概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-謝永欽版課后答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-謝永欽版課后答案PAGEPAGE17概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題一1．略.見教材習(xí)題參考答案.2.設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，試用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：（1）A發(fā)生，B，C都不發(fā)生；（2）A與B發(fā)生，C不發(fā)生；（3）A，B，C都發(fā)生；（4）A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生；（5）A，B，C都不發(fā)生；（6）A，B，C不都發(fā)生；（7）A，B，C至多有2個(gè)發(fā)生；（8）A，B，C至少有2個(gè)發(fā)生.【解】（1）A（2）AB（3）ABC（4）A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=(5)=(6)(7)BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪(8)AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC3.略.見教材習(xí)題參考答案4.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（）.【解】P（）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]=1[0.70.3]=0.65.設(shè)A，B是兩事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么條件下P（AB）取到最大值？（2）在什么條件下P（AB）取到最小值？【解】（1）當(dāng)AB=A時(shí)，P（AB）取到最大值為0.6.（2）當(dāng)A∪B=Ω時(shí)，P（AB）取到最小值為0.3.6.設(shè)A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=++=7.從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？【解】p=8.對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：（1）求五個(gè)人的生日都在星期日的概率；（2）求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率；（3）求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）設(shè)A1={五個(gè)人的生日都在星期日}，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個(gè)，故P（A1）==（）5（亦可用獨(dú)立性求解，下同）（2）設(shè)A2={五個(gè)人生日都不在星期日}，有利事件數(shù)為65，故P（A2）==()5(3)設(shè)A3={五個(gè)人的生日不都在星期日}P（A3）=1P(A1)=1()59.略.見教材習(xí)題參考答案.10.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機(jī)地取出n件（n<N）.試求其中恰有m件（m≤M）正品（記為A）的概率.如果：（1）n件是同時(shí)取出的；（2）n件是無放回逐件取出的；（3）n件是有放回逐件取出的.【解】（1）P（A）=(2)由于是無放回逐件取出，可用排列法計(jì)算.樣本點(diǎn)總數(shù)有種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種.對(duì)于固定的一種正品與次品的抽取次序，從M件正品中取m件的排列數(shù)有種，從NM件次品中取nm件的排列數(shù)為種，故P（A）=由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成P（A）=可以看出，用第二種方法簡便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種，對(duì)于固定的一種正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，nm次取得次品，每次都有NM種取法，共有（NM）nm種取法，故此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗(yàn)，每次取得正品的概率為，則取得m件正品的概率為11.略.見教材習(xí)題參考答案.12.50只鉚釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件上，每個(gè)部件用3只鉚釘.其中有3個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱.若將3只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱.求發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？【解】設(shè)A={發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱}13.一個(gè)袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)球，其中4個(gè)是白球，3個(gè)是黑球，從中一次抽取3個(gè)，計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率.【解】設(shè)Ai={恰有i個(gè)白球}（i=2,3），顯然A2與A3互斥.故14.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，在兩批種子中各隨機(jī)取一粒，求：（1）兩粒都發(fā)芽的概率；（2）至少有一粒發(fā)芽的概率；（3）恰有一粒發(fā)芽的概率.【解】設(shè)Ai={第i批種子中的一粒發(fā)芽}，（i=1,2）(1)(2)(3)15.擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止.（1）問正好在第6次停止的概率；（2）問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.【解】（1）(2)16.甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員，投籃命中率分別為0.7及0.6，每人各投了3次，求二人進(jìn)球數(shù)相等的概率.【解】設(shè)Ai={甲進(jìn)i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙進(jìn)i球},i=0,1,2,3,則=0.3207617．從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.【解】18.某地某天下雪的概率為0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求：（1）在下雨條件下下雪的概率；（2）這天下雨或下雪的概率.【解】設(shè)A={下雨}，B={下雪}.（1）（2）19.已知一個(gè)家庭有3個(gè)小孩，且其中一個(gè)為女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.【解】設(shè)A={其中一個(gè)為女孩}，B={至少有一個(gè)男孩}，樣本點(diǎn)總數(shù)為23=8，故或在縮減樣本空間中求，此時(shí)樣本點(diǎn)總數(shù)為7.20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）.【解】設(shè)A={此人是男人}，B={此人是色盲}，則由貝葉斯公式21.兩人約定上午9∶00~10∶00在公園會(huì)面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率.題21圖題22圖【解】設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻為x,y,則0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小時(shí)以上”等價(jià)于|xy|>30.如圖陰影部分所示.22.從（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求：（1）兩個(gè)數(shù)之和小于的概率；（2）兩個(gè)數(shù)之積小于的概率.【解】設(shè)兩數(shù)為x,y，則0<x,y<1.（1）x+y<.(2)xy=<.23.設(shè)P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（B｜A∪）【解】24.在一個(gè)盒中裝有15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，在第一次比賽中任意取出3個(gè)球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個(gè)球，求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概率.