2023-2024學年高二數(shù)學2019選擇性試題2.2直線與圓的位置關系（十三大題型）

2.2直線與圓的位置關系課程標準學習目標(1)能用直線的方程、圓的方程解決具有一定綜合性的數(shù)學問題和實際問題.(2)體會數(shù)形結合、函數(shù)與方程、轉化與化歸、特殊與一般等數(shù)學思想及方法，提升直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象等數(shù)學素養(yǎng).1、理解并掌握直線與圓的位置關系的判斷．2、理解并掌握直線與圓相切的問題．3、理解并掌握直線與圓的相交問題．4、理解并掌握直線與圓的綜合應用問題.知識點01直線與圓的位置關系1、直線與圓的位置關系：（1）直線與圓相交，有兩個公共點；（2）直線與圓相切，只有一個公共點；（3）直線與圓相離，沒有公共點．2、直線與圓的位置關系的判定：（1）代數(shù)法：判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解．如果有解，直線與圓C有公共點．有兩組實數(shù)解時，直線與圓C相交；有一組實數(shù)解時，直線與圓C相切；無實數(shù)解時，直線與圓C相離．（2）幾何法：由圓C的圓心到直線的距離與圓的半徑的關系判斷：當時，直線與圓C相交；當時，直線與圓C相切；當時，直線與圓C相離．知識點詮釋：（1）當直線和圓相切時，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長，一般要用到切線長、圓的半徑、圓外點與圓心連線構成的直角三角形，由勾股定理解得．（2）當直線和圓相交時，有關弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時還用到垂徑定理．（3）當直線和圓相離時，常討論圓上的點到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結合來解決．【即學即練1】直線與圓的位置關系是（

）A．過圓心 B．相切C．相離 D．相交但不過圓心【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，因為，所以直線與圓相交但不過圓心，故選：D知識點02圓的切線方程的求法1、點在圓上，如圖．法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．法二：圓心到直線的距離等于半徑．2、點在圓外，則設切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．知識點詮釋：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．常見圓的切線方程：（1）過圓上一點的切線方程是；（2）過圓上一點的切線方程是．【即學即練2】圓在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圓的圓心，顯然點在此圓上，直線的斜率為，所以所求切線斜率為，切線方程為，即.故選：D知識點03求直線被圓截得的弦長的方法1、應用圓中直角三角形：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關系，這也是求弦長最常用的方法．2、利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．【即學即練3】在平面直角坐標系xOy中，直線被圓截得的弦長為.【答案】4【解析】圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，所以所求弦長為，故答案為：4題型一：不含參數(shù)的直線與圓的位置關系例1．（2023·高二課時練習）直線和圓的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】A【解析】圓的圓心，半徑為，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓相交．故選：A.例2．（2023·貴州·高二校聯(lián)考期末）圓：與直線：的位置關系為（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．無法確定【答案】A【解析】由得，所以圓的圓心坐標為，半徑為，由得，圓心到直線的距離為：，故圓與直線相切，故選：A例3．（2023·全國·高二專題練習）圓：與直線：的位置關系為（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【答案】A【解析】圓：的圓心為，半徑，直線：即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.故選：A變式1．（2023·全國·高二專題練習）為圓內異于圓心的一點，則直線與該圓的位置關系為（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交【答案】C【解析】由題意知為圓內異于圓心的一點，則，而圓：的圓心到直線的距離為，故直線與該圓的位置關系為相離，故選：C【方法技巧與總結】判定直線與圓的位置關系采用幾何法比采用代數(shù)法的計算量要小得多，因此，我們一般采用幾何法來解決直線與圓的位置關系的有關問題．題型二：含參數(shù)的直線與圓的位置關系例4．（2023·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習）直線與圓的位置關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【答案】C【解析】由題知，圓心坐標，半徑，將直線化為點斜式得，知該直線過定點，又，故該定點在圓內，所以該直線與圓必相交.故選：C例5．（2023·高二單元測試）直線與圓的位置關系為（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不確定【答案】A【解析】由直線，得，令，則，所以直線過定點，因為，所以點在圓內，所以直線與圓相交.故選：A.例6．（2023·全國·高二專題練習）直線與圓的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】A【解析】已知直線過定點，將點代入圓的方程可得，可知點在圓內，所以直線與圓相交.故選：A.變式2．