專題04 尺規(guī)作圖（角平分線、垂直平分線、作角等于已知角、作垂線）（解析版）

專題04尺規(guī)作圖（角平分線、垂直平分線、作角等于已知角、作垂線）類型一角平分線1．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀以下作圖步驟：①在和上分別截取，使；②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，連接，如圖所示．根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（

）

A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】由作圖過程可得：，再結(jié)合可得，由全等三角形的性質(zhì)可得即可解答．【詳解】解：由作圖過程可得：，∵，∴．∴．∴A選項(xiàng)符合題意；不能確定,則不一定成立，故B選項(xiàng)不符合題意；不能確定,故C選項(xiàng)不符合題意，不一定成立，則不一定成立，故D選項(xiàng)不符合題意．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解尺規(guī)作圖過程是解答本題的關(guān)鍵．2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點(diǎn)D，則以下推斷錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)作圖過程可得BD平分∠ABC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，根據(jù)作圖過程可知：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故選項(xiàng)C成立；∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC，故選項(xiàng)A成立；∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，故選項(xiàng)B成立；沒有條件能證明CD=AD，故選項(xiàng)D不成立；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．3.（2022·浙江舟山·中考真題）用尺規(guī)作一個(gè)角的角平分線，下列作法中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)作圖軌跡及角平分線的定義判斷即可得出答案．【詳解】A、如圖，由作圖可知：，又∵，∴，∴，∴平分．故A選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；B、如圖，由作圖可知：，又∵，∴，∴，∴，∵,，∴，∴，∵，∴，∴平分．故B選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；C、如圖，由作圖可知：，∴,，∴，∴，∴平分．故C選項(xiàng)是在作角平分線，不符合題意；D、如圖，由作圖可知：，又∵，∴，∴故D選項(xiàng)不是在作角平分線，符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以小于長為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，在內(nèi)兩弧交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)．若點(diǎn)到的距離為，則的長為__________．【答案】【分析】根據(jù)作圖可得為的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，依題意，根據(jù)作圖可知為的角平分線，∵∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的角平分線．以點(diǎn)圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖可得，即可證明；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖得出，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵為的角平分線，∴，由作圖可得，在和中，，∴；（2）∵，為的角平分線，∴由作圖可得，∴，∵，為的角平分線，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6.（2022·陜西·中考真題）如圖，已知是的一個(gè)外角．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】作的角平分線即可．【詳解】解：如圖，射線即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、三角形外角的性質(zhì)、平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．7．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角．”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點(diǎn)C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．

請(qǐng)寫出平分的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線是的平分線，請(qǐng)說明此做法的理由；拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）作圖見解析；【分析】（1）先證明，可得，從而可得答案；（2）先證明，可得，可得是的角平分線；（3）先作的角平分線，再在角平分線上截取即可．【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，∴是的角平分線；故答案為：（2）∵，，，∴，∴，∴是的角平分線；（3）如圖，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；

．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義與角平分線的性質(zhì)，作已知角的角平分線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E是矩形的邊上的一點(diǎn)，且．

