2014年考研(數(shù)學(xué)一)真題試卷(題后含答案及解析)

2014年考研（數(shù)學(xué)一）真題試卷(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．下列曲線中有漸近線的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sin(1/x)D．y=x2+sin(1/x)正確答案：C解析：顯然這幾條曲線均無垂直與水平漸近線，就看哪條曲線有斜漸近線．對于(C)．故有斜漸近線y=x．選(C)．2．設(shè)函數(shù)f(x)具有2階導(dǎo)數(shù)，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，則在區(qū)間[0，1]上A．當(dāng)f’(x)≥0時(shí)，f(x)≥g(x)B．當(dāng)f’(x)≥0時(shí)，f(x)≤g(x)C．當(dāng)f’’(x)≥0時(shí)，f(x)≥g(x)D．當(dāng)f’’(x)≥0時(shí)，f(x)≤g(x)正確答案：D解析：【分析一】y=f(x)在[0，1]上是凹函數(shù)(設(shè)f(x)在[0，1]二階可導(dǎo)，不妨f’’(x)＞0)，y=g(x)是連接(0，f(0))與(1，f(1))的線段．由幾何意義知f(x)≤g(x)(x∈[0，1])．選(D)．【分析二】令ω(x)：f(x)-g(x)==>ω(0)=f(0)-f(0)=0，ω(1)=f(1)-f(1)=0在[0，1]上，當(dāng)f’’(x)≥0時(shí)，ω’’(x)=f’’(x)-g’’(x)=f’’(x)≥0==>ω(x)≤0，即f(x)≤g(x)．選(D)．3．設(shè)f(x，y)是連續(xù)函數(shù)，則A．B．C．D．正確答案：D解析：4．若，則a1cosx+b1sinx=A．2sinx．B．2cosx．C．2πsinx．D．2πcosx．正確答案：A解析：考察二元函數(shù)f(a，b)=∫-ππ(x-acosx-bsinx)2dx，由5．行列式A．(ad-bc)2．B．-(sd-bc)2．C．a(chǎn)2d2-b2c2．D．b2c2-a2d2．正確答案：B解析：計(jì)算出這個(gè)行列式．比較好的方法為先交換第2，3兩行，再把第1列和第2，3列鄰換：(此題也可用排除法：4個(gè)選項(xiàng)中都有a2d2和b2c2，但是前面的符號不同，(A)都是+，(B)都是-，(C)+，-，(D)-，+．觀察完全展開式中它們的系數(shù)都是一，可排除(A)、(C)、(D)．6．設(shè)a1，a2，a3均為3維向量，則對任意常數(shù)k，ι，向量組a1+ka3，a2+ιa3。線性無關(guān)是向量組a1，a2，a3線性無關(guān)的A．必要非充分條件．B．充分非必要條件．C．充分必要條件．D．既非充分也非必要條件．正確答案：A解析：從a1，a2，a3線性無關(guān)容易得到a1+ka3，a2+ιa3線性無關(guān)(可用定義或計(jì)算秩)，因此是必要條件．當(dāng)a1，a2線性無關(guān)，并且a33=0時(shí)對于任意常數(shù)k，ι，a1+ka3，a2+ιa3線性無關(guān)，而a1，a2，a3線性相關(guān)，因此不是充分條件．7．設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，則P(B-A)=A．0．1．B．0．2．C．0．3．D．0．4．正確答案：B解析：由于事件A與B獨(dú)立，故有P(A—B)：P(A)—P(AB)=P(A)—P(A)P(B)=0．5P(A)=0．3從而P(A)=0.6P(B—A)=P(B)—P(AB)=P(B)—P(A)P(B)=0．5—0．3=0．2．所以選(B)．8．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立且方差均存在，X1與X2的概率密度分別為f1(x)與f2(x)，隨機(jī)變量Y1的概率密度為FY1(y)=1/2[f1(y)+f2(y)]，隨機(jī)變量Y2=1/2(X1+X2)，則A．EY1＞EY1，DY1＞DY2．B．EY1=EY2，DY1=DY2．C．EY1=EY2，DY1＜DY2．D．EY1=EY2，DY1＞DY2．正確答案：D解析：EY2=(1/2)E(X1+X2)=1/2(EX1+EX2)故EY1=EY2．DY2=1/4(DX1+DX2)由于EY1=EY2，DY1＞DY2，故選(D)．填空題9．曲面z=x2(1-siny)+y2(1-sinx)在點(diǎn)(1，0，1)處的切平面方程為__________．正確答案：0解析：記F(x，y，z)=x2(1-siny)+y2(1-sinx)-z(1，0，1)=0，點(diǎn)(1，0，1)在曲面F(x，y，z)=0上．10．設(shè)f(x)是周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且f’(x)=2(x-1)，z∈[0，2]，則f(7)=__________．正確答案：1解析：由f’(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，又f(0)=0f(x)=x2-2x(x∈[0，2])f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-[12—2]=1．11．微分方程xy’+y(lnx-lny)=0滿足條件y(1)=e3的解為y=__________．正確答案：xe2x+1解析：12．設(shè)L是柱面x2+y2=1與平面y+x=0的交線，從z軸正向往z軸負(fù)向看去為逆時(shí)針方向，則曲線積+ydz=__________．正確答案：π解析：13．設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3，的負(fù)慣性指數(shù)為1，則a的取值范圍是正確答案：-2≤a＜2解析：【解法一】用配方法：f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3=(x1+ax3)2-(x2-2x3)2+(4-a2)x32．