（2023·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學考試）設，則直線：與圓的位置關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交【答案】C【解析】因為，所以，即直線恒過定點；因為點恰在上，所以直線和圓的位置關系是相交或相切.故選：C.變式3．（2023·內蒙古巴彥淖爾·高二校考階段練習）直線與圓的位置關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【答案】C【解析】由直線得，令，得，故直線恒過點，又，即點在圓內，故直線與圓的位置關系為相交.故選：C.變式4．（2023·安徽·高二合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）直線l：與圓C：的位置關系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．與a的值有關【答案】A【解析】∵直線l的方程為，即，∴直線l恒過定點，∵，即該定點在圓C：內，∴直線l與圓C相交．故選：A．變式5．（2023·高二課時練習）直線：與圓C：的位置關系為（

）A．相交或相切 B．相交或相離 C．相切 D．相交【答案】D【解析】圓C：，圓心為，半徑為，直線：，即，圓心到直線的距離為，故直線與圓相交.故選：D【方法技巧與總結】通過判定直線過圓內一定點，從而轉化為點與圓的位置關系．題型三：由直線與圓的位置關系求參數(shù)例7．（2023·高二單元測試）若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則的取值不可能是（

）A．2 B．0C．1 D．3【答案】D【解析】圓的方程可化為，則圓心為，半徑為，要使條件成立，設圓心到直線的距離為，則只需要，即，所以的取值不可能是3.故選：D.例8．（2023·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學?？茧A段練習）已知點為圓上一點，點在圓外，若滿足的點有且只有4個，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，解得，如圖所示，此時且，，此時滿足的點有2個，此時，故，解得，故要想滿足的點有且只有4個，則要，綜上：正數(shù)的取值范圍是.故選：A例9．（2023·江蘇南通·高二金沙中學校考階段練習）若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線恒過定點，曲線表示以點為圓心，半徑為1，且位于直線右側的半圓（包括點，）．當直線經過點時，與曲線有兩個不同的交點，此時，直線記為；當與半圓相切時，由，得，切線記為．分析可知當時，與曲線有兩個不同的交點，故選：A．變式6．（2023·遼寧營口·高二?？茧A段練習）已知曲線與直線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】曲線整理得，則該曲線表示圓心為，半徑為1的圓的上半部分，直線，即，則令，解得，則其過定點，如圖，當時，曲線與直線有兩個不同的交點，由，得或，所以，，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C．變式7．（2023·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．1【答案】C【解析】由圓，可圓心坐標為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心必在直線上，即，解得.故選：C.變式8．（2023·全國·高二專題練習）若圓上有四個不同的點到直線的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將圓的方程化為標準方程為，圓心為，半徑為，設與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為，則，解得或，所以，直線、均與圓相交，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.變式9．（2023·云南曲靖·高二校考期中）若直線與圓相切，則b的值是（

）A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12【答案】D【解析】由得圓的圓心坐標為半徑為1，因為直線與圓相切，所以或.故選：D.變式10．（2023·高二單元測試）直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【解析】因為圓的圓心為，半徑為，則點到直線的距離大于，，即或；故選：A.變式11．（2023·高二課時練習）若直線與圓相交，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由直線，可化為，因為直線與圓相交，可得，整理得，所以.故選：B.變式12．（2023·山東青島·高二青島二中?？计谥校┮阎獔A，直線：，若圓上恰有2個點到直線的距離都等于1，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由圓的方程：，可得圓心為坐標原點，半徑為2．若圓上恰有2個點到直線的距離等于1，則圓心到直線的距離滿足，則，解得．故選：C．【方法技巧與總結】抓住了直線與圓的位置關系的代數(shù)或幾何特征，從而轉化為對方程的解的研究，這是研究直線與曲線的位置關系的基本方法．題型四：求直線與圓的交點坐標例10．（2023·高二課時練習）過直線與圓的交點，且面積最小的圓的方程為．【答案】【解析】由直線得：①，把①式代入圓的方程中，得，解得：，，代入到中，解得，，所以兩交點為，要使圓的面積最小，只需線段AB作為圓的直徑，．設AB的中點為即為所求得圓的圓心則，，所以，設半徑為r，則，此時圓的方程為．故答案為：例11．（2023·高二課時練習）一個圓過圓與直線的交點，且圓心在y軸上，則這個圓的方程為.【答案】【解析】由，解得或，所以交點為，因為AB的斜率為，AB的中點為，所以AB的垂直平分線為，即，又因為圓心在y軸，所以圓心為，半徑為圓心到交點B的距離，則所求圓的方程為故答案為：例12．（2023·遼寧·高二開學考試）已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則.