第7.4.1講二項(xiàng)分布-2023-2024學(xué)年新高二數(shù)學(xué)寶典（人教A版2019選修第三冊）

第七章隨機(jī)變量及其分布第7.4.1講二項(xiàng)分布班級_______姓名_______組號_______1．通過具體實(shí)例，了解n重伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的概念．2．會利用公式求服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率、均值以及方差．3．能利用二項(xiàng)分布概率模型解決簡單的實(shí)際問題．1、利用二項(xiàng)分布求分布列2、服從二項(xiàng)分布的概率最大問題3、二項(xiàng)分布的簡單應(yīng)用一、n重伯努利試驗(yàn)n重伯努利試驗(yàn)(1)伯努利試驗(yàn)：我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)．(2)n重伯努利試驗(yàn)：將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．(3)n重伯努利試驗(yàn)的特征：①同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up12(k),\s\do4(n))pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．題型1、利用二項(xiàng)分布求分布列1．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.6，且各次射擊的結(jié)果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式來解.【詳解】設(shè)為射手在30次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則，故在30次射擊中，恰有18次擊中目標(biāo)的概率為.故選：B.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的知識求得正確答案.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：B3．有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則A． B． C． D．【答案】D【分析】首先把取一次取得次品的概率算出來，再根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率即可算出．【詳解】因?yàn)槭怯蟹呕氐厝‘a(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數(shù)，則,,選擇D答案．【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的概率,解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布公式的靈活運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題．4．口袋里放有大小相同的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，每個(gè)球被摸到的機(jī)會均等．定義數(shù)列：，．如果為數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么的概率是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出每次摸球摸到紅球的概率為，根據(jù)已知可知.然后分析得出摸到紅球的個(gè)數(shù)，即可根據(jù)二項(xiàng)分布的概率，求出答案.【詳解】由已知可知，每次摸球摸到紅球的概率為，則次摸球中，取到白球的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即.由可知，前7次摸到5次白球，2次紅球，即，.所以，的概率是.故選：B.5．已知每門大炮擊中目標(biāo)的概率都是0.5，現(xiàn)有10門大炮同時(shí)對某一目標(biāo)各射擊一次．記恰好擊中目標(biāo)3次的概率為A；若擊中目標(biāo)記2分，記10門大炮總得分的期望值為B，則A，B的值分別為（

）A．，5 B．，10 C．，5 D．，10【答案】B【分析】根據(jù)題意得其機(jī)種次數(shù)和期望符合二項(xiàng)分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概率公式計(jì)算值即可.【詳解】設(shè)10門大炮擊中目標(biāo)的次數(shù)為,則根據(jù)題意可得,門大炮總得分的期望值為，，故選：B.n重伯努利試驗(yàn)的判斷依據(jù)(1)要看該試驗(yàn)是不是在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)每次試驗(yàn)相互獨(dú)立，互不影響；(3)每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果(每種結(jié)果發(fā)生的概率穩(wěn)定)，即事件發(fā)生或不發(fā)生.題型2、服從二項(xiàng)分布的概率最大問題6．如果X～B(15，)，則使P(X＝k)最大的k值（

）A．3 B．4C．4或5 D．3或4【答案】D【分析】利用做商法比較大小，，得．即可得出結(jié)論．【詳解】解：，得．所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，其中時(shí)，，從而或4時(shí)，取得最大值，故選：D7．若，則取得最大值時(shí)，（

）A．4或5 B．5或6 C．10 D．5【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式得到，再根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，由組合數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)取得最大值，即取得最大值，所以；故選：D8．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子n次，設(shè)出現(xiàn)k次點(diǎn)數(shù)為1的概率為，若，則當(dāng)取最大值時(shí)，k為（

）A．3 B．4 C．8 D．10【答案】A【分析】由題意可知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可.【詳解】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子20次，其中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1的次數(shù)為X，則，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.因此當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：A9．若X～B，則使P(X＝k)最大的k的值是（

）A．2 B．3 C．2或3 D．4【答案】B【分析】求使取最大值的的值可通過比較和的大小得到．可利用做商法比較大小，從而可得出答案.【詳解】解：，則，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而時(shí)，取得最大值．故選：B．10．若，則當(dāng)，1，2，…，100時(shí)（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.【詳解】解：由題意得：即，化簡得：，又k為整數(shù),可得,所以，故選：C．利用二項(xiàng)分布求概率的三個(gè)步驟(1)判斷：依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征，判斷所給試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆．(3)計(jì)算：就每個(gè)事件依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算．題型3、二項(xiàng)分布的簡單應(yīng)用11．在足球比賽中，撲點(diǎn)球的難度般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性未撲出點(diǎn)球.若不考慮其他因素，在比賽打成平局進(jìn)行點(diǎn)球大戰(zhàn)中，甲隊(duì)門將在前3次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的方差為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷服從二項(xiàng)分布，再利用二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算可得.【詳解】由題意，門將每次撲出點(diǎn)球的概率為：,若不考慮其他因素，門將在前3次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，且，所以甲隊(duì)門將在前3次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的方差為：.故選：A12．甲、乙兩人進(jìn)行比賽，假設(shè)每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，且各局比賽互不影響．若采取“5局3勝制”，則概率最大的比賽結(jié)果是（