【解】設(shè)Ai={第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均為新球}由全概率公式，有25.按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問：（1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？（2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？【解】設(shè)A={被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的}，則={被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的}.由題意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又設(shè)B={被調(diào)查學(xué)生考試及格}.由題意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由貝葉斯公式知（1）即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%(2)即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.26.將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2∶1.若接收站收到的信息是A，試問原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】設(shè)A={原發(fā)信息是A}，則={原發(fā)信息是B}C={收到信息是A}，則={收到信息是B}由貝葉斯公式，得27.在已有兩個(gè)球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊?，試求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種）【解】設(shè)Ai={箱中原有i個(gè)白球}（i=0,1,2），由題設(shè)條件知P（Ai）=,i=0,1,2.又設(shè)B={抽出一球?yàn)榘浊騷.由貝葉斯公式知28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.02，一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品}，B={產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品}由貝葉斯公式得29.某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計(jì)資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現(xiàn)知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？【解】設(shè)A={該客戶是“謹(jǐn)慎的”}，B={該客戶是“一般的”}，C={該客戶是“冒失的”}，D={該客戶在一年內(nèi)出了事故}則由貝葉斯公式得30.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來的零件的次品率.【解】設(shè)Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.31.設(shè)每次射擊的命中率為0.2，問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊.即為故n≥11至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.32.證明：若P（A｜B）=P(A｜)，則A，B相互獨(dú)立.【證】即亦即因此故A與B相互獨(dú)立.33.三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為，，，求將此密碼破譯出的概率.【解】設(shè)Ai={第i人能破譯}（i=1,2,3），則34.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.【解】設(shè)A={飛機(jī)被擊落}，Bi={恰有i人擊中飛機(jī)}，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用，且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無效，求：（1）雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過試驗(yàn)被否定的概率.（2）新藥完全無效，但通過試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.【解】（1）(2)36.一架升降機(jī)開始時(shí)有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：（1）A=“某指定的一層有兩位乘客離開”；（2）B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；（3）C=“恰有兩位乘客在同一層離開”；（4）D=“至少有兩位乘客在同一層離開”.【解】由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.（1），也可由6重貝努里模型：（2）6個(gè)人在十層中任意六層離開，故（3）由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時(shí)離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：①4人中有3個(gè)人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有種可能結(jié)果；②4人同時(shí)離開，有種可能結(jié)果；③4個(gè)人都不在同一層離開，有種可能結(jié)果，故（4）D=.故37.n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果n個(gè)人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.【解】（1）(2)(3)38.將線段[0，a]任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】設(shè)這三段長分別為x,y,axy.則基本事件集為由0<x<a,0<y<a,0<axy<a所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由構(gòu)成的圖形，即如圖陰影部分所示，故所求概率為.39.某人有n把鑰匙，其中只有一把能開他的門.他逐個(gè)將它們?nèi)ピ囬_（抽樣是無放回的）.證明試開k次（k=1,2,…,n）才能把門打開的概率與k無關(guān).【證】40.把一個(gè)表面涂有顏色的立方體等分為一千個(gè)小立方體，在這些小立方體中，隨機(jī)地取出一個(gè)，試求它有i面涂有顏色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.【解】設(shè)Ai={小立方體有i面涂有顏色}，i=0,1,2,3.在1千個(gè)小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，這樣的小立方體共有8個(gè).只有位于原立方體的棱上（除去八個(gè)角外）的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有12×8=96個(gè).同理，原立方體的六個(gè)面上（除去棱）的小立方體是一面涂色的，共有8×8×6=384個(gè).其余1000（8+96+384）=512個(gè)內(nèi)部的小立方體是無色的，故所求概率為,.41.對(duì)任意的隨機(jī)事件A，B，C，試證P（AB）+P（AC）P（BC）≤P(A).【證】42.將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率.【解】設(shè)={杯中球的最大個(gè)數(shù)為i},i=1,2,3.將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個(gè)數(shù)為1時(shí)，每個(gè)杯中最多放一球，故而杯中球的最大個(gè)數(shù)為3，即三個(gè)球全放入一個(gè)杯中，故因此或43.將一枚均勻硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A={正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={正面次數(shù)少于反面次數(shù)}，C={正面次數(shù)等于反面次數(shù)}，A，B，C兩兩互斥.可用對(duì)稱性來解決.由于硬幣是均勻的，故P（A）=P（B）.所以由2n重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次的概率為故44.擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】設(shè)A={出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)}，由對(duì)稱性知P（A）=P（B）（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正、反面次數(shù)不會(huì)相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=0.5(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由上題知45.