=(-2,0,0)y,?=X-J=(3,1,痣尸

—21—5/2

HA=0-3-2叵4=RQ=H=-%%

.°°-X,6%

中國(guó)石油大學(xué)（北京）2006—2007學(xué)年第一學(xué)期

研究生期末考試試題A（閉卷考試）

課程名稱：數(shù)值分析

所有試題答案寫在答題紙上，答案寫在試卷上無(wú)效

注：計(jì)算題取小數(shù)點(diǎn)后四位

題號(hào)—>二三四五七總分

得分

一、填空題（每空2分，共20分）

⑴設(shè)*=219.15456為真值=219.15123的近似，貝Ux有______位有效數(shù)字。

⑵設(shè)數(shù)據(jù)x,,x2的絕對(duì)誤差分別為0.0005和0.0002,那么王-芍的絕對(duì)誤差約為

(3)設(shè)/。)=4/+3/+2，+1則差商/[2°,21???,28]=。

(4)設(shè)求積公式(f(x)d￥21)是Gauss型求積公式，則

)〃=0

t4町=--------°

A=0

(5)設(shè)4=1°，則/(A)二________o

-32_

(6)數(shù)值微分公式/'(X.)x/(七+"2)一/(土一”2)的截?cái)嗾`差為_________。

h

(7)，o(x),Z](x),???兒(x)是以工0，/,…，x〃為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù)，貝IJ

力-1)"/Jx)=?

A=0

(8)利用兩點(diǎn)Gauss求積公式J：/(XMXR/(-0.5774)+/(0.5774),貝(1

￡f(x)dx?o

(yf=f(x^y)

(9)解初值問題」的改進(jìn)的歐拉法是________階方法。

Iy(xo)=y。

(10)下面Matlab程序所求解的數(shù)學(xué)問題是o(輸入A,b,輸

出X)

X=zeros(n,l);

X(n)=b(n)/A(n,n);

fori=n-l:-l:l

X(i)=(b(i)-A(i,i+l：n)*X(i+l:n))/A(i,i);

end

.、(15分)已知函數(shù)值表IX;0123

[/(xj361012

(1)用七,士,4構(gòu)造二次Newton插值多項(xiàng)式可式幻，計(jì)算當(dāng)x=1.2時(shí)/(x)的近似值；

(2)用事后誤差估計(jì)方法估計(jì)Nz(L2)的誤差。

三、(10分)試建立下述形式的求積公式，并確定它的代數(shù)精度。

f/(工心"&/(0)+//(〃)]+檔％7(0)+4/'(m]

四、(15分)已知數(shù)據(jù)表如下，

x,-2-1012

.22345

嗎11111

(1)構(gòu)造關(guān)于點(diǎn)集和權(quán)的正交函數(shù)組｛0o(X),%(X),%(X)｝

(2)利用｛0O(X),@(X)，P2(X)｝擬合已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，并求最小二乘擬合誤差冏2。

五、(15分)設(shè)線性方程組為卜產(chǎn)1+%2吃=4，4。HO

[a21x,+a22x2=b2“

(1)寫出解此方程組的雅可比迭代格式和高斯-賽德爾迭代格式(分量麓)；

(2)證明用雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法解此方程組要么同時(shí)收斂，要么同時(shí)發(fā)散;

(3)當(dāng)同時(shí)收斂時(shí)試比較其收斂速度。

六、(10分)(1)證明對(duì)任何初值xoeR,由迭代公式x*+i=cosx",左=0,1,2,...

所產(chǎn)生的序列｛x*｝；=。都收斂于方程x=cosx的根。

(2)寫出求方程x=cosx根的牛頓迭代格式。

七、(15分)已知矛盾方程組AxM,其中4=

(1)用Householder方法求矩陣A的正交分解，即A=QR。

(2)用此正交分解求矛盾方程組6的最小二乘解。

數(shù)值分析試卷A答案

三、填空題(每空2分，共20分)

(1)5(2)0.0007(3)4(4)1/4

(5)2(6)0(肥)(7)(x-l)n

(8)￡/(x)Jx?/(0.4226)+/(1.5774)

(9)2

(10)解上三角形方程組

二、(15分)(1)建立如下差商表

天/(西)一差商二差商三差商

03

163

21041/2

芍JW一差商二差商

16

(4分)

2104

3122-1

A^2(X)=3+3X+1/2X(X-1)

^(1.2)=3+3.6+0.12=6.72(4分)

2Vi(x)=6+4(x-l)-(x-l)(x-2)

而2(1.2)=6+0.8+0.16=6.96(3分)

/(1.2)-/V2(1.2)(1.2-0)x(1.2-1)x(1.2-2)

/(1.2)-^V(1.2)~(1.2-1)x(1.2-2)x(1.2-3)

2(4分)

R=a號(hào)(方2(1.2)—N2(1.2))=0.096

三、解：令公式對(duì)/(*)=1,*,爐,*3都準(zhǔn)確成立，則有

1=%)+%

(4分)

5=6+24

1”

U11

解之可得%=上，故所求積分公式為

212

f?4"(0)+/(&)]+][(/《))-

f(x)dx(4分)

當(dāng)/（x）=x，時(shí)，左邊=一獷,右邊=一公+一人2（_4fl3）=一狀

152126

右邊。左邊，所以原公式只具有3次代數(shù)精度。（2分）

四、解：（D首先構(gòu)造構(gòu)造關(guān)于點(diǎn)集和權(quán)的首一正交多項(xiàng)式（x）,i=0,1,2.

二設(shè)必。，2

顯然。（）（X）1,（X）=X+°2(%)=x+b1x+b

F-2+a-4-2&+%-

1-1+a1—b[+b?

則①。=1,9