）A．乙贏得比賽 B．甲贏得比賽C．甲贏得比賽 D．甲贏得比賽【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式一一計(jì)算比較大小即可.【詳解】若乙贏得比賽，即乙前四場贏兩場，第五場贏，故其概率為：；同理若甲贏得比賽，其概率為：；若甲贏得比賽，即甲前三場都贏，其概率為：；若甲贏得比賽，即甲前三場贏兩場，第四場贏，其概率為：，綜上甲贏得比賽，其概率最大.故選：C13．計(jì)算機(jī)內(nèi)部采用每一位只有0和1兩個(gè)數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制．其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制構(gòu)成．某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)字節(jié)，記為，其中出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記，則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)，X的均值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】得到，利用二項(xiàng)分布求期望公式求出答案.【詳解】X的可能取值為0,1,2,3,4,5,6,7,8，且的值即為1出現(xiàn)的次數(shù)，故，所以.故選：C14．“石頭?剪刀?布"，又稱“猜丁殼”，是一種流傳多年的猜拳游戲，起源于中國，然后傳到日本?朝鮮等地，隨著亞歐貿(mào)易的不斷發(fā)展，它傳到了歐洲，到了近代逐漸風(fēng)靡世界游戲規(guī)則是：“石頭"勝"剪刀”?“剪刀”勝“布”?“布”勝“石頭”，若所出的拳相同，則為和局.小明和小華兩位同學(xué)進(jìn)行三局兩勝制的“石頭?剪刀?布”游戲比賽，則小華經(jīng)過三局獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)知小華經(jīng)過三局獲勝的基本事件為前兩局一勝一不勝，第三局獲勝，概率乘法公式求概率即可.【詳解】由題設(shè)知：小華經(jīng)過三局獲勝的基本事件為前兩局一勝一不勝，第三局獲勝，∴小華經(jīng)過三局獲勝的概率為.故選：C.15．唐代詩人張若虛在《春江花月夜》中曾寫道：“春江潮水連海平，海上明月共潮生．”潮水的漲落和月亮的公轉(zhuǎn)運(yùn)行有直接的關(guān)系，這是一種自然現(xiàn)象．根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，已知沿海某地在某個(gè)季節(jié)中每天出現(xiàn)大潮的概率均為，則該地在該季節(jié)內(nèi)連續(xù)三天內(nèi)，至少有兩天出現(xiàn)大潮的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二項(xiàng)分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解.【詳解】該地在該季節(jié)內(nèi)連續(xù)三天內(nèi)，至少有兩天出現(xiàn)大潮包括兩天或三天出現(xiàn)大潮，有兩天出現(xiàn)大潮概率為，有三天出現(xiàn)大潮概率為，所以至少有兩天出現(xiàn)大潮的概率為，故選：A.一、單選題1．已知隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算.【詳解】隨機(jī)變量，則.故選：A2．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則它的期望（

）A．0.5 B．2.5 C．5 D．10【答案】C【分析】利用二項(xiàng)分布的期望公式直接計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則它的期望.故選：C.3．在某次抽獎活動中，一個(gè)口袋里裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，所有球除顏色外無任何不同，每次從中摸出2個(gè)球，觀察顏色后放回，若為同色，則中獎.則摸球三次僅中獎一次的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可先求出摸球一次中獎的概率，再由二項(xiàng)分布可得結(jié)果.【詳解】依題意設(shè)摸球一次中獎的概率為，則，所以摸球三次僅中獎一次的概率為.故選：A.4．電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.8，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)內(nèi)恰好壞了一個(gè)的概率為（