設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.【解】令甲正=甲擲出的正面次數(shù)，甲反=甲擲出的反面次數(shù).乙正=乙擲出的正面次數(shù)，乙反=乙擲出的反面次數(shù).顯然有=（甲正≤乙正）=（n+1甲反≤n乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由對(duì)稱性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）因此P(甲正>乙正)=46.證明“確定的原則”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，則P（A）≥P(B).【證】由P（A|C）≥P(B|C),得即有同理由得故47.一列火車共有n節(jié)車廂，有k(k≥n)個(gè)旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個(gè)旅客的概率.【解】設(shè)Ai={第i節(jié)車廂是空的}，（i=1,…,n）,則其中i1,i2,…,in1是1，2，…，n中的任n1個(gè).顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是故所求概率為48.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的概率為ε>0.試證明：不論ε>0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為49.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？【解】設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國徽}B={這只硬幣為正品}由題知?jiǎng)t由貝葉斯公式知50.巴拿赫（Banach）火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時(shí)另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時(shí)（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以B1、B2記火柴取自不同兩盒的事件，則有.（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說明已取了2nr次，設(shè)n次取自B1盒（已空），nr次取自B2盒，第2nr+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2nr次火柴視作2nr重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為式中2反映B1與B2盒的對(duì)稱性（即也可以是B2盒先取空）.（2）前2nr1次取火柴，有n1次取自B1盒，nr次取自B2盒，第2nr次取自B1盒，故概率為51.求n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由以上兩式相減得所求概率為若要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得.52.設(shè)A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P{（+B）（A+B）（+）（A+）}的值.【解】因?yàn)椋ˋ∪B）∩（∪）=A∪B（∪B）∩（A∪）=AB∪所求故所求值為0.53.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A，B和C滿足條件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.【解】由故或,按題設(shè)P（A）<,故P（A）=.54.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P（A）.【解】①②故故③由A,B的獨(dú)立性，及①、③式有故故或（舍去）即P（A）=.55.隨機(jī)地向半圓0<y<(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于π/4的概率為多少？【解】利用幾何概率來求，圖中半圓面積為πa2.陰影部分面積為故所求概率為56.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【解】設(shè)A={兩件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}57.設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份.隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率p；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.【解】設(shè)Ai={報(bào)名表是取自第i區(qū)的考生}，i=1,2,3.Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.則(1)(2)而故58.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,試比較P(A∪B)與P(A)的大小.(2006研考)解：因?yàn)樗?59.60.習(xí)題二1.一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.【解】故所求分布律為X345P0.10.30.62.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函數(shù)并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P（2）當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=0當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)=當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=1故X的分布函數(shù)(3)3.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0，1，2，3.故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù)4.（1）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=，其中k=0，1，2，…，λ＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.（2）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，試確定常數(shù)a.【解】（1）由分布律的性質(zhì)知故(2)由分布律的性質(zhì)知即.5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：（1）兩人投中次數(shù)相等的概率;（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)(1)+(2)=0.2436.設(shè)某機(jī)場每天有200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02，且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問該機(jī)場需配備多少條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則X~b(200,0.02)，設(shè)機(jī)場需配備N條跑道，則有即利用泊松近似查表得N≥9.故機(jī)場至少應(yīng)配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則X~b（1000，0.0001）8.已知在五重伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則故所以.9.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，（1）進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2）進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】（1）設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，0.3）(2)令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，0.3）10.某公安局在長度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.（1）求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒收到呼救的概率；（2）求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.【解】（1）(2)11.