2024年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編02挑戰(zhàn)壓軸題(填空題)(江西專用)(原卷版+解析)

2024年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（南京考卷）02挑戰(zhàn)壓軸題（填空題）1．（2021·江西）如圖，在邊長(zhǎng)為的正六邊形中，連接，，其中點(diǎn)，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，若以，，為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為整數(shù)，則該等邊三角形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．2．（2020·江西）矩形紙片，長(zhǎng)，寬，折疊紙片，使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，展平后得到折痕，同時(shí)得到線段，，不再添加其它線段，當(dāng)圖中存在角時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_________厘米．3．（2019·江西）在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上，若，于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________________．4．（2018·江西）在正方形中，=6，連接，，是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn)，若=2，則的長(zhǎng)為_(kāi)___________.5．（2017·江西）已知點(diǎn)A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，連接AC，BC得到矩形AOBC，點(diǎn)D的邊AC上，將邊OA沿OD折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)邊為．若點(diǎn)到矩形較長(zhǎng)兩對(duì)邊的距離之比為1：3，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．1．（2023·云南·中考真題）已知的三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，的平分線與線段交于點(diǎn)D．若的一條邊長(zhǎng)為6，則點(diǎn)D到直線的距離為_(kāi)_________．2．（2023·浙江紹興·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖，把邊長(zhǎng)為4的正方形紙片分成五塊，其中點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)．用這五塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形（要求這五塊紙片不重疊無(wú)縫隙），則四邊形的周長(zhǎng)是______．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB＝2，連接AB，△ABP與△ABO關(guān)于直線AB對(duì)稱．點(diǎn)C、點(diǎn)D分別是BO、BA的中點(diǎn)，連接CD并延長(zhǎng)交PA于點(diǎn)E，連接PD，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__時(shí)，△PDE為直角三角形．4．（2023·四川成都·九年級(jí)期末）黃金分割是指把一條線段分割為兩部分，使較短線段與較長(zhǎng)線段的比等于較長(zhǎng)線段與原線段的比，其比值等于．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G為邊BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AG交對(duì)角線BD于點(diǎn)H，△ADH的面積記為S1，四邊形DHCG的面積記為S2．如果點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，則的值為_(kāi)__．5．（2023·江蘇無(wú)錫·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且，C為線段上一點(diǎn)，，若M為y軸上一點(diǎn)，且，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)N，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．1．（2023·浙江·八年級(jí)期末）在矩形紙片中，，，，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，沿折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)，記為，折痕為．若等腰三角形，則到邊的距離為_(kāi)_____________．2．（2023·浙江杭州·七年級(jí)期中）在“妙折生平——折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個(gè)任務(wù)：如圖，有一張三角形紙片ABC，，，點(diǎn)D是AB邊上的固定點(diǎn)（），請(qǐng)?jiān)贐C上找一點(diǎn)E，將紙片沿DE折疊（DE為折痕），點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，使EF與三角形ABC的一邊平行，則為_(kāi)_______度．3．（2023·河南·平頂山市第九中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點(diǎn)M，N分別在AD，BC上，且3AM＝AD，3BN＝BC，E為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將DCE沿DE所在直線翻折得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線MN上時(shí)，CE的長(zhǎng)為_(kāi)__．4．（2023·廣東·珠海市九洲中學(xué)三模）如圖，正方形中，，，分別交、于、，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有__________．