2023-2024學(xué)年廣東深圳華師附中高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題含解析

2023-2024學(xué)年廣東深圳華師附中高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，高為2的正四棱柱中，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或4．設(shè)，分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．在中，，分別為，的中點(diǎn)，為上的任一點(diǎn)，實(shí)數(shù)，滿足，設(shè)、、、的面積分別為、、、，記（），則取到最大值時(shí)，的值為（）A．－1 B．1 C． D．6．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（）A．2 B． C．1 D．7．已知，，，若，則正數(shù)可以為（）A．4 B．23 C．8 D．178．函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓與的圖象交于兩點(diǎn)，且在軸上，則下列說(shuō)法中正確的是A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C．函數(shù)在單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱9．己知函數(shù)的圖象與直線恰有四個(gè)公共點(diǎn)，其中，則（）A． B．0 C．1 D．10．在關(guān)于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．12．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積是________.14．設(shè)集合，（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．15．已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，其中，，則的值為_(kāi)______________．16．函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，設(shè)為直線上一點(diǎn)，且直線、的斜率的積為．證明：點(diǎn)在軸上．18．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分別是AB，A1C的中點(diǎn).（1）求證：直線MN⊥平面ACB1；（2）求點(diǎn)C1到平面B1MC的距離.19．（12分）如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，，為線段上一點(diǎn)，滿足，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形沿折疊（如圖2），使平面平面.（1）求證：平面平面；（2）能否在線段上找到一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）已知函數(shù)，，且．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的減區(qū)間；（2）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（3）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，試比較，與的大小，并說(shuō)明理由．21．（12分）如圖，已知在三棱臺(tái)中，，，.（1）求證：；（2）過(guò)的平面分別交，于點(diǎn)，，且分割三棱臺(tái)所得兩部分幾何體的體積比為，幾何體為棱柱，求的長(zhǎng).提示：臺(tái)體的體積公式（，分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，為棱臺(tái)的高）.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)，且）.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.設(shè)點(diǎn)在圓外.（1）求的取值范圍.（2）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長(zhǎng)為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側(cè)視圖的面積之和為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

將圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱，則圓心在漸近線上，.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心為.因?yàn)殡p曲線，所以其漸近線方程為，又因?yàn)閳A關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱，則圓心在漸近線上，所以.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程及對(duì)稱性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.3、D【解析】

先通過(guò)得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題可知，所以在時(shí)為增函數(shù)；由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；又，即即又為開(kāi)口向上的偶函數(shù)所以，解得或故選：D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題目.4、C【解析】

設(shè)過(guò)點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點(diǎn)，則有，得到，即可求解.【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為，，所以是中點(diǎn)，，，.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.5、D【解析】

根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得到的距離等于△的邊上高的一半，從而得到，由此結(jié)合基本不等式求最值，得到當(dāng)取到最大值時(shí)，為的中點(diǎn)，再由平行四邊形法則得出，根據(jù)平面向量基本定理可求得，從而可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示：因?yàn)槭恰鞯闹形痪€，所以到的距離等于△的邊上高的一半，所以，由此可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即為的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以，由平行四邊形法則可得，，將以上兩式相加可得，所以，又已知，根據(jù)平面向量基本定理可得，從而.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了基本不等式求最值，屬于中檔題.6、D【解析】

說(shuō)明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值．【詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，，又，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)．7、C【解析】

首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，再代入驗(yàn)證即可；【詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，滿足，∴實(shí)數(shù)可以為8.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為，結(jié)合題意可求得切點(diǎn)及其范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，即可求得的值.【詳解】函數(shù)即直線與函數(shù)圖象恰有四個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象知直線與函數(shù)相切于，，因?yàn)?，故，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由交點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)值，屬于難題.10、C【解析】