【答案】4【解析】，解得或，不妨設，，，則所作直線斜率為，直線方程為，令得，所以，直線方程為，令得，所以，所以.故答案為：4.變式13．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線與圓，試判斷直線與圓的位置關系，若相交求出交點坐標．【解析】圓的圓心為，半徑，因為圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，由，得或，所以交點坐標為或變式14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求直線和圓的公共點的坐標，并判斷它們的位置關系．【解析】直線和圓的公共點的坐標就是方程組的解，解這個方程組，得或，所以公共點的坐標為或．因為直線和圓有兩個公共點，所以直線和圓相交．變式15．（2023·全國·高二課堂例題）求經過直線與圓的交點，且經過點的圓的方程．【解析】法一：解方程組，得或，∴直線與圓交于點．設所求圓的方程為()，將A，B，P的坐標代入，得，解得，滿足，故所求圓的方程為．法二：設所求圓的方程為，又在圓上，則，解得，故所求圓的方程為，即．【方法技巧與總結】直接聯(lián)立求解．題型五：求過圓上一點的切線方程例13．（2023·福建福州·高二福州三中?？计谀┻^點作圓：的切線，則切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓：，即，圓心為，半徑，又，所以點在圓上，且，所以切線的斜率，所以切線方程為，即.故選：C例14．（2023·高二課時練習）幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點M，N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點，試在QB邊上找一點P，使得∠MPN最大．”如圖，其結論是：點P為過M，N兩點且和射線QB相切的圓與射線QB的切點．根據以上結論解決以下問題：在平面直角坐標系中，給定兩點，，點P在x軸上移動，當∠MPN取最大值時，點P的橫坐標是（

）A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7【答案】A【解析】，則線段的中點坐標為，易知，則經過兩點的圓的圓心在線段的垂直平分線上，設圓心為，則圓的方程為，當取最大值時，圓必與軸相切于點（由題中結論得），則此時P的坐標為，代入圓的方程得，解得或，即對應的切點分別為和，因為對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，又過點M，N，的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以，故點為所求，即點的橫坐標為.故選：A例15．（2023·全國·高二專題練習）過圓上一點的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得：，則該圓的圓心為，又是該圓上一點，則直線的斜率為，所以過點的切線的斜率，則過點的切線方程為，即，故選：B.變式16．（2023·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習）過圓上一點作圓的切線，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，設圓心為,由于在圓上，所以,所以切線的斜率為，由點斜式可得切線方程為，即，故選：A【方法技巧與總結】求圓的切線方程一般有三種方法：（1）直接法：應用常見結論，直接寫出切線方程；（2）待定系數(shù)法；（3）定義法．一般地，過圓外一點可向圓作兩條切線，在后兩種方法中，應注意斜率不存在的情況．題型六：求過圓外一點的切線方程例16．（2023·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學?？奸_學考試）過點向圓引切線，則其切線方程為.【答案】或【解析】當切線斜率不存在時，切線方程為，當切線斜率存在時，設切線方程為，即，再根據圓心到切線的距離等于半徑可得，解得，此時切線方程為.故答案為：或例17．（2023·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）過點的圓的切線方程【答案】或【解析】由圓方程知：圓心，半徑；當過的直線斜率不存在，即直線方程為：時，直線與圓相切；設過點且斜率存在的圓的切線方程為：，即，則圓心到直線的距離，即，該切線方程為：，即；綜上所述：所求切線方程為或.故答案為：或.例18．（2023·全國·高二課堂例題）經過點，且與圓相切的直線的方程為．【答案】或【解析】因為，所以點P在圓外．方法一

若直線的斜率存在，依題意，設直線的方程為，即．又圓心為，半徑，且圓心到切線的距離等于半徑，所以，解得，(過圓外一點有兩條直線與圓相切，因此若解得只有一個k值時，另一直線的斜率一定不存在)所以直線的方程為．若直線的斜率不存在，則直線的方程為，顯然滿足題意．綜上可知，滿足題意的直線的方程為或．方法二

設所求切線方程為，其中是圓上的切點，將(4，5)代入后，得．由解得或故所求切線方程為或．故答案為：或變式17．（2023·全國·高二專題練習）過點的圓的切線方程為．【答案】或【解析】當切線的斜率不存在時，切線的方程為，圓心到該直線的距離等于半徑1，符合題意，當切線的斜率存在時，設過點的切線方程為，即，∵圓心到直線的距離等于半徑，∴，解得，∴切線方程為，綜上所述，切線方程為或．故答案為：或．變式18．（2023·高二單元測試）經過點作圓的切線，則切線的方程為.【答案】或【解析】圓的半徑為，圓心為，當切線的斜率不存在時，方程，與圓不相切，所以切線的斜率存在，設切線方程為，即，圓心到切線的距離，解得或，所以切線的方程為或.故答案為：或.變式19．（2023·全國·高二專題練習）過點且與圓：相切的直線方程為【答案】或【解析】將圓方程化為圓的標準方程，得圓心，半徑為，當過點的直線斜率不存在時，直線方程為是圓的切線，滿足題意；當過點的直線斜率存在時，可設直線方程為，即，利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，即此直線方程為，故答案為：或．【方法技巧與總結】求圓的切線方程一般有三種方法：（1）直接法：應用常見結論，直接寫出切線方程；（2）待定系數(shù)法；（3）定義法．一般地，過圓外一點可向圓作兩條切線，在后兩種方法中，應注意斜率不存在的情況．題型七：求切線長例19．（2023·全國·高二專題練習）過點引圓切線，則切線長是.