設(shè)P{X=k}=,k=0,1,2P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4分別為隨機(jī)變量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，試求P{Y≥1}.【解】因?yàn)?，?而故得即從而12.某教科書出版了2000冊，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001，試求在這2000冊書中恰有5冊錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊書中錯(cuò)誤的冊數(shù)，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算,得13.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.【解】14.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率;（2）保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1）在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為2500×12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,0.002)，則所求概率為由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有(2)P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000)即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險(xiǎn)公司獲利不少于20000）即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=Ae|x|,∞<x<+∞,求：（1）A值；（2）P{0<X<1};(3)F(x).【解】（1）由得故.(2)(3)當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)x≥0時(shí)，故16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1）在開始150小時(shí)內(nèi)沒有電子管損壞的概率；（2）在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；（3）F（x）.【解】（1）(2)(3)當(dāng)x<100時(shí)F（x）=0當(dāng)x≥100時(shí)故17.在區(qū)間［0，a］上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求X的分布函數(shù).【解】由題意知X~∪[0,a]，密度函數(shù)為故當(dāng)x<0時(shí)F（x）=0當(dāng)0≤x≤a時(shí)當(dāng)x>a時(shí)，F(xiàn)（x）=1即分布函數(shù)18.設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上服從均勻分布.現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即故所求概率為19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分鐘計(jì)）服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開.他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N（50，42）.（1）若動(dòng)身時(shí)離火車開車只有1小時(shí)，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？（2）又若離火車開車時(shí)間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1）若走第一條路，X~N（40，102），則若走第二條路，X~N（50，42），則++故走第二條路乘上火車的把握大些.（2）若X~N（40，102），則若X~N（50，42），則故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設(shè)X~N（3，22），（1）求P{2<X≤5}，P{4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};（2）確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】（1）(2)c=322.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）X~N（10.05,0.062）,規(guī)定長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X（小時(shí)）服從正態(tài)分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200＝≥0.8，允許σ最大不超過多少？【解】故24.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為F（x）=（1）求常數(shù)A，B；（2）求P{X≤2}，P{X＞3}；（3）求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2）(3)25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求X的分布函數(shù)F（x），并畫出f（x）及F（x）.【解】當(dāng)x<0時(shí)F（x）=0當(dāng)0≤x<1時(shí)當(dāng)1≤x<2時(shí)當(dāng)x≥2時(shí)故26.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為（1）f(x)=ae|x|,λ>0;(2)f(x)=試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）.【解】（1）由知故即密度函數(shù)為當(dāng)x≤0時(shí)當(dāng)x>0時(shí)故其分布函數(shù)(2)由得b=1即X的密度函數(shù)為當(dāng)x≤0時(shí)F（x）=0當(dāng)0<x<1時(shí)當(dāng)1≤x<2時(shí)當(dāng)x≥2時(shí)F（x）=1故其分布函數(shù)為27.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)，（1）=0.01，求;（2）=0.003，求，.【解】（1）即即故（2）由得即查表得由得即查表得28.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3029.設(shè)P{X=k}=()k,k=1,2,…,令求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】30.設(shè)X~N（0，1）.（1）求Y=eX的概率密度；（2）求Y=2X2+1的概率密度；（3）求Y=｜X｜的概率密度.【解】（1）當(dāng)y≤0時(shí)，當(dāng)y>0時(shí)，故(2)當(dāng)y≤1時(shí)當(dāng)y>1時(shí)故(3)當(dāng)y≤0時(shí)當(dāng)y>0時(shí)故31.設(shè)隨機(jī)變量X~U（0,1），試求：（1）Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；（2）Z=2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】（1）故當(dāng)時(shí)當(dāng)1<y<e時(shí)當(dāng)y≥e時(shí)即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為（2）由P（0<X<1）=1知當(dāng)z≤0時(shí)，當(dāng)z>0時(shí)，即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為32.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】當(dāng)y≤0時(shí)，當(dāng)0<y<1時(shí)，當(dāng)y≥1時(shí)，故Y的密度函數(shù)為33.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下：試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由知②填1。由右連續(xù)性知，故①為0。從而③亦為0。即34.同時(shí)擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)}。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立。再設(shè)C={每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)}。則故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。35.隨機(jī)數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個(gè)數(shù)字，則X~b(n,0.1)即得n≥22即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。36.