中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圖形的運動

分類例析中考試題中圖形的運動圖形的運動包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，圖形在運動的過程中，對應(yīng)線段、對應(yīng)角的大小不變．圖形在平移的過程中，對應(yīng)點的連線平行且相等．圖形在旋轉(zhuǎn)的過程中，對應(yīng)線段的夾角相等，這個夾角就是旋轉(zhuǎn)角．圖形在翻折前后，對應(yīng)點的連線的垂直平分線就是對稱軸．圖形的運動是近幾年新課程考試的熱點問題，常見的題型有：一、判斷題．這類題目主要考察中心對稱圖形、軸對稱圖形的概念．【例1】（2006，煙臺）從一副撲克牌中抽出如下四張牌，其中是中心對稱圖形的有（）．A.1張；B.2張；C.3張；D.4張．【例2】（2006，寧波）下列圖形中，只有一條對稱軸的是（）．A.B.C.D.【例3】（2006，深圳）下列圖形中，是軸對稱圖形的為（）．ＡＢＣＤ【例4】（2006，廣安）下面的希臘字母中,是軸對稱圖形的是（）．ΧδλΨABCD【例5】（2006，南京）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）．A.菱形；B.等腰梯形；C.等邊三角形；D.等腰直角三角形．【例6】（2006，金華）將葉片圖案旋轉(zhuǎn)1800后，得到的圖形是()．[解答]例1——6：B、C、D、D、A、D.二、計算題．解答這類題目，關(guān)鍵是尋找圖形在運動過程中的等量線段和相等的角．【例7】（2006，蘇州）如圖，如果直線m是多邊形ABCDE的對稱軸，其中∠A=1300，∠B=1100．那么∠BCD的度數(shù)等于（）．A.400；B.500；C．600；D.700.[解析]對稱軸把五邊形分成了兩個全等的四邊形，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于3600，可以算得∠BCD＝2×300＝600．選C．【例8】（2006，淄博）將一矩形紙片按如圖方式折疊，BC、BD為折痕，折疊后在同一條直線上，則∠CBD的度數(shù)（）．A.大于90°；B.等于90°；C.小于90°；D.不能確定．[解析]由軸對稱圖形的對應(yīng)角相等，知∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，所以∠CBD＝90°．選B．【例9】（2006，內(nèi)江）如圖，將矩形紙片ABCD沿AE折疊，使點B落在直角梯形AECD的中位線FG上，若AB=，則AE的長為()．A.；B.3；C.2；D.．[解析]由軸對稱圖形的對應(yīng)邊相等，知AB＝AB′；由垂直平分線的性質(zhì)，知BB′＝AB′．因此△ABB′是等邊三角形，AE＝2．選C．【例10】（2006，紹興）如圖，設(shè)M、N分別是直角梯形ABCD兩腰AD、BC的中點，DE⊥AB于點E，將△ADE沿DE翻折，M與N恰好重合，則AE∶BE等于()．A．2∶1；B．1∶2；C．3∶2；D．2∶3．[解析]連結(jié)MN交DE于F，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，知MF=NF；由中位線的性質(zhì)，知MF=AE，NF=BE，因此AE∶BE=2∶1．選A．【例11】（2006，浙江）在Rt△ABC中，斜邊AB=4，∠B=60°，將△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)60°，頂點C運動的路線長是（）．A．；B．；C．；D．．[解析]Rt△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)60°的過程，線段BC掃過的圖形是一個圓心角為60°、半徑為2的扇形，點C運動的路線就是一條弧，弧長為．選B．【例12】（2006，臨安）如圖直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰CD以D為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°至E，連AE、DE，則△ADE的面積是（）．A．1；B．2；C．3；D．不能確定．[解析]已知△ADE的底AD，從探求AD邊的高入手設(shè)法解決問題．過點D作DF⊥BC于F，則FC=1．將△DFC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△DEG，那么AD邊的高EG=1．選A．【例13】（2006，綿陽）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△AB′C′，且C′為BC的中點，則C′D∶DB′等于（）．A．；B．；C．；D．．[解析]判斷△ABC的特征是解決這個題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)很容易判斷△ACC′是等邊三角形，進而判斷△ABC是30°角的直角三角形，那么AB⊥B′C′．