高一數(shù)學(xué)必修4學(xué)案

(3)如果你的手表慢了20分鐘,或快了1.25小時(shí),你應(yīng)該將分鐘分別旋轉(zhuǎn)多少度

高一數(shù)學(xué)必修4導(dǎo)學(xué)案才能將時(shí)間校準(zhǔn)？

第一章三角函數(shù)

1.1.1任意角

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

2、任意兩個(gè)角的數(shù)量大小可以相加、相減，如50°+80°=130°,50°-80°=-30°,

1.了解任意角的概念：正確理解正角、零角、負(fù)角的概念

你能解釋一卜.這兩個(gè)式子的幾何意義嗎？

2.正確理解終邊相同的角的概念，并能判斷其為第幾象眼角，熟悉掌握終邊相同的角的集合表示

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

用集合與符號(hào)語(yǔ)言正確表示終邊相同的角

第一課時(shí)

【自主學(xué)習(xí)】

3.終邊相同的角

一、復(fù)習(xí)引入

思考：(1)卜列角分別是第幾象限角？

問(wèn)題1：回憶初中我們是如何定義一個(gè)角的？

-300\-150\-60°,-660',60°,

這當(dāng)中一些角有什么共同特征？

所學(xué)的角的范圍是什么？210°,300°,420°,780°,

問(wèn)題2：在體操、跳水中,有“轉(zhuǎn)體720°”這樣的動(dòng)作名詞,這里的“720°”,怎么刻畫(huà)？

(2)具有相同終邊的角彼此之間有什么關(guān)系？你能寫(xiě)出與60°角終邊相同的角的集合嗎？

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.角的概念

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè),即任一與角。終邊相同的角，都可以

角可以看成平面內(nèi)一條繞著它的____從一個(gè)位置_____到另一個(gè)位置所形成的圖形。

表示成O

射線的端點(diǎn)稱為角的.射線旋轉(zhuǎn)的開(kāi)始位置和終止位置稱為角的和。

4.象限角、軸線角的概念

2.角的分類

我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角。為了討論問(wèn)題的方便，使角的與垂合，角的

按方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，

—與——重合。那么，角的—(除端點(diǎn)外)落在第幾象限，我們就說(shuō)這

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做O

個(gè)角是O

如果?條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了?個(gè)——,它的和—用合。這樣，我

如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則稱這個(gè)角為..

們就把角的概念推廣到了,包括、和。

象限角的集合

【典型例題】

(1)第一象限角的集合：_________________________________________

1、度量個(gè)角的大小，既要考慮旋轉(zhuǎn)方向，乂要考慮旋轉(zhuǎn)量，通過(guò)上述規(guī)定，角的范圍就擴(kuò)展到『任意

(2)第二象限角的集合:_

大小對(duì)于a=210。，3=-150°,丫=一660。，你能用圖形表示這些角嗎？你能總結(jié)下作圖的要點(diǎn)

(3)第一象限角的集合：—

嗎？

(4)第四象限角的集合：—

軸線角的集合

(1)終邊在x軸正半軸的角的集合：_________________________________________

(2)終邊在x軸負(fù)半軸的角的集合：一

例1(1)鐘表經(jīng)過(guò)10分鐘，時(shí)針和分針?lè)謩e轉(zhuǎn)了多少度？

(3)終邊在)，軸正半軸的角的集合：—

(2)若將鐘表?yè)苈?0分鐘，則時(shí)針和分針?lè)謩e轉(zhuǎn)了多少度？

(4)終邊在y軸負(fù)半軸的角的集合：—

1、設(shè)a=-60°,則與角。終邊相同的角的集合可以表示為.

(5)終邊在x軸上的角的集合:

(6)終邊在y軸上的角的集合：_______________

2、把下列各角化成a+h360°(0°4a<360°,kwZ)的形式，并指出它們是第幾象限的角。

(7)終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：____________

三、課前練習(xí)(1)1200°(2)-55°(3)1563°(4)-1590°

在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列各角，并說(shuō)出這個(gè)角是第幾象限角。

3、終邊在y軸上的角的集合;終邊在直線y=x上的角的集合;終邊在

30°/50°,-60°,390°,-390°,-120°

四個(gè)象限角平分線上的角的集合.

4、終邊在30。角終邊的反向延長(zhǎng)線上的角的集合.

【典型例題】

5、若角a的終邊與45°角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則。=:若角a,4的終邊關(guān)于直線

例2在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角。

x+y=0對(duì)稱，且。=一60°,則尸=o

(1)650°(2)-150°(3)-240°(4)-990°15'

6、集合A={a|a=h90°-36°,kwZ},

B={〃|-180°</<180°},則AcB=.

例3已知a與240°角的終邊相同，判斷應(yīng)是第幾象限角。

27、若4是第一象限角，則a的終邊在___________________________

2

【課后訓(xùn)練】

例4寫(xiě)出終邊落在第?、三象限的角的集合。1、分針走10分鐘所轉(zhuǎn)過(guò)的角度為;時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為?