(1)尺規(guī)作圖（請(qǐng)用鉛筆）：作的平分線，交的延長線于點(diǎn)F，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)四邊形是菱形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合角平分線的定義可得，則，然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）四邊形是菱形；理由：∵矩形中，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定以及菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9.（2022·湖南永州）如圖，是平行四邊形的對(duì)角線，平分，交于點(diǎn)．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作的角平分線，交于點(diǎn)（要求保留作圖痕跡，不寫作法，在確認(rèn)答案后，請(qǐng)用黑色筆將作圖痕跡再填涂一次）；(2)根據(jù)圖形猜想四邊形為平行四邊形，請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴∵_(dá)_____（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵平分，平分，∴，∴∴______（______）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形是平行四邊形∴∴四邊形為平行四邊形（______）（填推理的依據(jù)）．【答案】(1)詳見解析(2)∠DBC；BF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形【分析】（1）根據(jù)作角平分線的步驟作平分即可；（2）結(jié)合圖形和已有步驟合理填寫即可；(1)解：如圖，根據(jù)角平分線的作圖步驟，得到DE，即為所求；(2)證明：∵四邊形是平行四邊形，∴∵．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.又∵平分，平分，∴，∴．∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形是平行四邊形．∴，∴四邊形為平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．10.（2022·山東青島）已知：，．求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在內(nèi)部，且．【答案】見解析【分析】分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于BC長的一半為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，然后再以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AB、BC于點(diǎn)M、N，以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN長一半為半徑畫弧，交于一點(diǎn)Q，連接BQ，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求：【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．11.（2022·黑龍江綏化）已知：．(1)尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出內(nèi)切圓的圓心O；（只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）(2)如果的周長為14，內(nèi)切圓的半徑為1.3，求的面積．【答案】(1)作圖見詳解(2)9.1【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知角平分線的交點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，故只要作出兩個(gè)角的角平分線即可；（2）利用割補(bǔ)法，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，這樣將△ABC分成三個(gè)小三角形，這三個(gè)小三角形分別以△ABC的三邊為底，高為內(nèi)切圓的半徑，利用提取公因式可將周長代入，進(jìn)而求出三角形的面積．(1)解：如下圖所示，O為所求作點(diǎn)，(2)解：如圖所示，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵內(nèi)切圓的半徑為1.3，∴OD=OF=OE=1.3，∵三角形ABC的周長為14，∴AB+BC+AC=14，則故三角形ABC的面積為9.1．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓，角平分線的性質(zhì)，割補(bǔ)法求幾何圖形的面積，能夠?qū)⒔瞧椒志€的性質(zhì)與三角形的內(nèi)切圓相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．12.如圖，在鈍角△ABC中，過鈍角頂點(diǎn)B作BD⊥BC交AC于點(diǎn)D．請(qǐng)用尺規(guī)作圖在BC邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AC的距離等于BP的長．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】：要滿足條件：在BC邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AC的距離等于BP的長，則DP為∠BDC的角平分線．【答案】解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求．13.如圖，在中．利用尺規(guī)作圖，在BC邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AB的距離的長等于PC的長；利用尺規(guī)作圖，作出中的線段PD．要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑【答案】作圖見解析；（2）作圖見解析.【分析】由點(diǎn)P到AB的距離的長等于PC的長知點(diǎn)P在平分線上，再根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖即可得（以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑畫弧，與AC、AB分別交于一點(diǎn)，然后分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)距離的一半長為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，過點(diǎn)A及這個(gè)交點(diǎn)作射線交BC于點(diǎn)P，P即為要求的點(diǎn)）；根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖即可得（以點(diǎn)P為圓心，以大于點(diǎn)P到AB的距離為半徑畫弧，與AB交于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)間距離一半長為半徑畫弧，兩弧在AB的一側(cè)交于一點(diǎn)，過這點(diǎn)以及點(diǎn)P作直線與AB交于點(diǎn)D，PD即為所求）．【詳解】如圖，點(diǎn)P即為所求；如圖，線段PD即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．14.已知：求作：，使它經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，并且圓心在的平分線上，【答案】見詳解．【分析】要作圓，即需要先確定其圓心，先作∠A的角平分線，再作線段BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，即O點(diǎn)為圓心．【詳解】解：根據(jù)題意可知，先作∠A的角平分線，再作線段BC的垂直平分線相交于O，即以O(shè)點(diǎn)為圓心，OB為半徑，作圓O，如下圖所示：【點(diǎn)睛】此題主要考查了學(xué)生對(duì)確定圓心的作法，要求學(xué)生熟練掌握應(yīng)用．15.如圖，在中，．尺規(guī)作圖：作的外接圓；作的角平分線交于點(diǎn)D，連接AD．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見解析；【分析】根據(jù)外接圓，角平分線的作法作圖即可；【詳解】作圖如下：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓，角平分線，以及利用圓周角與圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16.如圖，點(diǎn)O在的邊上，以為半徑作，的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），補(bǔ)全圖形；【答案】見解析；【分析】根據(jù)已知圓心和半徑作圓、作已知角的平分線、過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖的步驟作圖即可；【詳解】解：（1）如下圖，補(bǔ)全圖形：【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、圓的切線的判定是解題的關(guān)鍵.類型二垂直平分線17.過直線l外一點(diǎn)P作直線l的垂線PQ．下列尺規(guī)作圖錯(cuò)誤的是(