已知F（x）=則F（x）是（）隨機(jī)變量的分布函數(shù).（A）連續(xù)型；（B）離散型；（C）非連續(xù)亦非離散型.【解】因?yàn)镕（x）在（∞,+∞）上單調(diào)不減右連續(xù)，且,所以F（x）是一個(gè)分布函數(shù)。但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。選（C）37.設(shè)在區(qū)間[a,b]上，隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間[a,b]等于（）(A)[0,π/2];(B)[0,π];(C)[π/2,0];(D)[0,].【解】在上sinx≥0，且.故f(x)是密度函數(shù)。在上.故f(x)不是密度函數(shù)。在上，故f(x)不是密度函數(shù)。在上，當(dāng)時(shí)，sinx<0，f(x)也不是密度函數(shù)。故選（A）。38.設(shè)隨機(jī)變量X~N（0，σ2），問：當(dāng)σ取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？【解】因?yàn)槔梦⒎e分中求極值的方法，有得,則又故為極大值點(diǎn)且惟一。故當(dāng)時(shí)X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。39.設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P（λ），每個(gè)顧客購買某種物品的概率為p，并且各個(gè)顧客是否購買該種物品相互獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購買這種物品的人數(shù)Y的分布律.【解】設(shè)購買某種物品的人數(shù)為Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p)，即由全概率公式有此題說明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀.40.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：Y=1e2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布.【證】X的密度函數(shù)為由于P（X>0）=1，故0<1e2X<1，即P（0<Y<1）=1當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y（y）=0當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y（y）=1當(dāng)0<y<1時(shí)，即Y的密度函數(shù)為即Y~U（0，1）41.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍.(2000研考)【解】由P（X≥k）=知P（X<k）=若k<0,P(X<k)=0若0≤k≤1,P(X<k)=當(dāng)k=1時(shí)P（X<k）=若1≤k≤3時(shí)P（X<k）=若3<k≤6，則P（X<k）=若k>6,則P（X<k）=1故只有當(dāng)1≤k≤3時(shí)滿足P（X≥k）=.42.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=求X的概率分布.（1991研考）【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為X113P0.40.40.243.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P（A）=p,則X~b(3,p)由P（X≥1）=知P（X=0）=（1p）3=故p=44.若隨機(jī)變量X在（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？【解】45.若隨機(jī)變量X~N（2，σ2），且P{2<X<4}=0.3，則P{X<0}=.【解】故因此46.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n≥2)臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立）.求（1）全部能出廠的概率α；（2）其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率β；（3）其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率θ.【解】設(shè)A={需進(jìn)一步調(diào)試}，B={儀器能出廠}，則={能直接出廠}，AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}由題意知B=∪AB，且令X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則X~6（n，0.94）,故47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語成績，則X~N（72，σ2）故查表知,即σ=12從而X~N（72，122）故48.在電源電壓不超過200V、200V~240V和超過240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252））.試求：（1）該電子元件損壞的概率α;(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240V的概率β【解】設(shè)A1={電壓不超過200V}，A2={電壓在200~240V}，A3={電壓超過240V}，B={元件損壞}。由X~N（220，252）知由全概率公式有由貝葉斯公式有49.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因?yàn)镻（1<X<2）=1,故P（e2<Y<e4）=1當(dāng)y≤e2時(shí)FY（y）=P(Y≤y)=0.當(dāng)e2<y<e4時(shí)，當(dāng)y≥e4時(shí)，即故50.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)=求隨機(jī)變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y).(1995研考)【解】P（Y≥1）=1當(dāng)y≤1時(shí)，當(dāng)y>1時(shí)，即故51.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)=,求Y=1的密度函數(shù)fY(y).【解】故52.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N（t）服從參數(shù)為λt的泊松分布.（1）求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；（2）求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時(shí)的情形下，再無故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.（1993研考）【解】（1）當(dāng)t<0時(shí)，當(dāng)t≥0時(shí)，事件{T>t}與{N(t)=0}等價(jià)，有即即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。（2）53.設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1，P{X=1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{1<X<1}出現(xiàn)的條件下，X在{1，1}內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比，試求X的分布函數(shù)F（x）=P{X≤x}.(1997研考)【解】顯然當(dāng)x<1時(shí)F（x）=0；而x≥1時(shí)F（x）=1由題知當(dāng)1<x<1時(shí)，此時(shí)當(dāng)x=1時(shí)，故X的分布函數(shù)54.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分N（μ1,σ12),Y服從正態(tài)分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，試比較σ1與σ2的大小.(2006研考)解：依題意，，則，.因?yàn)?，即，所以有，?習(xí)題三1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XXY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XXY0123000102P(0黑,2紅,2白)=03.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長方形域內(nèi)的概率.【解】如圖題3圖說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1）常數(shù)A；（2）隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1）由得A=12（2）由定義，有(3)5.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1）確定常數(shù)k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性質(zhì)有故（2）(3)(4)題5圖6.