【答案】3【解析】把圓的方程化為標準方程得：，得到圓心坐標為，圓的半徑，，切線長是，故答案為：3例20．（2023·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學?？奸_學考試）由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為.【答案】【解析】圓的圓心為，在直線上取一點P，過P向圓引切線，設切點為A．連接．在中，．要使最小，則應最?。之擯C與直線垂直時，最小，其最小值為．故的最小值為．故答案為：.例21．（2023·全國·高二專題練習）由直線上一點向圓引切線，則切線長的最小值為．【答案】【解析】設過點的切線與圓相切于點，連接，則，圓的圓心為，半徑為，則，當與直線垂直時，取最小值，且最小值為，所以，，即切線長的最小值為.故答案為：.變式20．（2023·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）已知圓：，圓：，過圓上的任意一點P作圓的兩條切線，切點為A，B，則四邊形面積的最大值為.【答案】【解析】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，四邊形面積，∵，∴四邊形面積的最大值為.故答案為：.變式21．（2023·山東菏澤·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，過軸上的點分別向圓和圓引切線，記切線長分別為、.則的最小值為.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.設點，則，所以，的幾何意義是點到點的距離，，所以，的幾何意義是點到點的距離，如下圖所示：，當且僅當點為線段與軸的交點時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.變式22．（2023·河北邢臺·高二統(tǒng)考期中）過點作圓的一條切線，切點為，則.【答案】【解析】由圓的方程知：圓心，半徑，，.故答案為：.【方法技巧與總結】利用切線長公式求解．題型八：已知切線求參數(shù)例22．（2023·全國·高二專題練習）若直線與圓相切，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，依題意，，解得，所以.故選：A例23．（2023·全國·高二專題練習）若直線，與相切，則最大值為（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【解析】的圓心為，半徑為，因為直線，與相切，所以，即，所以可設，所以，其中，故選：B例24．（2023·全國·高二專題練習）已知圓C：，若直線上總存在點P，使得過點P的圓C的兩條切線夾角為，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【解析】設兩切點為，則，，所以,因此只要直線上存在點，使得即可滿足題意．圓心，所以圓心到直線的距離，解得或．故選：C．變式23．（2023·河南周口·高二?？茧A段練習）已知直線與圓相切，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以圓心，半徑.因為直線與圓相切，所以，解得，故選:A.變式24．（2023·高二課時練習）直線與圓相切，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】因為直線與圓相切，所以由圓心到直線的距離等于半徑得：，即，解得：.故選：C變式25．（2023·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習）若曲線y＝與直線y＝k(x－2)＋4有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C．(1，＋∞) D．(1，3]【答案】A【解析】根據題意畫出圖形，如圖所示．由題意可得，曲線y＝的圖象為以(0，0)為圓心，2為半徑的半圓，直線l恒過A(2，4)，由圖當直線l與半圓相切時，圓心到直線l的距離d＝r，即＝2，解得k＝；當直線l過B點時，直線l的斜率k＝，則直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數(shù)k的取值范圍為.故選：A.變式26．（2023·四川成都·高二成都七中?？计谀┤糁本€先向右平移一個單位，再向下平移一個單位，然后與圓相切，則c的值為（

）A．8或2 B．6或4 C．4或6 D．2或8【答案】A【解析】將直線先向右平移一個單位，再向下平移一個單位所得直線方程為，因直線與圓相切，從而得，即，解得或，所以c的值為8或2.故選：A變式27．（2023·全國·高二專題練習）過點P（2，1）的直線l與坐標軸的正半軸交于A，B兩點，當三角形OAB的面積最小時直線l與圓相切，則實數(shù)m的值為（

）A．﹣1或4 B．1或6 C．0或5 D．2或7【答案】C【解析】因為過點P（2，1）的直線l與坐標軸的正半軸交于A，B兩點，設直線l的方程為y﹣1＝k（x﹣2），其中k＜0，令y＝0，解得x＝，令x＝0，則y＝1﹣2k，則A（，0），B（0，1﹣2k），所以＝＝4，當其僅當，即k＝時取等號，此時直線l的方程為，即x+2y﹣4＝0，因為直線l與圓相切，所以，解得m＝0或m＝5．故選：C【方法技巧與總結】利用切線定義進行轉化，建立等量方程進行求解．題型九：求弦長問題例25．（2023·北京·高二北京十五中?？计谥校﹫A與直線相交于，兩點，則．【答案】【解析】圓的標準方程為，則圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，如圖所示，則由垂徑定理可知，.故答案為：.例26．（2023·全國·高二專題練習）若直線與圓相交于兩點，則弦的長為．【答案】【解析】由可得圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以.故答案為：.例27．（2023·全國·高二課堂例題）過點引一條直線交圓于兩點，若，則直線的方程為．【答案】或【解析】當直線的斜率不存在時，其方程為，可求出它與圓的兩交點坐標分別為所以弦長，滿足題意．當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即．圓心到直線的距離，依題意得，即，解得，此時，直線.