)A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的逆定理及兩點(diǎn)確定一條直線一一判斷即可．【詳解】A、如圖，連接AP、AQ、BP、BQ，AP=BP，AQ=BQ，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上，直線PQ垂直平分線線段AB，即直線l垂直平分線線段PQ，本選項(xiàng)不符合題意；B、如圖，連接AP、AQ、BP、BQ，AP=AQ，BP=BQ，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，直線AB垂直平分線線段PQ，即直線l垂直平分線線段PQ，本選項(xiàng)不符合題意；C、C項(xiàng)無法判定直線PQ垂直直線l，本選項(xiàng)符合題意；D、如圖，連接AP、AQ、BP、BQ，AP=AQ，BP=BQ，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，直線AB垂直平分線線段PQ，即直線l垂直平分線線段PQ，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的逆定理及兩點(diǎn)確定一條直線等知識(shí)，讀懂圖像信息是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．18.（2022·湖南湘潭·中考真題）如圖，小明在學(xué)了尺規(guī)作圖后，作了一個(gè)圖形，其作圖步驟是：①作線段，分別以點(diǎn)、為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、；②連接、，作直線，且與相交于點(diǎn)．則下列說法不正確的是（

）A．是等邊三角形B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：由作圖可知：AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，故A選項(xiàng)正確∵等邊三角形三線合一，由作圖知，CD是線段AB的垂直平分線，∴，故B選項(xiàng)正確，∴，，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了作圖-基本作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．19.在中，用尺規(guī)作圖，分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N．作直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)作圖可知AM=CM，AN=CN，所以MN是AC的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，且平分此點(diǎn)到線段兩端構(gòu)成的夾角，分別對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】由題意得，MN垂直平分線段AC，∴，，所以B、C、D正確，因?yàn)辄c(diǎn)B的位置不確定，所以不能確定AB=AE，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線，熟練掌握線段垂直平分線的作圖方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在中，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E，經(jīng)過D，E作直線分別交于點(diǎn)M，N，連接，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．平分【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、以及性質(zhì)即可得．【詳解】解：由題意得：是線段的垂直平分線，則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、以及性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．21.（2022·吉林長春）如圖，在中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分線，，，，綜上，正確的是A、C、D選項(xiàng)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在中，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線分別交?于點(diǎn)D和點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由尺規(guī)作圖痕跡可知，MN是線段AB的垂直平分線，進(jìn)而得到DB=DA，∠B=∠BAD，再由AB=AC得到∠B=∠C=50°，進(jìn)而得到∠BAC=80°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°即可求解．【詳解】解：由題意可知：MN是線段AB的垂直平分線，∴DB=DA，∴∠B=∠BAD=50°，又AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∴∠BAC=80°，∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的兩底角相等，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖等，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．23.如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（

）A．垂線段最短B．兩點(diǎn)確定一條直線C．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行【答案】A【分析】根據(jù)垂線段最短解答即可．【詳解】解：行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短，熟知垂線段最短是解答的關(guān)鍵．24.如圖，已知線段，其垂直平分線的作法如下：①分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)；②作直線．上述作法中滿足的條作為___1.（填“”，“”或“”）【答案】＞【分析】作圖方法為：以，為圓心，大于長度畫弧交于，兩點(diǎn)，由此得出答案．【詳解】解：∵，∴半徑長度，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線段的垂直平分線尺規(guī)作圖法，解題關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作圖方法．25.（2022·內(nèi)蒙古通遼）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求的度數(shù)_________°．【答案】60【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，故可得出∠ABD的度數(shù)，由角平分線的定義求出∠EBF的度數(shù)，再由EF是線段BD的垂直平分線得出∠EFB、∠BEF的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴，∴，由尺規(guī)作圖可知，BE平分∠ABD，∴，由尺規(guī)作圖可知EF垂直平分BD，∴∠EFB=90°，∴，∴∠α=∠BEF=60°．故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖-基本作圖、角平分線以及垂直平分線的知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．26.如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，連接．若，，則的周長為_________．【答案】23【分析】由作圖可得：是的垂直平分線，可得再利用三角形的周長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由作圖可得：是的垂直平分線，，，故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握“線段的垂直平分線的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．27．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形．

(1)尺規(guī)作圖；作對(duì)角線的垂直平分線（保留作圖痕跡）；(2)若直線分別交，于，兩點(diǎn)，求證：四邊形是菱形【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作圖方法進(jìn)行作圖即可；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，證明，得到，得到四邊形為平行四邊形，根據(jù)，即可得證．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，如圖：設(shè)與交于點(diǎn)，