2、若90°<￡<a<135。，則a的范圍是,a+6的范圍是.

3、(1)與一35°30'終邊相同的最小正角是;

例5寫(xiě)出角的終邊在下圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(包括邊界)

(2)與715。終邊相同的最大負(fù)角是;

(3)與1000°終邊相同旦絕對(duì)值最小的角是;

(4)與-1778°終邊相同且絕對(duì)值最小的角是.

(1)(2)(3)

4、與一15°終邊相同的在一1080"<一360°之間的角力為.

【拓展延伸】

已知角。是第二象限角，試判斷巳為第兒象限角？5、已知角a,夕的終邊相同，則a-夕的終邊在.

2

6、若夕是第四象限角.則180°-/是第_____象限角：180°+/是第_象限角。

【鞏固練習(xí)】

7、若集合4=｛a|&?1800+30°<a<h1800+90°,2￡Z｝,的還可以用為單位進(jìn)行度量,

—叫做1弧度的角，用符號(hào)____表示，讀作0

集合5=｛0H360°-45°<廣<晨360°+45°,AeZ｝,

2.弧度數(shù)：正角的弧度數(shù)為,負(fù)角的弧度數(shù)為.零角的弧度數(shù)為.如果半徑為r

的圓心角所對(duì)的弧的長(zhǎng)為1,那么，角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值是這里，Q的正負(fù)由

則4c8=.

______________________________________決定。

3.角度制?；《戎葡嗷Q算

8、已知集合知=｛銳角｝,N=｛小于90°的角｝,尸=｛第一象限的角｝,下列說(shuō)法：(1)P=N,(2)

360°=_rad180°=rad

0

NcP=M,(3)MqP,(4)(MuN)工尸其中正確的是.r=rad1rad=~°

4.角的概念推廣后,在弧度制下，與之間建立起??對(duì)應(yīng)的關(guān)系:每個(gè)

9、角a小于180°而大于-180°,它的7倍角的終邊又與自身終邊重合，求角a。

角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即.)與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有

10、已知a與60°角的終邊相同,分別判斷q,2a是第幾象限角。

(即)與它對(duì)應(yīng),

2

【課堂小結(jié)】5.弧度制卜.的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式：

1.角的概念推廣后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，對(duì)于一個(gè)給定的角，

角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值|a|=(/為弧長(zhǎng)，「為半徑)

都有唯一的一條終邊與之對(duì)應(yīng)，并使得角具有代數(shù)和幾何雙重意義.

2.終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，在0°?360°范圍內(nèi)與已知角B終邊相同的角有旦只有一個(gè).用B除以360°,弧長(zhǎng)公式：_____________________________

若所得的商為k,余數(shù)為a(a必須是正數(shù))，則a即為所找的角.扇形面積公式：_____________________________

【典型例題】

例1.把下列各角從弧度化為度。

1.1.2弧度制

(1)—(2)—(3)--(4)2<5)3.5

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】5126

3.理解弧度制的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)

4.掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式，會(huì)利用弧度制解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

5.了解角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

弧度的概念，弧度與角度換算例2.把下列各角從度化為弧度。

(1)-750°(2)-1440°(3)67°30'(4)252°(5)

【自主學(xué)習(xí)】

一、復(fù)習(xí)引入

請(qǐng)同學(xué)們回憶?下初中所學(xué)的1°的角是如何定義的？

例3.(1)已知塌形的周長(zhǎng)為8“"，圓心角為2sd,求該扇形的面積。

(2)已知肉形周長(zhǎng)為4C〃7,求地形面積的最大值，并求此時(shí)圓心角的弧度數(shù)。

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.弧度制

222任意角的三角函數(shù)(1)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

6.掌握任意角三角函數(shù)的定義，并能借助單.位圓理解任意角-：用函數(shù)的定義

7.會(huì)用三角函數(shù)線表示任意角三角函數(shù)的值

例4.已知?扇形周長(zhǎng)為C(C>0),當(dāng)扇形圓心角為何值時(shí)，它的面積最大？并求出最大面積。8.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域和這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

任意角的正弦、余弦、正切的定義

【自主學(xué)習(xí)】

一、復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入新課

在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)：

角的范圍已經(jīng)推廣，那么對(duì)任意角a是否也能定義其一三角函數(shù)呢？

【鞏固練習(xí)】

1、特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)。

度數(shù)二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P是角a終邊上任意一點(diǎn)，坐標(biāo)為尸*,田，

弧度數(shù)

2、若角a=3,則角a的終邊在第_象限：若a=-6,則角a的終邊在第一象限。它與原點(diǎn)的距離|O尸|=舊+3,一般地，我們規(guī)定：

3、將下列各角化成a+2k^[0<a<2^),的形式，并指出第幾象限角。

⑴比值叫做a的正弦，記作，即=；

(1)a=(2)a=-315°(3)a=(4)a=⑵比值——叫做a的余弦，記作即；

332

4、圓的半徑為10,則2的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為；扇形的面積為°⑶比伯—叫做a的正切，記作即_

2.當(dāng)a=__時(shí)，a的終邊在)，軸上，這時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)等「，所以

5、用弧度制表示下列角終邊的集合。

(1)軸線角(2)角平分線上的角(3)直線y=上的角一無(wú)意義.除此之外,對(duì)于確定的角a,上面三個(gè)值都是.所以，正弦、余弦、

正切都是以為自變量，以為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為

6、若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，那么該圓弧的圓心角等于_____o3.由于與之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)

【課堂小結(jié)】

可以看成是自變量為的函數(shù).