綜上所述：直線的方程為或.故答案為：或【方法技巧與總結】求弦長問題主要使用幾何方法，即解由半徑、弦心距和弦長的一半組成的直角三角形，進一步求弦長．題型十：已知弦長求參數(shù)例28．（2023·北京海淀·高二清華附中?？计谥校┤糁本€被圓C：截得的弦長為1，則．【答案】【解析】圓C：即，圓心為，半徑為1，則到直線的距離為，由于直線被圓C：截得的弦長為1，故，解得，故答案為：例29．（2023·高二單元測試）經過點的直線l與圓交與P，Q兩點，如果，則直線l的方程為．【答案】或【解析】圓的圓心，半徑，因為圓截直線所得弦長為，則圓到直線的距離，因為直線過點，則當直線斜率不存在時，直線，顯然圓心到直線距離為1，因此直線：符合題意；當直線斜率存在時，設其方程為，即，于是，解得，方程為，所以直線l的方程為或.故答案為：或例30．（2023·高二單元測試）過圓內一點的最短的弦所在的直線方程是.【答案】【解析】將圓的方程整理成標準方程得，則圓心的坐標為，，所以由圓的幾何性質得，當所求直線與直線垂直時，弦最短，此時所求直線的斜率為，故所求直線方程為，即.故答案為：變式28．（2023·福建福州·高二?？计谀懗鼋涍^點且被圓截得的弦長為的一條直線的方程．【答案】或【解析】圓的方程可化為，圓心為，半徑．當過點的直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心在直線上，弦長，不滿足題意，所以過點的直線的斜率存在，設過點的直線的方程為，即，則圓心到直線的距為，依題意，即，解得或，故所求直線的方程為或．故答案為：或．變式29．（2023·全國·高二專題練習）若直線截圓所得弦長，則的值為.【答案】或【解析】圓心到直線的距離為，由得，解得或，故答案為：或【方法技巧與總結】利用弦長公式進行轉化求解．題型十一：切點弦問題例31．（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）過坐標原點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】圓化為標準方程為，其圓心為，半徑為1，由題意知，,,,,所以,所以.所以,且,所以為等邊三角形，所以.故選:C．例32．（2023·福建莆田·高二莆田第六中學校考階段練習）過直線上一動點，向圓引兩條切線，為切點，線段的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圓的圓心為原點，半徑為，因為，故四點共圓，且為直徑，設，則，線段的中點坐標為，故以為直徑的圓的方程為，整理得：，與相減得：直線的方程為，整理為，令，解得：，即直線恒過點，要想線段取得最小值，只需，即為的中點，其中，則，故選：B例33．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考階段練習）已知點為直線上的動點，過點引圓的兩條切線，切點分別為.則點到直線的距離的最大值為.【答案】【解析】設，，，由題得，又，所以，同理.即直線的方程是，因為，則，代入得，則直線恒過定點，所以點到直線的距離，所以點到直線的距離的最大值為.故答案為：.變式30．（2023·全國·高二專題練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為．【答案】【解析】方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過點作圓的兩條切線，切點分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設，，則由，可得，同理可得，所以直線的方程為.故答案為：變式31．（2023·江蘇揚州·高二?？奸_學考試）已知圓，點P是直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為．【答案】/【解析】圓，即，由于PA，PB分別切圓C于點A，B，則，，，所以，因為，所以，又，所以，所以，即，所以最短時，最短，點C到直線的距離即為的最小值，所以，所以的最小值為故答案為：變式32．（2023·高二單元測試）過圓外一點引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程是．【答案】【解析】設切點分別為，因為點在圓上，所以以為切點的切線方程分別為：，而點在兩條切線上，所以，即點P滿足直線.故答案為：.變式33．（2023·吉林長春·高二長春吉大附中實驗學校校考階段練習）已知圓：，則過點作的圓的切線，切點分別為A?B，則直線AB方程為【答案】【解析】，故以為圓心，為半徑的圓為，兩圓方程相減得到即為直線方程.故答案為：.變式34．（2023·安徽合肥·高二合肥一中?？计谥校┮阎獔A，過動點分別作直線、與圓相切，切點為、，設經過、兩點的直線為，則動直線恒過的定點坐標為．【答案】【解析】設點為圓上一點，當?shù)男甭蚀嬖谇也粸榱銜r，直線的斜率為，此時，圓在點處的切線方程為，即，當與軸重合時，，，此時切線方程為，滿足，當與軸重合時，，，此時切線方程為，滿足.綜上所述，圓在其上一點處的切線方程為.設點、，則直線的方程為，直線的方程為，由題意可得，所以，點、的坐標滿足方程，故直線的方程為，即，由，解得，因此，直線恒過的定點坐標為.故答案為：.變式35．（2023·高二?？紗卧獪y試）已知點P是直線上一點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A和B．若圓心O到直線的距離的最大值為，則實數(shù)m=．【答案】4【解析】連接，，，，設與相交于點，易知被垂直平分，，圓心到直線的距離為，中，有，即，∵圓心O到直線的距離的最大值為，則的最小值為，依題意，知的最小值為點到直線的距離，∴，即，∵，∴.故答案為：4.變式36．（2023·全國·高二期中）已知點Q是直線：上的動點，過點Q作圓：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線恒過定點.【答案】(1，－1)【解析】由題意可設Q的坐標為(m，n)，則m－n－4＝0，即m＝n＋4，過點Q作圓O：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線方程為mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，則直線AB的方程變形可得nx＋ny＋4x－4＝0，則有，解得，則直線AB恒過定點(1，－1).故答案為：(1，－1).【方法技巧與總結】求切點弦問題利用同構法求解．