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）=求：（1）X與Y的聯(lián)合分布密度；（2）P{Y≤X}.題6圖【解】（1）因X在（0，0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為而所以(2)7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求（X，Y）的聯(lián)合分布密度.【解】8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】題8圖題9圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1）試確定常數(shù)c；（2）求邊緣概率密度.【解】（1）得.(2)11.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.題11圖【解】所以12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1，2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X，最大的號(hào)碼為Y.（1）求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2）X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1）X與Y的聯(lián)合分布律如下表YYX345120300(2)因故X與Y不獨(dú)立13.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03（1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2）X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因故X與Y不獨(dú)立.14.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實(shí)根的概率.【解】（1）因故題14圖(2)方程有實(shí)根的條件是故X2≥Y，從而方程有實(shí)根的概率為：15.設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)(1)當(dāng)z≤0時(shí)，（2）當(dāng)0<z<1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)x=1000時(shí),y=）(如圖a)題15圖(3)當(dāng)z≥1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)y=103時(shí)，x=103z）（如圖b）即故16.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，202）分布.隨機(jī)地選取4只，求其中沒有一只壽命小于180h的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202），從而17.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為P{Z=i}=，i=0，1，2，….【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以于是18.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，…，2n.方法二：設(shè)μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p），則X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布.19.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XXY012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05(1)求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2）求V=max（X，Y）的分布律；（3）求U=min（X，Y）的分布律；（4）求W=X+Y的分布律.【解】（1）（2）所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3)于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)類似上述過程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X，Y）在屏幕上服從均勻分布.（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；（2）設(shè)M=max{X，Y}，求P{M＞0}.題20圖【解】因（X，Y）的聯(lián)合概率密度為（1）(2)21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，求（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21圖【解】區(qū)域D的面積為（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為所以22.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.XYXYy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨(dú)立，故,從而即：又即從而同理又,故.同理從而故YYX123.設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0<p<1），且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布.【解】(1).(2)24.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，其中X的概率分布為X~，而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).【解】設(shè)F（y）是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為由于X和Y獨(dú)立，可見由此，得U的概率密度為25.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，求P{max{X,Y}≤1}.解：因?yàn)殡S即變量服從[0，3]上的均勻分布，于是有因?yàn)閄，Y相互獨(dú)立，所以推得.26.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布為XXY101101a00.20.1b0.200.1c其中a,b,c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，記Z=X+Y.求：（1）a,b,c的值；（2）Z的概率分布；（3）P{X=Z}.解(1)由概率分布的性質(zhì)知，a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4.由，可得.再由,得.解以上關(guān)于a，b，c的三個(gè)方程得.(2)Z的可能取值為2，1，0，1，2，，，，，，即Z的概率分布為Z21012P0.20.10.30.30.1(3).27.28.29.30.習(xí)題四1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)(2)(3)2.已知100個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)次品，求任意取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差.【解】設(shè)任取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)為X，則X的分布律為X012345P故3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X101Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因……①,又……②,……③由①②③聯(lián)立解得4.袋中有N只球，其中的白球數(shù)X為一隨機(jī)變量，已知E（X）=n，問從袋中任取1球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?？【解】記A={從袋中任取1球?yàn)榘浊騷，則5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】故6.設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ4X.【解】(1)(2)7.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X2Y），D（2X3Y）.【解】(1)(2)8.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試確定常數(shù)k，并求E（XY）.【解】因故k=2.9.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fX（x）=fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X與Y的均值由X與Y的獨(dú)立性，得方法二：利用隨機(jī)變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨(dú)立，故聯(lián)合密度為于是10.