第二講 與圓有關(guān)的證明與計算（考點精析+真題精講）（解析版）

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學一輪復習備戰(zhàn)2024中考數(shù)學一輪復習第2講與圓有關(guān)的證明與計算№考向解讀第2講與圓有關(guān)的證明與計算№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第六章圓第2講與圓有關(guān)的證明與計算該板塊內(nèi)容以考查綜合題為主，也是考查重點，除了填空題和選擇題外，年年都會考查綜合題，對多數(shù)考生來說也是難點，2024年各地中考肯定還是考查的重點在選擇、填空題中考查三角形的外心、正多邊形、弧長、扇形面積，在解答題中想必還會考查切線的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線段長的問題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問題等知識點綜合，考查形式多樣，多以動點、動圖的形式給出，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識、基本方法，力爭拿到全分?！?考點精析←→?真題精講←考向一與切線證明有關(guān)考向二與求線段有關(guān)考向三與求角度有關(guān)第2講與圓有關(guān)的證明與計算→?考點精析←一、三角形與圓1．三角形的外接圓相關(guān)概念經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形．外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等．2．三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等．二、正多邊形的有關(guān)概念正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑．正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形中心角．正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．→?真題精講←題型一計算1．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，若，，則扇形(陰影部分)的面積是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理求得，然后根據(jù)扇形面積公式進行計算即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴．故選：B.【點睛】本題考查了圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形內(nèi)接于，分別以為直徑向外作半圓．若，則陰影部分的面積是（

）

A． B． C． D．20【答案】D【分析】根據(jù)陰影部分面積為2個直徑分別為的半圓的面積加上矩形的面積減去直徑為矩形對角線長的圓的面積即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵矩形內(nèi)接于，∴∴陰影部分的面積是，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某玩具品牌的標志由半徑為的三個等圓構(gòu)成，且三個等圓相互經(jīng)過彼此的圓心，則圖中三個陰影部分的面積之和為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的對稱性可知：圖中三個陰影部分的面積相等，只要計算出一個陰影部分的面積即可，如圖，連接，陰影的面積＝扇形的面積，據(jù)此即可解答.【詳解】解：根據(jù)圓的對稱性可知：圖中三個陰影部分的面積相等；如圖，連接，則，是等邊三角形，∴，弓形的面積相等，∴陰影的面積＝扇形的面積，∴圖中三個陰影部分的面積之和；故選：C.

【點睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計算，正確添加輔助線、掌握求解的方法是解題關(guān)鍵.4.（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，E為的中點，連接，以E為圓心，長為半徑畫弧，分別與交于點M，N，則圖中陰影部分的面積為________．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】利用矩形的性質(zhì)求得，進而可得，然后根據(jù)解答即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，E為的中點，∴，，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和不規(guī)則面積的計算，熟練掌握矩形的性質(zhì)、明確陰影面積為兩個全等的等腰直角三角形的面積減去兩個圓心角為的扇形面積是解題關(guān)鍵．5．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為___________．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及勾股定理得到，再根據(jù)圓的面積及矩形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，∴是的直徑，∵，∴，∴的半徑為，∴的面積為，矩形的面積為，∴陰影部分的面積為；故答案為：.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）用半徑為，面積為的扇形紙片，圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑為________．【答案】【分析】應為圓錐側(cè)面母線的長就是側(cè)面展開扇形的半徑，利用圓錐側(cè)面面積公式：，就可以求出圓錐的底面圓的半徑．【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為，，由扇形的面積：，得：故答案為：.【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面面積的相關(guān)計算，熟練掌握圓錐側(cè)面面積的計算公式是解題的關(guān)鍵，注意用扇形圍成的圓錐，扇形的半徑就是圓錐的母線．題型二與切線證明有關(guān)7．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于是延長線上的一點，，相交于點．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）由，為半徑，可知，，則，，，如圖1，連接，由，可得，則，即，進而結(jié)論得證；（2）如圖2，記與交點為，連接，過作于，證明是等邊三角形，則，，設(shè)半徑為，則，由，，可得，證明，則，即，解得或（舍去），根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，

∵，∴，∴，∴，由等邊對等角可得，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，又∵是半徑，∴是的切線；（2）解：如圖2，記與交點為，連接，過作于，

∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，設(shè)半徑為，∵，∴，∵，∴是等腰三角形，又∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得或（舍去），∴，∴的長為6．【點睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，余弦、正切等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．8．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點是外一點，與相切于點，點為上的一點．連接、、，且．

(1)求證：為的切線；(2)延長與的延長線交于點D，求證：；(3)若，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，證明，即可得證；（2）根據(jù)，即可得證；（3）根據(jù)圓周角定理得出，進而勾股定理求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的切線，∴如圖所示，連接

在與中，∴∵為上的一點．∴是的切線；（2）∵是的切線；∴，∴∴（3）解：∵，∴，∵∴，∴∴，∴【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，圓周角定理，求含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求扇形面積，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點，是上的點，且，連接，過點作的垂線，交的延長線于點，交的延長線于點，過點作于點，交于點．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)，得出，由，得出，根據(jù)已知條件得出，證明，結(jié)合已知條件可得，即可得證；（2）連接，根據(jù)已知條件得出，，得出，證明，得出，，進而求得，，根據(jù)，求得，進而即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，