1.用度為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制，用弧度為單位來(lái)度量角的單位制叫做弧度制.

2.度與弧度的換算關(guān)系，由180°=nrad進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以后我們一般用弧度為單位度量角.4.其中，y=sinx和y=cosX的定義域分別是；

3.利用弧度制，使得弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式得以簡(jiǎn)化，這體現(xiàn)了弧度制優(yōu)點(diǎn).

而y=tanx的定義域是.

變題2已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-x,-6）,且cosa=-上，求x的值

5.根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義將這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)填入括號(hào)。

例2.已知角a的終邊在直線y=-3x上，求。的正弦、余弦、正切的值

y=sinay=cosa

y=tana

【典型例題】

例1.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（4,-3）,求a的正弦、余弦、正切的值。

例3.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：

(1)cos—TI(2)sin(-465)(3)tan—4(4)sin3-cos4-tan5

12173

變題1已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（4a,-3。）（。工0）,求a的正弦、余弦、正切的值。

例4.若A45C兩內(nèi)角A、B滿足sinAcosB<0,判斷三角的形狀。6、。是第二象限角，P(A-,V5)為其終邊上一點(diǎn)，且cosa=Jx,則sina的值為

4

【課堂小結(jié)】

【布置作業(yè)】

【鞏固練習(xí)】

1、已知角a的終邊過(guò)點(diǎn)p(-1,2),cosa的值為

2、Q是第四象限角，則下列數(shù)值中一定是正值的是

A.sinaB.cosaC.tanaD.--——

tana

3、填表：

1.2.1任意角的三角函數(shù)(2)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

I、掌握任意角三角函數(shù)的定義，并能借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義

2、會(huì)用三角函數(shù)線表示任意角三角函數(shù)的值

3、掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域和這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

會(huì)用三角函數(shù)線表示任意角三角函數(shù)的值

【自主學(xué)習(xí)】

一、復(fù)習(xí)回顧

1.單位圓的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心，以_______^半徑的圓。

4、已知角。的終邊過(guò)點(diǎn)P(4a,-3a)(?<0)，則2sina+cosa的值是2.有向線段的概念：把規(guī)定J'正方向的直線稱為；

規(guī)定了—(即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn))的線段稱為有向線段。

3.有響線段的數(shù)量：若有向線段A5在有向直線/上或與有響直線/,根據(jù)有向線段45與

有向直線/的方向或，分別把它的長(zhǎng)度添上或_______,這樣所得

5、若點(diǎn)P(-3,y)是向a終邊上一點(diǎn)，F(xiàn)Lsina=-j,則y的值是.

的叫做有向線段的數(shù)量。

4.角函數(shù)線的定義:

外24/八22

設(shè)任意角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,始邊與工軸非負(fù)半軸重:合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(.r,y),（3Jcos-乃cos—（4）tan§乃tan—冗

例3.解卜.列三角方程

（l）sinx=（2）cosx=；（3）tanx=1

變題1.解下列三角不等式⑴sinx＞y（2）cosx41（3）tanx＞1

過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線，垂足為M；過(guò)點(diǎn)A(l,0)作單位圓的切線，設(shè)它與a的終邊(當(dāng)a為第

象限角時(shí))或其反向延長(zhǎng)線(當(dāng)。為第象限角時(shí))相交于點(diǎn)7\根據(jù)三角函數(shù)

V

的定義：sina-y-；cosa-x-:tana=—=。變題2.求函數(shù)＞?=lg(2sinA-l)+71+2cos.r的定義域.

x

【典型例題】

例1.作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：

(哈⑵，乃(3)-]⑷

3030【鞏固練習(xí)】

1.作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線

2.利用余弦線比較cos64,cos285c的大小：

例2.利用三角函數(shù)線比較大小

3.若工＜。＜工，則比較sin。、cos。、tan。的大小;

(l)sin300_____sinl50:⑵sin25。______sinl50：42

4、結(jié)合三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題，求三角函數(shù)值

4.分別根據(jù)下列條件)寫(xiě)出角6的取值范圍：【重點(diǎn)難點(diǎn)】同角?:角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式和應(yīng)用

/Jfj

(1)cos^<——；(2)tan^>-1:(3)sin?！?----

22【自主學(xué)習(xí)】