設(shè)隨機(jī)變量X，Y的概率密度分別為fX（x）=fY（y）=求（1）E（X+Y）;（2）E（2X3Y2）.【解】從而(1)(2)11.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求（1）系數(shù)c;（2）E（X）;（3）D（X）.【解】(1)由得.(2)(3)故12.袋中有12個(gè)零件，其中9個(gè)合格品，3個(gè)廢品.安裝機(jī)器時(shí)，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X，求E（X）和D（X）.【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，3.為求其分布律，下面求取這些可能值的概率，易知于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得13.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為f（x）=為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺(tái)設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元，試求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利Y只有兩個(gè)值：100元和200元故(元).14.設(shè)X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，記，S2=.（1）驗(yàn)證=μ，=；（2）驗(yàn)證S2=；（3）驗(yàn)證E（S2）=σ2.【證】(1)(2)因故.(3)因,故同理因,故.從而15.對(duì)隨機(jī)變量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1,計(jì)算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）.【解】(因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).16.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】設(shè).同理E(Y)=0.而,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|x|≤1時(shí)，當(dāng)|y|≤1時(shí)，.顯然故X和Y不是相互獨(dú)立的.17.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XXY1011011/81/81/81/801/81/81/81/8驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨(dú)立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表X101PY101PXY101P由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.從而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知ρXY=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨(dú)立的.18.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求Cov（X，Y），ρXY.【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為題18圖從而同理而所以.從而19.設(shè)（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求協(xié)方差Cov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)ρXY.【解】從而同理又故20.已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=X2Y和Z2=2XY的相關(guān)系數(shù).【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.從而故21.對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量V，W，若E（V2），E（W2）存在，證明：［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.這一不等式稱為柯西許瓦茲（CouchySchwarz）不等式.【證】令顯然可見此關(guān)于t的二次式非負(fù)，故其判別式Δ≤0，即故22.假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的時(shí)間X服從參數(shù)λ=1/5的指數(shù)分布.設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī).試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F（y）.【解】設(shè)Y表示每次開機(jī)后無故障的工作時(shí)間，由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時(shí)間X~E(λ),E(X)==5.依題意Y=min(X,2).對(duì)于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0.對(duì)于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.對(duì)于0≤y<2,當(dāng)x≥0時(shí)，在(0,x)內(nèi)無故障的概率分布為P{X≤x}=1eλx,所以F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1ey/5.23.已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.【解】（1）Z的可能取值為0，1，2，3，Z的概率分布為,Z=k0123Pk因此，(2)設(shè)A表示事件“從乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品”，根據(jù)全概率公式有24.假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（μ,1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品.銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系T=問：平均直徑μ取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？【解】故得兩邊取對(duì)數(shù)有解得(毫米)由此可得，當(dāng)u=10.9毫米時(shí)，平均利潤最大.25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于π/3的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望.（2002研考）【解】令則.因?yàn)榧?所以,從而26.兩臺(tái)同樣的自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無故障工作的時(shí)間Ti(i=1,2)服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自動(dòng)開啟.試求兩臺(tái)記錄儀無故障工作的總時(shí)間T=T1+T2的概率密度fT(t)，數(shù)學(xué)期望E（T）及方差D（T）.【解】由題意知：因T1,T2獨(dú)立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).當(dāng)t<0時(shí)，fT(t)=0;當(dāng)t≥0時(shí)，利用卷積公式得故得由于Ti~E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2獨(dú)立，所以D（T）=D（T1+T2）=.27.設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|XY|的方差.【解】設(shè)Z=XY，由于且X和Y相互獨(dú)立，故Z~N（0，1）.因而，所以.28.某流水生產(chǎn)線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為p(0<p<1)，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)，即停機(jī)檢修.設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X，求E（X）和D（X）.【解】記q=1p,X的概率分布為P{X=i}=qi1p,i=1,2,…，故又所以題29圖29.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布在點(diǎn)（0，1），（1，0）及（1，1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布.（如圖），試求隨機(jī)變量U=X+Y的方差