題型十二：最值問題例34．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）過點作直線的垂線，垂足為，已知點，則的最大值為．【答案】/【解析】直線方程可化為：，由得：，直線恒過定點，與直線垂直，垂足為，點軌跡是以為直徑的圓，則圓心，半徑，.故答案為：.例35．（2023·高二單元測試）已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為．【答案】【解析】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，若求的最大值，轉化為求的最大值，設關于直線的對稱點為B，設B坐標為，則，解得，故B，因為，可得，當P，B，A三點共線，即P點為時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：.例36．（2023·全國·高二專題練習）設點，若在圓上存在點，使得，則的最大值是．【答案】【解析】由題意知直線與圓有公共點，即圓心到直線的距離小于等于，如圖，作，垂足為，在直角中，因為，所以，解得，因為點，所以，解得，故的取值范圍是，所以的最大值是.故答案為：變式37．（2023·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學?？奸_學考試）已知圓被直線截得的兩條弦長分別為，則的最大值為．【答案】【解析】因為圓可化為，故圓心為，半徑為，所以圓心到的距離為，則該圓被截得弦長滿足，圓心到的距離為，則該圓被截得弦長滿足，所以，則，即，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：.變式38．（2023·全國·高二專題練習）已知實數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是．【答案】/【解析】由，可知，點，分別在圓和圓上，如圖，作直線，過作于，過A作于，而，其中表示A到直線的距離，表示到直線的距離，因為與，平行，且與的距離為，與的距離為，要使的取最大值，則需在直線的左下角這一側，所以，，由得，設，因為，所以，從而，故，其中，故當時，取最大值，從而，即的最大值為．故答案為：．變式39．（2023·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為.【答案】【解析】不妨設點是圓上任一點，則的幾何意義為點到直線的距離，過作的垂線，垂足為，則，又表示點到原點的距離，從而，又直線與圓相切時，，解得，所以當直線為圓的另一條切線時，最大，取最大值，此時，所以的最大值為，故答案為：變式40．（2023·上海靜安·高二校考期末）已知實數(shù)滿足，，則的最大值為.【答案】/【解析】設圓，直線，，，則，都在圓上，∵，，∴△MON是等邊三角形，∴．表示和到直線的距離和，由圖形得只有當、都在直線的下方時，該距離之和才會取得最大值．取、的中點，過作，垂足為，則，∵為等邊三角形，為的中點，∴，則在圓上運動，則當MN∥l時，到直線距離的最大值為，∴的最大值為．故答案為：變式41．（2023·河北衡水·高二?？茧A段練習）已知直線：與，軸的交點分別為，，且直線：與直線：相交于點，則面積的最大值是.【答案】【解析】因為，所以直線：與直線：垂直，又直線方程可化為，所以直線過點，因為直線方程可化為，所以直線過點，所以，故點的軌跡為以為直徑的圓，又線段的中點的坐標為，，所以點的軌跡方程為，因為到直線的距離，所以點到直線的距離的最大值為，由方程取可得，取可得，所以點的坐標為，點的坐標為，所以，所以面積的最大值為，即，故答案為：.變式42．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知實數(shù)滿足方程，求的最大值和最小值．【解析】設，即，則當直線與圓相切時，縱截距取得最大值和最小值，圓的圓心為，半徑為，則，解得，所以的最大值為，最小值為.變式43．（2023·高二課時練習）（1）如果實數(shù)x，y滿足，求的最大值和最小值；（2）已知實數(shù)x，y滿足方程，求的取值范圍．【解析】（1）解法一：如圖，當過原點的直線l與圓相切于上方時最大，過圓心作切線l的垂線交于B，在中，．∴切線l的傾斜角為，∴的最大值為．同理可得的最小值為．解法二：令，將與聯(lián)立，消去y得，，即，∴，即的最大值、最小值分別為．（2）可以看成圓上的點到的距離．圓心到的距離為．由圖可知，圓上的點到的距離的范圍是，則的取值范圍是．變式44．（2023·全國·高二專題練習）已知為圓C：上任意一點，且點．（1）求的最大值和最小值．（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．【解析】（1）圓C：，如圖所示，連接QC交圓C于AB兩點，當M與A重合時取得最小值，即，與B重合時取得最大值即，故最大值為，最小值為；（2）易知，由圖形知當與圓C相切時取得最值，如圖所示.可設，則C到其距離為，解得，故最大值為，最小值為（3）設，如圖所示，即過點M的直線的截距，如圖所示，當該直線與圓相切時截距取得最值.圓心C到該直線的距離為，所以或9，故最大值為9，最小值為1.變式45．（2023·全國·高二專題練習）已知半徑為的圓C的圓心在軸的正半軸上，且直線與圓相切．(1)求圓的標準方程．(2)已知，為圓上任意一點，試問在軸上是否存在定點（異于點），使得為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)在（2）的條件下，若點，試求的最小值．【解析】（1）由題意設圓心坐標為，則圓C的方程為因為直線與圓C相切，所以點到直線的距離，因為，所以，故圓C的標準方程為（2）假設存在定點B，設，，則，則當，即（舍去）時，為定值，且定值為，故存在定點B，且B的坐標為（3）由（2）知=，故=，從而=，當且僅當三點共線時，的值最小，且.變式46．（2023·全國·高二專題練習）已知是直線上的動點，，是圓的兩條切線，，是切點．求四邊形面積的最小值.【解析】圓即圓，所以圓心，半徑，連接，由點在直線上，可設點坐標為，所以，因為，所以當最小時，取最小值．因為．所以當時，．所以，即四邊形面積的最小值為．變式47．（2023·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學?？计谀┮阎本€和圓．(1)證明：圓C與直線l恒相交；(2)求出直線l被圓C截得的弦長的最小值．