選D．【例14】（2006，青島）如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P'AB，則點P與點P'之間的距離為_______，∠APB＝______°．[解析]這是一道典型題，第一個填空為解答第二個填空作了暗示．由旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)很容易判斷△APP′是等邊三角形，由勾股定理的逆定理可以判定△BPP′是直角三角形，因此∠APB＝150°．三、畫圖題．這是考察概念難度較高的題目，不僅要理解概念，還要根據(jù)概念動手畫圖．【例15】（2006，上海）在中國的園林建筑中，很多建筑圖形具有對稱性．如圖是一個破損花窗的圖形，請把它補畫成中心對稱圖形．[解析]這個圖形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，一般情況下學(xué)生不會畫錯，體現(xiàn)了命題的人性化，但是在不用尺規(guī)隨意用手畫的情況下是要扣分的．【例16】（2006，嘉興）如圖，8×8方格紙上的兩條對稱軸EF、MN相交于中心點O，對△ABC分別作下列變換：①先以點A為中心順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以點O為中心作中心對稱圖形，再以點A的對應(yīng)點為中心逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°；③先以直線MN為軸作軸對稱圖形，再向上平移4格，再以點A的對應(yīng)點為中心順時針方向旋轉(zhuǎn)90°．其中，能將△ABC變換成△PQR的是（）．（A）①②； （B）①③； （C）②③； （D）①②③．[解析]這道題目含而不笑，不要求畫圖但是畫圖的每一個過程都要在腦海里顯現(xiàn)．選D．四、探究圖形運動過程中的等量關(guān)系．【例17】（2006，河北課改區(qū)）如圖1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM、FN的長度，猜想BM、FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；圖1A(G)B(E)COD(F)圖2EABDG圖1A(G)B(E)COD(F)圖2EABDGFOMNC圖3圖3ABDGEFOMNC[解析]從圖1到圖2到圖3，不變的是OE=OF=OB=OD和45°的角，變化的是因圖形的位置關(guān)系而導(dǎo)致的∠OBM與∠OFN的度數(shù)不同，在圖2中，∠OBM＝∠OFN＝45°，在圖3中，∠OBM＝∠OFN＝135°．總之，△OBM≌△OFN的性質(zhì)不變，全等三角形的對應(yīng)邊BM=FN．五、因圖形的運動而產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題．【例18】（2006，重慶）如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△和△兩個三角形（如圖2所示）.將紙片△沿直線（AB）方向平移（點始終在同一直線上），當(dāng)點與點B重合時，停止平移.在平移過程中，與交于點E,與分別交于點F、P.當(dāng)△平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；設(shè)平移距離為，△與△重疊部分面積為，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；對于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的的值，使得重疊部分的面積等于原△面積的；若不存在，請說明理由.圖1圖2圖3[解析]圖形在運動的過程中，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)點的連線平行且相等．在圖3中，與始終平行且相等，與保持垂直關(guān)系，====5，因此=，△∽△，△∽△，△∽△．[解答]（1）=，證明略．（2）由△∽△，得．因此由△∽△，得所以（0≤≤5）．（3）存在.當(dāng)時，即．整理，得解得，．即當(dāng)或時，重疊部分的面積等于原面積的．【例19】（2006，濟南）如圖1，以矩形的兩邊和所在的直線為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為．將矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點落在軸的正半軸上，旋轉(zhuǎn)后的矩形為相交于點．（1）求點的坐標(biāo)與線段的長；（2）將圖1中的矩形沿軸向上平移，如圖2，矩形是平移過程中的某一位置，相交于點，點運動到點停止．