5．（2023·江西·贛州市第三中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，射線軸，直線交線段于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)A，D是射線上一點(diǎn)．若存在點(diǎn)D，使得恰為等腰直角三角形，則b的值為_(kāi)_____．2022年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（江西考卷）02挑戰(zhàn)壓軸題（填空題）1．（2021·江西）如圖，在邊長(zhǎng)為的正六邊形中，連接，，其中點(diǎn)，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，若以，，為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為整數(shù)，則該等邊三角形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】9或10或18【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，先在腦海中生成運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)圖，通過(guò)從滿足條件的特殊的情況入手，然后再適當(dāng)左右擺動(dòng)圖形，尋找其它可能存在的解．【詳解】解：如下圖：（1）當(dāng)M，N分別與B，F(xiàn)重合時(shí)，在中，由題意得：，易算得：，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得，，為等邊三角形，即為等邊三角形，邊長(zhǎng)為18，此時(shí)已為最大張角，故在左上區(qū)域不存在其它解；（2）當(dāng)M，N分別與DF，DB的中點(diǎn)重合時(shí)，由（1）且根據(jù)三角形的中位線得：，，為等邊三角形，邊長(zhǎng)為9，（3）在（2）的條件下，陰影部分等邊三角形會(huì)適當(dāng)?shù)淖笥覕[動(dòng)，使得存在無(wú)數(shù)個(gè)這樣的等邊三角形且邊長(zhǎng)會(huì)在到之間，其中包含邊長(zhǎng)為，，，且等邊三角形的邊長(zhǎng)為整數(shù)，邊長(zhǎng)在到之間只能取9或10，綜上所述：該等邊三角形的邊長(zhǎng)可以為9或10或18．故答案是：9或10或18．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形中動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生等邊三角形問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)等邊三角形的邊只能取整數(shù)為依據(jù)，進(jìn)行分類討論，難點(diǎn)在于陰部部分等邊三角形向左右適當(dāng)擺動(dòng)時(shí)如何取邊長(zhǎng)的整數(shù)值．2．（2020·江西）矩形紙片，長(zhǎng)，寬，折疊紙片，使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，展平后得到折痕，同時(shí)得到線段，，不再添加其它線段，當(dāng)圖中存在角時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_________厘米．【答案】或或【解析】【分析】分∠ABE=30°或∠AEB=30°或∠ABA′=30°時(shí)三種情況，利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)∠ABE=30°時(shí)，∵AB=4cm，∠A=90°，∴AE=AB·tan30°=cm；當(dāng)∠AEB=30°時(shí)，則∠ABE=60°，∵AB=4cm，∠A=90°，∴AE=AB·tan60°=cm；當(dāng)∠ABE=15°時(shí)，∠ABA′=30°，延長(zhǎng)BA′交AD于F，如下圖所示，設(shè)AE=x，則EA′=x，，∵AF=AE+EF=ABtan30°=，∴，∴，∴cm．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．3．（2019·江西）在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上，若，于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________________．【答案】【解析】【分析】先由已知得出，，然后分類討論點(diǎn)的位置從而依次求出每種情況下點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，軸點(diǎn)在直線上，，如圖：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，要使，即使即解得：（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，，的中點(diǎn)點(diǎn)為以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與軸的交點(diǎn)設(shè)，則即解得：，，，綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或，或，．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題，主要涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圓的相關(guān)知識(shí)，本題比較復(fù)雜，難度較大．4．（2018·江西）在正方形中，=6，連接，，是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn)，若=2，則的長(zhǎng)為_(kāi)___________.