∵，∴，∵，∴∵，∴，∴∴∵∴∵是半徑，∴是的切線；（2）解：如圖所示，連接，

∵，，設(shè)，則∴，∴，即解得：，∵，∴∵∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，又，∴，∴,，∴，∴，解得：，∴∴，∵是的直徑，∴，∵，∴∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵,,∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．題型三與求線段有關(guān)10．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，C是圓上一點，D是的中點，弦，垂足為點F．

(1)求證：；(2)P是上一點，，求；(3)在（2）的條件下，當是的平分線時，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）由D是的中點得，由垂徑定理得，得到，根據(jù)同圓中，等弧對等弦即可證明；（2）連接，證明，設(shè)的半徑為r，利用相似三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；（3）過點B作交于點G，證明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解．【詳解】（1）解：∵D是的中點，∴，∵且為的直徑，∴，∴，∴；（2）解：連接，

∵，∴，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)的半徑為r，則，解得，經(jīng)檢驗，是方程的根，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖，過點B作交于點G，

∴∵，是的平分線，∴∴∴，∵∴，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識，熟練掌握以上知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵．11．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，四邊形是半徑為R的的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，直線l與三條線段、、的延長線分別交于點E、F、G．且滿足．

(1)求證：直線直線；(2)若；①求證：；②若，求四邊形的周長．【答案】(1)見解析(2)①見解析，②【分析】（1）在中，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得，結(jié)合已知在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得；（2）①根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補角可得，由直徑所對的圓周角是直角和（1）可得，結(jié)合已知即可證得；②在中由，可得，結(jié)合題意易證，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入計算即可求得周長．【詳解】（1）證明：在中，，，即，在中，，，即直線直線；（2）①四邊形是半徑為R的的內(nèi)接四邊形，，，，是的直徑，，由（1）可知，，在與中，，，②在中，，，是的直徑，，，，，在中，，即，解得：，由①可知，，，四邊形的周長為：．【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等、三角形內(nèi)角和定理、垂直的定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、鄰補角互補、直徑所對的圓周角是直角、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理解直角三角形以及周長的計算；解題的關(guān)鍵是靈活運用以上知識，綜合求解．12．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是弦，是上一點，是延長線上一點，連接．

(1)求證：；（請用兩種證法解答）(2)若，的半徑為3，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】（1）證法一：連接，得到，因為，所以；證法二：連接，可得，則，根據(jù)，可得，即可得到結(jié)果；（2）連接，根據(jù)角度間的關(guān)系可以證得為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得邊的長，進而求得結(jié)果．【詳解】（1）證法一：如圖，連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴∵，∴，∴，

證法二：如圖，連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∴，

（2）解：如圖，連接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．∵的半徑為3，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，

【點睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角為直角，勾股定理，找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是的內(nèi)心，的延長線與邊相交于點，與的外接圓相交于點．

(1)求證：；(2)求證：；(3)求證：；(4)猜想：線段三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫出，不需證明．）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)【分析】（1）過點F作，垂足分別為，則，進而表示出兩個三角形的面積，即可求解；（2）過點A作于點，表示出兩三角形的面積，即可求解；（3）連接，證明得出，證明，得出，即可，恒等式變形即可求解；（4）連接，證明，得出，證明，得出，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，過點F作，垂足分別為，∵點是的內(nèi)心，∴是的角平分線，∵，∴，∵，∴；（2）證明：如圖所示，過點A作于點，

∵，∴，由（1）可得，∴；（3）證明：連接，

∵∴∴∴，∴∵，∴，又，∴，∴，∴；∴，∴，（4）解：如圖所示，連接，

∵點是的內(nèi)心，∴是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)心的定義，同弧所對的圓周角相等，角平分線的性質(zhì)與定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形的面積公式等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型四與求角度有關(guān)14．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，與相切于點A，半徑，與相交于點D，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，再由平行線的性質(zhì)得出，利用圓周角定理及等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明；（2）過點A作，過點C作的延長線于點F，根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)得出，再由正切函數(shù)確定，，再由正方形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∵與相切于點A，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）過點A作，過點C作交的延長線于點F，如圖所示：

由（1）得，∴為等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，，由（1）得，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∵，∴,∴即，解得：，∴．【點睛】題目主要考查圓周角定理，解直角三角形及正方形與相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．15．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，為的直徑，點為上一點，為的平分線交于點，連接交于點．

(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，過點作的切線交延長線于點，過點作交于點．若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理證明兩直線平行，再利用平行線的性質(zhì)證明角度相等即可；（2）由勾股定理找到邊的關(guān)系，求出線段長，再利用等面積法求解即可．【詳解】（1）∵是的直徑，∴，∵平分，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，（2）如圖，連接，設(shè)，

則，，，∵是的直徑，∴，在中，有勾股定理得：由（1）得：，∴，由勾股定理得：，，∴，∴，整理得：，解得：或（舍去），∴，∴，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了圓周角定理和勾股定理，三角形中位線定理，切線的性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握圓周角定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的邊為直徑作，交邊于點D，過點C作交于點E，連接．

(1)求證：；(2)若，求和的長．【答案】(1)見解析(2)，【分析】（1）根據(jù)，得到，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得到，可證明是等腰三角形，即可解答；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程，解得x的值，即可求出；解法一：過點作的垂線段，交的延長線于點F，證明，求出的長，根據(jù)勾股定理即可解出的長；解法二：連接,得到角相等，進而證得，根據(jù)對應邊成比例即可解出的長．【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）解：設(shè)，是的直徑，，，，即，根據(jù)（