【解析】（1）變形為，令，解得，故直線過定點，因為，故在圓C內，故圓C與直線l恒相交；（2）因為直線過定點，且在圓C內，故當直線l與垂直時，直線l被圓C截得的弦長最小，其中，圓的半徑為2，故弦長最小值為.變式48．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中學?？计谀┮阎獔A.(1)設點，過點M作直線l與圓C交于A，B兩點，若，求直線l的方程；(2)設P是直線上一點，過P作圓C的切線PE，PF，切點分別為E，F(xiàn)，求的最小值.【解析】（1）圓的圓心，半徑，因為直線l被圓C截得的弦AB長為8，則圓心C到直線l的距離為，因為點到直線的距離為3，因此直線l的方程可為：，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：，即，則有，解得，直線l的方程為：，即，所以直線l的方程為或.（2）由（1）知，圓心到直線的距離，依題意，，≌，PC垂直平分弦EF，如圖，四邊形面積，于是，當且僅當垂直于直線時取等號，所以的最小值為50.變式49．（2023·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學?？茧A段練習）已知圓C經過點和且圓心在直線上．(1)求圓C的方程；(2)若點P為圓C上的任意一點，求點P到直線距離的最大值和最小值．【解析】（1）設圓心為，半徑為，則圓的標準方程為.由已知可得，，解得，所以，圓的標準方程為.（2）由（1）知，圓心為，半徑.圓心到直線的距離.所以，直線與圓相離.所以，點P到直線距離的最大值為，最小值為.變式50．（2023·江蘇南京·高二南京市第一中學?？计谀┤鐖D，圓，點為直線上一動點，過點引圓的兩條切線，切點分別為.(1)若，求切線所在直線方程；(2)求的最小值.【解析】（1）由題意知：切線的斜率存在，可設切線方程為，即，由圓的方程知：圓心為，半徑，則圓心到切線的距離，解得：或，所求切線方程為：或.（2）連接交于點，設，則，在中，，，，，.【方法技巧與總結】利用數(shù)形結合解決最值問題時，首先從代數(shù)演算入手，將代數(shù)表達式賦予幾何意義，看成某幾何量的大小，根據圖形的幾何性質，觀察出最值出現(xiàn)的時機和位置，從而解決求代數(shù)表達式的最值問題．這是用幾何方法解決代數(shù)問題的常用方法，即數(shù)形結合．常見的數(shù)形結合點是直線方程、圓的方程、過兩點的斜率公式、平面內兩點間距離公式、直線在y軸上的截距等．題型十三：三角形面積問題例37．（2023·新疆烏魯木齊·高二烏市一中?？奸_學考試）設直線，交圓于A，B兩點，當面積最大時，（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】由題意知圓的圓心為，，直線經過定點，該點在圓外，設圓心到直線的距離為，，則，，令，則，，當，即時，最大，所以，解得.故選：C例38．（2023·云南曲靖·高二校考開學考試）直線與圓相交于兩點，，若滿足，則.【答案】【解析】圓圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以所以．故答案為：．例39．（2023·遼寧沈陽·高二沈陽二十中?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，已知直線與圓交于A，B兩點，若鈍角的面積為，則實數(shù)a的值是．【答案】/【解析】由圓，即，可得圓心坐標為，半徑為，因為鈍角的面積為，可得，解得，因為，所以，可得，設圓心到直線的距離為，又由圓的弦長公式，可得，解得，根據點到直線的距離公式，解得．故答案為：．變式51．（2023·高二課時練習）已知圓，直線l過點且與圓O交于A，B兩點，當面積最大時，直線l的方程為．【答案】【解析】當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，則由，得，所以,當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為原點到直線l的距離為：當且僅當，即時取得等號.由，解得由故直線l的方程為：，即故答案為：變式52．（2023·江西南昌·高二進賢縣第二中學校考期中）在平面直角坐標系中，已知點及圓，動直線過點且交圓于、兩點，則的面積的最大值為.【答案】【解析】圓即，圓心為，半徑，設到直線的距離為，∵，∴，所以，所以當時．故答案為：變式53．（2023·福建泉州·高二?？计谥校┰趫A內，過點的最長弦和最短弦分別是和，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化圓為，可得圓心坐標為,半徑為3.由圓的性質可得，最長的弦即圓的直徑，故.因為，所以.弦最短時，弦與垂直，且經過點O,此時.故四邊形的面積為.故選:B.變式54．（2023·高二課時練習）已知直線與圓（圓心為點C）交于A，B兩點，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題得圓心坐標為.所以圓心到直線的距離為，所以弦長.所以的面積為.故選：C變式55．（2023·高二課時練習）點已知動直線恒過定點，為圓上一點，若（為坐標原點），則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將直線的方程變形得，所以直線過定點，易知點在圓上．連接，因為，，，則，所以，，即為的角平分線，所以，，又，所以，則直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，點到直線的距離．又，所以，故選：C．變式56．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）設直線與圓相交于、兩點，且的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三角形的面積公式可得，可得，，故，則為等腰直角三角形，所以，圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式可得，解得.故選：D.【方法技巧與總結】利用弦長公式求解．一、單選題1．（2023·湖南郴州·高二?？茧A段練習）已知圓,過點P（2，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】由題意，圓的方程可化為，圓心坐標為，半徑，設圓心到直線的距離為，則過的直線與圓的相交弦長，當直線與所在直線垂直時，最大，此時，當最大時，最小，所以最小的弦長.故選：D.2．（2023·高二課時練習）如圖是一個圓曲隧道的截面，若路面寬為10，凈高CD為7，則此隧道圓的半徑是（