討論當(dāng)時(shí)，是否恒成立；討論當(dāng)恒成立時(shí)，是否成立，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，由開(kāi)口向上，則恒成立；當(dāng)恒成立時(shí)，若，則不恒成立，不符合題意，若時(shí)，要使得恒成立，則，即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問(wèn)題.對(duì)于探究?jī)蓚€(gè)命題的關(guān)系時(shí)，一般分成兩步，若，則推出是的充分條件；若，則推出是的必要條件.11、D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小，利用作差法，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，，所以最??；而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形，對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.12、A【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計(jì)算．【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，，且平面，，的中點(diǎn)為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)，，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，求得的值，然后利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)，，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，由勾股定理可得，上述三個(gè)等式全部相加得，，因此，三棱錐的外接球面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算，根據(jù)三棱錐對(duì)棱長(zhǎng)相等將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.14、【解析】

可看出，這樣根據(jù)即可得出，從而得出滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為1．【詳解】解：，或，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與的圖象，由圖可知與無(wú)交點(diǎn)，無(wú)解，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，以及知道方程無(wú)解，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

根據(jù)題意，判斷出，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再令數(shù)列中的，，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，列出等式，求出和的值即可.【詳解】解：由，其中，，可得，則，令，，可得.①又令數(shù)列中的，，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以.②根據(jù)①②得出，.所以.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

令，則，恰有四個(gè)解.由判斷函數(shù)增減性，求出最小值，列出相應(yīng)不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個(gè)解.有兩個(gè)解，由，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，可得.設(shè)的負(fù)根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）由已知條件得出、的值，進(jìn)而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，可得，且，，求出直線的斜率，進(jìn)而可求得直線與的方程，將直線直線與的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，得，所以，即．故橢圓的方程為；（2）設(shè)，則，，．所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€、的斜率的積為，所以直線的斜率為．直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立，解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，則，所以點(diǎn)在軸上．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了點(diǎn)在定直線的證明，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.18、（1）證明見(jiàn)解析.（2）【解析】

（1）連接AC1，BC1，結(jié)合中位線定理可證MN∥BC1，再結(jié)合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)分別求證AC⊥BC1，BC1⊥B1C，即可求證直線MN⊥平面ACB1；（2）作交于點(diǎn)，通過(guò)等體積法，設(shè)C1到平面B1CM的距離為h，則有，結(jié)合幾何關(guān)系即可求解【詳解】（1）證明：連接AC1，BC1，則N∈AC1且N為AC1的中點(diǎn)；∵M(jìn)是AB的中點(diǎn).所以：MN∥BC1；∵A1A⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴A1A⊥AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC，∴AC⊥CC1，∵∠ACB＝90°，BC∩CC1＝C，BC?平面BB1C1C，CC1?平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，∴AC⊥BC1；又MN∥BC1∴AC⊥MN，∵CB＝C1C＝1，∴四邊形BB1C1C正方形，∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C，而AC∩B1C＝C，且AC?平面ACB1，CB1?平面ACB1，∴MN⊥平面ACB1，（2）作交于點(diǎn)，設(shè)C1到平面B1CM的距離為h，因?yàn)镸P，所以?MP，因?yàn)镃M，B1C；B1M，所以所以：CM?B1M.因?yàn)?，所以，解得所以點(diǎn)，到平面的距離為【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的證明以及點(diǎn)到平面的距離，一般證明面面垂直都用線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直，而點(diǎn)到面的距離常用體積轉(zhuǎn)化來(lái)求，屬于中檔題19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.【解析】

（1）在直角梯形中，根據(jù)，，得為等邊三角形，再由余弦定理求得，滿足，得到，再根據(jù)平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系：假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為，且，，求得平面的一個(gè)法向量，再利用線面角公式求解.【詳解】（1）證明：在直角梯形中，，，因此為等邊三角形，從而，又，由余弦定理得：，∴，即，且折疊后與位置關(guān)系不變，又∵平面平面，且平面平面.∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，從而，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，則，假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為，且，，∵，∴，故，∴，又，該平面的法向量為，，令得，∴，解得或（舍），綜上可知，存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理和向量法研究線面角問(wèn)題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）（2）詳見(jiàn)解析（3）【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，由得減區(qū)間；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（3）因?yàn)?，，所以試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，由得減區(qū)間；（2）法1：，，，所以，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；法2：，，是開(kāi)