設(shè)點運動的距離為，矩形與原矩形重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（3）如圖3，當(dāng)點運動到點時，平移后的矩形為．請你思考如何通過圖形變換使矩形與原矩形重合，請簡述你的做法．ＡＡＯＣＢＭＡＯＣＢＡＯＢＣ(Ｐ)圖1圖2圖3[解析]本題中圖1是矩形的旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)邊的大小不變；圖2是矩形的平移，對應(yīng)點平移的距離相等；圖3是開放題，條條道路回“羅馬”．圖1與圖2中，所有的直角三角形都是相似的，對應(yīng)邊成比例，面積比等于對應(yīng)邊比的平方．第（1）小題求點的坐標(biāo)與線段的長為第（2）小題用表示線段的長奠定了基礎(chǔ)．在坐標(biāo)平面內(nèi)，要用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想將線段的長度用點的坐標(biāo)表示出來．[解答]（1）如圖1，因為，所以點的坐標(biāo)為．．（2）在矩形沿軸向上平移到點與點重合的過程中，點運動到矩形的邊上時，求得點移動的距離．，，．當(dāng)自變量的取值范圍為時，如圖2，由，得．所以．因此．當(dāng)自變量的取值范圍為時，，求得（或）．（3）部分參考答案：①把矩形沿的角平分線所在直線對折．②把矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點與點重合，再沿軸向下平移4個單位長度．③把矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點與點重合，再沿所在的直線對折．④把矩形沿軸向下平移4個單位長度，再繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點與點重合．提示：本小題只要求整體圖形的重合，不必要求圖形原對應(yīng)點的重合．【例20】（2006，泰州）將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為原點，C在軸上，OA=6，OC=10.（1）如圖1，在OA上取一點E，將△EOC沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，求E點的坐標(biāo).（2）如圖2，在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞cE′、F，將△E′OF沿E′F折疊，使O點落在AB邊上的D′點，過D′作D′G∥A′O交E′F于T點，交OC′于G點，求證：TG=A′E′.（3）在（2）的條件下，設(shè)T（，）.①探求：與之間的函數(shù)關(guān)系式.②指出變量的取值范圍.（4）如圖3，如果將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A＂B＂C＂，使OC＂=10，OC＂邊上的高等于6,其它條件均不變,探求：這時T（，）的坐標(biāo)與之間是否仍然滿足（3）中所得的函數(shù)關(guān)系,若滿足,請說明理由；若不滿足,寫出你認(rèn)為正確的函數(shù)關(guān)系式.圖1圖2圖3[解析]本題從特殊到一般研究三角形的翻折問題，把圖形放置在坐標(biāo)平面內(nèi)，又深入探究圖形運動過程中的函數(shù)關(guān)系．圖1的特殊性是矩形紙片折疊時的折痕過點C，圖2的一般性是矩形紙片折疊時的折痕過線段OC上的一點，圖3的一般性是將矩形紙片換成了平行四邊形．第（1）小題在Rt△ADE中用勾股定理及數(shù)形結(jié)合思想探究點E的坐標(biāo)的過程，為第（3）小題探究函數(shù)關(guān)系提供方法依據(jù)．第（2）、（3）小題的探究過程又為第（4）小題探究函數(shù)關(guān)系奠定基礎(chǔ)．[解答]（1）在Rt△BCD中，BC=6，DC=OC=10，所以BD=8．在Rt△AED中，AD=2，DE=OE，AE=6－OE，由勾股定理，得，解得，所以．（2）由∠D′E′F=∠OE′F，∠D′E′F=∠D′TE′，得∠D′E′F=∠D′TE′．因此D′T=D′E′=OE′，所以TG=A′E′．（3）①因為T（，），所以A′D′=，TG=A′E′=，D′T=D′E′=OE′=6－．由勾股定理，得，整理，得．②2≤≤6．（4）將平行四邊形OA＂B＂C＂可以割補為圖2中的矩形OA′B′C′，當(dāng)時，仍然滿足；當(dāng)≥6時，點T不存在．六、和圖形的運動相關(guān)的問題．【例21】（2006，北京課改區(qū)）已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點D為線段OA的一個三等分點，求直線DC的解析式；（3）若一個動點P自O(shè)A的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點(設(shè)為點E)，再到達拋物線的對稱軸上某點(設(shè)為點F)，最