由負(fù)慣性指數(shù)為1，得(4-a2)≥0，-2≤a≤2．【解法二】此二次型的矩陣設(shè)A的3個(gè)特征值按照大小順序?yàn)棣?≤λ2≤λ3．則λ1+λ2+λ3=0．負(fù)慣性指數(shù)為1即λ1＜0≤λ2≤λ3．則｜A｜≤0．反之，如果｜A｜＜0，則特征值一定是2正1負(fù)，如果｜A｜=0，則特征值一定1正I負(fù)1個(gè)0．于是負(fù)慣性指數(shù)為｜A｜≤0．計(jì)算出｜A｜=a2—4，得-2≤a＜2．14．設(shè)總體X的概率密度為f(x；θ)=其中θ是未知參數(shù)，X1，X2…，Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本．若是θ2的無偏估計(jì)，則c=___________．正確答案：2/5n解析：解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．正確答案：16．設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0確定，求f(x)的極值．正確答案：這是隱函數(shù)求極值問題．先求y=f(x)的駐點(diǎn)．將方程對x求導(dǎo)得3y2y’+y2+2xyy’+2xy+x2y’=0①代入y3十xy2+x2y=-6，得-8x3+4x3-2x3=-6，x3=1，x=1．y=f(x)有唯一駐點(diǎn)x=1(相應(yīng)地y=-2)．再將①式，即(3y2+2xy+x2)y’=-y(y+2x)在x=1(y=-2)對x求導(dǎo)得(3y2+2xy+x2)｜(1，-2)y’’(1)=-y(y’+2)｜(1，2)=4因此y=f(x)有唯一極值點(diǎn)x=1，是極小值點(diǎn)，極小值f(1)=-2．17．設(shè)函數(shù)f(u)具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z=f(excosy)滿足=(4z+excosy)e2x．若f(0)=0，f’(0)=0，求f(u)的表達(dá)式．正確答案：z=f(excosy)是z=f(u)與u=excosy的復(fù)合函數(shù)．先由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，將z對x，y的偏導(dǎo)數(shù)滿足的方程轉(zhuǎn)化為z對u的導(dǎo)數(shù)滿足的方程．z=f(u)=f(excosy)18．設(shè)∑為曲面z=x2+y2(z≤1)的上側(cè)，計(jì)算曲面積分正確答案：【分析與求解一】直接化為二重積分，投影到xy平面上，∑在xy平面上投影區(qū)域D：x2+y2≤1(z=0)，由z=x2+y2得代公式得【分析與求解二】用高斯公式．∑不封閉，添加輔助面∑1：z=1(x2+y2≤1)，法向量朝下．∑與∑1圍成區(qū)域Ω，邊界取內(nèi)法向．先求輔面∑1上的積分，由于∑1垂直yz平面與zx平面，又∑1，上z=1，于是19．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足0＜an＜π/2，0＜π/2，cosan-an=cosbn，且級數(shù)收斂．正確答案：(Ⅰ)證法一由于an，bn∈(0，π/2)，cosx在[0，π/2]單調(diào)下降，an=cosan-cosbn＞0，即cosbn>cosbn=>0＜an＜bn，因證法二20．設(shè)，E為3階單位矩陣．(Ⅰ)求方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(Ⅱ)求滿足AB=E的所有矩陣B．正確答案：(Ⅰ)用初等行變換化A為簡單階梯形矩陣：得Ax=0的同解方程組：求得一個(gè)非零解a=(-1，2，3，1)T，它構(gòu)成Ax=0的基礎(chǔ)解系．(Ⅱ)所求矩陣B應(yīng)該是4×3矩陣．一種做法是把B的3個(gè)列向量分別作為3個(gè)線性方程組AX=(1，0，0)T，AX=(0，1，0)T和AX=(0，0，1)T的解來計(jì)算．下面的方法比較簡單．思路：滿足AB=E的任何兩個(gè)解的差都是AB=0的解．先求出AB=0的所有解，再求AB=E的一個(gè)特解，就可以得到滿足AB=E的所有矩陣．①AB=0的解是一個(gè)4×3矩陣，他的每一列都是Ax=0的解，因此是a的倍數(shù)，通解為(c1a，c2a，c3a)，c1，c2，c3為任意常數(shù)．②求AB=E的一個(gè)特解．用初等行變換化(A｜E)為簡單階梯形矩陣：③AB=E的通解為B0+(c1a，c2a，c3a)，c1，c2，c3為任意常數(shù)．21．證明n階矩陣相似．正確答案：說明A和B都相似于對角矩陣，并且特征值一樣，因此相似．(1)求出｜λE-A｜=λn-1(λ-n)，A的特征值為0(n-1重)和n(1重)．B是上三角矩陣，特征值為對角線元素，也是0(n-1重)和n(1重)．(2)A是實(shí)對稱矩陣，相似于對角矩陣B的n-l重特征值0滿足等式重?cái)?shù)=n-r(B-0E)=(n-1)，因此它也相似于對角矩陣由相似關(guān)系的傳遞性，得到A和B相似．22．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=1}=P{X=2}=1/2．在給定X=i的條件下，隨機(jī)變量Y服從均勻分布U(0，i)(i=1，2)．(Ⅰ)求Y的分布函數(shù)Fy(y)；(Ⅱ)求EY．正確答案：(Ⅰ)FY(y)=P{Y≤y}=P{Y≤y，X=1}+P{Y≤y，X=2}=P{X=1}P{Y≤y｜X=1}+P{X=2}P{Y≤y｜X=2}當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)y(y)=0，當(dāng)0≤y23．設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x；θ)=其