【答案】2或或【解析】【分析】根據(jù)題意分情況畫(huà)出符合題意的圖形，然后針對(duì)每一個(gè)圖形利用勾股定理進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=6，∠BAD=90°，∠DAC=45°，∴AC=BD=6；如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，∵AP+PD=AD=6，PD=2AP，∴AP=2；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，∵∠PAD=90°，∴AP2+AD2=DP2，∵AD=6，PD=2AP，∴AP2+36=4AP2，∴AP=；如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，作PN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)AN=x，則有DN=6-x，PN=x，由勾股定理得AP=x，PD=，∵PD=2AP，∴=2x，∴x=或x=（不符合題意，舍去），∴AP=x=，當(dāng)點(diǎn)P在其余邊或?qū)蔷€上時(shí)，不存在可以使PD=2AP的點(diǎn)，綜上，AP的長(zhǎng)為2，，，故答案為2或或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出符合題意的圖形．5．（2017·江西）已知點(diǎn)A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，連接AC，BC得到矩形AOBC，點(diǎn)D的邊AC上，將邊OA沿OD折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)邊為．若點(diǎn)到矩形較長(zhǎng)兩對(duì)邊的距離之比為1：3，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【詳解】解：由點(diǎn)A（0，4），B（7，0），C（7，4），可得BC=OA=4，OB=AC=7，分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)A'在矩形AOBC的內(nèi)部時(shí)，過(guò)A'作OB的垂線交OB于F，交AC于E，如圖1所示：①當(dāng)A'E：A'F=1：3時(shí)，∵A'E+A'F=BC=4，∴A'E=1，A'F=3，由折疊的性質(zhì)得：OA'=OA=4，在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF=，∴A'（，3）；②當(dāng)A'E：A'F=3：1時(shí)，同理得：A'（，1）；（2）當(dāng)點(diǎn)A'在矩形AOBC的外部時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A'在第四象限，過(guò)A'作OB的垂線交OB于F，交AC于E，如圖2所示：∵A'F：A'E=1：3，則A'F：EF=1：2，∴A'F=EF=BC=2，由折疊的性質(zhì)得：OA'=OA=4，在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==2，∴A'（2，﹣2）；故答案為（，3）或（，1）或（2，﹣2）．考點(diǎn)：1、翻折變換（折疊問(wèn)題）；2、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；3、矩形的性質(zhì)1．（2023·云南·中考真題）已知的三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，的平分線與線段交于點(diǎn)D．若的一條邊長(zhǎng)為6，則點(diǎn)D到直線的距離為_(kāi)_________．【答案】3或或或【解析】【分析】將△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分別分AB=BC=6，AC=6，進(jìn)行解答．【詳解】解：∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，如圖，若∠ABC=90°，則∠ABC的平分線為正方形ABCD的對(duì)角線，D為對(duì)角線交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，當(dāng)AB=BC=6，則DF=BC=3；當(dāng)AC=6，則AB=BC==，∴DF=BC=；如圖，若∠BAC=90°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，∴△BAD≌△BFD（AAS），∴AB=BF，當(dāng)AB=AC=6，則BC=，∴BF=6，CF=，在正方形ABEC中，∠ACB=45°，∴△CDF是等腰直角三角形，則CF=DF=AD=；當(dāng)BC=6，則AB=AC==，同理可得：，綜上：點(diǎn)D到直線AB的距離為：3或或或，故答案為：3或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)較多，解題時(shí)要結(jié)合題意畫(huà)出符合題意的圖形，分情況解答．2．（2023·浙江紹興·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖，把邊長(zhǎng)為4的正方形紙片分成五塊，其中點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)．用這五塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形（要求這五塊紙片不重疊無(wú)縫隙），則四邊形的周長(zhǎng)是______．【答案】20或或或【解析】【分析】根據(jù)拆分開(kāi)的圖形進(jìn)行拼接，拼成與正方形不同的四邊形即可．【詳解】∵正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)G為正方形中心點(diǎn)F，K，E，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)∴AF=AH=HD=HG=DE=GK=EC=CK=BF=BK=42=2HF=DG=EK=，HK=4∴可構(gòu)成圖形如下：周長(zhǎng)為：周長(zhǎng)為：周長(zhǎng)為：周長(zhǎng)為：故答案為：20或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了以正方形為背景，圖形的應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖問(wèn)題，熟練的掌握?qǐng)D形的拼接技巧是解題的關(guān)鍵．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB＝2，連接AB，△ABP與△ABO關(guān)于直線AB對(duì)稱．點(diǎn)C、點(diǎn)D分別是BO、BA的中點(diǎn)，連接CD并延長(zhǎng)交PA于點(diǎn)E，連接PD，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__時(shí)，△PDE為直角三角形．