）A．5 B． C． D．7【答案】B【解析】∵，∴，在Rt中，設半徑，則，∴，即，解得.∴此隧道圓的半徑是.故選：B3．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知直線與圓交于兩點，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圓的方程知：圓心，半徑，設圓心到直線的距離為，則，（當且僅當時取等號），則面積的最大值為.故選：D.4．（2023·江蘇南通·高二金沙中學?？茧A段練習）如圖為從空中某個角度俯視北京奧運會主體育場“烏巢”頂棚所得的局部示意圖，在平面直角坐標系中，下列給定的一系列直線中（其中為參數(shù)，），能形成這種效果的只可能是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知：直線為以為圓心的圓的切線，則到直線的距離為定值.對于選項A：因為，即，則到直線的距離不是定值，故A錯誤；對于選項B：因為，即，則到直線的距離不是定值，故B錯誤；對于選項C：因為，即，則到直線的距離不是定值，故C錯誤；對于選項D：因為，則到直線的距離是定值，故D正確；故選：D.5．（2023·全國·高二專題練習）已知圓：，則過點的最短弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于，故點在圓內，化為標準方程：.如圖，設，垂足為，設直線和圓的交點是，根據垂徑定理，，為使得最小，必須最大，顯然，重合的時候取得等號，此時，由于，所以直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：C6．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？计谥校┲袑W時期，我們學過“過圓內定點，最長弦為直徑”那么最短的弦又如何去刻畫呢？請?zhí)幚砣缦聠栴}：過圓內的點作一條直線l，使它被該圓截得的線段最短，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于，故點在圓內，化為標準方程：，圓心為，半徑為.如圖，設，垂足為，設直線和圓的交點是，根據垂徑定理，，為使得最小，必須最大，顯然，重合的時候取得等號，此時，由于，所以直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：A7．（2023·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學?？茧A段練習）已知圓：與軸正半軸交于點A，點為圓上動點，點為弦中點，則到直線的距離為的點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】由題意知，設，則，由于點為圓上動點，故，即得點C的軌跡方程為，原點到直線的距離為，而直線和平行，它們之間的距離為；又因為到直線的距離為，即直線和相交，故圓上有2個點到直線的距離為，即符合題意的點的個數(shù)為2，故選：C8．（2023·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學?？奸_學考試）已知圓：，一條光線從點射出經軸反射，則下列結論不正確的是（

）A．圓關于軸的對稱圓的方程為B．若反射光線平分圓的周長，則入射光線所在直線方程為C．若反射光線與圓相切于，與軸相交于點，則D．若反射光線與圓交于，兩點，則面積的最大值為【答案】C【解析】對于A，由圓方程可得，故圓心，半徑，圓關于軸對稱的圓的圓心為，半徑為，所求圓的方程為：，即，A正確；對于B，反射光線平分圓的周長，反射光線經過圓心，入射光線所在直線經過點，，入射光線所在直線方程為：，即，B正確；對于C，反射光線經過點關于軸的對稱點，，，則，C錯誤；對于D，設，則圓心到直線的距離，，，則當時，，D正確.故選：C.二、多選題9．（2023·江西九江·高二永修縣第一中學?？奸_學考試）直線與圓的交點個數(shù)不可能為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】ABD【解析】圓的圓心，半徑，則點到直線的距離，因此直線與圓相交，它們有兩個公共點，ABD不可能.故選：ABD10．（2023·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）若圓上恰有相異兩點到直線的距離等于，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】圓心到直線的距離，因為圓上恰有相異兩點到直線的距離等于，所以，即，解得，結合選項可知，BC正確，故選：BC．11．（2023·廣東東莞·高二東莞實驗中學?？计谥校┓匠逃袃蓚€不等實根，則的取值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【解析】方程有兩個不等實根，即函數(shù)的圖象和直線有2個交點．而函數(shù)是以原點為圓心，半徑等于1的上半圓（位于軸及軸上方的部分），直線，即的斜率為，且經過點，當直線和半圓相切時，由，求得．當直線經過點時，由求得．數(shù)形結合可得的范圍為,，故選：BC．.12．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學校考階段練習）已知實數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項正確的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．過點作曲線的切線，則切線方程為【答案】BD【解析】由圓可化為，可得圓心，半徑為，對于A中，由表示圓上的點到定點的距離的平方，所以它的最大值為，所以A錯誤；對于B中，表示圓上的點與點的斜率，設，即，由圓心到直線的距離，解得，所以的最大值為，所以B正確；對于C中，由表示圓上任意一點到直線的距離的倍，圓心到直線的距離，所以其最小值為，所以C錯誤；對于D中，因為點滿足圓的方程，即點在圓上，則點與圓心連線的斜率為，根據圓的性質，可得過點作圓的切線的斜率為，所以切線方程為，即，所以D正確.故選：BD.三、填空題13．（2023·全國·高二課堂例題）與直線平行且與圓相切的直線的方程為．【