∵是的垂直平分線，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖—作垂線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定．熟練掌握菱形的判定定理，是解題的關(guān)鍵．28．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，，為對(duì)角線．

(1)證明：四邊形是平行四邊形．(2)已知，請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作菱形，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）先證明，再證明，即，從而可得結(jié)論；（2）作對(duì)角線的垂直平分線交于，交于，從而可得菱形．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，即．∴．∴四邊形是平行四邊形．（2）如圖，

四邊形就是所求作的菱形．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，作線段的垂直平分線，菱形的判定，熟練的利用菱形的判定進(jìn)行作圖是解本題的關(guān)鍵．29..如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）若（1）中所作的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，求BD的長．【分析】（1）分別以A，B為圓心，大于AB為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線MN即可．（2）設(shè)AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】解：（1）如圖直線MN即為所求．（2）∵M(jìn)N垂直平分線段AB，∴DA＝DB，設(shè)DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴BD＝5．30.如圖，△ABC為銳角三角形．(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點(diǎn)D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為．（如需畫草圖，請(qǐng)使用試卷中的圖2）【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分線的性質(zhì)作，即可找出點(diǎn)D；（2）由題意可知四邊形ABCD是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出AE、BE、CE、AD的長，求出梯形的面積即可．(1)解：如圖，∴點(diǎn)D為所求點(diǎn)．(2)解：過點(diǎn)A作AE垂直于BC，垂足為E，∵，，∴，∵，∴，，∴，∵∠DAC＝∠ACB，∴，四邊形ABCD是梯形，∴，∴四邊形AECD是矩形，∴，∴四邊形ABCD的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求線段的長，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．31.（2019·陜西）（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作△ABC的外接圓．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】作線段AB的垂直平分線，交AD于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O，⊙O即為所求．【解答】解：如圖所示：⊙O即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．32.如圖，點(diǎn)是正方形，的中心．用直尺和圓規(guī)在正方形內(nèi)部作一點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析；【分析】作BC的垂直平分線即可求解；【詳解】如圖所示，點(diǎn)即為所求．33.如圖，在△ABC中，點(diǎn)P是AC上一點(diǎn)，連接BP，求作一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到AB和AC兩邊的距離相等，并且到點(diǎn)B和點(diǎn)P的距離相等．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析.【分析】根據(jù)角平分線的作法、線段垂直平分線的作法作圖即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)M即為所求，作法：如解圖，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交、于、兩點(diǎn)，再分別以、為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接；以、為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧分別交于、，連接，則的延長線與的延長線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握基本尺規(guī)作圖的一般步驟是解題的關(guān)鍵．34.（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，已知中，，，．(1)作的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，連接，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用基本作圖，作BC的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、；（2）根據(jù)平行線分線段成比例計(jì)算即可．(1)如圖所示，點(diǎn)D、H即為所求(2)在（1）的條件下，,∵，∴DH∥AC，∴∴，解得∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖中的作垂直平分線、平行線分段成比例、垂直平分線的性質(zhì)，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．35.如圖，中，．（1）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖中，連接，，連接，交于點(diǎn)．①求證：四邊形是菱形；②取的中點(diǎn)，連接，若，，求點(diǎn)到的距離．【答案】（1）見解析；（2）①見解析：②．【解析】【分析】（1）過點(diǎn)做的垂線交于點(diǎn)，在的延長線上截取，即可求出所作的點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)；（2）①利用，得出，利用，以及得出四邊形是菱形；②利用為中位線求出的長度，利用菱形對(duì)角線垂直平分得出的長度，進(jìn)而利用求出的長度，得出對(duì)角線的長度，然后利用面積法求出點(diǎn)到的距離即可．【詳解】（1）解：如圖：點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；（2）①證明：∵，，又∵，∴；∴，又∵，∴四邊形是菱形；②解：∵四邊形是菱形，∴，，又∵，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴為的中位線，∵，∴，∴菱形的邊長為13，∵，在中，由勾股定理得：，即：，∴,設(shè)點(diǎn)到的距離為，利用面積相等得：，解得：，即到的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱點(diǎn)的作法、菱形的判定以及菱形的面積公式的靈活應(yīng)用，牢記菱形的