【答案】##【解析】【分析】由對(duì)折可得：所以分兩種情況討論，如圖，當(dāng)連接延長(zhǎng)交于設(shè)證明四邊形是矩形，可得再利用建立方程求解即可，如圖，當(dāng)時(shí)，證明四邊形是正方形，從而可得答案.【詳解】解：由對(duì)折可得：如圖，當(dāng)連接延長(zhǎng)交于設(shè)分別為BO、BA的中點(diǎn)，四邊形是矩形，整理得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)：不符合題意，所以如圖，當(dāng)時(shí)，同理：則結(jié)合對(duì)折可得：四邊形是正方形，綜上，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，△PDE為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，一元二次方程的解法，矩形，正方形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，做到清晰的分類討論是解題的關(guān)鍵.4．（2023·四川成都·九年級(jí)期末）黃金分割是指把一條線段分割為兩部分，使較短線段與較長(zhǎng)線段的比等于較長(zhǎng)線段與原線段的比，其比值等于．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G為邊BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AG交對(duì)角線BD于點(diǎn)H，△ADH的面積記為S1，四邊形DHCG的面積記為S2．如果點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，則的值為_(kāi)__．【答案】或．【解析】【分析】由AD∥BC，得△DHG的面積＝△AHB的面積，再由△AHB≌△CHB（SAS），得出S2＝△GBH的面積，然后證△ADH∽△GBH，得＝，分兩種情況：①點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，BC＞CG，則BC＝；②點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，BC＜CG，則BC＝；分別求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，AD∥BC，∠ABH＝∠CBH＝45°，∴△ABD的面積＝△AGD的面積，又∵BH＝BH，∴△AHB≌△CHB（SAS），∴△AHB的面積＝△DHG的面積，∴S2＝△GBH的面積，∵AD∥BC，∴△ADH∽△GBH，∴＝（）2，分兩種情況：①點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，BC＞CG，則AD＝BC＝BG，∴＝（）2＝（）2＝；②點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，BC＜CG，則AD＝BC＝BG，∴＝（）2＝（）2＝；綜上所述，如果點(diǎn)C是線段BG的黃金分割點(diǎn)，則的值為或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積等知識(shí)；熟練掌握黃金分割的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇無(wú)錫·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且，C為線段上一點(diǎn)，，若M為y軸上一點(diǎn)，且，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)N，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】或【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，證明△ACD∽△ABO，得到，求出CD和AD，得到點(diǎn)C坐標(biāo)，求出直線OC的解析式，再求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，分兩種情況，聯(lián)立解析式，求出點(diǎn)N坐標(biāo)，利用勾股定理得到ON的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，則∠ADC=∠AOB=90°，又∵∠CAD=∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∵B（0，6），∴OB=6，∵∠OAB=30°，∴AB=2OB=12，∴AO==，∵BC：CA=1：2，∴AC=，∴BC=AB-AC=4，∴，解得：CD=4，AD=，∴OD=OA-AD=，∴C（，4），設(shè)直線OC的解析式為y=kx，將C代入，則，解得：，∴直線OC的解析式為，∵OM：OB=1：2，OB=6，∴OM=3，∴M的坐標(biāo)為（3，0）或（-3，0），當(dāng)M（3，0）時(shí)，記為點(diǎn)M′，設(shè)直線AM′的解析式為y=ax+b，則，解得：，∴直線AM′的解析式為，聯(lián)立直線AM′和直線OC的解析式得，解得：，∴N（，），∴ON=；當(dāng)M（-3，0）時(shí)，同理求得直線AM的解析式為，聯(lián)立得，解得：，∴N（，-4），∴ON==，綜上：ON的長(zhǎng)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組，勾股定理，有一定難度，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分類討論解決問(wèn)題．1．（2023·浙江·八年級(jí)期末）在矩形紙片中，，，，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，沿折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)，記為，折痕為．若等腰三角形，則到邊的距離為_(kāi)_____________．【答案】或【解析】【分析】分A′C=BC和BA′=A′C兩種情況，畫(huà)出圖形，結(jié)合矩形的性質(zhì)和勾股定理分別求解．