）A．0.384 B． C．0.128 D．0.104【答案】A【分析】分析知這是二項(xiàng)分布，3重伯努利試驗(yàn).【詳解】電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.8，1個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)內(nèi)壞了的概率為，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)內(nèi)恰好壞了一個(gè)的概率為.故選：A5．若，則等于A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)，可得結(jié)論．【詳解】，，故選：A．6．口袋里放有大小相同的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，有放回地每次摸取一球，定義數(shù)列：如果為數(shù)列的前和，那么的概率為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】第次摸到紅球的概率為，摸到白球的概率為，若，則中，有個(gè)和個(gè)，所以的概率為.故選：B7．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采取五局三勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得三場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)每局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率均為p，沒有平局，且各局比賽相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以獲勝的概率可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)甲隊(duì)以獲勝,得出4局比賽的勝負(fù)情況，求出概率即可.【詳解】甲隊(duì)以獲勝,則兩隊(duì)共比賽了4局，且第4局一定是甲獲勝，前3局里甲獲勝了2局，故概率為，即.故選：C.8．甲、乙兩羽毛球運(yùn)動員之間的訓(xùn)練，要進(jìn)行三場比賽，且這三場比賽可看做三次伯努利試驗(yàn)，若甲至少取勝一次的概率為，則甲恰好取勝一次的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)每次甲勝的概率為p，根據(jù)甲至少取勝一次的概率為，結(jié)合對立事件的概率計(jì)算求出p的值，繼而利用二項(xiàng)分布的概率公式，即可求得答案.【詳解】假設(shè)甲取勝為事件A，設(shè)每次甲勝的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)，則有，得，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為，故選：C.9．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行圍棋比賽，約定五局三勝制（無平局），已知甲每局獲勝的概率都為，則最后甲獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】解：根據(jù)題意，甲獲勝包括三種情況，即.若甲獲勝，則概率為；若甲獲勝，則概率為；若甲獲勝，則概率為；所以甲勝的概率為.故選：D10．口袋里放有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，每個(gè)球被摸到的機(jī)會均等.定義數(shù)列：.如果為數(shù)列的前項(xiàng)和，那么的概率是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】表示摸次球，其中次摸到紅球，次摸到白球，再根據(jù)二項(xiàng)分布的概率，即可求出答案.【詳解】由題意，每次摸到白球的概率為，每次摸到紅球的概率為，表示摸次球，其中次摸到紅球，次摸到白球，則的概率是.故選：A.二、多選題11．若隨機(jī)變量，下列說法中正確的有（

）A． B．期望C．期望 D．方差【答案】AC【分析】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可判斷A選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布的期望公式可判斷B選項(xiàng)；利用期望的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用方差的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，則，，，由期望的性質(zhì)可得，由方差的性質(zhì)可得，AC對，BD錯(cuò).故選：AC.12．甲盒中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，則下列說法中正確的是（

）A．若從甲盒中一次性取出2個(gè)球，記表示取出白球的個(gè)數(shù)，則B．若從甲盒和乙盒中各取1個(gè)球，則恰好取出1個(gè)白球的概率為C．若從甲盒中連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，每次抽取后都放回，則恰好得到2個(gè)白球的概率為D．若從甲盒中取出1球放入乙盒中，再從乙盒中取出1球，記：從乙盒中取出的1球?yàn)榘浊?，則【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，選一個(gè)白球，一個(gè)黑球，利用古典概型求解；B選項(xiàng)，分從甲盒取出的是白球和從乙盒取出的白球，利用古典概型求解；C選項(xiàng)，設(shè)抽到白球個(gè)數(shù)為，則，利用二項(xiàng)分布求概率公式求解；D選項(xiàng)，分從甲盒中取出1球?yàn)楹谇蚝桶浊騼煞N情況的概率，相加即可求解.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由題意得取出1個(gè)白球的概率為，故正確；C選項(xiàng)，若從甲盒中連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，每次抽取后都放回，設(shè)抽到白球個(gè)數(shù)為，則，則恰好得到2個(gè)白球的概率為，故正確；D選項(xiàng)，從甲盒中取出白球放入乙盒中，從乙盒中取出的1球?yàn)榘浊?，此時(shí)概率為，從甲盒中取出黑球放入乙盒中，從乙盒中取出的1球?yàn)榘浊?，此時(shí)概率為，故，故正確.故選：BCD三、填空題13．某大學(xué)生將參加知識競賽，答題環(huán)節(jié)有6道題目，每答對一道題得3分，答錯(cuò)一題扣1分，已知該學(xué)生每道題目答對的概率是，且各題目答對正確與否相互獨(dú)立，表示該生得分，則．【答案】10【分析】根據(jù)題意可知該生答對問題的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布求得，再由與的關(guān)系求得即可.【詳解】依題意，設(shè)表示該生答對問題的個(gè)數(shù)，則服從二項(xiàng)分布，即，所以，又因?yàn)?，所?故答案為：10.14．設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則.【答案】/【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算公式，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，可得，可得，解得.故答案為：.四、解答題15．袋中裝有6個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球.(1)若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；(2)若每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為Y，求Y的