【詳解】解：當(dāng)A′C=BC時(shí)，∵AQ=A′Q=3，A′C=BC=AD=5，連接QC，過(guò)A′作A′H⊥AD，垂足為H，∵QD=2，CD=，∠CDA=90°，∴CQ==4，∴∠CQD=60°，∵，∴∠A′QC=90°，∴∠AQA′=30°，∴A′H=A′Q=，∴點(diǎn)A′到BC的距離為；當(dāng)BA′=A′C時(shí)，同理：A′Q=3，CQ=4，過(guò)A′作A′H⊥AD，垂足為H，∵BA′=A′C，∴點(diǎn)A′在BC的垂直平分線上，∴HQ=AQ-AH==，∴A′H==，∴A′到BC的距離為CD-A′H=，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，折疊問(wèn)題，熟練掌握矩形和翻折變換的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江杭州·七年級(jí)期中）在“妙折生平——折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個(gè)任務(wù)：如圖，有一張三角形紙片ABC，，，點(diǎn)D是AB邊上的固定點(diǎn)（），請(qǐng)?jiān)贐C上找一點(diǎn)E，將紙片沿DE折疊（DE為折痕），點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，使EF與三角形ABC的一邊平行，則為_(kāi)_______度．【答案】35°或75°或125°【解析】【分析】由于EF不與BC平行，則分EF∥AB和EF∥AC，畫(huà)出圖形，結(jié)合折疊和平行線的性質(zhì)求出∠BDE的度數(shù)．【詳解】解：當(dāng)EF∥AB時(shí)，∠BDE=∠DEF，由折疊可知：∠DEF=∠DEB，∴∠BDE=∠DEB，又∠B=30°，∴∠BDE=（180°-30°）=75°；當(dāng)EF∥AC時(shí)，如圖，∠C=∠BEF=50°，由折疊可知：∠BED=∠FED=25°，∴∠BDE=180°-∠B=∠BED=125°；如圖，EF∥AC，則∠C=∠CEF=50°，由折疊可知：∠BED=∠FED，又∠BED+∠CED=180°，則∠CED+50°=180°-∠CED，解得：∠CED=65°，∴∠BDE=∠CED-∠B=65°-30°=35°；綜上：∠BDE的度數(shù)為35°或75°或125°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，折疊問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是注意分類討論，畫(huà)圖圖形推理求解．3．（2023·河南·平頂山市第九中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點(diǎn)M，N分別在AD，BC上，且3AM＝AD，3BN＝BC，E為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將DCE沿DE所在直線翻折得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線MN上時(shí)，CE的長(zhǎng)為_(kāi)__．【答案】或10【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)得到DC=AB=5，∠A=90°，AD=BC=6，根據(jù)已知條件得到AM=BN，推出四邊形ABNM是矩形，得到∠NMA=∠NMD=90°，MN=AB=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DC′=DC=5，C′E=CE，根據(jù)勾股定理得到C′M=，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)得到CN=DM=4，∠CNM=90°，再分兩種情況由勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，∵，，∴AM＝BN，∵AM∥BN，∴四邊形ABNM是平行四邊形，又∵∠A=90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，∵將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC′E，∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE，∵AM＝2，∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4，如圖1，在Rt△C′MD中，C′M＝，∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2，∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，∴四邊形CDMN是矩形，∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°，NE＝CN﹣CE＝4﹣CE，在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，∴（4﹣CE）2+22＝CE2，解得：CE＝．如圖2，在Rt△C′MD中，C′M＝，∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8，∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，∴四邊形CDMN是矩形，∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°，NE＝CE﹣CN＝CE﹣4，在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，∴（CE﹣4）2+82＝CE2，解答：CE＝10，故答案為：或10．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確的識(shí)別圖形利用勾股定理與折疊的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東·珠海市九洲中學(xué)三模）如圖，正方形中，，，分別交、于、，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有__________．【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)及，，易證△ABF≌△BGC，進(jìn)而可證AF⊥BG；由△BFN∽△BGC，可證得；由全等三角形性質(zhì)可得，轉(zhuǎn)化為，；延長(zhǎng)AD、BG交于點(diǎn)H，易知△HDG∽△HAB，△BEM∽△HAM，可證明結(jié)論④正確．【詳解】∵正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠C=90°，∴BE=EF=FC=BC，BF=BC，CG=CD=BC∴BF=CG，在△ABF和△BCG中，∴△ABF≌△BCG(SAS)，∴∠AFB=∠BGC，∵∠BGC+∠CBG=90°，∴∠AFB+∠CBG=90°，∴∠BNF=90°，∴AF⊥BG，故結(jié)論①正確；∵∠BNF=∠C，∠FBN=∠GBC，∴